Трехфазные электрические цепи

Cтатистика главы
Количество разделов	3
Количество задач	92

Примеры решений задач

Данные примеры задач, относятся к предмету «Электротехника».

Задача #4511

Условие:

К источнику трехфазной сети с линейным напряжением U_л = 380 В и частотой f = 50 Гц подключена равномерная нагрузка, соединенная по схеме «звезда», с полным сопротивлением в фазе Z = 90 Ом и индуктивностью L = 180 мГн. Определить активную, реактивную и полную мощности, коэффициент мощности, действующее значения линейного тока. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Решение:

Фазное напряжение

$U_{Ф} = \frac{U_{л}}{\sqrt{3}} = \frac{380}{\sqrt{3}} = 220 В$

Фазный ток

$I_{ф} = \frac{U_{ф}}{Z} = \frac{220}{90} = 2,45 А$

Линейный ток

$I_{л} = I_{ф} = 2,45 А$

Активное сопротивление в фазе:

$R = \sqrt{Z^{2} - X_{L}^{2}} = \sqrt{90^{2} - {56,5}^{2}} = 70 О м$

Коэффициент мощности катушки:

$\cos φ = \frac{R}{Z} = \frac{70}{90} = 0,778$

Мощность, потребляемая нагрузкой:

- активная

$P = 3 U_{ф} I_{ф} \cos φ = 3 \times 220 \times 2,45 \times 0,778 = 1260 В т = 1,26 к В т$

- реактивная

$Q = 3 U_{ф} I_{ф} \sin φ = 3 \times 220 \times 2,45 \times 0,628 = 1010 В т \approx 1 к В т$

- полная

$S = 3 U_{ф} I_{ф} = 3 \times 220 \times 2,45 = 1620 В т = 1,62 к В т$

Угол сдвига фаз:

$φ = acos (0,778) = 39 °$

Векторная диаграмма токов и напряжений представлена на рисунке.

Ответ: P = 1,26 кВт; Q = 1 кВт; S = 1,62 кВт; cos φ = 0,778; I_л = 2,45 А.

Задача #4512

Условие:

К четырех проводной трехфазной сети с действующим значением линейного напряжения 220 В подключена неравномерная активная нагрузка с потребляемой мощностью в фазах P_A = 3 кВт, P_B = 1, 8 кВт, P_C = 0,6 кВт. Определить действующее значение тока в нейтральном проводе.

Решение:

Напряжение в каждой фазе

$U_{ф} = \frac{U_{л}}{\sqrt{3}} = \frac{220}{\sqrt{3}} = 127 В$

Токи в фазах:

$I_{A} = \frac{P_{A}}{U_{ф}} = \frac{3000}{127} = 23,6 А$

$I_{B} = \frac{P_{B}}{U_{ф}} = \frac{1800}{127} = 14,2 А$

$I_{C} = \frac{P_{C}}{U_{ф}} = \frac{600}{127} = 4,72 А$

Ток в нейтральном проводе определяем из векторной диаграммы (см. рисунок) как сумму векторов фазных токов:

$\dot{I_{N}} = \dot{I_{A}} + \dot{I_{B}} + \dot{I_{C}} = 16 А$

Ответ: I_N = 16 А.

Задача #4513

Условие:

К трехфазной четырехпроводной сети с действующим значением линейного напряжения U_л = 380 В и частотой f = 50 Гц подключен приемник энергии, соединенный по схеме «звезда». В фазу A включена катушка с индуктивностью L = 0,18 Гн и активным сопротивлением R_A = 80 Ом, в фазу B – резистор сопротивлением R_B = 69 Ом, в фазу C – конденсатор емкостью C = 30 мкФ с последовательно соединенным резистором сопротивлением R_C = 40 Ом. Определить действующие значения линейных и фазовых токов, полную потребляемою нагрузкой мощность.

Решение:

Фазное напряжение

$U_{ф} = \frac{U_{л}}{\sqrt{3}} = \frac{380}{\sqrt{3}} = 220 В$

Полное сопротивление:

- в фазе A

$Z_{A} = \sqrt{R_{А}^{2} + X_{L}^{2}} = \sqrt{R_{А}^{2} + {(2 π f L)}^{2}} = \sqrt{80^{2} + {(2 π \times 50 \times 0,18)}^{2}} = 98 О м$

- в фазе B

$Z_{B} = R_{B} = 69 О м$

- в фазе C

$Z_{C} = \sqrt{R_{C}^{2} + X_{C}^{2}} = \sqrt{R_{А}^{2} + {(\frac{1}{2 π f C})}^{2}} = \sqrt{80^{2} + {(\frac{1}{2 π \times 50 \times 30 \times 10^{- 6}})}^{2}} = 110 О м$

Фазные токи:

$I_{A} = \frac{U_{ф}}{Z_{A}} = \frac{220}{98} = 2,25 А$

$I_{B} = \frac{U_{ф}}{Z_{B}} = \frac{220}{69} = 3,2 А$

$I_{C} = \frac{U_{ф}}{Z_{C}} = \frac{220}{110} = 2 А$

Активная мощность:

- в фазе A

$P_{A} = I_{A}^{2} R_{A} = {2,25}^{2} \times 80 = 405 В т$

- в фазе B

$P_{B} = I_{B}^{2} R_{B} = {3,2}^{2} \times 69 = 704 В т$

- в фазе C

$P_{C} = I_{C}^{2} R_{C} = 2^{2} \times 40 = 160 В т$

- общая нагрузки

$P_{н} = P_{A} + P_{B} + P_{C} = 405 + 704 + 160 = 1269 В т$

Реактивная мощность:

- в фазе A

$Q_{A} = I_{A}^{2} X_{L} = {2,25}^{2} \times 56,5 = 285 в а р$

- в фазе B

$Q_{B} = 0$

- в фазе C

$Q_{C} = - I_{C}^{2} X_{C} = - 2^{2} \times 106 = - 425 в а р$

- общая нагрузки

$Q_{н} = Q_{A} + Q_{C} = 285 + (- 425) = - 140 в а р$

Полная мощность нагрузки:

$S = \sqrt{P_{н}^{2} + Q_{н}^{2}} = \sqrt{1269^{2} + 140^{2}} = 1280 В \times А = 1,28 к В \times А$

Ответ: I_A = 2,25 А; I_B = 3,2 А; I_C = 2 А; S = 1,28 кВ × А.

Задача #4514

Условие:

К трехфазному генератору, обмотки которого соединены по схеме «звезда», подключена равномерная нагрузка, соединенная по той же схеме, через линию, обладающую активным сопротивлением R = 2 Ом и индуктивностью L = 16 мГн. Полное сопротивление нагрузки в каждой фазе Z_н = 80 Ом (конденсатор емкостью C = 53 мкФ с последовательно включенным резистором). Определить действующее значение напряжения в нагрузке, если линейное напряжение генератора U_л = 380 В при частоте f = 50 Гц. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Решение:

Фазное напряжение генератора

$U_{ф} = \frac{U_{л}}{\sqrt{3}} = \frac{380}{\sqrt{3}} = 220 В$

Активное сопротивление нагрузки:

$R_{н} = \sqrt{Z_{н}^{2} - X_{C}^{2}} = \sqrt{Z_{н}^{2} - {(\frac{10^{6}}{2 π f C})}^{2}} = \sqrt{80^{2} - {(\frac{10^{6}}{2 \times 3,14 \times 50 \times 53})}^{2}} = 16,7 О м$

Реактивное сопротивление нагрузки и линии:

$X_{н} = - \frac{10^{6}}{2 π f C} = - \frac{10^{6}}{2 \times 3,14 \times 50 \times 53} = - 60 О м$

$X_{л} = 2 π f L = 2 \times 3,14 \times 50 \times 16 \times 10^{- 3} = 5 О м$

Ток в линии

$I_{л} = \frac{U_{ф}}{\sqrt{{(R_{н} + R_{л})}^{2} + {(X_{н} + X_{л})}^{2}}} = \frac{220}{\sqrt{{(16,7 + 2)}^{2} + {(- 60 + 5)}^{2}}} = 3,8 А$

Для построения векторной диаграммы (см. рисунок) определяем угол сдвига по фазе между напряжением на зажимах генератора и током в линии:

$φ = atan (\frac{X_{н} + X_{л}}{R_{н} + R_{л}}) = atan (\frac{- 55}{18,7}) = - 71 °$

Найдем падение напряжения на активном и индуктивном сопротивлениях линии соответственно:

$Δ U_{R л} = I_{л} R_{л} = 3,8 \times 2 = 7,6 В$

$Δ U_{X л} = I_{л} X_{л} = 3,8 \times 5 = 19 В$

Падение напряжения на нагрузке:

$U_{н} = \sqrt{U_{R Н}^{2} + U_{X н}^{2}}$

$U_{R н} = I_{л} R_{н} = 3,8 \times 16,7 = 63,6 В$

$U_{X н} = I_{л} R_{н} = 3,8 \times 60 = 228 В$

$U_{н} = \sqrt{{63,6}^{2} + 228^{2}} = 236 В$

Ответ: U_н = 236 В.

Задача #4515

Условие:

К трехфазной сети с нулевым проводом подключена несимметричная нагрузка фазы которой характеризуются следующими параметрами: для фазы A R_A = 0,8 Ом и X_LA = 1,2 Ом; для фазы В R_B = 0,4 Ом и Х_CB = -2 Ом; для фазы С R_C = 1 Ом и X_LC = 1,8 Ом. Определить фазные и линейные токи, ток нулевого провода и коэффициенты мощности каждой фазы при соединении фаз нагрузки звездой. Линейные напряжения сети равны 380 В.

Решение:

Фазные напряжения при наличии уравнительного нулевого провода равны:

$U_{ф A} = \frac{U_{л}}{\sqrt{3}} = 220 В$

$U_{ф B} = 220 e^{- j 120 °} В$

$U_{ф C} = 220 e^{j 120 °} В$

Сопротивления фаз нагрузки в соответствии с условием задачи:

$Z_{A} = 1,44 e^{- j 41 °} О м$

$Z_{B} = 2 e^{- j 78,7 °} О м$

$Z_{C} = 2 e^{j 61 °} О м$

Фазные токи определяются из соотношений:

$I_{ф A} = 153 e^{- j 56 °} А$

$I_{ф B} = 110 e^{- j 41 °} А$

$I_{ф C} = 110 e^{j 59 °} А$

Линейные токи в этой схеме равны фазным, а ток нулевого провода

${\dot{I}}_{0} = {\dot{I}}_{A} + {\dot{I}}_{B} + {\dot{I}}_{C} = 85 - j 127 + 82,6 - j 72,6 + 56,6 + j 92,3 = 224,2 - j 107,3 = 248 e^{j 25,6 °}$

Коэффициенты мощности определяются углами сдвига фаз токов и напряжений, т. е.

$\cos φ_{A} = 0,555$

$\cos φ_{B} = 0,196$

$\cos φ_{C} = 0,485$

Ответ: не указан.

Задача #4521

Условие:

В трехфазную сеть с действующим значением линейного напряжения 220 В и частотой 50 Гц включен потребитель, соединенный по схеме “треугольник” и имеющий равномерную нагрузку, состоящую из катушки м индуктивностью L = 0,3 Гн и последовательно включенного с ней резистора с активным сопротивлением 20 Ом в каждой фазе. Определить действующие значения линейных и фазовых токов, фазное напряжение, потребляемую полную, активную и реактивную мощности.

Решение:

Фазное напряжение

$U_{ф} = U_{л} = 220 В$

Полное сопротивление нагрузки в фазе:

$Z = \sqrt{R^{2} + X_{L}^{2}} = \sqrt{R^{2} + {(2 π f L)}^{2}} = \sqrt{20^{2} + {(2 \times 3,14 \times 50 \times 0,3)}^{2}} = 96 О м$

Ток в фазе

$I_{ф} = \frac{U_{ф}}{Z} = \frac{220}{96} = 2,3 А$

Ток линейный

$I_{л} = \sqrt{3} I_{ф} = \sqrt{3} \times 2,3 = 3,98 \approx 4 А$

Коэффициент мощности

$\cos φ = \frac{R}{Z} = \frac{20}{96} = 0,208$

Мощность нагрузки:

- активная

$P = 3 U_{ф} I_{ф} \cos φ = 3 \times 220 \times 2,3 \times 0,208 = 317 В т$

- реактивная

$Q = 3 U_{ф} I_{ф} \sin φ = 3 \times 220 \times 2,3 \times 0,97 = 1470 в а р$

- полная

$S = 3 U_{ф} I_{ф} = 3 \times 220 \times 2,3 = 1520 В \times А$

Ответ: I_ф = 2,3 А; I_л = 4 А; U_ф = 220 В; P = 317 Вт; Q = 1470 вар; S = 1520 В × А.

Задача #4522

Условие:

К трехфазной сети подключена несимметричная нагрузка, фазы которой характеризуются следующими параметрами: для фазы A R_A = 2,3 Ом и Х_CA = -1,5 Ом; для фазы В R_B = 1,8 Ом и X_LB = 3,1 Ом; для фазы C R_C = 1,3 Ом и Х_CC = -2,7 Ом. Определить фазные и линейные токи, коэффициенты мощности каждой фазы при соединении фаз нагрузки треугольником. Линейные напряжения сети равны 220 В.

Решение:

Фазные и линейные напряжения при соединении нагрузки треугольником равны между собой:

$U_{ф A} = U_{л А} = 220 В$

$U_{ф B} = U_{л B} = 220 e^{- j 120 °} В$

$U_{ф C} = U_{л C} = 220 e^{j 120 °} В$

Сопротивления фаз нагрузки в соответствии с условием:

$Z_{A} = 2,7 e^{j 33 °} О м$

$Z_{B} = 3,6 e^{j 60 °} О м$

$Z_{C} = 3 e^{- j 64 °} О м$

Фазные токи определяются из соотношений:

$I_{ф A} = \frac{U_{ф A}}{Z_{A}} = 81,5 e^{j 33 °} А$

$I_{ф B} = \frac{U_{ф A}}{Z_{A}} = 61,1 e^{- j 180 °} А$

$I_{ф C} = \frac{U_{ф C}}{Z_{A}} = 73,3 e^{j 184 °} А$

Линейные токи в данной схеме равны векторным разностям соответствующих фазных токов:

${\dot{I}}_{л A} = {\dot{I}}_{ф A} - {\dot{I}}_{ф C} = 149,5 e^{j 19 °} А$

${\dot{I}}_{л B} = {\dot{I}}_{ф B} - {\dot{I}}_{ф C} = 137 e^{- j 161 °} А$

${\dot{I}}_{л C} = {\dot{I}}_{ф C} - {\dot{I}}_{ф B} = 13 e^{- j 57 °} А$

Коэффициенты мощности определяются углами сдвига фаз токов и напряжений, т. е.

$\cos φ_{A} = 0,84$

$\cos φ_{B} = 0,5$

$\cos φ_{C} = 0,44$

Ответ: не указан.

Трехфазные электрические цепи

Содержание главы

Примеры решений задач

Задача #4511

Задача #4512

Задача #4513

Задача #4514

Задача #4515

Задача #4521

Задача #4522

Навигация по странице

Сборник задач

Смежные главы