Электрические измерения и приборы

Вольтметр класса точности 1,0 с пределом 300 В имеет наибольшую абсолютную погрешность 3 В. Так как значение абсолютной погрешности на всех поверяемых отметках менее 3 В, то прибор соответствует классу точности 1,0.

Относительные погрешности:

$$\beta =\frac{\mathrm{\Delta }U}{U}100\%$$

$${\beta }_1=\frac{\mathrm{1,8}}{30\times 2}\times 100=3 \%$$

$${\beta }_2=\frac{\mathrm{0,7}}{60\times 2}\times 100\approx \mathrm{0,6} \%$$

$${\beta }_3=\frac{\mathrm{2,5}}{100\times 2}\times 100=\mathrm{1,25} \%$$

$${\beta }_4=\frac{\mathrm{1,2}}{120\times 2}\times 100=\mathrm{0,5} \%$$

$${\beta }_5=\frac{\mathrm{0,85}}{150\times 2}\times 100=\mathrm{0,28}\approx \mathrm{0,3} \%$$

Ответ: не указан.

Определяем номинальную и действительную постоянные счетчика:

$$C_{ном}=\frac{W_{ном}}{N_{ном}}=\frac{1000\times 3600}{640}=5625\frac{Вт\times с}{об}$$

$$C=\frac{UIt}{N_1}=\frac{220\times 10\times 600}{236}=5600\frac{Вт\times с}{об}$$

Поправочный коэффициент счетчика

$$K=\frac{C}{C_{ном}}=\frac{5600}{5625}=\mathrm{0,995}$$

Относительная погрешность счетчика

$$\beta =\frac{C_{ном}-C}{C_{ном}}100\%=\frac{5625-5600}{5625}\times 100=\mathrm{0,444} \%$$

Ответ: K = 0,995; β = 0,444 %.

Наибольшая возможная относительная погрешность связана с приведенной погрешностью следующим соотношением:

$${\gamma }_{н}=\gamma \frac{A_{н}}{A_{и}}$$

Вместе с тем относительная погрешность определяется по выражению

$$\gamma =\frac{A_{и}-A_{д}}{A_{д}}100\%$$

Используя эти выражения для относительной погрешности, можно найти расчетное соотношение для действительного значения тока

$$A_{д}=A_{н}\left(1\pm \frac{{\gamma }_{пр}}{100}\times \frac{A_{н}}{A_{и}}\right)$$

Подставляя числовые значения параметров, находим

$$A_{д}=\mathrm{11,5}\pm \mathrm{0,3} А$$

Ответ: A_д = 11,5 ± 0,3 А.

Верхний предел измерения амперметра соответствует максимальному отклонению указателя прибора, так как шкала линейна, то

$$I_{н}=2I_{изм}=1 А$$

Цена деления прибора определяется из соотношения изменения измеряемого тока и перемещения указателя

$$c_x=\frac{\Delta I}{\Delta \alpha }=10\frac{мА}{дел}$$

Величина, обратная постоянной шкалы прибора, соответствует его чувствительности, т. е.

$$s_x=\frac{\Delta \alpha }{\Delta I}=\mathrm{0,1}\frac{дел}{мА}$$

Нижний предел равен минимальной величине измеряемого тока. В измерительной технике принято считать в качестве минимальной такую измеряемую величину, которая вызывает перемещение указателя на половину деления шкалы. В данном случае

$$I_{min}=\frac{c_x}{2}=5 мА$$

Эта же величина соответствует и минимальному определяемому данным прибором изменению измеряемого тока.

Ответ: I_н = 1 А; I_min = 5 мА.

Для нахождения мощности определяем измерительный ток обмотки.

В цепи постоянного тока:

- ток

$$I=\frac{U}{R}=\frac{100}{1000}=\mathrm{0,1} А$$

- мощность

$$P=UI=100\times \mathrm{0,1}=10 Вт$$

В цепи переменного тока:

- ток

$$I’=\frac{U}{\sqrt{R^2+{\left(2\pi fL\right)}^2}}=92 мА$$

- мощность

$$P’=UI\cos \phi =\frac{UIR}{\sqrt{R^2+{\left(2\pi fL\right)}^2}}=\mathrm{8,5} Вт$$

Как следует из решения, мощность, выделяемая в обмотке измерительного механизма электромагнитной системы, достаточно велика, что является недостатком этой системы.

Ответ: I = 0,1 А; P = 10 Вт; I’ = 92 мА; P’ = 8,5 Вт.

Необходимо вначале определить коэффициент шунтирования:

$$n=\frac{I}{I_{А}}=\frac{30}{200\times {10}^{-6}}=15\times {10}^4$$

Тогда

$$r_{ш}=\frac{r_{А}}{n-1}=\frac{300}{15\times {10}^4-1}=2\times {10}^{-3} Ом$$

Определяем показание амперметра, соответствующее 85 делениям, для чего цену деления 0,3 А/дел умножим на число делений 85, тогда прибор покажет

$$I=\mathrm{25,5} А$$

Относительная погрешность в этой точке

$$\beta =\frac{\mathrm{\Delta }{I}_{max}}{I}100\%=\frac{\mathrm{0,3}\times 100}{\mathrm{25,5}}=\mathrm{1,18} \%\approx \mathrm{1,2} \%$$

Ответ: β = 1,2 %.

Если пренебречь сопротивлениями измерительных приборов, то сопротивление цепи якоря равно

$$R_x=\frac{U}{I}=\frac{30}{10}=3 Ом$$

При положении 1 ключа необходимо учитывать внутреннее сопротивление амперметра, т. е.

$$R_x^{’}=\frac{U}{I}-R_A=\frac{30}{10}-\mathrm{0,1}=\mathrm{2,9} Ом$$

Следовательно, дополнительная относительная погрешность в данном случае

$$\gamma =\frac{\Delta R}{R_x}100\%=\frac{R_x-R_x^{’}}{R_x}100\%=\frac{3-\mathrm{2,9}}{3}\times 100=\mathrm{3,33} \%$$

При положении 2 ключа необходимо учитывать внутреннее сопротивление вольтметра, т. е.

$$R_A=\frac{U_V\left(R_x+R_V\right)}{R_x{R}_V}$$

или

$$R_x^{’’}=\frac{U_V}{1-\frac{U_V}{R_V}}=\frac{30}{1-\frac{30}{5000}}=\mathrm{3,0018} Ом$$

Дополнительная относительная погрешность в данном случае

$${\gamma }^{’}=\frac{\Delta R}{R_x}100\%=\frac{R_x^{’’}-R_x}{R_x^{’’}}100\%=\frac{\mathrm{3,0018}-3}{\mathrm{3,0018}}\times 100=\mathrm{0,06} \%$$

Как следует из решения, во втором случае погрешность значительно ниже.

Ответ: не указан.

Определяем цену деления каждого прибора как отношение измерения к максимальному числу делений. Для амперметра цена деления 0,02 А/дел, для вольтметра — 1 В/дел, для ваттметра — 2,5 Вт/дел. Тогда показания приборов:

$$I=\mathrm{0,02}\times 100=2 А$$

$$U=1\times 120=120 В$$

$$P=\mathrm{2,5}\times 88=220 Вт$$

Коэффициенты трансформации

$$K_I=\frac{I_{1ном}}{I_{2ном}}=\frac{100}{\mathrm{2,5}}=40$$

$$K_U=\frac{U_{1ном}}{U_{2ном}}=\frac{600}{150}=4$$

Ток, напряжение и активная мощность сети

$$I_{с}=K_{I}I=40\times 2=80 А$$

$$U_{с}=K_{U}I=4\times 120=480 В$$

$$P_{с}=K_I{K}_{U}P=40\times 4\times 220=\mathrm{35,2} кВт$$

Полную мощность, потребляемую сетью, определяем через ток и напряжение:

$$S_{с}=U_{с}{I}_{с}=480\times 80=\mathrm{38,4} кВ\times А$$

Коэффициент мощности

$$\cos \phi =\frac{P_{с}}{S_{с}}=\frac{\mathrm{35,2}}{\mathrm{38,4}}=\mathrm{0,92}$$

Полное сопротивление сети

$$Z_{с}=\frac{U_{с}}{I_{с}}=\frac{480}{80}=6 Ом$$

Наибольшее значение полного сопротивления

$$Z_{с max}=\frac{U_{с max}}{I_{с max}}=\frac{\mathrm{120,75}\times 4}{\mathrm{1,85}\times 40}=\mathrm{6,53} Ом$$

откуда абсолютная погрешность

$$\mathrm{\Delta }{Z}_{с}=Z_{с max}-Z_{с}=\mathrm{6,53}-6=\mathrm{0,53} Ом$$

Относительная погрешность измерения

$$\beta =\frac{\mathrm{\Delta }{Z}_{с}}{Z_{с}}100\%=\frac{\mathrm{0,53}}{6}\times 100=\mathrm{8,85} \%$$

Ответ: S_с = 38,4 кВ × А; cos φ = 0,92; Z_с = 6 Ом; ΔZ_с = 0,53 Ом; β = 8,85 %.

Измеряемое сопротивление

$$R_{х}=\frac{U}{I}=\frac{\mathrm{4,8}}{\mathrm{0,15}}=32 Ом$$

Наибольшая абсолютная погрешность вольтметра и амперметра соответственно с указанными пределами и классом точности 1,0

$$\mathrm{\Delta }{U}_{max}=1\%U_{пр}=\mathrm{0,01}\times \mathrm{7,5}=\mathrm{0,075}\mathrm{ }\mathrm{В}$$

$$\mathrm{\Delta }{I}_{max}=1\%I_{пр}=\mathrm{0,01}\times \mathrm{0,15}=\mathrm{0,0025}\mathrm{ }А$$

Наибольшее значение измеряемого сопротивления с учетом класса точности применяемых приборов

$$R_{х max}=\frac{U+\mathrm{\Delta }{U}_{max}}{I-\mathrm{\Delta }{I}_{max}}=\frac{\mathrm{4,8}+\mathrm{0,075}}{\mathrm{0,15}-\mathrm{0,0025}}=\mathrm{33,05} Ом$$

Тогда относительная погрешность измерения

$$\beta =\frac{R_{х max}-R_{х}}{R_{х}}100\%=\frac{\mathrm{33,05}-32}{32}\times 100=\mathrm{3,28}\mathrm{ }\mathrm{\%}$$

Ответ: R_х = 32 Ом; R_{х max} = 33,05 Ом; β = 3,28 %.

Эквивалентное сопротивление цепи относительно выводов, источника определяется из выражения

$$R_{экв}=R_1+R_4+R_A+\frac{R_2{R}_3}{R_2+R_3}$$

Чтобы выбрать внутреннее сопротивление амперметра, необходимо воспользоваться формулой

$${\delta }_I=-\frac{1}{1+\frac{R_{вх}}{R_A}}\left(1\right)$$

Входное сопротивление цепи относительно выводов амперметра

$$R_{вх}=R_1+R_4+R_{в}+\frac{R_2{R}_3}{R_2+R_3}$$

Очевидно, что наименьшее сопротивление цепи будет при выведенном резисторе R₄, т. е. для расчета необходимо выбрать

$$R_{вх}=R_1+R_{в}+\frac{R_2{R}_3}{R_2+R_3}=\mathrm{4,5} Ом$$

Воспользовавшись формулой (1), получаем

$$R_A\ll \frac{R_{вх}}{100}=\mathrm{0,045} Ом$$

Эквивалентное сопротивление цепи в двух крайних положениях резистора R₄ равно R_{э min} = 4,5 Ом и R_{э max} = 14,5 Ом. Показания амперметра соответствуют токам цепи I₁ = 3,3 А и I₂ = 1,03 А. Следовательно, верхний предел измерения амперметра должен быть не менее 5 А.

Ответ: I = 5 А.

Ток измерительной рамки амперметра, учитывая, что напряжение на шунте равно напряжению рамки, определяется по соотношению

$$I_A=\frac{U}{R_A}=\frac{100\times {10}^{-3}}{2}=\mathrm{0,05}\mathrm{ }А=50 мА$$

Для диапазона 5 А коэффициент шунтирования равен

$$k_{ш1}=\frac{5}{\mathrm{0,05}}=100$$

Сопротивление шунта

$$R_{ш}=R_1+R_2+R_3=\frac{R_A}{k_{ш1}-1}=\frac{2}{100-1}=\mathrm{0,0202}\mathrm{ }Ом$$

Для диапазона 20 А коэффициент шунтирования

$$k_{ш2}=\frac{20}{\mathrm{0,05}}=400$$

сопротивление

$$R_{ш}-R_3=R_1+R_2=\frac{3+R_3}{400-1}$$

Из этого уравнения находим

$$R_3=R_{ш}-\frac{2}{399}=\mathrm{0,0152} Ом$$

Для диапазона 30 А коэффициент шунтирования

$$k_{ш2}=\frac{30}{\mathrm{0,05}}=600$$

сопротивление

$$R_{ш}-R_3-R_2=R_1=\frac{2+R_2+R_3}{600-1}$$

Из этого уравнения находим

$$R_2=R_{ш}-R_3-\frac{2}{599}=\mathrm{0,0152} Ом$$

или

$$R_2=\mathrm{0,0016} Ом$$

Сопротивление R₁ находим из соотношения

$$R_1=R_{ш}-R_3-R_2=\mathrm{0,0034} Ом$$

Ответ: не указан.

Эквивалентное сопротивление цепи относительно выводов источника определяется из выражения

$$R_{экв1}=R_{вн}+R_1+\frac{R_2\left(R_3+R_4\right)}{R_2+R_3+R_4}$$

Чтобы выбрать внутреннее сопротивление вольтметра, необходимо воспользоваться формулой

$${\delta }_U=-\frac{1}{1+\frac{R_V}{R_{вх}}}\left(1\right)$$

Входное сопротивление цепи относительно выводов вольтметра

$$R_{вх}=\frac{R_1{R}_{экв2}}{R_1+R_{экв2}}$$

где

$$R_{экв2}=R_{вн}+\frac{R_2\left(R_3+R_4\right)}{R_2+R_3+R_4}$$

Очевидно, что наибольшее сопротивление цепи будет при полностью введенном резисторе R₄, т. е. для расчета необходимо выбрать R₄ = 10 кОм. Подставляя исходные данные в полученную формулу, находим R_вх = 0,79 кОм. Воспользовавшись формулой (1), получаем

$$R_V\ge R_{вх}\times 100\ge 79 кОм\approx 80 кОм$$

Эквивалентное сопротивление цепи в двух крайних положениях резистора R₄ равно

$$R_{экв min}=\mathrm{3,6} кОм$$

$$R_{экв max}=\mathrm{4,85} кОм$$

С учетом внутреннего сопротивления источника показание вольтметра соответствует напряжению резистора

$$U_1=U_{пит}\frac{R_1}{R_{экв1}}=\mathrm{30,6} В и \mathrm{22,7} В$$

Ответ: не указан.

Сопротивления добавочных резисторов можно определить по формуле:

$$R_1=R_V\left(\frac{U}{U_{н}}-1\right)=16 кОм$$

$$R_1+R_2=96 кОм$$

$$R_2=80 кОм$$

Ток в цепи во всех пределах измерения соответственно равен 0,75 мА, выделяемая мощность:

$$P_{V1}=I^2{R}_V=3 мВт$$

$$P_1=I^2{R}_1=15 мВт$$

$$P_2=I^2{R}_2=75 мВт$$

Ответ: не указан.

Начало шкалы соответствует закороченному сопротивлению R_x = 0, следовательно, сопротивление первой рамки должно быть

$$R_{р1}=R_{р2}+R_{огр}=150 Ом$$

Коэффициент шкалы k выбирается по верхнему ее пределу в соответствии с формулой:

$$k=\frac{{\alpha }_{max}}{\frac{R_{x max}+R_{р1}}{R_{огр}+R_{р2}}-1}={\alpha }_{max}\frac{R_{р1}}{R_{x max}}=15 мм$$

Наибольшая абсолютная погрешность, исходя из определения класса точности, равна

Ответ: ΔR = 10 Ом.

При разбалансе моста ток его диагонали определяется по формуле

$$I=U_{пит}\frac{R_4{R}_3-R_2{R}_x}{R_2{R}_3{R}_4+R_2{R}_3{R}_x}$$

Учитывая, что в данном случае R₂ и R₄ значительно больше, чем R_x, имеем

$$I=\frac{U_{пит}\Delta R_x}{R_2{R}_3}=\frac{U_{пит}}{R_2}\frac{\gamma }{100\%}=10\gamma мкА$$

Отметкам шкалы соответствуют токи ±10; ±25 и ±50 мкА. Естественно, что целесообразно выбрать микроамперметр со шкалой ±50 мкА.

Ответ: I = ±50 мкА.

Определяем номинальную и действительную постоянные счетчика:

$$C_{ном}=\frac{W_{ном}}{N_{ном}}=\frac{1000\times 3600}{640}=5625\frac{Вт\times с}{об}$$

$$C=\frac{UIt}{N_1}=\frac{220\times 10\times 600}{236}=5600\frac{Вт\times с}{об}$$

Поправочный коэффициент счетчика

$$K=\frac{C}{C_{ном}}=\frac{5600}{5625}=\mathrm{0,995}$$

Относительная погрешность счетчика

$$\beta =\frac{C_{ном}-C}{C_{ном}}100\%=\frac{5625-5600}{5625}\times 100=\mathrm{0,444} \%$$

Ответ: K = 0,995; β = 0,444 %.

Так как нагрузка симметрична, то фазные напряжения

$$U_{ф}=\frac{U_{л}}{\sqrt{3}}=\frac{380}{\sqrt{3}}=220 В$$

Фазные токи потребителя:

$$I_{фA}=\frac{U_{фA}}{Z_{ф}}=\frac{220}{\mathrm{6,32}{e}^{j\mathrm{18,4}°}}=\mathrm{34,6}{e}^{-j\mathrm{18,4}°} А$$

$$I_{фB}=\frac{U_{фB}}{Z_{ф}}=\frac{220e^{-j120°}}{\mathrm{6,32}{e}^{j\mathrm{18,4}°}}=\mathrm{34,6}{e}^{-j\mathrm{138,4}°} А$$

$$I_{фC}=\frac{U_{фC}}{Z_{ф}}=\frac{220e^{j120°}}{\mathrm{6,32}{e}^{j\mathrm{18,4}°}}=\mathrm{34,6}{e}^{j\mathrm{101,6}°} А$$

Линейные токи при соединении фаз потребителя звездой равны фазным, а линейные напряжения

$$U_{AC}=U_{фA}-U_{фC}=380e^{-j30°} В$$

$$U_{BC}=U_{фB}-U_{фC}=380e^{-j90°} В$$

Показания ваттметров для данной схемы измерения определяются из соотношений:

$$P_1=U_{л}{I}_{л}\cos \left(30°-\phi \right)$$

$$P_2=U_{л}{I}_{л}\cos \left(30°+\phi \right)$$

Сдвиг фаз φ определяется по комплексу полного сопротивления, т. е.

$$\phi =\mathrm{arctg}\frac{2}{6}=18°$$

Подставляя исходные значения параметров, получаем:

$$P_1=380\frac{220}{\sqrt{40}}\cos 12°=12900 Вт$$

$$P_2=380\frac{220}{\sqrt{40}}\cos 48°=8750 Вт$$

Активная мощность всей трехфазной нагрузки равна сумме показаний ваттметров, т. е.

$$P=P_1+P_2=\mathrm{21,65} кВт$$

Для проверки можно воспользоваться известным соотношением

$$P=\sqrt{3}{U}_{л}{I}_{л}\cos \phi =\sqrt{3}\times 380\times \mathrm{34,6}\times \mathrm{0,95}=\mathrm{21,65} кВт$$

т. е. результаты совпадают.

Ответ: не указан.

Потребляемая энергия определяется из соотношения

$$W=\frac{UIt}{1000}=\frac{94\times 217\times 24}{1000}=\mathrm{489,5} кВт\times ч$$

Погрешность определения количества энергии равна

$${\gamma }_W={\gamma }_I+{\gamma }_U+{\gamma }_t=\mathrm{1,5}+\mathrm{1,8}+\frac{3\times 100}{24\times 60}=\mathrm{3,5} \%$$

Следовательно, показания счетчика соответствуют

$$W=\mathrm{489,5}\pm \mathrm{17,1} кВт\times ч$$

Ответ: W = 489,5 ± 17,1 кВт × ч.

Равновесие мостовой схемы можно найти по соотношению

$$Z_x=\frac{Z_0{R}_2}{R_1}$$

При положении 1 ключа условие примет вид

$$R_x^2+X_C^2=\left(R^2+X_{C0}^2\right){\left(\frac{R_2}{R_1}\right)}^2$$

При положении 2 ключа можно записать:

$${\left(R+R_x\right)}^2+X_C^2=X_{C0}^2{\left(\frac{R_2}{R_1}\right)}^2$$

Подставляя известные числовые значения параметров, получаем систему уравнений:

$$R_x^2+X_C^2=360$$

$$\left(10+R_x^2\right)+X_C^2=620$$

Вычитая первое уравнение из второго, находим

$$100+20R_x=260$$

или

$$R_x=8 кОм$$

Искомая емкость равна

$$C_x=\mathrm{28,5} мФ$$

Ответ: R_x = 8 кОм; C_x = 28,5 мФ.

Равновесие мостовой схемы соответствует следующему условию:

$$Z_x{R}_1=Z_0{R}_2$$

В положении 1 ключа это условие примет вид:

$$R_L^2+{\left(\omega L\right)}^2=\left[{\left(R_0+R\right)}^2+{\left(\omega L_0\right)}^2\right]{\left(\frac{R_2}{R_1}\right)}^2$$

В положении 2 ключа можно записать:

$${\left(R_L+R\right)}^2+{\left(\omega L\right)}^2=\left[R_0+{\left(\omega L_0\right)}^2\right]{\left(\frac{R_2}{R_1}\right)}^2$$

Подставляя известные числовые значения, получаем следующую систему уравнений:

$$R_L^2+X_L^2=2450$$

$${\left(80+R_L\right)}^2+X_L^2=11000$$

Вычитая из второго уравнения первое, находим активное сопротивление катушки

$$R_L=\mathrm{13,4} Ом$$

Индуктивность можно найти из любого уравнения

$$L_x=\frac{X_L}{\omega }=\mathrm{0,15} Гн$$

Ответ: R_L = 13,4 Ом; L_x = 0,15 Гн.

Напряжение питания тесламетра равно

$$U_{пит}=42\times 5=210 В$$

Ток продольной цепи соответственно равен

$$I=\mathrm{0,42} А$$

При данном токе ЭДС Холла в соответственно равна

$$E=\mathrm{0,025}\times \mathrm{0,42}\times \frac{B_E}{\mathrm{0,0005}}=21B_E$$

Подставляя значения индукции, указанные в условии, находим

$$E=\mathrm{10,5};21;\mathrm{31,5} В$$

Так как в схеме происходит сравнение измеренного значения ЭДС с опорным напряжением, то напряжение на выходе тесламетра

$$U=E-U_{оп}=-9;\mathrm{19,5};30 В$$

Ответ: не указан.

Резонансная частота контура определяется из соотношения

$$f_{рез}=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$$

по которому можно найти емкость конденсатора

$$C=\frac{1}{4{\pi }^2{f}_{рез}^{2}L}=\frac{1}{4\times {\pi }^2\times {10}^8\times {10}^{-3}}=\mathrm{0,25} мкФ$$

Волновое сопротивление контура определяется по соотношению

$$\rho =\sqrt{\frac{L}{C}}$$

и меняется от

$$\sqrt{\frac{{10}^{-3}}{\mathrm{0,25}\times {10}^{-6}}}=\mathrm{63,2} до \sqrt{\frac{50\times {10}^{-3}}{\mathrm{0,25}\times {10}^{-6}}}=\mathrm{447,2} Ом$$

Ответ: ρ = 63,2…447,1 Ом

Начало шкалы соответствует току I = 0, т. е. равновесию моста, которое устанавливается при соотношении плеч

$$\frac{R_2}{R_3}=\frac{R_1}{R_4}=\mathrm{5,16}$$

Второе условие, т. е. I = 10 мА, выполняется при соотношении параметров

$$\mathrm{0,01}=15\frac{330-\mathrm{5,16}{R}_{Т}}{R_2\left(330+R_{Т}\right)}$$

из которого находим

$$R_2=330 Ом$$

По первому условию

$$R_3=60 Ом$$

Ответ: R₂ = 330 Ом; R₃ = 60 Ом.