Цепи с источниками постоянных эдс и токов

Сила тока в проводнике:

$$I=\frac{Q}{3600t}=\frac{2700}{3600\times \mathrm{0,5}}=\mathrm{1,5} А$$

Ответ: I = 1,5 А.

Ток нагрузки:

$$I=\frac{U}{R}=\frac{\mathrm{1,36}}{\mathrm{1,7}}=\mathrm{0,8} А$$

с другой стороны ток параллельных ЭДС

$$I=\frac{E}{\frac{r}{2}+R}$$

Откуда найдем искомое внутреннее сопротивление:

$$r=2\left(\frac{E}{I}-R\right)=2\times \left(\frac{\mathrm{1,5}}{\mathrm{0,8}}-\mathrm{1,7}\right)=\mathrm{0,35} Ом$$

Ответ: r = 0,35 Ом.

Ток нагрузки:

$$I=\frac{U}{R}=\frac{\mathrm{1,36}}{\mathrm{1,7}}=\mathrm{0,8} А$$

с другой стороны ток параллельных ЭДС

$$I=\frac{E}{\frac{r}{2}+R}$$

Откуда найдем искомое внутреннее сопротивление:

$$r=2\left(\frac{E}{I}-R\right)=2\times \left(\frac{\mathrm{1,5}}{\mathrm{0,8}}-\mathrm{1,7}\right)=\mathrm{0,35} Ом$$

Ответ: r = 0,35 Ом.

Удельное электрическое сопротивление нихрома

$$\rho =\mathrm{0,98}\frac{Ом\times м{м}^2}{м}$$

Учитывая формулу для площади круглого сечения провода, можно записать

$$R=\frac{4\rho l}{\pi d^2}$$

Длина одного витка соответствует длине окружности каркаса, число же витков при плотной намотке проволоки равно отношению длины каркаса к диаметру проволоки. Поэтому можно записать

$$l=\frac{\pi d_{к}{l}_{к}}{d}$$

С учетом ранее записанного выражения находим

$$R=\frac{4\rho l_{к}{d}_{к}}{d^3}=\frac{4\times \mathrm{0,98}\times \mathrm{0,01}\times 4}{{\mathrm{0,1}}^3}=157\mathrm{ }Ом$$

При двухрядной намотке, если пренебречь расположением первого ряда (т, е. его толщиной), длина проволоки будет в 2 раза больше, т. е.

$$R=314 Ом$$

Ответ: R = 314 Ом.

Сопротивление нити в нагретом состоянии определяется по ее номинальным параметрам

$$R_2=\frac{U^2}{P}=807 Ом$$

Зная сопротивление накаленной нити, можно определить ее перегрев

$$\mathrm{\Delta }T=\frac{R_2-R_1}{R_1{\alpha }_T}=\frac{807-62}{62\times 5\times {10}^{-3}}=2403\mathrm{ }К$$

и температуру

$$T_2=T_1+\mathrm{\Delta }T=2403+293=2696 К$$

Ответ: T₂ = 2696 К.

Эквивалентное сопротивление приведенных на рисунке цепей следующее:

$$а) R_{ц}=R_{н}+R$$

$$б) R_{ц}=\frac{R}{2}+\frac{R_{н}\frac{R}{2}}{R_{н}+\frac{R}{2}}$$

В первом случае ток нагрузки

$$I=\frac{U_{пит}}{R_{ц}}$$

Так как сопротивление переменного резистора может меняться от 0 до R, то ток меняется от

$$\frac{U_{пит}}{R_{н}} до \frac{U_{пит}}{R+R_{н}}$$

Во втором случае напряжение на нагрузке

$$U=I{R}_{н}=\frac{U_{пит}{R}_{н}}{R_{ц}}$$

При изменении сопротивления переменного резистора от R до 0 напряжение меняется от U_пит до 0.

При заданном в условии режиме работы цепи

$$R_{ц}=\frac{R}{2}+\frac{R}{3}=\frac{5}{6}R=50 Ом$$

и ток

$$I=\frac{U_{пит}}{R_{ц}}=\frac{42}{50}=\mathrm{0,84} А$$

Ответ: не указан.

Определим токи, проходящие в нагрузке, для обоих случаев:

$$I_1=\frac{P_1}{U_1}=\frac{\mathrm{2,7}\times {10}^3}{225}=12 А$$

$$I_2=\frac{P_2}{U_2}=\frac{\mathrm{1,84}\times {10}^3}{230}=8 А$$

Воспользуемся законом Ома для всей цепи и запишем два уравнения (для двух режимов работы цепи):

$$E=I_{1}R+I_{1}r=U_1+I_{1}r=225+12r$$

$$E=I_{2}R+I_{2}r=U_2+I_{2}r=230+8r$$

Решая эту систему уравнений, определяем E и r:

$$E=240 В$$

$$r=\mathrm{1,25} Ом$$

Ответ: E = 240 В; r = 1,25 Ом.

Зная мощность и ток каждой ветви, при заданном значении входного напряжения можно записать

$$P=UI=U^{2}G$$

так как ток в каждой параллельной ветви

$$I=UG$$

Тогда

$$G_1=\frac{P_1}{U}=\frac{90}{{150}^2}=4\times {10}^{-3} О{м}^{-1}$$

$$G_2=\frac{P_2}{U}=\frac{270}{{150}^2}=12\times {10}^{-3} О{м}^{-1}$$

$$G_3=\frac{P_3}{U}=\frac{\mathrm{157,5}}{{150}^2}=7\times {10}^{-3} О{м}^{-1}$$

$$G_4=\frac{P_2}{U}=\frac{360}{{150}^2}=16\times {10}^{-3} О{м}^{-1}$$

Эквивалентная проводимость нагрузки

$$G=G_1+G_2+G_3+G_4=39\times {10}^{-3} О{м}^{-1}$$

Эквивалентное сопротивление нагрузки

$$R=\frac{1}{G}=\frac{1}{39\times {10}^{-3}}=\mathrm{25,6} Ом$$

Токи в ветвях:

$$I_1=U{G}_1=150\times 4\times {10}^{-3}=\mathrm{0,6} А$$

$$I_2=U{G}_2=150\times 12\times {10}^{-3}=\mathrm{1,8} А$$

$$I_3=U{G}_3=150\times 7\times {10}^{-3}=\mathrm{1,05} А$$

$$I_4=U{G}_4=150\times 16\times {10}^{-3}=\mathrm{2,4} А$$

Ток в неразветвленной части цепи

$$I=UG=150\times 39\times {10}^{-3}=\mathrm{5,85} А$$

или

$$I=I_1+I_2+I_3+I_4=\mathrm{0,6}+\mathrm{1,8}+\mathrm{1,05}+\mathrm{2,4}=\mathrm{5,85} А$$

Ответ: нет.

По закону Джоуля – Ленца,

$$Q=\mathrm{0,24}UIt$$

откуда

$$I=\frac{Q}{\mathrm{0,24}Ut}=\frac{550\times {10}^3}{\mathrm{0,24}\times 220\times \mathrm{0,5}\times 3600}=\mathrm{5,8} А$$

Сопротивления нагревателя

$$R=\frac{U}{I}=\frac{220}{\mathrm{5,8}}=38 Ом$$

Мощность нагревателя

$$P=UI=220\times \mathrm{5,8}=1270 Вт=\mathrm{1,27} кВт$$

Энергия, потребляемая за 0,5 ч работы

$$W=Pt=\mathrm{1,27}\times \mathrm{0,5}=\mathrm{0,635} кВт\times ч$$

Ответ: R = 38 Ом; P = 1,27 кВт; W = 0,635 кВт × ч.

Эквивалентное сопротивление резисторов:

$$R_{AB}=R_1+\frac{R_2{R}_3}{R_2+R_3}=\mathrm{0,5}+\frac{5\times 9}{5+9}=\mathrm{3,71} Ом$$

Ответ: R_AB = 3,71 Ом.

Удельное сопротивление меди:

$$\rho =\mathrm{0,0175}\frac{Ом\times м{м}^2}{м}$$

Определим сопротивление проводов линии:

$$R_{пр}=\rho \frac{2l}{S}=\rho \frac{2l\times 4}{\pi d^2}=\mathrm{0,0175}\times \frac{2\times 1200\times 4}{\mathrm{3,14}\times {\mathrm{4,5}}^2}=\mathrm{2,64} Ом$$

Зная ток в линии, определим потерю напряжения в ней:

$$\mathrm{\Delta }U=R_{пр}I=\mathrm{2,64}\times 12=\mathrm{31,7} В$$

Мощность в линии:

$$\mathrm{\Delta }{P}_{л}=\mathrm{\Delta }UI=\mathrm{31,7}\times 12=380 Вт$$

Мощность, потребляемая нагрузкой,

$$P_{н}=P_{ист}-\mathrm{\Delta }{P}_{л}=2500-380=2120 Вт=\mathrm{2,12} кВт$$

Коэффициент полезного действия линии

$$\eta =\frac{P_{н}}{P_{ист}}100=\frac{\mathrm{2,12}}{\mathrm{2,5}}\times 100=85 \%$$

Ответ: P_н = 2,12 кВт; ΔU = 31,7 В; η = 85 %.

На рисунку представлена схема соединения указанных элементов. Выбранное направление токов показано стрелками.

В соответствии с первым законом Кирхгофа

$$I_2=I_1+I_{н}$$

Для двух независимых контуров составим два уравнения по второму закону Кирхгофа.

Для контура, включающего в себя два источника E₁ и E₂, выбираем направление обхода против часовой стрелки и записываем

$$E_2-E_1=I_1{r}_1+I_2{r}_2$$

Для контура с источником E₂ и сопротивлением нагрузки R_н при обходе по часовой стрелке

$$E_2=I_{н}{R}_{н}+I_2{r}_2$$

Имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными: I₁, I₂ и I_н. Подставив в них значение ЭДС и сопротивлений и решив эту систему, находим:

$$I_1=\mathrm{0,3} А$$

$$I_2=\mathrm{0,71} А$$

$$I_{н}=\mathrm{0,41} А$$

Источник E₁ работает в режиме потребителя, а E₂ – генератора, поэтому при составлении баланса мощностей необходимо помнить, что мощность ЭДС E₁ отрицательна.

Баланс мощностей – это равенство мощностей, отдаваемых генераторами, и мощностей потребителей, т. е.

$$E_2{I}_2-E_1{I}_1=I_1^2{r}_1+I_2^2{r}_2+I_{н}^2{R}_{н}$$

$$\mathrm{16,5}\times \mathrm{0,71}-\mathrm{11,5}\times \mathrm{0,3}={\mathrm{0,3}}^2\times \mathrm{2,5}+{\mathrm{0,71}}^2\times 6+{\mathrm{0,41}}^2\times 30$$

$$\mathrm{11,7} Вт\approx \mathrm{11,72} Вт$$

Падение напряжения на зажимах источников можно определить тремя способами:

$$а) U=I_{н}{R}_{н}=\mathrm{0,41}\times 30=\mathrm{12,3} В$$

$$б) U=E_2-I_2{r}_2=\mathrm{16,5}-\mathrm{0,71}\times 6=\mathrm{12,24} В$$

$$в) U=E_1+I_1{r}_1=\mathrm{11,5}-\mathrm{0,3}\times \mathrm{2,5}=\mathrm{12,25} В$$

Ответ: нет.

При разомкнутом ключе, если пренебречь внутренним сопротивлением вольтметра, его показание соответствует ЭДС источника Е = 25 В. Внутреннее сопротивление можно найти, воспользовавшись законом Ома для полной цепи, из которого следует:

$$R_{вн}=\frac{E-I{R}_{н}}{I}$$

Учитывая показание амперметра, находим

$$R_{вн}=\frac{25-10\times \mathrm{2,4}}{10}=\mathrm{0,1}\mathrm{ }Ом$$

Напряжение потребителя можно определить либо по внешней характеристике источника

$$U=E-I{R}_{вн}$$

либо по вольт-амперной характеристике потребителя

$$U=I{R}_{н}=10\times \mathrm{2,4}=24 В$$

Мощность потребителя

$$P=UI=24\times 10=240 Вт$$

Ответ: E = 25 В; R_вн = 0,1 Ом; P = 240 Вт.

Сопротивление цепи при среднем положении подвижного контакта переменного резистора:

$$R_{н}+\frac{R}{2}=\frac{U}{I}$$

Сопротивление переменного резистора:

$$R=2\left(\frac{U}{I}-R_{н}\right)=2\times \left(\frac{100}{2}-30\right)=40 Ом$$

Ток и напряжение на резисторе R_н при закороченном резисторе R:

$$I_1=\frac{U}{R_{н}}=\frac{100}{30}=\mathrm{3,33} А$$

$$U_1=U=100 В$$

При полностью введенном резисторе R

$$I_2=\frac{U}{R_{н}+R}=\frac{100}{30+40}=\mathrm{1,43} А$$

$$U_2=I_2{R}_{н}=\mathrm{1,43}\times 30=43 В$$

Ответ: не указан.

По заданному в условии режиму работы можно найти полное сопротивление переменного резистора, учитывая, что одна его половина подключена к резистору R_н параллельно, а другая — последовательно.

При среднем положении подвижного контакта резистора R имеем эквивалентное сопротивление цепи

$$R_{экв}=\mathrm{0,5}R+\frac{\mathrm{0,5}R{R}_{н}}{\mathrm{0,5}R+R_{н}}=\frac{U}{I}$$

Определяем R:

$$\mathrm{0,5}R+\frac{\mathrm{0,5}R\times 50}{\mathrm{0,5}R+50}=\frac{100}{\mathrm{2,5}}$$

$$R^2+120R-8000=0$$

$$R=-60\pm \sqrt{{60}^2+8000}=48 Ом$$

При верхнем положении подвижного контакта напряжение U_н на резисторе R_н равно 100 В и ток

$$I_{н}=\frac{100}{50}=2 А$$

При полностью введенном переменном резисторе (нижнее положение контакта) ток и напряжение резистора R_н равны нулю.

Ответ: R = 48 Ом; I_н = 2 А; R_н = 0.

В рассматриваемой цепи нет последовательного или параллельного соединения резисторов. В схеме замещения имеются соединения в виде треугольников и звезды.

В данном случае удобно преобразовать треугольник с вершинами a, b, c в эквивалентную звезду. В результате получаем схему, показанную на рис. а. По формулам преобразования получаем:

$$R_a=R_b=R_c=\frac{R_{ab}{R}_{ac}}{R_{ab}+R_{ac}+R_{bc}}=\frac{RR}{R+R+R}=\frac{R}{3}=5 Ом$$

Эквивалентное сопротивление цепи, схема которой соответствует рис. а, определяется из выражения

$$R_{экв}=R_a+\frac{\left(R_b+R\right)\left(R_{с}+R\right)}{R+R_b+R+R_c}=R=15 Ом$$

Общий ток цепи

$$I=\frac{U}{R_{экв}}=8 А$$

Напряжение между узлами o и d равно

$$U_{od}=U-I{R}_{а}=80 В$$

Следовательно, токи ветвей bd и cd равны 4 А. Возвращаясь к исходной схеме, можно найти напряжение

$$U_{cd}=4R=60 В$$

$$U_{ac}=U-U_{cd}=60 В$$

$$U_{bd}=U_{od}-U_{ob}=80 В$$

Следовательно, токи ветвей треугольника

$$I=\frac{60}{R}=4 А$$

В результате замыкания ключа схема замещения цепи имеет вид, приведенный на рис. б. Эквивалентное сопротивление цепи

$$R_{экв}=15 Ом$$

и ток

$$I=8 А$$

Токи ветвей в данном случае

$$I_{ab}=I_{ac}=I_{bd}=I_{cd}=4 А$$

Таким образом, при замыкании ключа токи цепи не меняются.

Ответ: не указан.

При последовательном соединении источников для создания тока 1,4 А необходимо n источников в соответствии формулой:

$$\mathrm{1,4}=\frac{\mathrm{1,5}n}{1+\mathrm{0,5}n}$$

Решая это уравнение, находим:

$$n=2 \left(округление в большую сторону\right)$$

При параллельном, соединении количество источников определяется в соответствии со второй формулой

$$\mathrm{1,4}=\frac{\mathrm{1,5}n}{\mathrm{0,5}+n^{’}}$$

Решая это уравнение, получаем

$$n^{’}=7$$

Ответ: n = 2; n’ = 7.

На примере данной задачи рассмотрим основные методы расчета цепей постоянного тока.

1) Метод наложения.

Для нахождения токов ветвей, создаваемых источником ЭДС E₁, проводим расчет вспомогательной схемы на рис. а. Эквивалентное сопротивление в данном случае

$$R_{экв1}=R_1+\frac{R_2{R}_3}{R_2+R_3}=\mathrm{3,875} Ом$$

Токи ветвей соответственно равны 

$$I_{11}=\frac{E_1}{R_{экв1}}=\mathrm{15,5} А$$

$$I_{12}=I_{11}\frac{R_3}{R_2+R_3}=\mathrm{9,6} А$$

$$I_{13}=I_{11}-I_{12}=\mathrm{5,9} А$$

Для нахождения токов ветвей, создаваемых источником ЭДС E₂, проводим расчет вспомогательной схемы на рис. б. Эквивалентное сопротивление

$$R_{экв2}=R_2+\frac{R_1{R}_3}{R_1+R_3}=\mathrm{4,4} Ом$$

Токи ветвей соответственно равны:

$$I_{22}=\frac{E_2}{R_{экв2}}=17 А$$

$$I_{23}=I_{22}\frac{R_1}{R_1+R_3}=\mathrm{4,9} А$$

$$I_{21}=I_{22}-I_{23}=\mathrm{12,1} А$$

Учитывая направления токов на рис. а, б, определяем искомые токи, как алгебраические суммы

$$I_1=I_{11}+I_{21}=\mathrm{27,6} А$$

$$I_2=I_{12}+I_{22}=\mathrm{26,6} А$$

$$I_3=I_{13}-I_{23}=1 А$$

2) Использование законов Кирхгофа.

Задаваясь направлениями токов, указанными на рис. в, составляем уравнения для одного узла и двух контуров цепи: 

$$\left(\begin{array}{c}{I}_2+I_3-I_1=0\\ E_1=I_1{R}_1+I_3{R}_3\\ E_2=-I_3{R}_3+I_2{R}_2\end{array}\right.’’$$

или

$$\left(\begin{array}{c}{I}_2+I_3-I_1=0\\ 2I_1+5I_3=60\\ 3I_2-5I_3=75\end{array}\right.’’$$

Исключая один из токов I₃ = I₁ – I₂, получаем систему из двух уравнений:

$$\left(\begin{array}{c}7I_1-5I_2=60\\ -5I_1+8I_2=75\end{array}\right.’’$$

Решением этой системы являются значения токов

$$I_1=\mathrm{27,6} А$$

$$I_2=\mathrm{26,6} А$$

$$I_3=1 А$$

3) Метод контурных токов.

Выделим на исходной схеме два контура (рис. г) и составим для них уравнения по второму закону Кирхгофа:

$$\left(\begin{array}{c}{E}_1=I_I{R}_1+\left(I_I-I_{II}\right)R_3\\ E_2=\left(I_{II}-I_I\right)R_3-I_{II}{R}_2\end{array}\right.’’$$

или

$$\left(\begin{array}{c}60=2I_I+5\left(I_I-I_{II}\right)\\ 75=5\left(I_{II}-I_I\right)-3I_{II}\end{array}\right.’’$$

После несложных преобразований получаем систему из двух уравнений:

$$\left(\begin{array}{c}7I_I-5I_{II}=60\\ I_I-8I_{II}=75\end{array}\right.’’$$

которая уже была решена в предыдущем случае, т. е.

$$I_I=\mathrm{27,6} А$$

$$I_{II}=\mathrm{26,6} А$$

соответствии с принятыми обозначениями токов

$$I_1=I_I=\mathrm{27,6} А$$

$$I_2=I_{II}=\mathrm{26,6} А$$

$$I_3=I_I-I_{II}=1 А$$

4) Метод узловых напряжений.

Находим напряжение между узлами 1 и 2:

$$U_{21}=\frac{\frac{60}{2}-\frac{75}{3}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}=-\mathrm{4,8} В$$

Токи ветвей соответственно равны

$$I_1=\frac{E_1-U_{21}}{R_1}=\mathrm{27,6} А$$

$$I_2=\frac{E_2+U_{21}}{R_2}=\mathrm{26,6} А$$

$$I_3=\frac{U_{21}}{R_3}=1 А$$

5) Метод эквивалентного источника.

Вначале выделим ветвь 1, заменив остальную часть цепи по отношению к ней в виде эквивалентного

$$E_x=U_{x1}$$

$$R_{вн}=R_{в1}$$

где

$$U_{x1}=E_1+U_{12}=E_1+\frac{E_2{R}_3}{R_2+R_3}=107 В$$

$$R_{в1}=\frac{R_2{R}_3}{R_2+R_3}=\mathrm{1,875} Ом$$

Следовательно, ток ветви 1 по закону Ома равен

$$I_1=\frac{U_{x1}}{R_{в1}+R_1}=\mathrm{27,6} А$$

Аналогичные соотношения можно записать и для ветви 2:

$$U_{x2}=E_2+U_{12}=-E_2+\frac{E_1{R}_3}{R_1+R_3}=\mathrm{117,8} В$$

$$R_{в2}=\frac{R_1{R}_3}{R_1+R_3}=\mathrm{1,43} Ом$$

Ток ветви 2 равен

$$I_2=\frac{U_{x2}}{R_{в2}+R_2}=\mathrm{26,6} А$$

Ток ветви 3 определяется как разность токов

$$I_3=I_1-I_2=1 А$$

Таким образом, для заданной схемы наиболее простым является метод узловых напряжений

Для контроля правильности расчета можно воспользоваться балансом мощностей

$$E_1{I}_1+E_2{I}_2=I_1^2{R}_1+I_2^2{R}_2+I_3^2{R}_3$$

Подставляя численные значения токов и сопротивлений резисторов, получаем

$$3651=3651$$

Ответ: I₁ = 27,6 А; I₂ = 26,6 А; I₃ = 1 А.

При последовательном соединении нелинейных элементов общее напряжение равно сумме напряжений элементов

$$U=U_1\left(I\right)+U_2\left(I\right)=U_{экв}\left(I\right)$$

Суммируя графически обе вольт-амперные характеристики и задаваясь значениями тока, получаем эквивалентную вольт-амперную характеристику всей цепи. При напряжении 130 В ток в цепи равен

$$I_{посл}=\mathrm{0,3} А$$

Точки пересечения линии I_посл = 0, 3 А с графиками U₁(I) и U₂(I) позволяют найти напряжения нелинейных элементов:

$$U_1=40 В$$

$$U_2=130 В$$

Мощности ламп соответственно равны:

$$P_1=U_1{I}_{посл}=40\times \mathrm{0,3}=12\mathrm{ }Вт$$

$$P_2=\left(U_1-U_2\right)I_{посл}=\left(130-40\right)\times \mathrm{0,3}=27\mathrm{ }Вт$$

При параллельном соединении задачу можно также решить графически, как показано на рисунке. При заданном напряжении общий ток цепи равен сумме каждого тока, т. е.

$$I_{пар}=I_1+I_2=\mathrm{0,57}+\mathrm{0,33}=\mathrm{0,9}\mathrm{ }А$$

Мощности ламп равны:

$$P_1^{’}=U{I}_1=130\times \mathrm{0,57}=\mathrm{74,1}\mathrm{ }Вт$$

$$P_2^{’}=U{I}_2=130\times \mathrm{0,33}=\mathrm{42,9}\mathrm{ }\mathrm{В}\mathrm{т}$$

Ответ: I_посл = 0,3 А; P₁ = 12 Вт; P₂ = 27 Вт; I_пар = 0,9 А; P’₁ = 74,1 Вт; P’₂ = 42,9 Вт.