Цепи с источниками гармонических эдс и токов

Частота электрического тока генератора

$$f=\frac{pn}{60}=\frac{6\times 2800}{60}=280 Гц$$

Период

$$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{280}=\mathrm{0,0036} с$$

и угловая частота

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f=2\times \mathrm{3,14}\times 280=1750\frac{1}{с}$$

Ответ: f = 280 Гц; T = 0,0036 с; ω = 1750 1/с.

Амплитудные значения:

$$I_m=18 А$$

$$U_m=210 В$$

Действующие значения:

$$I=\frac{I_m}{\sqrt{2}}=\frac{18}{\sqrt{2}}=\mathrm{12,9} А$$

$$U=\frac{U_m}{\sqrt{2}}=\frac{210}{\sqrt{2}}=148 В$$

Начальная фаза тока

$${\Psi }_i=-30°$$

и напряжения

$${\Psi }_u=0$$

Построим векторную диаграмму для t = 0.

Ответ: I_m = 18 А; U_m = 210 В; I = 12,9 А; U = 148 В.

Угол сдвига по фазе между двумя синусоидально изменяющимися сигналами

$$\phi ={\Psi }_u-{\Psi }_i=\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}=\frac{5}{12}\pi =75°$$

Временной сдвиг

$$\Delta t=\frac{\phi }{\omega }=\frac{\frac{5}{12}\pi }{2\times 20\pi }=\frac{5}{480}=\mathrm{0,0104} с$$

Действующие значения

$$U=\frac{U_m}{\sqrt{2}}=\frac{180}{\sqrt{2}}=128 В$$

$$I=\frac{I_m}{\sqrt{2}}=\frac{\mathrm{2,7}}{\sqrt{2}}=\mathrm{1,9} А$$

Мгновенные значения тока и напряжения для t = 0

$$u=180\sin 45°=180\times \mathrm{0,707}=127 В$$

$$i=-\mathrm{2,7}\sin 30°=-\mathrm{2,7}\times \mathrm{0,5}=-\mathrm{1,35} А$$

Построим векторную диаграмму.

Ответ: φ = 75°; Δt = 0,0104 с; U = 128 В; I = 1,9 А; u = 127 В; i = -1,35 А.

Частота наведенной в рамке ЭДС

$$f=\frac{pn}{60}=\frac{1\times 1200}{60}=20 Гц$$

Магнитный поток, пронизывающий рамку,

$$\Phi =BS\cos \alpha =BS\sin \phi =BS\sin \omega t$$

Мгновенное значение ЭДС, наведенной в рамке,

$$e=-\frac{d\Phi }{dt}=\frac{d\left(BS\sin \omega t\right)}{dt}=-\omega BS\cos \omega t=-E_m\cos \omega t$$

Тогда амплитудное значение ЭДС при cos ωt = 1, т. е. φ = 0°,

$$E_m=\omega BS=2\pi fBS=2\times \mathrm{3,14}\times 20\times \mathrm{0,6}\times 25\times {10}^{-4}=\mathrm{0,188} В$$

и соответственно

$$e=-\mathrm{0,188}\cos \mathrm{125,6}t$$

Ответ: E_m = 0,188 В.

Задачу можно решить двумя способами: графически и аналитически. Решим ее аналитически. Амплитуда тока

$$I_m=\sqrt{I_{1m}^2+I_{2m}^2+2I_{1m}{I}_{2m}\cos \left({\Psi }_1-{\Psi }_2\right)}=$$

$$=\sqrt{{\mathrm{0,5}}^2+{\mathrm{1,2}}^2+2\times \mathrm{0,5}\times \mathrm{1,2}\times \cos 30°}=\mathrm{1,65} А$$

Найдем начальную фазу искомого тока:

$$\tan \Psi =\frac{I_{1m}\sin {\Psi }_1+I_{2m}\sin {\Psi }_2}{I_{1m}\cos {\Psi }_1+I_{2m}\cos {\Psi }_2}=\frac{\mathrm{0,5}+\mathrm{1,2}\times \mathrm{0,866}}{\mathrm{1,2}\times \mathrm{0,5}}=\mathrm{2,56}$$

$$\Psi =68°{42}^{’}\approx 69°\approx \mathrm{0,38}\pi$$

Мгновенное значение тока

$$i=\mathrm{1,65}\sin \left(\omega t+\frac{38}{100}\pi \right), А$$

Ответ: I_m = 1,65 А; Ψ = 0,38π.

При f₁ = f₂

$$\omega ={\omega }_1={\omega }_2$$

Искомые зависимости:

$$i_1=I_1\sin \left(\omega t-{\mathrm{\Psi }}_1\right)=I_1\sin \left(\omega t-\frac{\pi }{4}\right)$$

$$i_2=I_2\sin \left(\omega t+{\mathrm{\Psi }}_2\right)=I_2\sin \left(\omega t+\frac{\pi }{9}\right)$$

Покажем искомые зависимости на графиках.

Сдвиг фаз:

$$\phi =\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{9}=\frac{13}{36}\pi$$

Ответ: φ= 13π/36.

Амплитудное значение, учитывая, что ЭДС наводится в двух проводниках рамки, равно

$$E_m=2wBlv$$

где угловая частота

$$\omega =\frac{\pi n}{30}=\frac{\mathrm{3,14}\times 3000}{30}=314 {с}^{-1}$$

Для нахождения линейной скорости рамки определяем радиус вращения, который в данном случае равен l/2, т. е.

$$v=\frac{\omega l}{2}=\frac{314\times \mathrm{0,4}}{2}=\mathrm{62,8}\frac{м}{с}$$

Амплитудное значение ЭДС

$$E_m=2\times 10\times 1\times \mathrm{0,4}\times \mathrm{62,8}=502\mathrm{ }\mathrm{В}$$

мгновенное значение

$$e=E_m\sin \omega t=502\sin 314t$$

Период и частоту можно найти по формулам

$$f=\frac{\omega }{2\pi }=\frac{314}{2\times \mathrm{3,14}}=50\mathrm{ }Гц$$

$$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{50}=\mathrm{0,02}\mathrm{ }с=20 мс$$

Ответ: e = 502 sin 314t; f = 50 Гц; T = 20 м/с.

В соответствии с графиками периоды колебаний равны:

$$T_1=8 мс$$

$$T_2=4 мс$$

Угловые частоты:

$${\omega }_1=\frac{2\pi }{T_1}=\frac{2\times \mathrm{3,14}}{8\times {10}^{-3}}=785 {с}^{-1}$$

$${\omega }_2=\frac{2\pi }{T_2}=\frac{2\times \mathrm{3,14}}{4\times {10}^{-3}}=1570 {с}^{-1}$$

Амплитудные значения по графику:

$$I_{m1}=10 А$$

$$I_{m2}=5 А$$

Начальные фазы определяем из соотношений (при t = 0)

$$\sin {\psi }_{i1}=\frac{i\left(0\right)}{I_{m1}}=\frac{5}{10}=\mathrm{0,5}\to {\psi }_{i1}=\frac{\pi }{6}$$

$$\sin {\psi }_{i2}=\frac{i\left(0\right)}{I_{m2}}=\frac{5}{5}=1\to {\psi }_{i2}=\frac{\pi }{2}$$

Окончательно, мгновенные значения токов имеют вид:

$$i_1=10\sin \left(785t+\frac{\pi }{6}\right)$$

$$i_2=5\sin \left(1570t+\frac{\pi }{2}\right)$$

Ответ: не указан.

Для нахождения мгновенных значений токов и напряжений запишем их в показательной форме:

$$U=\sqrt{{150}^2+{160}^2}\times e^{j\mathrm{arctg}\frac{160}{150}}=220e^{j47°} В$$

$$I=\sqrt{4^2+3^2}\times e^{j\mathrm{arctg}\frac{-3}{4}}=5e^{-j37° } А$$

Амплитудные значения напряжения и тока

$$U_m=\sqrt{2}U=\sqrt{2}\times 220=311 В$$

$$I_m=\sqrt{2}I=\sqrt{2}\times 5=\mathrm{7,1} А$$

Так как начальные фазы ψ_u = 47° и I_u = -37°, то окончательно получаем

$$i=\mathrm{7,1}\sin \left(314t-37°\right) А$$

$$u=311\sin \left(314t+47°\right) А$$

Комплекс полного сопротивления равен отношению напряжения и тока

$$Z=\frac{220e^{j47°}}{5e^{-j37° }}={44}^{j84°} Ом$$

Ответ: Z = 44^j84°.

Действующее значение приложенного переменного напряжения равно

$$U=\frac{U_m}{\sqrt{2}}=\frac{311}{\sqrt{2}}=220 В$$

Реактивные сопротивления катушки индуктивности и конденсатора соответственно равны:

$$X_L=\omega L=314\times \mathrm{0,06}=\mathrm{18,8} Ом$$

$$X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{314\times {10}^{-4}}=\mathrm{31,8} Ом$$

В соответствии со схемой замещения цепь состоит из двух параллельных ветвей

$$Z_1=R_1$$

$$Z_2=R_2+j{X}_{L2}$$

и последовательной ветви

$$Z_C=-j{X}_C$$

Эквивалентное сопротивление цепи в комплексной форме равно

$$Z=-j\mathrm{31,8}+\frac{20\left(25+j\mathrm{18,8}\right)}{20+25+j\mathrm{18,8}}=\mathrm{12,4}-j\mathrm{18,1}=31e^{j66°} Ом$$

Общий ток в цепи

$$I=\frac{U}{Z}=\mathrm{7,2}{e}^{-j66°}$$

Ответ: Z = 31e^j66°; I = 7,2e^-j66°;

Для решения воспользуемся методом контурных токов, выбрав направления токов I_I, I_II и I_III в соответствии с рисунком:

$$\left(\begin{array}{c}{I}_I\left(Z_1+Z_2+Z_3\right)-I_{II}{Z}_5+I_{III}{Z}_2=0\\ I_{II}\left(Z_3+Z_4+Z_5\right)-I_I{Z}_5+I_{III}{Z}_3=0\\ I_{III}\left(Z_2+Z_3+Z_6\right)+I_I{Z}_5+I_{II}{Z}_3=U_{пит}\end{array}\right.’’$$

Для упрощения решения подставим в эти уравнения их известные значения сопротивлений:

$$\left(\begin{array}{c}\mathrm{105,3}{e}^{j\mathrm{2,3}°}{I}_I-45e^{j30°}{I}_{II}+50e^{-j45°}{I}_{III}=0\\ \mathrm{120,5}{e}^{j29°}{I}_{II}-45e^{j30°}{I}_I+75e^{j60°}{I}_{III}=0\\ 123e^{j25°}{I}_{III}+50e^{-j45°}{I}_I+75e^{j60°}{I}_{II}=36\end{array}\right.’’$$

Решая эту систему методом исключения, получаем следующие значения контурных токов:

$$I_I=-\mathrm{0,21}{e}^{-j14°} А$$

$$I_{II}=-\mathrm{0,36}{e}^{j\mathrm{12,5}°} А$$

$$I_{III}=\mathrm{0,42}{e}^{-j8°} А$$

Токи ветвей находятся из очевидных соотношений, учитывая действительные направления контурных токов:

$$I_1=I_I=\mathrm{0,21}{e}^{-j14°} А$$

$$I_2=I_{III}-I_I=\mathrm{0,2} А$$

$$I_3=I_{III}-I_{II}=\mathrm{0,15}{e}^{-j62°} А$$

$$I_4=I_{II}=\mathrm{0,36}{e}^{j\mathrm{12,5}°} А$$

$$I_5=I_{II}-I_I=\mathrm{0,2}{e}^{j41°} А$$

$$I_6=I_{III}=\mathrm{0,42}{e}^{-j8°} А$$

Напряжения на элементах цепи соответственно равны:

$$U_1=I_1{Z}_1=\mathrm{7,3}{e}^{j16°} В$$

$$U_2=I_2{Z}_2=10e^{-j45°} В$$

$$U_3=I_3{Z}_3=\mathrm{11,2}{e}^{-j2°}В$$

$$U_4=I_4{Z}_4=\mathrm{14,4}{e}^{-j\mathrm{32,5}°} В$$

$$U_5=I_5{Z}_5=9e^{j71°} В$$

$$U_6=I_6{Z}_6=\mathrm{18,9}{e}^{j22°} В$$

Полная мощность равна произведению напряжения питания на сопряженное значение тока, т. е.

$$S=U_{пит}I=\mathrm{15,1}{e}^{j8°} В\times А=\mathrm{15,1}+j2$$

Аналогично находятся и полные мощности элементов цепей:

$$S_1=U_1{I}_1=\mathrm{1,5}{e}^{j30°} В\times А=\mathrm{1,3}+j\mathrm{0,75}$$

$$S_2=U_2{I}_2=2e^{-j45°} В\times А=\mathrm{1,4}-j\mathrm{1,4}$$

$$S_3=U_3{I}_3=\mathrm{1,78}{e}^{j60°} В\times А=\mathrm{0,8}+j\mathrm{1,5}$$

$$S_4=U_4{I}_4=\mathrm{5,1}{e}^{-j45°} В\times А=\mathrm{3,5}-j\mathrm{3,5}$$

$$S_5=U_5{I}_5=\mathrm{1,8}{e}^{j30°} В\times А=\mathrm{1,5}+j\mathrm{0,9}$$

$$S_6=U_6{I}_6=\mathrm{7,9}{e}^{j30°} В\times А=\mathrm{6,8}+j\mathrm{4,95}$$

Просуммировав все активные и реактивные мощности элементов цепи, нетрудно убедиться, что они равны 15,3 Вт и 2,1 вар, т. е. баланс мощностей соблюдается с достаточной точностью.

Ответ: не указан.

Для решения воспользуемся методом узловых напряжений. В данной схеме два узла: выбрав в качестве базисного узел 1 для напряжения, можно записать:

$$U_{12}=\frac{E_1{Y}_1+E_2{Y}_2}{Y_1+Y_2+Y_3}=\frac{36\left(\frac{e^{j60°}}{10}+\frac{e^{-j60°}}{25}\right)}{\frac{e^{j60°}}{10}+\frac{e^{-j60°}}{25}+\frac{e^{-j45°}}{50}}=$$

$$=36\frac{\mathrm{2,5}+j\mathrm{4,3}+1-j\mathrm{1,7}}{\mathrm{2,5}+j\mathrm{4,3}+1-j\mathrm{1,7}+\mathrm{0,7}-j\mathrm{0,7}}=34e^{j11°}$$

Токи ветвей находятся из очевидных соотношений:

$$I_3=U_{12}{Y}_3=\frac{34e^{j11° }}{50e^{j45° }}=\mathrm{0,68}{e}^{-j34° } А$$

$$I_1=\left(E_1-U_{12}\right)Y_1=\frac{36-33-j\mathrm{6,5}}{10e^{-j60°}}=\mathrm{0,71}{e}^{-j5°}$$

$$I_2=\left(E_2-U_{12}\right)Y_2=\frac{\mathrm{7,1}{e}^{-j65°}}{{25e}^{j60°}}=\mathrm{0,3}{e}^{-j125°} А$$

Напряжения на элементах цепи соответственно равны:

$$U_3=U_{12}=34e^{j11°} В$$

$$U_1=I_1{Z}_1=\mathrm{7,1}{e}^{j-69°} В$$

$$U_2=I_2{Z}_2=\mathrm{7,5}{e}^{j-65°} В$$

Полная мощность цепи равна произведению напряжений источников питания на сопряженные значения тока:

$$S=E_1{I}_1+E_2{I}_2=36\times \left(\mathrm{0,71}{e}^{j5°}+\mathrm{0,3}{e}^{j125}\right)=\mathrm{19,7}+j\mathrm{13,5}$$

Аналогично определяются мощности элементов цепи: 

$$S_1=U_1{I}_1=\mathrm{7,1}{e}^{-j65°}\times \mathrm{0,71}{e}^{j5°}=5e^{-j60°}=\mathrm{2,5}-j\mathrm{4,3}$$

$$S_2=U_2{I}_2=\mathrm{7,5}{e}^{-j65°}\times \mathrm{0,3}{e}^{j125°}=\mathrm{2,1}{e}^{j60°}=\mathrm{1,1}+j\mathrm{1,7}$$

$$S_3=U_3{I}_3=34e^{j11°}\times \mathrm{0,68}{e}^{j34°}=23e^{j45°}=\mathrm{16,1}+j\mathrm{16,1}$$

Просуммировав активные и реактивные мощности, убеждаемся, что они равны 19,7 + j13,5, т. е. соблюдается баланс мощностей.

Ответ: не указан.

Сопротивление конденсатора

$$X_C=\frac{1}{\omega C}=-j318 Ом$$

Напряжение на выходе моста находится как векторная разность напряжений на конденсаторе и переменном резисторе

$$U_{cd}=\frac{U}{1+j\omega C{R}_2}-\frac{U}{2}=\frac{U\left(1-j\omega C{R}_2\right)}{2\left(1+j\omega C{R}_2\right)}$$

При R₂ = 0 напряжение U_cd = U/2, при R → ∞ оно равно этому же значению. Фаза меняется в соответствии с формулой

$${\phi }_U=2\mathrm{arctg}\omega CR$$

Для решения задачи можно построить также круговые диаграммы токов и напряжений, согласно которым напряжение на выходе моста

$$U_{cd}=110 В$$

при всех значениях переменного сопротивления.

Фаза меняется от 0 до -180° при изменении R₂ от 0 до ∞. По круговой диаграмме φ = -64°; -145°; -171°.

Ответ: не указан.

Для решения необходимо воспользоваться системой уравнений:

$$U_1=I_1{Z}_1-j\omega M{I}_2$$

$$U_2=I_2{Z}_2+j\omega M{I}_1$$

или

$$U_1=I_1\left(R_1+j\omega L_1\right)-j\omega M{I}_2$$

$$U_2=I_2\left(R_2+j\omega L_2\right)+j\omega M{I}_1$$

При холостом ходе ток I₂ = 0 и напряжение вторичной обмотки равно ее ЭДС, т. е.

$$U_2=j\omega M{I}_1=j\omega M\frac{U_1}{Z_1}=84e^{j18°}$$

При подключении нагрузки можно записать исходную систему уравнений

$$220=\left(5+j\mathrm{15,7}\right)I_1-j\mathrm{6,3}{I}_2$$

$$0=\left(10-j5\right)I_2+\left(3+j\mathrm{10,4}\right)I_2+j\mathrm{6,3}I\_1c$$

Решая эту систему, получаем токи обмоток

$$I_2=\mathrm{5,8}{e}^{-j15°} А$$

$$I_1=\mathrm{12,8}{e}^{-j82°} А$$

Напряжение на вторичной обмотке и на нагрузке соответственно равно

$$U_2=I_2{Z}_{н}=65e^{-j12°} В$$

Ответ: U2 = 65e^-j12°.

При последовательном подключении элементов цепи их напряжения суммируются, т. е.

$$U_{д}+U_{н}=U_{пит}$$

Учитывая вольт-амперные характеристики диода и резистора нагрузки, можно записать исходное расчетное уравнение

$$\sqrt{\frac{I}{\mathrm{0,1}}}+5I=15$$

или

$$10I=\left(255-150I+25I^2\right)$$

В результате получаем квадратное уравнение

$$25I^2-160I+225=0$$

корнями которого являются значения тока

$$I=\mathrm{3,2}\pm \mathrm{1,1} А$$

Выбрав меньшее значение тока I = 2,1 А, находим также и напряжение на нагрузке

$$U_{н}=RI=\mathrm{10,5} В$$

Ответ: I = 2,1 А; U_н = 10,5 В.

Для построения зависимости U(I) необходимо воспользоваться кривой намагничивания. Диапазон изменения тока в соответствии с законом полного тока

$$Iw=H{l}_{ср}$$

равен от

$$I=0$$

до

$$I=\frac{4000l_{ср}}{w}=8 А$$

Индуктивность катушки определяется по формуле

$$L=\frac{w^{2}S{\mu }_{а}}{l_{ср}}$$

а индуктивное сопротивление

$$X_L=6280 Вт$$

Напряжение катушки зависит от магнитной индукции в соответствии с выражением U = 8,86 В. Задаваясь значениями напряженности от 0 до 4000 А/м, находим значение тока и по полученным формулам — значения X_L И U. График зависимостей U = f(I), X_L = f(I) приведен на рисунке.

При напряжении питания 12 В, приложенного к катушке, индукция магнитного поля В = 1,35 Тл. Напряженность поля равна Н = 1200 А/м и ток катушки I = 2,4 А. Индуктивное сопротивление в данном случае X_L = 7 Ом.

Ответ: не указан.

Действующий ток:

$$I=\frac{I_m}{\sqrt{2}}=\frac{7}{\sqrt{2}}=\mathrm{4,95} А$$

Действующее напряжение на катушке:

$$U=\frac{P}{I\cos \phi }=\frac{160}{\mathrm{4,95}\times \mathrm{0,866}}=\mathrm{37,3} В$$

Сопротивление катушки:

- полное

$$Z=\frac{U}{I}=\frac{\mathrm{37,3}}{\mathrm{4,95}}=\mathrm{7,54} Ом$$

- индуктивное

$$X_L=Z\sin \phi =\mathrm{7,54}\times \mathrm{0,5}=\mathrm{3,77} Ом$$

- активное

$$R=\sqrt{Z^2-X_L^2}=Z\cos \phi =\mathrm{7,54}\times \mathrm{0,866}=\mathrm{6,53} Ом$$

Индуктивность катушки:

$$L=\frac{X_L}{\omega }=\frac{\mathrm{3,77}}{628}=6\times {10}^{-3} Гн=6 мГн$$

Мощности:

- полная

$$S=UI=\mathrm{37,3}\times \mathrm{4,95}=185 В\times А$$

- реактивная

$$Q=\sqrt{S^2-P^2}$$

или

$$Q=UI\sin \phi =\mathrm{37,3}\times \mathrm{4,95}\times \mathrm{0,5}=\mathrm{92,3} Вт$$

Выражение для мгновенных значений напряжений:

а) на катушке

$$u=U_m\sin \left(628t\pm {\mathrm{\Psi }}_u\right)$$

$$U_m=U\sqrt{2}=\mathrm{37,3}\times \sqrt{2}=\mathrm{52,8} В$$

$${\mathrm{\Psi }}_u={\mathrm{\Psi }}_i+\phi =45°+30°=75°$$

тогда

$$u=\mathrm{52,8}\sin \left(628t+75°\right) В$$

б) на активном сопротивлении катушки

$$u_R=U_{Rm}\sin \left(628t+45°\right)$$

$$U_{Rm}=U_R\sqrt{2}=I_{m}R=7\times \mathrm{6,53}=\mathrm{45,7} В$$

тогда

$$u_R=\mathrm{45,7}\sin \left(628t+45°\right) В$$

в) на индуктивном сопротивлении катушки

$$u_L=L\frac{di}{dt}=6\times {10}^{-3}\times 628\times 7\times \cos \left(628t+45°\right)=26\sin \left(628t+135°\right) В$$

Для построения векторной диаграммы определяем действующие значения

$$U_R=IR=\mathrm{4,95}\times \mathrm{6,53}=\mathrm{32,3} В$$

$$U_L=I{X}_L=\mathrm{4,95}\times \mathrm{3,77}=\mathrm{18,7} В$$

и выбираем масштаб по напряжению и току. Затем по горизонтали откладываем положительное направление оси абсцисс и строим под углом Ψ_i = 45° к ней вектор тока I. По направлению этого вектора откладываем в масштабе вектор напряжения U_R. Вектор напряжения U_L откладываем под углом 90° в сторону опережения вектора тока I. Складывая эти векторы, получим в выбранном масштабе вектор напряжения U, приложенного к катушке.

Ответ: нет.

Действующее напряжение на резисторе:

$$U_R=\frac{U_{mR}}{\sqrt{2}}=\frac{60}{\sqrt{2}}=\mathrm{42,5} В$$

Действующее значение тока в цепи:

$$I=\frac{P}{U_R}=\frac{17}{\mathrm{42,5}}=\mathrm{0,4} А$$

Действующее значение входного напряжения:

$$U_{вх}=IZ=\mathrm{0,4}\times 320=128 В$$

Действующее значение напряжения на конденсаторе

$$U_C=\sqrt{U_{вх}^2-U_R^2}=\sqrt{{128}^2-{\mathrm{42,5}}^2}=\mathrm{116,5} В$$

следовательно, сопротивление конденсатора

$$X_C=\frac{U_C}{I}=\frac{\mathrm{116,5}}{\mathrm{0,4}}=290 Ом$$

и

$$C=\frac{1}{\omega X_C}=\frac{1}{2512\times 290}=\mathrm{1,37}\times {10}^{-6} Ф$$

Активное сопротивление резистора

$$R=\frac{U_R}{I}=\frac{\mathrm{42,5}}{\mathrm{0,4}}=106 Ом$$

или

$$R=\frac{P}{I^2}=\frac{17}{{\mathrm{0,4}}^2}=106 Ом$$

Полная потребляемая мощность:

$$S=U_{вх}I=128\times \mathrm{0,4}=51 В\times А$$

Активная составляющая тока:

$$I_{а}=I\cos \phi =I\frac{U_R}{U_{вх}}=\mathrm{0,4}\times \frac{\mathrm{42,5}}{128}=\mathrm{0,133} А$$

Реактивная составляющая тока:

$$I_{р}=I\sin \phi =I\frac{U_C}{U_{вх}}=\mathrm{0,4}\times \frac{\mathrm{116,5}}{128}=\mathrm{0,365} А$$

Мгновенное значение тока в цепи:

$$u_{вх}=U_{вх}\sqrt{2}\sin \left(2512t+80°-\phi \right)$$

$$\phi =69°{54}^{’}\approx 70°$$

$$u_{вх}=180\sin \left(2512t+10°\right) В$$

на конденсаторе

$$u_C=U_C\sqrt{2}\sin \left(2512t+80°-90°\right)=164\sin \left(2512t-10°\right) В$$

Ответ: нет.

Действующее значение тока в цепи:

$$I=\frac{I_m}{\sqrt{2}}=\frac{\mathrm{1,3}}{\sqrt{2}}=\mathrm{0,92} А$$

Сопротивление цепи:

- индуктивное

$$X_L=\omega L=1884\times \mathrm{16,5}\times {10}^{-3}=\mathrm{31,2} Ом$$

- емкостное

$$X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{1884\times \mathrm{10,6}\times {10}^{-6}}=50 Ом$$

- полное

$$Z=\sqrt{R^2+{\left(X_L-X_C\right)}^2}=\sqrt{{30}^2+{\mathrm{18,8}}^2}=\mathrm{35,4} Ом$$

Действующее значение входного напряжения

$$U=IZ=\mathrm{0,92}\times \mathrm{35,4}=\mathrm{32,6} В$$

Полная потребляемая мощность:

- входного

$$u_{вх}=U_m\sin \left(\omega t+{\mathrm{\Psi }}_u\right)$$

$${\mathrm{\Psi }}_u={\mathrm{\Psi }}_i+\phi$$

где

$${\mathrm{\Psi }}_i=-45°$$

$$\phi =\mathrm{arctn}\frac{X_L-X_C}{R}=\mathrm{arctn}\frac{-\mathrm{18,8}}{30}$$

$$\phi \approx -32°$$

$${\mathrm{\Psi }}_u=-45°-32°=-77°$$

тогда

$$u_{вх}=U\sqrt{2}\sin \left(1884t-77°\right)=46\times \sqrt{2}\times \sin \left(1884t-77°\right) В$$

- на активном сопротивлении катушки

$$u_R=I_{m}R\sin \left(\omega t-{\mathrm{\Psi }}_i\right)=39\sin \left(1884t-45°\right) В$$

- на индуктивном сопротивлении катушки

$$u_L=L\frac{di}{dt}=L\frac{d\left[\mathrm{1,3}\sin \left(1884t-45°\right)\right]}{dt}=\omega L\times \mathrm{1,3}\sin \left(1884t-45°+90°\right)$$

или

$$u_L=X_L{I}_m\sin \left(\omega t+45°\right)=\mathrm{40,5}\sin \left(1884t+45°\right) В$$

- на конденсатор

$$u_C=\frac{1}{C}\int i dt=\frac{1}{C}\int \mathrm{1,3}\sin \left(1884t-45°\right)=\mathrm{1,3}{X}_C\sin \left(1884t-45°-90°\right)$$

$$u_C=\mathrm{1,3}\times 50\sin \left(1884t-135°\right)=65\sin \left(1884t-135°\right) В$$

Для построения векторной диаграммы определяем действующие значения:

$$U_L=\frac{\mathrm{40,5}}{\sqrt{2}}=29 В$$

$$U_C=\frac{65}{\sqrt{2}}=\mathrm{45,2} В$$

$$U_R=\frac{39}{\sqrt{2}}=\mathrm{27,6} В$$

и выбираем масштаб по напряжению.

Проводим горизонтальную ось и под углом Ψ_i = -45° к ней проводим вектор тока I. По направлению этого тока в масштабе откладываем вектор U_R, затем по углами Ψ_L = 45° и Ψ_C = -135° к горизонтальной оси откладываем векторы U_L и U_C. Сложив их (U_R, U_L, U_C), получим в выбранном масштабе вектор входного напряжения U_вх.

Ответ: нет.

Сопротивления катушки:

- активное

$$R_{к}=\frac{P}{I^2}=\frac{P}{{\left(\frac{I_m}{\sqrt{2}}\right)}^2 }=\frac{\mathrm{35,7}}{{\left(\frac{\mathrm{2,7}}{\sqrt{2}}\right)}^2 }=\mathrm{9,8} Ом$$

- реактивное

$$X_L=\sqrt{Z_{к}^2-R_{к}^2}=\sqrt{{\mathrm{30,5}}^2-{\mathrm{9,8}}^2}=29 Ом$$

Индуктивность катушки:

$$L=\frac{X_L}{\omega }=\frac{29}{3454}=\mathrm{8,4}\times {10}^{-3} Гн$$

Так как

$$X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{3454\times \mathrm{4,8}\times {10}^{-6}}=-\mathrm{60,3} Ом$$

то полное сопротивление цепи

$$Z=\sqrt{R_{к}^2+{\left(X_L-X_C\right)}^2}=\sqrt{{\mathrm{9,8}}^2+{\mathrm{31,3}}^2}=\mathrm{32,8} Ом$$

Действующее значение напряжения на входе

$$U_{вх}=IZ=\frac{I_m}{\sqrt{2}}Z=\frac{\mathrm{2,7}}{\sqrt{2}}\times \mathrm{32,8}=\mathrm{62,6} В$$

Реактивная мощность цепи

$$Q=I^2\left(X_L-X_C\right)={\left(\frac{I_m}{\sqrt{2}}\right)}^2\left(X_L-X_C\right)=$$

$$={\left(\frac{\mathrm{2,7}}{\sqrt{2}}\right)}^2\times \mathrm{31,3}=-\mathrm{113,9} Вт$$

Полная мощность цепи

$$S=\sqrt{P^2+Q^2}=\sqrt{{\mathrm{35,7}}^2+{\mathrm{113,9}}^2}=\mathrm{119,5} В\times А$$

Частота при резонансе:

$$f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}=\frac{1}{2\times \mathrm{3,14}\times \sqrt{\mathrm{8,4}\times {10}^{-3}\times \mathrm{4,8}\times {10}^{-6}}}=796 Гц$$

Полное сопротивление цепи в момент резонанса

$$Z=R_{к}=\mathrm{9,8} Ом$$

Действующее значение тока в цепи при резонансе

$$I_{рез}=\frac{U_{вх}}{Z}=\frac{U_{вх}}{R_{к}}=\frac{\mathrm{62,6}}{\mathrm{9,8}}=\mathrm{6,39} А$$

Активная мощность цепи при резонансе (и равна полной мощности):

$$P=S=I_{рез}^2{R}_{к}={\mathrm{6,39}}^2\times \mathrm{9,8}=400 Вт$$

Реактивная мощность цепи:

$$Q=0$$

Мгновенное значение входного напряжения до резонанса

$$u_{вх}=U_{вх}\sqrt{2}\sin \left(\omega t+{\Psi }_u\right) В$$

$${\Psi }_u={\Psi }_i+\phi$$

где

$${\Psi }_i=40°$$

$$\phi =\mathrm{arctg}\frac{X_L-X_C}{R_{к}}$$

$$\phi =-73°$$

тогда

$${\Psi }_u=40°-73°=-33°$$

и

$$u_{вх}=\mathrm{62,6}\times \sqrt{2}\times \sin \left(3454t-33°\right) =\mathrm{88,3}\sin \left(3454t-33°\right) В$$

При резонансе φ = 0 и Ψ_u = Ψ_i, тогда

$$u_{вх}=\mathrm{88,3}\sin \left({\omega }_{0}t-{\Psi }_u\right) В$$

$${\omega }_0=2\pi f_0=2\times \mathrm{3,14}\times 796=5000 {с}^{-1}$$

$$u_{вх}=\mathrm{88,3}\sin \left(5000t-40°\right) В$$

Для построения векторных диаграмм для двух режимов работы цепи необходимо определить действующие значения напряжения U_R, U_L и U_C до резонанса и в момент резонанса:

а) до резонанса

$$U_R=I{R}_{к}=\frac{\mathrm{2,7}}{\sqrt{2}}\times \mathrm{9,8}=\mathrm{18,8} В$$

$$U_L=I{X}_L=\frac{\mathrm{2,7}}{\sqrt{2}}\times 29=\mathrm{55,5} В$$

$$U_C=I{X}_C=\frac{\mathrm{2,7}}{\sqrt{2}}\times \mathrm{60,3}=116 В$$

б) в момент резонанса

$$U_R=I_{рез}{R}_{к}=\mathrm{6,39}\times \mathrm{9,8}=\mathrm{18,8} В$$

$$X_L=2\pi f_{0}L=2\times \mathrm{3,14}\times 796\times \mathrm{8,4}\times {10}^{-3}=42 Ом$$

$$U_L=I_{рез}{X}_L=\mathrm{6,39}\times 42=278 В$$

$$U_C=U_L=\mathrm{6,39}\times 42=278 В$$

Методика построения диаграммы показана в предыдущей задаче.

Ответ: нет.

Условием резонанса токов является

$$\frac{X_L}{Z_1^2}=\frac{X_C}{Z_2^2}$$

откуда

$$C=\frac{X_L}{Z_1^2\omega }$$

где Z₁ – полное сопротивление ветви с индуктивной катушкой:

$$Z_1^2=R_{к}^2+X_L^2={400}^2+{750}^2=800000 О{м}^2$$

здесь

$$X_L=2\pi fL=2\times \mathrm{3,14}\times 1500\times \mathrm{0,08}=750 Ом$$

Z₂ – полное сопротивление ветви с конденсатором:

$$Z_2=X_C=\frac{1}{\omega C}$$

Определим емкость конденсатора для получения резонанса токов в цепи:

$$C=\frac{X_L}{Z_1^2\omega }=\frac{750}{800000\times 9450}=\mathrm{0,0995}\times {10}^{-6} Ф=\mathrm{0,1} маФ$$

Полная проводимость:

- ветви с индуктивностью

$$y_1=\sqrt{g_1^2+g_2^2}$$

$$g_1=\frac{R_{к}}{Z_1^2}=\frac{400}{8\times {10}^5}=\mathrm{0,5}\times {10}^{-3} О{м}^{-1}$$

$$b_1=b_L=\frac{X_L}{Z_1^2}=\frac{750}{8\times {10}^5}=\mathrm{0,945}\times {10}^{-3} О{м}^{-1}$$

$$y_1=\sqrt{{\left(\mathrm{0,5}\times {10}^{-3}\right)}^2+{\left(\mathrm{0,945}\times {10}^{-3}\right)}^2}=\mathrm{1,06}\times {10}^{-3} О{м}^{-1}$$

- второй ветви с конденсатором

$$y_2=b_2=b_C=-\omega L=-9450\times \mathrm{0,1}\times {10}^{-6}=-\mathrm{0,945}\times {10}^{-3} О{м}^{-1}$$

- цепи

$$y=\sqrt{{\left(g_1+g_2\right)}^2+{\left(b_1+b_2\right)}^2}=\mathrm{0,5}\times {10}^{-3} О{м}^{-1}$$