ЗакладкиКорзинаЗаказы

Оглавление раздела

  1. Основные понятия о переменном токе
  2. Цепи с активным сопротивлением
  3. Цепи с индуктивностью
  4. Цепи с активным сопротивлением и индуктивностью
  5. Цепи с емкостью

Примеры решений задач

Данные примеры задач, относятся к предмету «Электротехника (ТОЭ)».

Задача 4-4-1-1

Условие:

UI30°+

Генератор переменного тока имеет частоту вращения 2800 об/мин. Определить частоту, период и угловую частоту электрического тока, если число пар полюсов генератора равно 6.

Решение:

Частота электрического тока генератора

f=pn60=6×280060=280 Гц

Период

T=1f=1280=0,0036 с

и угловая частота

ω=2πT=2πf=2×3,14×280=17501с

Ответ: f = 280 Гц; T = 0,0036 с; ω = 1750 1/с.

Задача 4-4-1-2

Условие:

UI30°+45°

Мгновенные значения тока и напряжения потребителя

i = 18 sin (785t – 30°), А;

u = 210 sin 785t, В.

Определить амплитудные и действующие значения тока и напряжения, их начальные фазы. Построить векторную диаграмму для t = 0.

Решение:

Амплитудные значения:

Im=18 А

Um=210 В

Действующие значения:

I=Im2=182=12,9 А

U=Um2=2102=148 В

Начальная фаза тока

Ψi=-30°

и напряжения

Ψu=0

Построим векторную диаграмму для t = 0.

Ответ: Im = 18 А; Um = 210 В; I = 12,9 А; U = 148 В.

Задача 4-4-1-3

Условие:

Напряжение, приложенное к неразветвленной цепи переменного тока, u = 180 sin(ωt + π/4)В, ток i = 2,7 sin(ωt - π/6)А. Определить время и угол сдвига по фазе между ними, их действующие значения, мгновенные значения для t = 0 и построить векторную диаграмму для момента времени t = 0, если f = 20 Гц.

Решение:

Угол сдвига по фазе между двумя синусоидально изменяющимися сигналами

φ=Ψu-Ψi=π4-π6=512π=75°

Временной сдвиг

Δt=φω=512π2×20π=5480=0,0104 с

Действующие значения

U=Um2=1802=128 В

I=Im2=2,72=1,9 А

Мгновенные значения тока и напряжения для t = 0

u=180sin45°=180×0,707=127 В

i=-2,7sin30°=-2,7×0,5=-1,35 А

Построим векторную диаграмму.

Ответ: φ = 75°; Δt = 0,0104 с; U = 128 В; I = 1,9 А; u = 127 В; i = -1,35 А.

Задача 4-4-1-4

Условие:

В однородном магнитном поле с индукцией B = 0,6 Тл с частотой n = 1200 об/мин вращается прямоугольная рамка площадью S = 25 см2. Определить максимальную амплитуду наведенной в рамке ЭДС и записать закон изменения ЭДС по времени при условии, что при t = 0 рамка параллельна линиям магнитной индукции.

Решение:

Частота наведенной в рамке ЭДС

f=pn60=1×120060=20 Гц

Магнитный поток, пронизывающий рамку,

Φ=BScosα=BSsinφ=BSsinωt

Мгновенное значение ЭДС, наведенной в рамке,

e=-dΦdt=dBSsinωtdt=-ωBScosωt=-Emcosωt

Тогда амплитудное значение ЭДС при cos ωt = 1, т. е. φ = 0°,

Em=ωBS=2πfBS=2×3,14×20×0,6×25×10-4=0,188 В

и соответственно

e=-0,188cos125,6t

Ответ: Em = 0,188 В.

Задача 4-4-1-5

Условие:

В двух параллельно включенных приемниках проходят токи i1 = 0,5 sin(ωt + π/3)А, i2 = 1,2 sin(ωt – π/3)А. Определить амплитудное значение и начальную фазу тока в неразветвленной цепи и записать выражение для мгновенного значения этого тока.

Решение:

Задачу можно решить двумя способами: графически и аналитически. Решим ее аналитически. Амплитуда тока

Im=I1m2+I2m2+2I1mI2mcosΨ1-Ψ2=

=0,52+1,22+2×0,5×1,2×cos30°=1,65 А

Найдем начальную фазу искомого тока:

tanΨ=I1msinΨ1+I2msinΨ2I1mcosΨ1+I2mcosΨ2=0,5+1,2×0,8661,2×0,5=2,56

Ψ=68°4269°0,38π

Мгновенное значение тока

i=1,65sinωt+38100π, А

Ответ: Im = 1,65 А; Ψ = 0,38π.

Задача 4-4-1-6

Условие:

i,Аt,сTψ1ψ2I2I1φ

Начальные фазы токов l1 и l2 Ψ1 = -π/4, Ψ2 = π/9. Зарисовать в общем виде кривые изменения токов за период при f1 = f2 и определить фазовый сдвиг между ними.

Решение:

При f1 = f2

ω=ω1=ω2

Искомые зависимости:

i1=I1sinωt-Ψ1=I1sinωt-π4

i2=I2sinωt+Ψ2=I2sinωt+π9

Покажем искомые зависимости на графиках.

Сдвиг фаз:

φ=π4+π9=1336π

Ответ: φ= 13π/36.

Задача 4-4-2-1

Условие:

IUUR45°UL+

Фазовый сдвиг φ между напряжением на индуктивной катушке и током I = 7 sin(628t + 45°) А равен 30°, при этом активная мощность P = 160 Вт. Определить полное, активное и реактивное сопротивления катушки, ее индуктивность, полную и реактивную мощности. Записать выражение для мгновенных значений напряжения на катушке, на ее активном и индуктивном сопротивлениях. Построить векторную диаграмму для момента времени t = 0.

Решение:

Действующий ток:

I=Im2=72=4,95 А

Действующее напряжение на катушке:

U=PIcosφ=1604,95×0,866=37,3 В

Сопротивление катушки:

- полное

Z=UI=37,34,95=7,54 Ом

- индуктивное

XL=Zsinφ=7,54×0,5=3,77 Ом

- активное

R=Z2-XL2=Zcosφ=7,54×0,866=6,53 Ом

Индуктивность катушки:

L=XLω=3,77628=6×10-3 Гн=6 мГн

Мощности:

- полная

S=UI=37,3×4,95=185 В×А

- реактивная

Q=S2-P2

или

Q=UIsinφ=37,3×4,95×0,5=92,3 Вт

Выражение для мгновенных значений напряжений:

а) на катушке

u=Umsin628t±Ψu

Um=U2=37,3×2=52,8 В

Ψu=Ψi+φ=45°+30°=75°

тогда

u=52,8sin628t+75° В

б) на активном сопротивлении катушки

uR=URmsin628t+45°

URm=UR2=ImR=7×6,53=45,7 В

тогда

uR=45,7sin628t+45° В

в) на индуктивном сопротивлении катушки

uL=Ldidt=6×10-3×628×7×cos628t+45°=26sin628t+135° В

Для построения векторной диаграммы определяем действующие значения

UR=IR=4,95×6,53=32,3 В

UL=IXL=4,95×3,77=18,7 В

и выбираем масштаб по напряжению и току. Затем по горизонтали откладываем положительное направление оси абсцисс и строим под углом Ψi = 45° к ней вектор тока I. По направлению этого вектора откладываем в масштабе вектор напряжения UR. Вектор напряжения UL откладываем под углом 90° в сторону опережения вектора тока I. Складывая эти векторы, получим в выбранном масштабе вектор напряжения U, приложенного к катушке.

Ответ: нет.

Задача 4-4-2-2

Условие:

+ULURUCUC-ULI

Полное сопротивление цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора и конденсатора, Z = 320 Ом, активная мощность цепи P = 17 Вт. Определить сопротивление резистора, емкость конденсатора, полную потребляемую мощность, действующие значения тока и входного напряжения, если напряжение на резисторе uR = 60 sin(2512t + 80°) В.

Определить активную и реактивную составляющие тока. Записать выражения для мгновенных значений тока и напряжения в цепи и напряжения на конденсаторе.

Решение:

Действующее напряжение на резисторе:

UR=UmR2=602=42,5 В

Действующее значение тока в цепи:

I=PUR=1742,5=0,4 А

Действующее значение входного напряжения:

Uвх=IZ=0,4×320=128 В

Действующее значение напряжения на конденсаторе

UC=Uвх2-UR2=1282-42,52=116,5 В

следовательно, сопротивление конденсатора

XC=UCI=116,50,4=290 Ом

и

C=1ωXC=12512×290=1,37×10-6 Ф

Активное сопротивление резистора

R=URI=42,50,4=106 Ом

или

R=PI2=170,42=106 Ом

Полная потребляемая мощность:

S=UвхI=128×0,4=51 В×А

Активная составляющая тока:

Iа=Icosφ=IURUвх=0,4×42,5128=0,133 А

Реактивная составляющая тока:

Iр=Isinφ=IUCUвх=0,4×116,5128=0,365 А

Мгновенное значение тока в цепи:

uвх=Uвх2sin2512t+80°-φ

φ=69°5470°

uвх=180sin2512t+10° В

на конденсаторе

uC=UC2sin2512t+80°-90°=164sin2512t-10° В

Ответ: нет.

Задача 4-4-2-3

Условие:

По электрической цепи, состоящей из последовательно включенных катушки с. активным сопротивлениемR = 30 Ом и индуктивностью L = 16,5 мГн и конденсатора емкостью C = 10,6 мкФ, приходит ток i = 1,3 sin (1884t - 45°) А.

Определить полное сопротивление цепи, действующие значения входного напряжения и тока, полную потребляемую мощность. Записать выражения для Мгновенных значений напряжений на входе цепи, активном, индуктивном и емкостном сопротивлениях. Построить векторную диаграмму.

Решение:

Действующее значение тока в цепи:

I=Im2=1,32=0,92 А

Сопротивление цепи:

- индуктивное

XL=ωL=1884×16,5×10-3=31,2 Ом

- емкостное

XC=1ωC=11884×10,6×10-6=50 Ом

- полное

Z=R2+XL-XC2=302+18,82=35,4 Ом

Действующее значение входного напряжения

U=IZ=0,92×35,4=32,6 В

Полная потребляемая мощность:

- входного

uвх=Umsinωt+Ψu

Ψu=Ψi+φ

где

Ψi=-45°

φ=arctnXL-XCR=arctn-18,830

φ-32°

Ψu=-45°-32°=-77°

тогда

uвх=U2sin1884t-77°=46×2×sin1884t-77° В

- на активном сопротивлении катушки

uR=ImRsinωt-Ψi=39sin1884t-45° В

- на индуктивном сопротивлении катушки

uL=Ldidt=Ld1,3sin1884t-45°dt=ωL×1,3sin1884t-45°+90°

или

uL=XLImsinωt+45°=40,5sin1884t+45° В

- на конденсатор

uC=1Ci dt=1C1,3sin1884t-45°=1,3XCsin1884t-45°-90°

uC=1,3×50sin1884t-135°=65sin1884t-135° В

Для построения векторной диаграммы определяем действующие значения:

UL=40,52=29 В

UC=652=45,2 В

UR=392=27,6 В

и выбираем масштаб по напряжению.

Проводим горизонтальную ось и под углом Ψi = -45° к ней проводим вектор тока I. По направлению этого тока в масштабе откладываем вектор UR, затем по углами ΨL = 45° и ΨC = -135° к горизонтальной оси откладываем векторы UL и UC. Сложив их (UR, UL, UC), получим в выбранном масштабе вектор входного напряжения Uвх.

Ответ: нет.

Задача 4-4-2-4

Условие:

По цепи, состоящей из последовательно соединенных индуктивной катушки, полное сопротивления которой составляет 30,5 Ом, и конденсатора емкостью 4,8 мкФ, проходит ток I = 2,7 sin (3454t + 40°) А, активная мощность этой цепи P = 35,7 Вт. Определить индуктивность катушки, ее активное сопротивление, полное сопротивление цепи, действующее значение приложенного напряжения на входе, полную и реактивную мощность цепи. Определить частоту, при которой в цепи наступит резонанс напряжений, ее полное сопротивление и действующее значение тока в цепи. Определить полную, активную и реактивную мощности цепи при резонансе, записать выражения для мгновенного значения входного напряжения до резонанса и в момент резонанса. Построить векторную диаграмму для двух указанных режимов работы цепи при t = 0.

Решение:

Сопротивления катушки:

- активное

Rк=PI2=PIm22 =35,72,722 =9,8 Ом

- реактивное

XL=Zк2-Rк2=30,52-9,82=29 Ом

Индуктивность катушки:

L=XLω=293454=8,4×10-3 Гн

Так как

XC=1ωC=13454×4,8×10-6=-60,3 Ом

то полное сопротивление цепи

Z=Rк2+XL-XC2=9,82+31,32=32,8 Ом

Действующее значение напряжения на входе

Uвх=IZ=Im2Z=2,72×32,8=62,6 В

Реактивная мощность цепи

Q=I2XL-XC=Im22XL-XC=

=2,722×31,3=-113,9 Вт

Полная мощность цепи

S=P2+Q2=35,72+113,92=119,5 В×А

Частота при резонансе:

f0=12πLC=12×3,14×8,4×10-3×4,8×10-6=796 Гц

Полное сопротивление цепи в момент резонанса

Z=Rк=9,8 Ом

Действующее значение тока в цепи при резонансе

Iрез=UвхZ=UвхRк=62,69,8=6,39 А

Активная мощность цепи при резонансе (и равна полной мощности):

P=S=Iрез2Rк=6,392×9,8=400 Вт

Реактивная мощность цепи:

Q=0

Мгновенное значение входного напряжения до резонанса

uвх=Uвх2sinωt+Ψu В

Ψu=Ψi+φ

где

Ψi=40°

φ=arctgXL-XCRк

φ=-73°

тогда

Ψu=40°-73°=-33°

и

uвх=62,6×2×sin3454t-33° =88,3sin3454t-33° В

При резонансе φ = 0 и Ψu = Ψi, тогда

uвх=88,3sinω0t-Ψu В

ω0=2πf0=2×3,14×796=5000 с-1

uвх=88,3sin5000t-40° В

Для построения векторных диаграмм для двух режимов работы цепи необходимо определить действующие значения напряжения UR, UL и UC до резонанса и в момент резонанса:

а) до резонанса

UR=IRк=2,72×9,8=18,8 В

UL=IXL=2,72×29=55,5 В

UC=IXC=2,72×60,3=116 В

б) в момент резонанса

UR=IрезRк=6,39×9,8=18,8 В

XL=2πf0L=2×3,14×796×8,4×10-3=42 Ом

UL=IрезXL=6,39×42=278 В

UC=UL=6,39×42=278 В

Методика построения диаграммы показана в предыдущей задаче.

Ответ: нет.

Задача 4-4-2-5

Условие:

Iр2Iр1Iа1 = IUвх

К источнику переменного тока с частотой f = 1500 Гц и действующим значением напряжения U = 10 В подключена катушка, обладающая индуктивностью L = 0,08 Γн и активным сопротивлением R = 400 Ом. Параллельно ей включен конденсатор переменной емкости. Определить значение этой емкости для получения в цепи резонанса тока, полную проводимость цепи и параллельных ветвей, токи в них, активную и реактивную составляющие токов, полную потребляемую мощность, если действующее значение тока в неразветвленной части цепи I = 50мА. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Решение:

Условием резонанса токов является

XLZ12=XCZ22

откуда

C=XLZ12ω

где Z1 – полное сопротивление ветви с индуктивной катушкой:

Z12=Rк2+XL2=4002+7502=800000 Ом2

здесь

XL=2πfL=2×3,14×1500×0,08=750 Ом

Z2 – полное сопротивление ветви с конденсатором:

Z2=XC=1ωC

Определим емкость конденсатора для получения резонанса токов в цепи:

C=XLZ12ω=750800000×9450=0,0995×10-6 Ф=0,1 маФ

Полная проводимость:

- ветви с индуктивностью

y1=g12+g22

g1=RкZ12=4008×105=0,5×10-3 Ом-1

b1=bL=XLZ12=7508×105=0,945×10-3 Ом-1

y1=0,5×10-32+0,945×10-32=1,06×10-3 Ом-1

- второй ветви с конденсатором

y2=b2=bC=-ωL=-9450×0,1×10-6=-0,945×10-3 Ом-1

- цепи

y=g1+g22+b1+b22=0,5×10-3 Ом-1

Действующее значение напряжения на входе

Uвх=Iy=0,050,5×10-3=100 В

Ток в первой ветви

I1=Uвхy1=100×1,06×10-3=0,106 А

Ток во второй ветви

I2=Uвхy2=100×0,945×10-3=0,0945А

Активная и реактивная составляющие тока I1

Iа1=Uвхg1=100×0,5×10-3=0,05 А

Iр1=Uвхb1=100×0,945×10-3=0,0945 А

Ток I2 имеет только реактивную составляющую.

При резонансе:

Iр2=0,0945 А=Iр1

При резонансе полная потребляемая мощность цепи: S = P, т. е.

S=UI=100×0,05=5 В×А

Построение векторной диаграммы начинается с выбора масштаба токов. В горизонтальном направлении откладываем вектор входного напряжения Uвх, по направлению этого вектора откладываем Iа1, под углом π/2 в сторону опережения вектора Uвх откладываем вектор Iр2, под углом π/2 в сторону отставания — вектор Iр1. Складывая эти векторы, в масштабе получаем вектор тока I в неразветвленной части цепи. Фазовый сдвиг между током и напряжением φ = 0.

Ответ: нет.