Электромагнетизм

На проводник с током действует сила

$$F=IBl$$

Определяем F для указанных значений токов:

$$F_1=\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,04}\times 70\times {10}^{-2}=\mathrm{0,014} Н$$

$$F_2=1\times \mathrm{0,04}\times 70\times {10}^{-2}=\mathrm{0,028} Н$$

$$F_3=\mathrm{0,042} Н$$

$$F_4=\mathrm{0,056} Н$$

$$F_5=\mathrm{0,07} Н$$

Разрыв нити произойдет при

$$F_{н}=P+F$$

следовательно, электромагнитная сила разрыва

$$F=F_{н}-P=\mathrm{0,08}-\mathrm{0,018}=\mathrm{0,062} Н$$

Тогда

$$I=\frac{F}{Bl}=\frac{\mathrm{0,062}}{\mathrm{0,04}\times \mathrm{0,7}}=\mathrm{2,2} А$$

т. е. минимальный ток разрыва нити подвеса составляет 2,2 А.

Ответ: I = 2,2 А.

Искомая магнитная индукция:

$$B=\frac{F}{Il\sin \alpha }=\frac{\mathrm{3,2}}{25\times \mathrm{0,8}\times \sin 30}=\mathrm{0,32} Тл$$

Ответ: B = 0,32 Тл.

Магнитный поток будет равен нулю при расположении рамки под углами 0 и 180°, то есть параллельно плоскости рамки.

Ответ: нет.

Напряженность магнитного поля в центре кольцевого проводника:

$$H=\frac{I}{d}=\frac{12}{\mathrm{0,025}}=480\frac{А}{м}$$

Ответ: H = 480 А/м.

В связи с тем что намотка произведена на половину длины каркаса, расчет надо вести по формулам для прямолинейной катушки.

Напряженность поля катушки

$$H=\frac{Iw}{l_{к}}=\frac{2Iw}{l_{ср}}$$

где

$$l_{к}=\frac{1}{2}{l}_{ср}$$

$$l_{ср}=\pi D_{ср}$$

тут

$$D_{ср}=\frac{D+d}{2}=\frac{240+190}{2}=215 мм$$

$$l_{ср}=\mathrm{3,14}\times 215=675 мм$$

Напряженность поля можно определить из соотношения

$$B=\mu {\mu }_{0}H$$

откуда

$$H=\frac{B}{\mu {\mu }_0}=\frac{\mathrm{1,6}\times {10}^{-3}}{\mathrm{1,256}\times {10}^{-6}}=1274\frac{А}{м}$$

Тогда

$$w=\frac{H{l}_{ср}}{2I}=\frac{1274\times 675\times {10}^{-3}}{2\times \mathrm{3,6}}=120 витков$$

Определим индуктивность катушки:

$$L=\frac{w\mathrm{\Phi }}{I}=\frac{wBS}{I}=\frac{120\times \mathrm{1,6}\times {10}^{-3}\times 400\times {10}^{-6}}{\mathrm{3,6}}=\mathrm{21,4}\times {10}^{-6} Гн$$

или

$$L=\frac{{\mu }_{а}{w}^{2}S}{l_{ср}}=\frac{\mathrm{1,256}\times {10}^{-6}\times {120}^2\times 400\times {10}^{-6}}{\mathrm{0,5}\times 675\times {10}^{-3}}=\mathrm{21,4}\times {10}^{-6} Гн$$

Найдем необходимую длину провода для намотки этой катушки. Длина одного витка

$$l_{вит}=82 мм$$

Длина провода

$$l_{пр}=l_{вит}w=82\times 120=9840 мм=\mathrm{9,84} м$$

Определим сечение медного провода, примененного для намотки катушки:

$$S_{пр}=\frac{I}{J}=\frac{\mathrm{3,6}}{2}=\mathrm{1,8} м{м}^2$$

Тогда его сопротивление

$$R=\rho \frac{l}{S_{пр}}=\mathrm{0,0176}\times \frac{\mathrm{9,84}}{\mathrm{1,8}}=\mathrm{0,096} Ом$$

Ответ: w = 120; L = 21,4 × 10^-6 Гн; l = 9,84 м; R = 0,096 Ом.

Наведенная ЭДС:

$$E=Blv\sin \alpha =\mathrm{1,2}\times \mathrm{0,3}\times 25\times \sin 45=\mathrm{6,36} В$$

Ответ: E = 6,36 В.

Первоначальное значение магнитного потока:

$$\mathrm{\Phi }=\frac{E\Delta t}{w}=\frac{18\times \mathrm{0,3}}{2500}=\mathrm{2,16}\times {10}^{-3} Вб$$

Ответ: Φ = 2,16 × 10^-3 Вб.

Индуктивность контура:

$$L=\frac{{\Psi }_L}{I}=\frac{\mathrm{0,008}}{\mathrm{10,5}}=\mathrm{7,62}\times {10}^{-4} Гн$$

Ответ: L = 7,62 × 10^-4 Гн.

Определим ЭДС, наведенную в катушке:

$$e=-wS\frac{dB}{dt}=-500\times 12\times {10}^{-4}\times \frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,1}}=-\mathrm{4,8} В$$

Ток в катушке:

$$I=\frac{U}{R+R_{к}}=\frac{\mathrm{4,8}}{20+4}=\mathrm{0,2} А$$

Мощность, выделившаяся на резисторе:

$$P=I^{2}R={\mathrm{0,2}}^2\times 20=\mathrm{0,8} Вт$$

Ответ: I = 0,2 А; P = 0,8 Вт.

ЭДС, наведенная в проводнике

$$e=-M\frac{\Delta I}{\Delta t}$$

Для ее определения необходимо найти значение взаимной индуктивности:

$$M=\frac{\mathrm{\Psi }}{I}=\frac{\mu {\mu }_0{w}_1{w}_{2}S}{\pi d}=\frac{3000\times \mathrm{1,256}\times {10}^{-6}\times 100\times 1\times 1\times {10}^{-4}}{\mathrm{3,14}\times 3\times {10}^{-2}}=\mathrm{0,4}\times {10}^{-3} Гн$$

Тогда

$$e=-\mathrm{0,4}\times {10}^{-3}\times \frac{12}{\mathrm{0,03}}=\mathrm{0,16} В$$

Ответ: e = 0,16 В.

Энергия магнитного поля двух связанных катушек

$$W=\frac{L_1{I}_1^2}{2}+\frac{L_2{I}_2^2}{2}\pm M{I}_1{I}_2$$

Прежде чем определить эту энергию, найдем L₁, L₂ и M.

Найдем диаметр поперечного сечения кольца:

$$d=\sqrt{\frac{4S}{\pi }}=\sqrt{\frac{4\times 80}{\mathrm{3,14}}}=\mathrm{10,4} мм$$

Тогда средний диаметр:

$$D_{ср}=D-d=50-\mathrm{10,4}=\mathrm{39,6}$$

Найдем индуктивность катушек:

$$L_1=\mu {\mu }_0\frac{w_1^2}{\pi D_{ср}}S=4000\times \mathrm{1,256}\times {10}^{-6}\times \frac{{800}^2\times \mathrm{0,8}\times {10}^{-4}}{\mathrm{3,14}\times \mathrm{39,6}\times {10}^{-3}}=\mathrm{2,06} Гн$$

$$L_2=\mu {\mu }_0\frac{w_2^2}{\pi D_{ср}}S=4000\times \mathrm{1,256}\times {10}^{-6}\times \frac{{300}^2\times \mathrm{0,8}\times {10}^{-4}}{\mathrm{3,14}\times \mathrm{39,6}\times {10}^{-3}}=\mathrm{0,29} Гн$$

Определим взаимную индуктивность двух катушек:

$$M=\mu {\mu }_0\frac{w_1{w}_2}{\pi D_{ср}}S=4000\times \mathrm{1,256}\times {10}^{-6}\times \frac{300\times 800}{\mathrm{3,14}\times \mathrm{39,6}\times {10}^{-3}}\times \mathrm{0,8}\times {10}^{-4}=\mathrm{0,775} Гн$$

Зная L₁, L₂ и M, найдем значение энергии двух катушек:

а) при токах, проходящих в одном направлении

$$W_1=\frac{\mathrm{2,06}\times 2^2}{2}+\frac{\mathrm{0,29}\times {\mathrm{4,5}}^2}{2}+\mathrm{0,775}\times 2\times \mathrm{4,5}=\mathrm{14,07} Дж$$

б) при токах, проходящих в противоположных направлениях

$$W_2=\frac{\mathrm{2,06}\times 2^2}{2}+\frac{\mathrm{0,29}\times {\mathrm{4,5}}^2}{2}-\mathrm{0,775}\times 2\times \mathrm{4,5}=\mathrm{0,11} Дж$$

Ответ: W₁ = 14,07 Дж; W₂ = 0,11 Дж.