Второй закон термодинамики

Искомая энтропия

$$s=c_p\ln \frac{T}{273}-R\ln \frac{p}{p_{н}}$$

Так как для двухатомных газов μc_p = 29,3 кДж/(кмоль · К), a R = 8,314 кДж/(кмоль × К), то

$$s=\frac{\mathrm{29,3}}{32}\times \ln \frac{523}{273}-\frac{\mathrm{8,314}}{32}\times \ln \frac{8}{\mathrm{1,013}}=\mathrm{0,0605}\frac{кДж}{кг\times К}$$

Ответ: s = 0,0605 кДж/(кг × К).

Энтропия кислорода

$$s=a_p\ln \frac{T}{T_{н}}-R_{O2}\ln \frac{p}{p_{н}}+b\left(T-273\right)$$

Из справочной таблицы для кислорода

$$c_{pm}=\mathrm{0,9127}+\mathrm{0,00012724}t$$

Поэтому формула линейной зависимости истинной теплоемкости будет иметь вид

$$c_p=\mathrm{0,9127}+\mathrm{0,00025448}t$$

или

$$c_p=\mathrm{0,9127}+\mathrm{0,00025448}\left(T-273\right)$$

следовательно,

$$c_p=\mathrm{0,8432}+\mathrm{0,00025448}T$$

Таким образом,

$$a_p=\mathrm{0,8432}$$

$$b=\mathrm{0,00035448}$$

значение энтропии,

$$s=\mathrm{0,8432}\times \ln \frac{523}{273}-\mathrm{0,2598}\times \ln \frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,1013}}+\mathrm{0,00025448}\times 250=\mathrm{0,0749}\frac{кДж}{кг\times К}$$

Для тех же условий, но при постоянной теплоемкости значение энтропии s = 0,0605 кДж/(кг · К), т. е. меньше на

$$\frac{\mathrm{0,0749}-\mathrm{0,0605}}{\mathrm{0,0749}}\times 100=\mathrm{19,2} \%$$

Этот результат показывает, что для повышенных и высоких температур следует пользоваться зависимостью c = f (t).

Ответ: s = 0,0749 кДж/(кг × К).

Изменение энтропии

$$\Delta s=c_{\upsilon }\ln \frac{T_2}{T_1}+R_{O2}\ln \frac{{\upsilon }_2}{{\upsilon }_1}=\frac{\mathrm{20,93}}{32}\times \ln \frac{300}{400}+\mathrm{0,2598}\times \ln 5=\mathrm{0,230}\frac{кДж}{кг\times К}$$

Ответ: Δs = 0,230 кДж/(кг × К).

Находим массу 10 м³ воздуха при нормальных условиях:

$$M=\frac{p_{н}V}{R_{возд}{T}_{н}}=\frac{\mathrm{0,1013}\times {10}^6\times 10}{287\times 273}=\mathrm{12,9} кг$$

Определяем изменение энтропии в каждом из перечисленных процессов:

1) изохорное сжатие

$$\Delta S_1=S_1=M{c}_{\upsilon }\ln \frac{T}{T_{н}}=\mathrm{12,9}\times \mathrm{0,723}\times \ln \frac{673}{273}=\mathrm{8,42}\frac{кДж}{К}$$

2) изобарное сжатие

$$\Delta S_2=S_2=M{c}_p\ln \frac{T}{T_{н}}=\mathrm{12,9}\times \mathrm{1,0117}\times \ln \frac{673}{273}=\mathrm{11,7}\frac{кДж}{К}$$

3) адиабатное сжатие

$$\Delta S_3=S_3=0$$

4) политропное сжатие

$$\Delta S_4=S_4=M{c}_{\upsilon }\frac{m-k}{m-1}\ln \frac{T}{T_{н}}=\mathrm{12,9}\times \mathrm{0,723}\times \frac{\mathrm{2,2}-\mathrm{1,4}}{\mathrm{2,2}-1}\times \ln \frac{673}{273}=\mathrm{5,61}\frac{кДж}{К}$$

Ответ: ΔS₁ = 8,42 кДж/К; ΔS₂ = 11,7 кДж/К; ΔS₃ = 0; ΔS₄ = 5,62 кДж/К.

Изменение энтропии для процесса υ = const

$$\Delta s_{\upsilon }=a_{\upsilon }\ln \frac{T_2}{T_1}+b\left(T_2-T_1\right)$$

Из справочной таблицы для воздуха

$$c_{\upsilon m}=\mathrm{0,7084}+\mathrm{0,00009349}t$$

следовательно, истинная теплоемкость

$$c_{\upsilon }=\mathrm{0,7084}+\mathrm{0,00018698}t$$

или

$$c_{\upsilon }=\mathrm{0,7084}+\mathrm{0,00018698}\left(T-273\right)=\mathrm{0,6574}+\mathrm{0,00018698}T$$

Таким образом,

$$a_{\upsilon }=\mathrm{0,6574}$$

$$b=\mathrm{0,00018698}$$

Приращение энтропии в изохорном процессе AC

$$\Delta s_{\upsilon }=\mathrm{0,6574}\times \ln \frac{773}{288}+\mathrm{0,00018698}\times \left(500-15\right)=\mathrm{0,7412}\frac{кДж}{кг\times К}$$

Из рис. видно, что отрезок CB, равный Δs_p – Δs_υ, одновременно представляет приращение энтропии в изотермическом процессе расширения CB. Следовательно,

$$\Delta s_p-\Delta s_{\upsilon }=R\ln \frac{{\upsilon }_B}{{\upsilon }_C}=R\ln \frac{{\upsilon }_B}{{\upsilon }_A}$$

Для изобарного процесса AB можно написать

$$\frac{{\upsilon }_B}{{\upsilon }_A}=\frac{T_B}{T_A}=\frac{T_2}{T_1}$$

следовательно,

$$\Delta s_p-\Delta s_{\upsilon }=R\ln \frac{T_2}{T_1}=\mathrm{0,287}\times \ln \frac{773}{288}=\mathrm{0,2829}\frac{кДж}{кг\times К}$$

Таким образом,

$$\Delta s_p=\Delta s_{\upsilon }+\mathrm{0,2829}=\mathrm{0,7412}+\mathrm{0,2829}=\mathrm{1,0241}\frac{кДж}{кг\times К}$$

$$\frac{\Delta s_p}{\Delta s_{\upsilon }}=\frac{\mathrm{1,0241}}{\mathrm{0,7412}}=\mathrm{1,38}$$

Ответ: Δs_υ = 0,7412 кДж/(кг · К); Δs_p = 1,0241 кДж/(кг · К); Δs_p/Δs_υ = 1,38.

Количество теплоты, сообщаемое газу в политропном процессе составляет

$$Q=M{c}_{\upsilon }\frac{m-k}{m-1}\left(t_2-t_1\right)$$

Подставляя значения известных величин, получаем

$$\frac{m-k}{m-1}=\frac{\mathrm{89,2}}{2\times \mathrm{0,723}\times 62}=-\mathrm{0,995}$$

Отсюда показатель политропы

$$m=\mathrm{1,2}$$

Из соотношения параметров политропного процесса определяем конечное давление:

$$p_2=p_1{\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}^{\frac{m}{m-1}}=4\times {\left(\frac{236}{298}\right)}^{\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{1,2}-1}}=\mathrm{0,1} МПа$$

Изменение энтропии

$$\Delta s=M\left[c_p\ln \frac{T_2}{T_1}-R_{возд}\ln \frac{p_2}{p_1}\right]$$

следовательно,

$$\Delta s=2\times \left[\frac{\mathrm{29,3}}{\mathrm{28,96}}\times \ln \frac{236}{298}-\mathrm{0,287}\times \ln \frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,4}}\right]=\mathrm{0,323}\frac{кДж}{К}$$

Ответ: Δs = 0,323 кДж/К.

На диаграмме Ts для воздуха на пересечении изобары p₁ = 0,9 МПа и изотермы t₁ = 10 ℃ находим точку A, изображающую начальное состояние воздуха.

Из нее проводим вертикальную линию (адиабату) до пересечения ее с изобарой p₂ = 3,7 МПа. Проектируя точку B на ось ординат, находим t₂ = 142 ℃.

Точка C пересечения адиабаты AB с изотермой t₃ = 80 ℃ будет соответствовать искомому давлению. Оно равно 2,08 МПа.

Ответ: t₂ = 142 ℃; p₃ = 2,08 МПа.

Так как температура воздуха в начальном состоянии равна температуре среды, то максимальная работа, которую может выполнить воздух, может быть получена лишь при условии изотермического расширения воздуха от начального давления p₁ = 5 МПа до давления среды p₂ = 0,1 МПа. В диаграмме максимальная работа изобразится площадью 1—2—B—A, а максимальная полезная работа — площадью 1—2—0—1 (рис.). Величина ее

$$l_{\max \left(полезн\right)}=T_0\left(s_2-s_1\right)-p_0\left({\upsilon }_2-{\upsilon }_1\right)$$

или

$$L_{\max \left(полезн\right)}=M{T}_0\left(s_2-s_1\right)-p_0\left(V_2-V_1\right)$$

Определяем массу воздуха, находящегося в сосуде, и объем воздуха после изотермического расширения:

$$M=\frac{p_1{V}_1}{R_{возд}{T}_1}=\frac{5\times {10}^6\times \mathrm{0,3}}{287\times 293}=\mathrm{17,83} кг$$

$$V_2=\frac{p_1{V}_1}{p_2}=\frac{5\times \mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}=15 {м}^3$$

Так как изменение энтропии в изотермическом процессе

$$s_2-s_1=R\ln \frac{p_1}{p_2}$$

то

$$L_{\max \left(полезн\right)}=M{T}_0{R}_{возд}\ln \frac{p_1}{p_2}-p_0\left(V_2-V_1\right)=$$

$$=\mathrm{17,83}\times 293\times 287\times \ln \frac{5}{\mathrm{0,1}}-1\times {10}^5\times \left(15-\mathrm{0,3}\right)=4377000 Дж=4377 кДж$$

Ответ: L_{max(полезн)} = 4377 кДж.

Максимальная работа, которую произведет при данных условиях кислород, может быть получена лишь при условии перехода его от начального состояния к состоянию среды обратимым путем. Так как температура кислорода в начальном состоянии выше температуры среды, то прежде всего необходимо обратимым процессом снизить температуру кислорода до температуры среды. Таким процессом может явиться только адиабатное расширение кислорода (рис.). При этом конечный, объем и конечное давление получают из следующих соотношений:

$${\upsilon }_1=\frac{R_{O2}{T}_1}{p_1}=\frac{260\times 673}{\mathrm{0,1}\times {10}^6}=\mathrm{1,75}\frac{{м}^3}{кг}$$

$${\upsilon }_a={\upsilon }_1{\left(\frac{T_1}{T_{а}}\right)}^{\frac{1}{k-1}}=\mathrm{1,75}\times {\left(\frac{673}{293}\right)}^{\mathrm{2,5}}=\mathrm{14,05}\frac{{м}^3}{кг}$$

$$p_a=\frac{R_{O2}{T}_2}{{\upsilon }_2}=\frac{260\times 293}{\mathrm{14,05}\times {10}^6}=\mathrm{0,00542} МПа$$

После адиабатного расширения необходимо обратимым путем при t = const сжать кислород от давления 0,00542 МПа до давления окружающей среды, т. е. осуществить изотермическое сжатие кислорода до 0,1 МПа. При этом конечный объем кислорода

$${\upsilon }_2=\frac{R_{O2}{T}_2}{p_2}=\frac{260\times 293}{\mathrm{0,1}\times {10}^6}=\mathrm{0,762}\frac{{м}^3}{кг}$$

Максимальную полезную работу находим по формуле

$$l_{\max \left(полезн\right)}=l_{ад}-l_{из}-p_0\left({\upsilon }_2-{\upsilon }_1\right)=$$

$$=\frac{1}{k-1}{R}_{O2}{T}_1\left(1-\frac{T_a}{T_1}\right)-R_{O2}{T}_a\ln \frac{p_2}{p_a}-p_0\left({\upsilon }_2-{\upsilon }_1\right)=$$

$$=\frac{1}{\mathrm{1,4}-1}\times 260\times 673\times \left(1-\frac{293}{673}\right)-260\times 293\times \ln \frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,00542}}-\mathrm{0,1}\times {10}^6\times \left(\mathrm{1,75}-\mathrm{0,762}\right)=$$

$$=124800\frac{Дж}{кг}=\mathrm{124,8}\frac{кДж}{кг}$$

Ответ: l_{max(полезн)} = 124,8 кДж/кг.