Круговые процессы. Безмашинное преобразования энергии

Точка 1.

$$p_1=6 МПа$$

$$T_1=900 К$$

Удельный объем газа находим из характеристического уравнения

$${\upsilon }_1=\frac{R_{возд}{T}_1}{p_1}=\frac{287\times 900}{6\times {10}^6}=\mathrm{0,043}\frac{{м}^3}{кг}$$

Точка 2.

$$T_2=900 К$$

Из уравнения адиабаты (линия 2—3)

$$p_2=p_3{\left(\frac{T_2}{T_3}\right)}^{\frac{k}{k-1}}=\mathrm{0,1}\times 3^{\frac{\mathrm{1,4}}{\mathrm{1,4}-1}}=\mathrm{46,8} МПа$$

Из уравнения изотермы (линия 1—2)

$$p_1{\upsilon }_1=p_2{\upsilon }_2$$

получаем

$${\upsilon }_2=\frac{p_1{\upsilon }_1}{p_2}=\frac{6\times \mathrm{0,043}}{\mathrm{4,68}}=\mathrm{0,055}\frac{{м}^3}{кг}$$

Точка 3.

$$p_3=\mathrm{0,1} МПа$$

$$T_3=300 К$$

$${\upsilon }_3=\frac{R_{возд}{T}_3}{p_3}=\frac{287\times 300}{\mathrm{0,1}\times {10}^6}=\mathrm{0,861}\frac{{м}^3}{кг}$$

Точка 4.

$$T_4=300 К$$

Из уравнения адиабаты (линия 4—1) имеем

$$p_4=\frac{p_1}{{\left(\frac{T_1}{T_4}\right)}^{\frac{k}{k-1}}}=\frac{6}{{\left(\frac{900}{300}\right)}^{\frac{\mathrm{1,4}}{\mathrm{1,4}-1}}}=\mathrm{0,128} МПа$$

Из уравнения изотермы (линия 3—4) получаем

$$p_3{\upsilon }_3=p_4{\upsilon }_4$$

получаем

$${\upsilon }_4=\frac{p_3{\upsilon }_3}{p_4}=\frac{\mathrm{0,1}\times \mathrm{0,861}}{\mathrm{1,128}}=\mathrm{0,671}\frac{{м}^3}{кг}$$

Термический к. п. д. цикла

$${\eta }_t=\frac{T_1-T_2}{T_1}=\frac{900-300}{900}=\mathrm{0,667}$$

Подведенное количество теплоты

$$q_1=R_{возд}{T}_1\ln \frac{{\upsilon }_2}{{\upsilon }_1}=\mathrm{0,287}\times 900\times \ln \frac{\mathrm{0,055}}{\mathrm{0,043}}=\mathrm{63,6}\frac{кДж}{кг}$$

Отведенное количество теплоты

$$q_2=R_{возд}{T}_3\ln \frac{{\upsilon }_3}{{\upsilon }_4}=\mathrm{0,287}\times 300\times \ln \frac{\mathrm{0,861}}{\mathrm{0,671}}=\mathrm{21,5}\frac{кДж}{кг}$$

Работа цикла

$$l_0=q_1-q_2=\mathrm{69,6}-\mathrm{21,5}=\mathrm{42,1}\frac{кДж}{кг}$$

Проверка

$${\eta }_t=\frac{q_1-q_2}{q_1}=\frac{l_0}{q_1}=\frac{\mathrm{42,1}}{\mathrm{63,6}}=\mathrm{0,662}$$

Ответ: не указан.

Расчет ведем для 1 кг воздуха.

Точка 1.

$$p_1=\mathrm{0,1} МПа$$

$$t_1=20 ℃$$

Удельный объем определяем из уравнения состояния

$${\upsilon }_1=\frac{R_{возд}{T}_1}{p_1}=\frac{287\times 293}{\mathrm{0,1}\times {10}^6}=\mathrm{0,84}\frac{{м}^3}{кг}$$

Точка 2.

Так как степень сжатия

$$\epsilon =\frac{{\upsilon }_1}{{\upsilon }_2}=\mathrm{3,6}$$

то

$${\upsilon }_2=\frac{{\upsilon }_1}{\epsilon }=\frac{\mathrm{0,84}}{\mathrm{3,6}}=\mathrm{0,233}\frac{{м}^3}{кг}$$

Температура в конце адиабатного сжатия определится из соотношения

$$T_2=T_1{\left(\frac{{\upsilon }_1}{{\upsilon }_2}\right)}^{k-1}=293\times {\left(\frac{\mathrm{0,84}}{\mathrm{0,233}}\right)}^{\mathrm{1,4}-1}=489 К$$

$$t_2=216 ℃$$

Давление в конце адиабатного сжатия

$$p_2=\frac{R_{возд}{T}_2}{{\upsilon }_2}=\frac{287\times 489}{\mathrm{0,233}\times {10}^6}=\mathrm{0,6} МПа$$

Точка 3.

Удельный объем

$${\upsilon }_3={\upsilon }_2=\mathrm{0,233}\frac{{м}^3}{кг}$$

Из соотношения параметров в изохорном процессе (линия 2—3) получаем

$$\frac{p_3}{p_2}=\frac{T_3}{T_2}=\lambda =\mathrm{3,33}$$

Следовательно,

$$p_3=p_2\lambda =\mathrm{0,6}\times \mathrm{3,33}=2 МПа$$

$$T_3=T_2\lambda =489\times \mathrm{3,33}=1628 К$$

$$t_3=1355 ℃$$

Точка 4.

Удельный объем

$${\upsilon }_4={\upsilon }_1=\mathrm{0,84}\frac{{м}^3}{кг}$$

Температура в конце адиабатного расширения

$$T_4=T_3{\left(\frac{{\upsilon }_3}{{\upsilon }_4}\right)}^{k-1}=1628\times {\left(\frac{\mathrm{0,233}}{\mathrm{0,84}}\right)}^{\mathrm{1,4}-1}=976 К$$

$$t_4=703 ℃$$

Давление в конце адиабатного расширения определяем из соотношения параметров в изохорном процессе (линия 4—1):

$$p_4=p_1\frac{T_4}{T_1}=\mathrm{0,1}\times \frac{976}{293}=\mathrm{0,33} МПа$$

Количество подведенной теплоты

$$q_1=c_{\upsilon }\left(T_3-T_2\right)=\frac{\mathrm{20,93}}{\mathrm{28,96}}\times \left(1628-489\right)=825\frac{кДж}{кг}$$

$$q_2=c_{\upsilon }\left(T_4-T_1\right)=\frac{\mathrm{20,93}}{\mathrm{28,96}}\times \left(976-293\right)=495\frac{кДж}{кг}$$

Термический к. п. д. цикла находим по формуле

$${\eta }_t=\frac{q_1-q_2}{q_1}=\frac{825-495}{825}=\mathrm{0,4}=40 \%$$

или, по формуле

$${\eta }_t=1-\frac{1}{{\epsilon }^{k-1}}=1-\frac{1}{{\mathrm{3,6}}^{\mathrm{1,4}-1}}=\mathrm{0,4}=40 \%$$

Работа цикла

$$l_0=q_1-q_2=825-495=330\frac{кДж}{кг}$$

Ответ: не указан.

Точка 1.

$$p_1=\mathrm{0,1} МПа$$

$$T_1=300 К$$

$${\upsilon }_1=\frac{R_{возд}{T}_1}{p_1}=\frac{287\times 300}{\mathrm{0,1}\times {10}^6}=\mathrm{0,86}\frac{{м}^3}{кг}$$

Точка 2.

$$\epsilon =\frac{{\upsilon }_1}{{\upsilon }_2}=5$$

$${\upsilon }_2=\frac{{\upsilon }_1}{\epsilon }=\frac{\mathrm{0,86}}{5}=\mathrm{0,172}\frac{{м}^3}{кг}$$

$$\frac{T_2}{T_1}={\left(\frac{{\upsilon }_1}{{\upsilon }_2}\right)}^{m-1}={\epsilon }^{m-1}$$

$$T_2=T_1{\epsilon }^{m-1}=300\times 5^{\mathrm{0,3}}=510 К$$

Давление p₂ находим из выражения

$$\frac{p_2{\upsilon }_2}{p_1{\upsilon }_1}=\frac{T_2}{T_1}$$

$$p_2=\frac{p_1{\upsilon }_1{T}_2}{{\upsilon }_2{T}_1}=\frac{\mathrm{0,1}\times 5\times 510}{300}=\mathrm{0,85} МПа$$

Точка 3.

Температура в точке 3 определяется из соотношения

$$q_1=c_{\upsilon }\left(T_3-T_2\right)$$

отсюда

$$T_3=\frac{q_1}{c_{\upsilon }}+T_2$$

Принимая μc_υ = 20,98 кДж/(кмоль · К), получаем

$$c_{\upsilon }=\frac{\mu c_{\upsilon }}{{\mu }_{возд}}=\frac{\mathrm{20,93}}{\mathrm{28,96}}=\mathrm{0,723}\frac{кДж}{кг\times К}$$

следовательно,

$$T_3=\frac{1300}{\mathrm{0,723}}+510=2308 К$$

$$\frac{p_3}{p_2}=\frac{T_3}{T_2}$$

$$p_3=p_2\frac{T_3}{T_2}=\mathrm{0,85}\times \frac{2308}{510}=\mathrm{3,85} МПа$$

Точка 4.

$${\upsilon }_4={\upsilon }_1=\mathrm{0,86}\frac{{м}^3}{кг}$$

$$T_4=\frac{T_3}{{\epsilon }^{m-1}}=\frac{2308}{5^{\mathrm{0,33}}}=1350 К$$

$$p_4=p_1\frac{T_4}{T_1}=\mathrm{0,1}\times \frac{1350}{300}=\mathrm{0,45} МПа$$

Работа цикла может быть определена как разность между работой расширения и работой сжатия.

Работа расширения

$$l_1=\frac{p_3{\upsilon }_3-p_4{\upsilon }_4}{m-1}=\frac{\left(\mathrm{3,85}\times \mathrm{0,172}-\mathrm{0,45}\times \mathrm{0,86}\right)\times {10}^3}{\mathrm{1,33}-1}=833\frac{кДж}{кг}$$

Работа сжатия (абсолютное значение)

$$l_2=\frac{p_2{\upsilon }_2-p_1{\upsilon }_1}{m-1}=\frac{\left(\mathrm{0,85}\times \mathrm{0,172}-\mathrm{0,1}\times \mathrm{0,86}\right)\times {10}^3}{\mathrm{1,33}-1}=182\frac{кДж}{кг}$$

Работа цикла

$$l_0=l_1-l_2=833-182=651\frac{кДж}{кг}$$

Ответ: не указан.

Точка 1.

$$p_1=\mathrm{0,1} МПа$$

$$t_1=20 ℃$$

Определяем удельный объем:

$${\upsilon }_1=\frac{R_{возд}{T}_1}{p_1}=\frac{287\times 293}{\mathrm{0,1}\times {10}^6}=\mathrm{0,84}\frac{{м}^3}{кг}$$

Точка 2.

Так как степень сжатия

$$\epsilon =\frac{{\upsilon }_1}{{\upsilon }_2}=\mathrm{12,7}$$

то

$${\upsilon }_2=\frac{{\upsilon }_1}{\epsilon }=\frac{\mathrm{0,84}}{\mathrm{12,7}}=\mathrm{0,0661}\frac{{м}^3}{кг}$$

Температура в конце адиабатного сжатия

$$T_2=T_1{\epsilon }^{k-1}=293\times {\mathrm{12,7}}^{\mathrm{1,4}-1}=809 К$$

$$t_2=536 ℃$$

Давление в конце адиабатного сжатия

$$p_2=\frac{R_{возд}{T}_2}{{\upsilon }_2}=\frac{287\times 809}{\mathrm{0,0661}\times {10}^6}=\mathrm{3,51} МПа$$

Точка 3.

Из соотношения параметров в изобарном процессе

$$\frac{T_3}{T_2}=\frac{{\upsilon }_3}{{\upsilon }_2}=\rho =2$$

отсюда

$${\upsilon }_3={\upsilon }_2\rho =\mathrm{0,0661}\times 2=\mathrm{0,1322}\frac{{м}^3}{кг}$$

$$T_3=T_2\rho =809\times 2=1618 К$$

$$t_3=1345 ℃$$

$$p_3=p_2=\mathrm{3,51} МПа$$

Точка 4.

$${\upsilon }_4={\upsilon }_1=\mathrm{0,84}\frac{{м}^3}{кг}$$

Давление в конце адиабатного расширения

$$\frac{p_3}{p_4}={\left(\frac{{\upsilon }_4}{{\upsilon }_3}\right)}^k={\left(\frac{{\upsilon }_1}{{\upsilon }_3}\right)}^k={\left(\frac{\mathrm{0,84}}{\mathrm{0,1322}}\right)}^{\mathrm{1,4}}=\mathrm{13,3}$$

$$p_4=\frac{\mathrm{3,51}}{\mathrm{13,3}}=\mathrm{0,264} МПа$$

Температуру в конце адиабатного сжатия определяем из соотношения параметров в изохорном процессе (линия 4—1);

$$T_4=T_1\frac{p_4}{p_1}=293\times \frac{\mathrm{0,264}}{\mathrm{0,1}}=773 К$$

$$t_4=500 ℃$$

Количество подведенной теплоты

$$q_1=q_{2-3}=c_p\left(t_3-t_2\right)=\frac{\mathrm{29,3}}{\mathrm{28,96}}\times \left(1345-536\right)=818\frac{кДж}{кг}$$

Количество отведенной теплоты (абсолютное значение)

$$q_2=q_{4-1}=c_{\upsilon }\left(t_4-t_1\right)=\frac{\mathrm{20,97}}{\mathrm{28,96}}\times \left(500-20\right)=347\frac{кДж}{кг}$$

Термический к. п. д. цикла

$${\eta }_t=\frac{q_1-q_2}{q_1}=\frac{818-347}{818}=\mathrm{0,576}=\mathrm{57,6} \%$$

Работа цикла

$$l_0=q_1-q_2=818-347=471\frac{кДж}{кг}$$

Ответ: не указан.

Обозначим в данном цикле:

- степень повышения давления

$$\frac{p_2}{p_1}=\lambda$$

- степень расширения

$$\frac{{\upsilon }_3}{{\upsilon }_1}=\rho$$

Термический к. п. д. цикла

$${\eta }_t=1-\frac{q_2}{q_1}$$

где q₁ — подведенная теплота;

q₂ — отведенная теплота.

Так как для данного цикла

$$q_1=q_{1-2}+q_{2-3}$$

и

$$q_2=q_{3-4}+q_{4-1}$$

то

$$q_1=c_{\upsilon }\left(T_2-T_1\right)+c_p\left(T_3-T_2\right)$$

и

$$q_2=c_{\upsilon }\left(T_3-T_4\right)+c_p\left(T_4-T_1\right)$$

Тогда термический к. п. д. цикла

$${\eta }_t=1-\frac{c_{\upsilon }\left(T_3-T_4\right)+c_p\left(T_4-T_1\right)}{c_{\upsilon }\left(T_2-T_1\right)+c_p\left(T_3-T_2\right)}$$

Выразим температуры в характерных точках цикла через начальную T₁ и величины λ и ρ:

$$\frac{T_2}{T_1}=\frac{p_2}{p_1}=\lambda$$

$$T_2=T_1\lambda$$

$$\frac{T_3}{T_2}=\frac{{\upsilon }_3}{{\upsilon }_2}=\rho$$

$$T_3=T_1\lambda \rho$$

$$\frac{T_4}{T_3}=\frac{p_4}{p_3}$$

$$T_4=\frac{T_3}{\lambda }=T_1\rho$$

Подставляя значения T в выражение для η_t, получаем

$${\eta }_t=1-\frac{T_3-T_4+k\left(T_4-T_1\right)}{T_2-T_1+k\left(T_3-T_2\right)}=1-\frac{T_1\rho \left(\lambda -1\right)+k{T}_1\left(\rho -1\right)}{T_1\left(\lambda -1\right)+k{T}_1\left(\rho -1\right)}=$$

$$=\frac{\rho \left(\lambda -1\right)+k\left(\rho -1\right)}{\lambda -1+k\lambda \left(\rho -1\right)}=\frac{\rho \left(\lambda -1+k\right)-k}{\lambda -1+k\lambda \left(\rho -1\right)}$$

Ответ: не указан.

Обозначим отношение давления p₂/p₁ через λ. Найдем количество подведенной и отведенной теплоты:

$$q_1=c_{\upsilon }\left(T_2-T_1\right)$$

$$q_2=c_p\left(T_3-T_1\right)$$

Термический к. п. д. цикла

$${\eta }_t=1-\frac{q_2}{q_1}=1-\frac{c_p\left(T_3-T_1\right)}{c_{\upsilon }\left(T_2-T_1\right)}=1-\frac{k\left(T_3-T_1\right)}{T_2-T_1}$$

Определяем температуры T₃ и T₂:

$$\frac{T_2}{T_1}=\frac{p_2}{p_1}=\lambda$$

$$T_2=T_1\lambda$$

$$\frac{T_3}{T_2}={\left(\frac{p_3}{p_2}\right)}^{\frac{k-1}{k}}={\left(\frac{p_1}{p_2}\right)}^{\frac{k-1}{k}}={\left(\frac{1}{\lambda }\right)}^{\frac{k-1}{k}}$$

Следовательно,

$$T_3=T_2{\left(\frac{1}{\lambda }\right)}^{\frac{k-1}{k}}=T_1\lambda {\left(\frac{1}{\lambda }\right)}^{\frac{k-1}{k}}=T_1{\lambda }^{\frac{1}{k}}$$

Подставляя значения T₂ и T₃ в выражение для термического к. п. д., получим

$${\eta }_t=1-\frac{k\left(T_1{\lambda }^{\frac{1}{k}}-T_1\right)}{T_1\lambda -T_1}$$

Следовательно, к. п. д. цикла

$${\eta }_t=1-\frac{k\left({\lambda }^{\frac{1}{k}}-1\right)}{\lambda -1}$$

Ответ: не указан.

Точка 1.

$${\upsilon }_1=\frac{R_{возд}{T}_1}{p_1}=\frac{287\times 300}{100\times {10}^3}=\mathrm{0,861}\frac{{м}^3}{кг}$$

Точка 2.

Адиабатное сжатие воздуха 1—2

$$T_2=T_1{\lambda }^{\frac{k-1}{k}}=300\times {10}^{\frac{\mathrm{1,4}-1}{\mathrm{1,4}}}=579 К$$

$$t_2=579-273=306 ℃$$

$$p_2=p_1\lambda =\mathrm{0,1}\times 10=1 МПа$$

$${\upsilon }_2=\frac{R_{возд}{T}_2}{p_2}=\frac{287\times 579}{1\times {10}^6}=\mathrm{0,166}\frac{{м}^3}{кг}$$

Точка 3.

Изобарное сжатие воздуха 2—3

$$T_3=700+273=973 К$$

$$p_3=p_2=1 МПа$$

$${\upsilon }_3={\upsilon }_2\frac{T_3}{T_2}=\mathrm{0,166}\times \frac{973}{579}=\mathrm{0,279}\frac{{м}^3}{кг}$$

Точка 4.

$$\frac{T_2}{T_1}=\frac{T_3}{T_4}$$

$$T_4=\frac{T_3{T}_1}{T_2}=\frac{973\times 300}{579}=504 К$$

$$t_4=504-273=229 ℃$$

Изобарное расширение 3—4

$$p_4=p_1=\mathrm{0,1} МПа$$

$${\upsilon }_4={\upsilon }_1\frac{T_4}{T_1}=\mathrm{0,861}\times \frac{504}{300}=\mathrm{1,45}\frac{{м}^3}{кг}$$

Количество теплоты:

- подведенной

$$q_1=q_{2-3}=c_p\left(T_3-T_2\right)=\frac{\mathrm{29,31}}{\mathrm{28,96}}\times \left(973-579\right)=399\frac{кДж}{кг}$$

- отведенной

$$q_2=q_{4-1}=c_p\left(T_4-T_1\right)=\frac{\mathrm{29,31}}{\mathrm{28,96}}\times \left(500-300\right)=202\frac{кДж}{кг}$$

Работа цикла

$$l_0=q_1-q_2=399-202=197\frac{кДж}{кг}$$

Термический к. п. д. цикла

$${\eta }_t=1-\frac{q_2}{q_1}=1-\frac{202}{399}=\mathrm{0,494}$$

Ответ: не указан.

1) Изотермическое сжатие. Работу компрессора определяем по уравнению:

$$L_0=p_1{V}_1\ln \frac{p_2}{p_1}=\mathrm{0,1}\times 100\times \ln \frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,1}}=\mathrm{20,8}\frac{МДж}{ч}$$

Теоретическая мощность двигателя по формуле

$$N=\frac{L_0}{1000\times 3600}=\frac{\mathrm{20,8}\times {10}^6}{1000\times 3600}=\mathrm{5,8} кВт$$

Теплоту, отводимую с охлаждающей водой, находит из равенства

$$Q=L_0=\mathrm{20,8}\frac{МДж}{ч}$$

Следовательно, расход охлаждающей воды

$$M=\frac{Q}{\Delta t{c}_m}=\frac{\mathrm{20,8}\times {10}^6}{13\times \mathrm{4,19}}=382\frac{кг}{ч}$$

2) Адиабатное сжатие. Работу компрессора

$$L_0=\frac{k}{k-1}{p}_1{V}_1\left[{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{k-1}{k}}-1\right]=$$

$$=\frac{\mathrm{1,4}}{\mathrm{1,4}-1}\times \mathrm{0,1}\times 100\times \left[{\left(\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,1}}\right)}^{\frac{\mathrm{1,4}-1}{\mathrm{1,4}}}-1\right]=\mathrm{28,4}\frac{МДж}{ч}$$

Мощность двигателя

$$N=\frac{L_0}{1000\times 3600}=\frac{\mathrm{28,4}\times {10}^6}{1000\times 3600}=\mathrm{7,9} кВт$$

3) Политропное сжатие. Работу компрессора

$$L_0=\frac{m}{m-1}{p}_1{V}_1\left[{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{m-1}{m}}-1\right]=$$

$$=\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{1,2}-1}\times \mathrm{0,1}\times 100\times \left[{\left(\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,1}}\right)}^{\frac{\mathrm{1,2}-1}{\mathrm{1,2}}}-1\right]=\mathrm{24,8}\frac{МДж}{ч}$$

Мощность двигателя определяется по формуле:

$$N=\frac{L_0}{1000\times 3600}=\frac{\mathrm{24,8}\times {10}^6}{1000\times 3600}=\mathrm{6,9} кВт$$

Количество теплоты, отводимой от воздуха, находим из уравнения:

$$Q=M{c}_{\upsilon }\frac{m-k}{m-1}\left(t_2-t_1\right)=-116\times \mathrm{0,723}\times 124=-10400\frac{кДж}{ч}$$

причем

$$T_2=\left(t_1+273\right){\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{m-1}{m}}=\left(27+273\right)\times {\left(\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,1}}\right)}^{\frac{\mathrm{1,2}-1}{\mathrm{1,2}}}=424 К=151 ℃$$

$$M=\frac{p_1{V}_1}{R_{возд}{T}_1}=\frac{\mathrm{0,1}\times {10}^6\times 100}{287\times 300}=116\frac{кг}{ч}$$

Расход охлаждающей воды

$$M_{вод}=\frac{Q}{\Delta t{c}_m}=\frac{10400}{13\times \mathrm{4,19}}=190\frac{кг}{ч}$$

Ответ: не указан.

Работа компрессора определяется площадью индикаторной диаграммы 1—2—3—4. Эта площадь может быть определена как разность площадей 1—2—6—5 и 4—3—6—5, т. е. как разность работ двух идеальных компрессоров. Следовательно,

$$L_0=L_{1-2-6-5}-L_{4-3-6-5}=\frac{m}{m-1}{p}_1{V}_1\left[{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{m-1}{m}}-1\right]-\frac{m}{m-1}{p}_4{V}_4\left[{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{m-1}{m}}-1\right]=$$

$$=\frac{m}{m-1}{p}_1\left(V_1-V_4\right)\left[{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{m-1}{m}}-1\right]$$

Для 1 м³ всасываемого воздуха V₁ – V₂ = 1 и, следовательно,

$$l_0^{’}=\frac{m}{m-1}{p}_1\left[{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{m-1}{m}}-1\right]$$

Полученное выражение определяет работу компрессора при отсутствии вредного пространства. Объясняется это тем, что сжатый воздух, остающийся во вредном пространстве, расширяется до начального давления, компенсируя ту работу, которая была затрачена на его сжатие.

Итак, теоретическая работа компрессора.

$$l_0^{’}=\frac{\mathrm{1,3}}{\mathrm{1,3}-1}\times \mathrm{0,1}\times {10}^3\times \left[{\left(\frac{\mathrm{0,7}}{\mathrm{0,1}}\right)}^{\frac{\mathrm{1,3}-1}{\mathrm{1,3}}}-1\right]=246\frac{кДж}{{м}^3}$$

Потребная мощность двигателя

$$N=\frac{V_{н}{l}_0^{’}}{3600{\eta }_{к}}=\frac{400\times 246\times {10}^3}{3600\times \mathrm{0,7}}=39 кВт$$

Объемный к. п. д. компрессора

$${\lambda }_{\upsilon }=\frac{{\upsilon }_1-{\upsilon }_4}{{\upsilon }_h}$$

Определяем значения величин, входящих в это выражение:

$${\upsilon }_1=\frac{R_{возд}{T}_1}{p_1}=\frac{287\times 293}{\mathrm{0,1}\times {10}^6}=\mathrm{0,89}\frac{{м}^3}{кг}$$

$${\upsilon }_h=\mathrm{0,84}-\mathrm{0,05}{\upsilon }_h$$

Следовательно,

$${\upsilon }_h=\frac{\mathrm{0,84}}{\mathrm{1,05}}=\mathrm{0,8}\frac{{м}^3}{кг}$$

$${\upsilon }_c=\mathrm{0,84}-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,04}\frac{{м}^3}{кг}$$

$${\upsilon }_4={\upsilon }_3{\left(\frac{p_3}{p_4}\right)}^{\frac{1}{m}}={\upsilon }_c{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{1}{m}}=\mathrm{0,04}\times 7^{\frac{1}{\mathrm{1,3}}}=\mathrm{0,04}\times \mathrm{4,467}=\mathrm{0,179}\frac{{м}^3}{кг}$$

Тогда объемный к. п, д. компрессора

$${\lambda }_{\upsilon }=\frac{\mathrm{0,84}-\mathrm{0,179}}{\mathrm{0,8}}=\mathrm{0,826}$$

Объемный к. п. д. компрессора можно также вычислить по формуле

$${\lambda }_{\upsilon }=1-a\left[{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{1}{m}}-1\right]$$

Тогда

$${\lambda }_{\upsilon }=1-\mathrm{0,05}\times \left[{\left(\frac{\mathrm{0,7}}{\mathrm{0,1}}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{1,3}}}-1\right]=\mathrm{0,827}$$

Ответ: N = 39 кВт; λ_υ = 0,827.

Производительность компрессора станет равной нулю при объемном к. п. д., равном нулю, т. е. когда

$${\lambda }_{\upsilon }=1-a\left[{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{1}{k}}-1\right]=1-\mathrm{0,05}\times \left({p_2}^{\frac{1}{\mathrm{1,4}}}-1\right)=0$$

Решая это уравнение, получаем

$$p_2={\left(\frac{1}{\mathrm{0,05}}+1\right)}^{\mathrm{1,4}}=71 бар$$

Следовательно, предельное давление, при котором производительность компрессора станет равна нулю, составляет 71 бар.

Ответ: p₂ = 71 бар.

При политропном сжатии конечная температура воздуха

$$T_2=T_1{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{m-1}{m}}=300\times {64}^{\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{1,3}}}=780 К$$

$$t_2=507 ℃$$

Считая недопустимым такое повышение температуры воздуха, рассмотрим двухступенчатое сжатие. Тогда определяем отношение давления в каждой ступени:

$$x=\sqrt{\frac{64}{1}}=8$$

Работа одной ступени

$$L_{01}=\frac{m}{m-1}{p}_1{V}_1\left[{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{m-1}{m}}-1\right]=\frac{\mathrm{1,3}}{\mathrm{1,3}-1}\times \mathrm{0,1}\times 100\times \left(8^{\frac{\mathrm{1,3}-1}{\mathrm{1,3}}}-1\right)=\mathrm{26,7}\frac{МДж}{ч}$$

Так как при равенстве отношений давлений в каждой степени работа, затрачиваемая на каждую ступень, одинакова, то работа компрессора

$$L_0=n{L}_{01}=2\times \mathrm{26,7}\times {10}^6=\mathrm{53,4}\frac{МДж}{ч}$$

Если бы компрессор был одноступенчатым, то затрачиваемая в компрессоре работа

$$L_{01}=\frac{m}{m-1}{p}_1{V}_1\left[{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{m-1}{m}}-1\right]=\frac{\mathrm{1,3}}{\mathrm{1,3}-1}\times \mathrm{0,1}\times 100\times \left({64}^{\frac{\mathrm{1,3}-1}{\mathrm{1,3}}}-1\right)=\mathrm{69,6}\frac{МДж}{ч}$$

Таким образом, применение двухступенчатого компрессора дает экономию

$$\frac{\mathrm{69,6}-\mathrm{53,4}}{\mathrm{69,6}}\times 100=\mathrm{23,3} \%$$

Ответ: не указан.

Одноступенчатое сжатие. Температуру в конце сжатия определяем по формуле

$$T_2=T_1{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{k-1}{k}}=293\times 8^{\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{1,4}}}=530 К=257 ℃$$

Теоретическая работа компрессора

$$l_0=\frac{k}{k-1}{R}_{возд}{T}_1\left[{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{k-1}{k}}-1\right]=\frac{\mathrm{1,4}}{\mathrm{1,4}-1}\times 287\times 293\times \left(8^{\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{1,4}}}-1\right)=238410\frac{Дж}{кг}$$

Объемный к. п. д. компрессора

$${\lambda }_0=1-a\left[{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{1}{k}}-1\right]=1-\mathrm{0,08}\times \left(8^{\frac{1}{\mathrm{1,4}}}-1\right)=\mathrm{0,73}$$

Двухступенчатое сжатие. Степень сжатия в каждой ступени определяем по уравнению:

$$x=\sqrt{\frac{p_2}{p_1}}=\sqrt{\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,1}}}=\mathrm{2,828}$$

Температура в конце сжатия в каждой ступени

$$T_2=T_1{x}^{\frac{k-1}{k}}=293\times {\mathrm{2,828}}^{\frac{\mathrm{1,4}-1}{\mathrm{1,4}}}=394 К$$

$$t_2=T_2-273=394-273=121 ℃$$

Теоретическая работа компрессора в обеих ступенях

$$l_0=\frac{2k}{k-1}{R}_{возд}{T}_1\left[x^{\frac{k-1}{k}}-1\right]=\frac{2\times \mathrm{1,4}}{\mathrm{1,4}-1}\times 287\times 293\times \left({\mathrm{2,828}}^{\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{1,4}}}-1\right)=206000\frac{Дж}{кг}$$

Объемный к. п. д.

$${\lambda }_0=1-a\left[x^{\frac{1}{k}}-1\right]=1-\mathrm{0,08}\times \left({\mathrm{2,828}}^{\frac{1}{\mathrm{1,4}}}-1\right)=\mathrm{0,912}$$

Полученные результаты наглядно показывают преимущества двухступенчатого сжатия.

Ответ: не указан.

Отношение давлений в каждой ступени

$$x=\sqrt[3]{\frac{8}{\mathrm{0,095}}}=\mathrm{4,38}$$

Таким образом

$$\frac{p_2}{p_1}=\mathrm{4,38}$$

$$\frac{p_4}{p_2}=\mathrm{4,38}$$

и, следовательно,

$$p_2=\mathrm{4,38}\times \mathrm{0,095}=\mathrm{0,416} МПа$$

$$p_4=\mathrm{4,38}\times \mathrm{0,416}=\mathrm{1,82} МПа$$

Затрата работы на каждую ступень компрессора

$$l_0^{’}=\frac{m}{m-1}{p}_1{\upsilon }_1\left[{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{m-1}{m}}-1\right]=$$

$$=\frac{m}{m-1}{R}_{возд}{T}_1\left[{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{m-1}{m}}-1\right]=\frac{\mathrm{1,4}}{\mathrm{1,4}-1}\times 287\times 290\times \left({\mathrm{4,38}}^{\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{1,4}}}-1\right)=154000\frac{кДж}{кг}$$

Затрата работы на трехступенчатый компрессор

$$l_0=n{l}_0^{’}=3\times 154000=462000\frac{кДж}{кг}$$

Мощность компрессора

$$N=\frac{250\times 462000}{3600\times 1000}=\mathrm{32,1} кВт$$

Ответ: N = 32,1 кВт.

Удельный объем воздуха:

$${\upsilon }_1=\frac{R_{возд}{T}_1}{p_1}=\frac{287\times \left(273+15\right)}{1\times {10}^6}=\mathrm{0,0827}\frac{{м}^3}{кг}$$

$${\upsilon }_2={\upsilon }_1{\left(\frac{p_1}{p_2}\right)}^{\frac{1}{m}}=\mathrm{0,0827}\times {\left(\frac{1}{\mathrm{0,1}}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{1,3}}}=\mathrm{0,486}\frac{{м}^3}{кг}$$

Работа 1 кг сжатого воздуха в двигателе изображается площадью 1—2—3—4, т. е.

$$l=\frac{m}{m-1}\left(p_1{\upsilon }_1-p_2{\upsilon }_2\right)=\frac{\mathrm{1,3}}{\mathrm{1,3}-1}\times {10}^6\times \left(1\times \mathrm{0,0827}-\mathrm{0,1}\times \mathrm{0,486}\right)=147767\frac{Дж}{кг}$$

Массовый расход воздуха

$$M=\frac{3600\times {10}^{3}N}{l}=\frac{3600\times {10}^3\times 10}{147767}=244\frac{кг}{ч}$$

Ответ: M = 244 кг/ч.