Процессы изменения состояния идеальных газов

Абсолютное давление в сосуде:

$$p_1^{’}=B-p_1=101325-6667=94658 Па$$

$$p_2^{’}=B-p_2=101325-13332=87993 Па$$

Абсолютная температура

$$T_1=t_1+273=70+273=343 К$$

Изохорный процесс (υ = const)

$$\frac{p_1^{’}}{p_2^{’}}=\frac{T_1}{T_2}$$

Отсюда найдем конечную температуру в резервуаре

$$T_2=\frac{T_1{p}_2^{’}}{p_1^{’}}=319 К$$

или

$$t_2=T_2-273=319-273=46℃$$

Ответ: t₂ = 46 ℃.

Пользуясь уравнением состояния, находим массу воздуха в сосуде:

$$M=\frac{p_{1}V}{R_{возд}{T}_1}=\frac{\mathrm{0,5}\times {10}^6\times \mathrm{0,6}}{287\times 293}=\mathrm{3,57} кг$$

Количество теплоты, отводимой от воздуха, в изохорном процессе, определяется уравнением:

$$Q=M{c}_{\upsilon m}\left(t_2-t_1\right)$$

откуда

$$t_2=\frac{Q}{M{c}_{\upsilon m}}+t_1=\frac{-105}{\mathrm{3,57}\times \mathrm{0,723}}+20=-\mathrm{20,7} ℃$$

Значение теплоемкости получено из выражения (двухатомный газ)

$$c_{\upsilon m}=\frac{\mu c_{\upsilon m}}{\mu }=\frac{\mathrm{20,93}}{\mathrm{28,96}}=\mathrm{0,723}\frac{кДж}{кг\times К}$$

Из соотношения параметров изохорном процессе имеем

$$p_2=p_1\frac{T_2}{T_1}=\mathrm{0,5}\times \frac{273-\mathrm{20,7}}{293}=\mathrm{0,43} МПа$$

Ответ: t₂ = -20,7 ℃; p₂ = 0,43 МПа.

Из соотношения параметров изохорного процесса получим

$$T_2=T_1\frac{p_2}{p_1}=303\times \frac{\mathrm{1,6}}{\mathrm{0,8}}=606 К$$

Удельное теплота переданная воздуху

$$q_{\upsilon }=c_{\upsilon m2}{t}_2-c_{\upsilon m1}{t}_1$$

Пользуясь справочной табл., находим

$$c_{\upsilon m1}=\mathrm{0,7173}\frac{кДж}{кг\times К}$$

$$c_{\upsilon m2}=\mathrm{0,7351}\frac{кДж}{кг\times К}$$

Следовательно,

$$q_{\upsilon }=\mathrm{0,7351}\times 333-\mathrm{0,7173}\times 30=\mathrm{223,2}\frac{кДж}{кг}$$

Массу воздуха, находящегося в резервуаре, определяем из уравнения

$$M=\frac{p_1{V}_1}{R_{возд}{T}_1}=\frac{\mathrm{0,8}\times {10}^6\times \mathrm{0,09}}{287\times 303}=\mathrm{0,8278} кг$$

а сообщенное ему количество теплоты

$$Q_{\upsilon }=q_{\upsilon }M=\mathrm{223,1}\times \mathrm{0,8278}=\mathrm{184,8} кДж$$

Ответ: Q_υ = 184,8 кДж.

Так как конечное давление газа неизвестно, то для определения конечной температуры нельзя воспользоваться соотношением параметров в изохорном процессе. Обратимся поэтому к выражению, определяющему количество отведенной теплоты в изохорном процессе. Тогда теплота

$$Q_{\upsilon }=M{c}_{\upsilon m}\left(t_2-t_1\right)$$

В этом уравнении

$$Q_{\upsilon }=-336 кДж$$

Масса газа

$$M=\frac{p_{1}V}{R_{CO2}{T}_1}=\frac{\mathrm{0,6}\times {10}^6\times \mathrm{0,5}}{189\times 800}=\mathrm{1,98} кг$$

В пределах от 527 ℃ до t₂ согласно справочной таблице средняя теплоемкость углекислого газа

$$c_{\upsilon m}=\mathrm{0,6837}+\mathrm{0,00024053}\times \left(527+t_2\right)$$

Подставляя соответствующие значения величин в уравнение для Q_υ, получаем

$$Q_{\upsilon }=-436=\mathrm{1,98}\left(\mathrm{0,6837}+\mathrm{0,00024053}\times \left(527+t_2\right)\right)\left(t_2-527\right)$$

Это выражение является относительно t₂ квадратным уравнением, только один корень которого имеет физический смысл. Однако его решают обычно не как квадратное уравнение, а методом последовательного приближения или, как говорят, подбором. Для этого задают значение t₂, после чего определяют теплоемкости c_υm, и, подставляя в уравнение для Q_υ, проверяют, получается ли тождество. Очевидно, что только в этом случае выбранная температура t₂ является правильной.

Указанным путем температура t₂ получается равной 276 ℃.

Ответ: t₂ = 276 ℃.

Затраченное удельное количество теплоты:

$$q_p={\left(c_{pm2}\right)}_0^{500}{t}_2-{\left(c_{pm1}\right)}_0^{100}{t}_1$$

Пользуясь справочной таблицей, находим

$${\left(c_{pm1}\right)}_0^{100}=\mathrm{1,0061}\frac{кДж}{кг\times К}$$

$${\left(c_{pm2}\right)}_0^{500}=\mathrm{1,0387}\frac{кДж}{кг\times К}$$

Следовательно,

$$q_p=\mathrm{1,0387}\times 500-\mathrm{1,0061}\times 100=\mathrm{418,7}\frac{кДж}{кг}$$

Массу воздуха определяем из характеристического уравнения

$$M=\frac{p_1{V}_1}{R_{возд}{T}_1}=\frac{\left(\mathrm{0,2}+\mathrm{0,1013}\right)\times {10}^6\times 2}{287\times \left(273+100\right)}=\mathrm{5,63} кг$$

Таким образом,

$$Q_p=M{q}_p=\mathrm{5,63}\times \mathrm{418,7}=2357 кДж$$

Количество теплоты можно получить не только по массе воздуха, но и по его объему. В этом случае:

$$q_p={\left(c_{pm2}^{’}\right)}_0^{500}{t}_2-{\left(c_{pm1}^{’}\right)}_0^{100}{t}_1$$

Пользуясь справочной таблицей, получаем

$${\left(c_{pm1}^{’}\right)}_0^{100}=\mathrm{1,3004}\frac{кДж}{{м}^3\times К}$$

$${\left(c_{pm2}^{’}\right)}_0^{500}=\mathrm{1,3427}\frac{кДж}{{м}^3\times К}$$

Тогда

$$q_p=\mathrm{1,3427}\times 500-\mathrm{1,3004}\times 100=\mathrm{541,4}\frac{кДж}{{м}^3}$$

Объем воздуха должен быть приведен к нормальным условиям. Согласно уравнению

$$V_{н}=\frac{pV{T}_{н}}{T_1{p}_{н}}=\frac{\left(\mathrm{0,2}+\mathrm{0,1013}\right)\times 2\times 273}{373\times \mathrm{0,1013}}=\mathrm{4,35} {м}^2$$

Таким образом,

$$Q_p=V_{н}{q}_p=\mathrm{4,35}\times \mathrm{541,4}=2356 кДж$$

Работа газа при изобарном процессе

$$L_p=M{R}_{возд}\left(t_2-t_1\right)=\mathrm{5,63}\times 287\times 400=\mathrm{646,3} кДж$$

Ответ: Q_p = 2356 кДж; L_p = 646,3 кДж.

Количество отнятой теплоты по формуле (78)

$$Q_p=V_{н}{c}_{pm}\left(t_2-t_1\right)$$

Объем воздуха при нормальных условиях

$$V_{н}=\frac{pV{T}_{н}}{p_{н}T}=\frac{\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,4}\times 273}{\mathrm{0,1013}\times 673}=\mathrm{0,8} {м}^3$$

По справочной табл. находим

$$c_{pm}^{’}=\mathrm{1,3289}\frac{кДж}{{м}^3\times К}$$

Следовательно,

$$Q_{р}=\mathrm{0,8}\times \mathrm{1,3289}\times \left(0-400\right)=-425 кДж$$

Конечный объем воздуха для изохорного процесса

$$V_2=V_1\frac{T_2}{T_1}=\mathrm{0,4}\times \frac{273}{673}=\mathrm{0,1622} {м}^3$$

Изменение внутренней энергии

$$\Delta U_p=V_{н}{c}_{\upsilon m}\left(t_2-t_1\right)$$

Пользуясь справочной табл., находим

$$c_{\upsilon m}^{’}=\mathrm{0,9579}\frac{кДж}{{м}^3\times К}$$

Следовательно,

$$\Delta U_p=\mathrm{0,8}\times \mathrm{0,9579}\times \left(0-400\right)=-\mathrm{306,5} кДж$$

Работа, затраченная на сжатие

$$L=p\left(V_2-V_1\right)=\mathrm{0,5}\times {10}^6\times \left(\mathrm{0,1622}-\mathrm{0,4}\right)=-\mathrm{118,9} кДж$$

Ответ: Q_p = -425 кДж; V₂ = 0,1622 м³; ΔU_p = -306,5 кДж; L_p = -118,9 кДж.

Аналитическое выражение первого закона термодинамики

$$dq=du+dl$$

может быть представлено в виде

$$\frac{du}{dq}+\frac{dl}{dq}=1$$

Величина

$$\frac{dl}{dq}=1-\frac{du}{dq}$$

определяет ту долю от всей подводимой к газу теплоты, которая превращается в работу расширения. Так как для идеального газа в процессе p = const

$$du=c_{\upsilon }dt$$

$$dq=c_{p}dt$$

$$\frac{dl}{dq}=1-\frac{c_{\upsilon }dt}{c_{p}dt}$$

Принимая k = 1,4, получаем

$$\frac{dl}{dq}=1-\frac{1}{\mathrm{1,4}}=\mathrm{0,285}$$

Следовательно, в изобарном процессе только 28,5 % теплоты, подводимой к газу, превращается в работу. Вся остальная теплота, т. е. 71,5 %, расходуется на увеличение внутренней энергии.

Ответ: 28,5 %.

Так как рассматриваемый процесс изобарный, то количество теплоты, участвующее в нем, равно разности энтальпий конечного и начального состояний, т. е.

$$q_p=i_2-i_1$$

Но энтальпия

$$i=c_{pm}t$$

Следовательно,

$$q_p=\left(c_{pm2CO2}{m}_{CO2}+c_{pm2O2}{m}_{O2}+c_{pm2H2O}{m}_{H2O}+c_{pm2N2}{m}_{N2}\right)t_2-\left(c_{pm1CO2}{m}_{CO2}+c_{pm1O2}{m}_{O2}+c_{pm1H2O}{m}_{H2O}+c_{pm1N2}{m}_{N2}\right)t_1$$

На основании справочных таблиц получаем

$$q_p=\left(\mathrm{1,2259}\times \mathrm{0,15}+\mathrm{1,0940}\times \mathrm{0,05}+\mathrm{2,4166}\times \mathrm{0,06}+\mathrm{1,1857}\times \mathrm{0,74}\right)\times 1900-\left(\mathrm{1,0}128\times \mathrm{0,15}+\mathrm{0,9793}\times \mathrm{0,05}+\mathrm{1,9778}\times \mathrm{0,06}+\mathrm{1,0660}\times \mathrm{0,74}\right)\times 500=1836\frac{кДж}{кг}$$

Ответ: q_p = 1836 кДж/кг.

Найдем начальный объем воздуха из уравнения состояния:

$${\upsilon }_1=\frac{R_{возд}{T}_1}{p_1}=\frac{287\times \left(273+30\right)}{\mathrm{0,1}\times {10}^6}=\mathrm{0,87}\frac{{м}^3}{кг}$$

Так как в изотермическом процессе

$$p_1{\upsilon }_1=p_2{\upsilon }_2$$

то конечный объем

$${\upsilon }_2={\upsilon }_1\frac{p_1}{p_2}=\mathrm{0,87}\times \frac{1}{10}=\mathrm{0,087}\frac{{м}^3}{кг}$$

Работа, затрачиваемая на сжатие 1 кг воздуха

$$l=R_{возд}T\ln \frac{p_1}{p_2}=287\times \left(273+30\right)\times \ln \frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,6}}=-200\frac{кДж}{кг}$$

Количество теплоты, отводимой от воздуха, равно работе, затраченной на сжатие. Следовательно,

$$q=l=-200\frac{кДж}{кг}$$

Ответ: υ₂ = 0,087 м³/кг; l = q = -200 кДж/кг.

Проводим прямую 1A, параллельную оси υ, и 1B, параллельную ось p. Из начала координат проводим ряд лучей и из точек пересечения каждого луча с прямыми 1B и 1A восстанавливаем перпендикуляры. Пересечение их дает точки, принадлежащие изотерме.

Ответ: на рисунке.

Значения работы изотермического сжатия для 1 кг различных газов при одинаковых условиях выражаются следующими уравнениями:

$$l_1=R_{1}T\ln \frac{p_1}{p_2}$$

$$l_2=R_{2}T\ln \frac{p_1}{p_2}$$

$$l_3=R_{3}T\ln \frac{p_2}{p_3}$$

поэтому

$$l_1:l_2:l_2=R_1:R_2:R_3$$

т. е. работа изотермического сжатия пропорциональна газовой постоянной.

Ответ: не указан.

Из соотношения параметров в адиабатном процессе находим

$$\frac{T_2}{T_1}={\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{k-1}{k}}$$

откуда

$$T_2=T_1{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{k-1}{k}}$$

Принимая k = 1,4, получаем

$$T_2=303\times {10}^{\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{1,4}}}=585 К$$

$$t_2=T_2-273=584-273=312 ℃$$

Затраченная работа

$$l=\frac{R}{k-1}\left(T_1-T_2\right)=\frac{\mathrm{0,287}}{\mathrm{0,4}}\times \left(303-585\right)=-202\frac{кДж}{кг}$$

Конечный объем определяется из уравнения состояния

$${\upsilon }_2=\frac{R_{возд}{T}_2}{p_2}=\frac{287\times 585}{1\times {10}^6}=\mathrm{0,168}\frac{{м}^3}{кг}$$

Ответ: t₂ = 312 ℃; υ₂ = 0,168 м³/кг; l = -202 кДж/кг.

Из соотношения параметров в адиабатном процессе имеем

$$\epsilon =\frac{{\upsilon }_1}{{\upsilon }_2}={\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}^{\frac{1}{k-1}}={\left(\frac{723}{343}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{1,36}-1}}=\mathrm{7,92}$$

Работа сжатия

$$l=\frac{R}{k-1}\left(T_1-T_2\right)=\frac{314}{\mathrm{1,36}-1}\times \left(343-723\right)=-\mathrm{331,4}\frac{кДж}{кг}$$

Ответ: ε = 7,92; l = -331,4 кДж/кг.

Конечную температуру определяем по формуле

$$T_2=T_1{n}^{k-1}=\left(273+100\right)\times {14}^{\mathrm{1,4}-1}=1067 К$$

$$t_2=T_2-273=1067-273=794 ℃$$

Конечное давление

$$p_2=p_1{\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}^{\frac{k}{k-1}}=\mathrm{0,1}\times {\left(\frac{1067}{373}\right)}^{\frac{\mathrm{1,4}}{\mathrm{1,4}-1}}=4 МПа$$

Ответ: t₂ = 794 ℃; p₂ = 4 МПа.

1) Изотермический процесс:

- работа расширения определяется по уравнению

$$L_T=p_1{V}_1\ln \frac{p_1}{p_2}=5\times {10}^3\times \mathrm{0,1}\times \ln \frac{5}{\mathrm{0,1}}=1956 кДж$$

- конечный объем воздуха

$$V_2=V_1\frac{p_1}{p_2}=\mathrm{0,1}\times \frac{5}{\mathrm{0,1}}=5 {м}^3$$

- для преодоления атмосферного давления должна быть затрачена работа

$$L_T^{’}=p_2\left(V_2-V_1\right)=\mathrm{0,1}\times {10}^3\times \left(5-\mathrm{0,1}\right)=490 кДж$$

- таким образом, полезная работа воздуха

$$L_{п\left(T\right)}=L_T-L_T^{’}=1956-490=1466 кДж$$

2) Адиабатный процесс:

- работу адиабатного расширения найдем по формуле

$$L_k=\frac{p_1{V}_1}{k-1}\left(1-{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{k-1}{k}}\right)=\frac{5\times {10}^3\times \mathrm{0,1}}{\mathrm{1,4}-1}\times \left(1-{\left(\frac{\mathrm{0,1}}{5}\right)}^{\frac{\mathrm{1,4}-1}{\mathrm{1,4}}}\right)=840 кДж$$

- конечный объем воздуха

$$V_2=V_1{\left(\frac{p_1}{p_2}\right)}^{\frac{1}{k}}=\mathrm{0,1}\times {\left(\frac{5}{\mathrm{0,1}}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{1,4}}}=\mathrm{1,636} {м}^3$$

- для преодоления атмосферного давления должна быть затрачена работа

$$L_k^{’}=p_2\left(V_2-V_1\right)=\mathrm{0,1}\times {10}^3\times \left(\mathrm{1,636}-\mathrm{0,1}\right)=\mathrm{153,6} кДж$$

- таким образом, полезная работа воздуха

$$L_{п\left(k\right)}=L_k-L_k^{’}=840-\mathrm{153,6}=\mathrm{686,4} кДж$$

- минимальная температура определяется из соотношения параметров адиабатного процесса

$$T_2=T_1{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{k-1}=293\times {\left(\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{1,636}}\right)}^{\mathrm{1,4}-1}=96 К=-177 ℃$$

Ответ: не указан.

Величину работы полного расширения (рис. ) находим по уравнению

$$l_1=\frac{p_1{V}_1}{k-1}\left(1-{\left(\frac{V_1}{V_5}\right)}^{k-1}\right)$$

Работа на первой половине поршня

$$l_2=\frac{p_2{V}_1}{k-1}\left(1-{\left(\frac{V_1}{V_3}\right)}^{k-1}\right)$$

Следовательно,

$$\frac{l_2}{l_1}=\frac{1-{\left(\frac{V_1}{V_3}\right)}^{k-1}}{1-{\left(\frac{V_1}{V_3}\right)}^{k-1}}=\frac{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{1,4}-1}}{1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^{\mathrm{1,4}-1}}=\mathrm{0,554}$$

Ответ: l₂/l₁ = 0,554.

Если из сосуда вытекает 2/3 содержимого, то удельный объем оставшейся в сосуде углекислоты возрастает втрое. Поэтому

$$\frac{T_1}{T_2}={\left(\frac{{\upsilon }_2}{{\upsilon }_1}\right)}^{k-1}=3^{\mathrm{1,28}-1}=\mathrm{1,36}$$

Следовательно,

$$T_2=\frac{T_1}{\mathrm{1,36}}=\frac{293}{\mathrm{1,36}}=215 К$$

$$t_2=-57 ℃$$

Конечное давление

$$p_2=p_1{\left(\frac{{\upsilon }_1}{{\upsilon }_2}\right)}^k=\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{4,081}}=\mathrm{0,29} МПа$$

Это давление можно также определить из уравнения

$$\frac{p_2}{p_1}\frac{{\upsilon }_2}{{\upsilon }_1}=\frac{T_2}{T_1}$$

отсюда

$$p_2=p_1\frac{{\upsilon }_1}{{\upsilon }_2}\frac{T_2}{T_1}=\mathrm{1,2}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{\mathrm{1,36}}=\mathrm{0,29} МПа$$

Ответ: t₂ = -57 ℃; p₂ = 0,29 МПа.

Начальный и конечный объем воздуха:

$$V_1=\frac{\pi d^2}{4}l=\frac{\mathrm{3,14}\times {\mathrm{0,2}}^2}{4}\times \mathrm{0,5}=\mathrm{0,0157} {м}^3$$

$$V_2=\frac{\pi d^2}{4}\left(l-\mathrm{0,4}\right)=\frac{\mathrm{3,14}\times {\mathrm{0,2}}^2}{4}\times \mathrm{0,1}=\mathrm{0,00314} {м}^3$$

На адиабатное сжатие воздуха, находящегося в цилиндре, будет затрачена работа

$$L=\frac{p_1{V}_1}{k-1}\left(1-{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{k-1}\right)=\frac{\mathrm{0,1}\times {10}^6\times \mathrm{0,0157}}{\mathrm{1,4}-1}\times \left(1-{\left(\frac{\mathrm{0,0157}}{\mathrm{0,00314}}\right)}^{\mathrm{1,4}-1}\right)=-3547 Дж$$

Затрата работы для преодоления атмосферного давления составит

$$L^{’}=p_1\left(V_2-V_1\right)=\mathrm{0,1}\times {10}^6\times \left(\mathrm{0,00314}-\mathrm{0,0157}\right)=-1256 Дж$$

Следовательно, аккумулированная в воздушном буфере энергия составит

$$L_{а}=L-L^{’}=-3547+1256=-2291 Дж$$

Температуру и давление в конце процесса определяют из соотношения параметров адиабатного процесса:

$$T_2=T_1{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{k-1}=293\times {\left(\frac{\mathrm{0,0157}}{\mathrm{0,00314}}\right)}^{\mathrm{1,4}-1}=558 К=285 ℃$$

$$p_2=p_1{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^k=\mathrm{0,1}\times {\left(\frac{\mathrm{0,0157}}{\mathrm{0,00314}}\right)}^{\mathrm{1,4}}=\mathrm{0,95} МПа$$

Ответ: не указан.

Определяем начальный объем воздуха

$${\upsilon }_1=\frac{R_{возд}{T}_1}{p_1}=\frac{287\times 384}{\mathrm{0,5}\times {10}^6}=\mathrm{0,22}\frac{{м}^3}{кг}$$

Конечный объем воздуха

$${\upsilon }_2={\upsilon }_1{\left(\frac{p_1}{p_2}\right)}^{\frac{1}{m}}=\mathrm{0,22}\times 5^{\frac{1}{\mathrm{1,2}}}=\mathrm{0,84}\frac{{м}^3}{кг}$$

Конечную температуру проще всего получить из характеристического уравнения

$$T_2=\frac{p_2{\upsilon }_2}{R_{возд}}=\frac{\mathrm{0,1}\times {10}^6\times \mathrm{0,84}}{287}=293 К$$

Величина работы

$$l=\frac{R_{возд}}{m-1}\left(T_1-T_2\right)=\frac{\mathrm{0,287}}{\mathrm{1,2}-1}\times \left(384-293\right)=\mathrm{130,6}\frac{кДж}{кг}$$

Изменение внутренней энергии

$$\Delta u=\frac{\mu c_{\upsilon }}{\mu }\left(T_2-T_1\right)=\frac{\mathrm{20,93}}{\mathrm{28,96}}\times \left(293-384\right)=-\mathrm{65,8}\frac{кДж}{кг}$$

Количество теплоты, сообщенной воздуху

$$q=\frac{\mu c_{\upsilon }}{\mu }\frac{m-k}{m-1}\left(t_2-t_1\right)=\mathrm{0,72}\times \frac{\mathrm{1,2}-\mathrm{1,4}}{\mathrm{1,2}-1}\times \left(20-111\right)=\mathrm{65,8}\frac{кДж}{кг}$$

Нетрудно видеть, что в этом процессе внешняя работа совершается за счет подведенной теплоты и уменьшения внутренней энергии. Исходя из этого можно проверить полученные результаты следующим образом:

$$q=\Delta u+l$$

$$l=q-\Delta u=\mathrm{65,8}-\left(-\mathrm{65,8}\right)=\mathrm{131,6} \frac{кДж}{кг}$$

Этот же результат нами получен выше другим путем.

Ответ: не указан.

Определяем

$$\frac{m-1}{m}=\frac{\ln \frac{T_2}{T_1}}{\ln \frac{p_2}{p_1}}=\frac{\ln \frac{398}{291}}{\ln \frac{100}{9}}=\mathrm{0,13}$$

отсюда

$$m=\frac{1}{1-\mathrm{0,13}}=\mathrm{1,149}$$

Конечный объем находим из характеристического уравнения

$$V_2=\frac{M{R}_{возд}{T}_2}{p_2}=\frac{\mathrm{1,5}\times 287\times 398}{1\times {10}^6}=\mathrm{0,171} {м}^3$$

Затраченная работа

$$L=\frac{M{R}_{возд}}{m-1}\left(t_1-t_2\right)=\frac{\mathrm{1,5}\times \mathrm{0,287}}{1-\mathrm{1,149}}\times \left(18-125\right)=-\mathrm{309,2} кДж$$

Количество отведенной теплоты

$$Q=M{c}_{\upsilon }\frac{m-k}{m-1}\left(t_2-t_1\right)=\mathrm{1,5}\times \frac{\mathrm{20,93}}{\mathrm{28,96}}\times \frac{\mathrm{1,149}-\mathrm{1,4}}{\mathrm{1,149}-1}\times \left(125-18\right)=-\mathrm{195,4} кДж$$

Ответ: V₂ = 0,171 м³; L = -309,2 кДж; Q = -195,4 кДж.

Показатель политропы

$$m=\frac{\ln \frac{p_1}{p_2}}{\ln \frac{V_2}{V_1}}=\frac{\ln \frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,1}}}{\ln 3}=\mathrm{1,26}$$

Работа расширения

$$L=\frac{1}{m-1}\left(p_1{V}_1-p_2{V}_2\right)=\frac{1}{\mathrm{0,26}}\times \left(\mathrm{0,4}\times {10}^6\times 5-\mathrm{0,1}\times {10}^6\times 15\right)=1923 кДж$$

Для определения количество теплоты вычислим коэффициент

$$\phi =\frac{m-1}{m-k}=\frac{\mathrm{1,26}-1}{\mathrm{1,26}-\mathrm{1,4}}=-\frac{\mathrm{0,26}}{\mathrm{0,14}}=-\mathrm{1,86}$$

но так как

$$\phi =\frac{\Delta U}{Q}=\frac{Q-L}{Q}=-\mathrm{1,86}$$

$$Q=+\frac{L}{\mathrm{2,86}}=\frac{1923}{\mathrm{2,86}}=+\mathrm{672,4} кДж$$

Знак плюс (+) показывает, что теплота в данном процессе подводится. Об этом можно судить также по величине показателя политропы.

Изменение внутренней энергий

$$\Delta U=Q-L=\mathrm{672,4}-1923=-\mathrm{1250,6} кДж$$

Знак минус (—) показывает, что внутренняя энергия убывает. В данном процессе работа совершается за счет подводимой извне теплоты, а также внутренней энергии газа.

Ответ: m = 1,26; L = 1923 кДж; Q = 672,4 кДж; ΔU = -1250,6 кДж.

а) Изотермическое расширение.

Конечный объем определяют по формуле

$$V_2=V_1\frac{p_1}{p_2}=\mathrm{0,01}\times \frac{1}{\mathrm{0,1}}=\mathrm{0,1} {м}^3$$

Так как в изотермическом процессе t = const, то конечная температура

$$t_2=t_1=25 ℃$$

Работа газа

$$L=p_1{V}_1\ln \frac{p_1}{p_2}=1\times {10}^3\times \mathrm{0,01}\times \ln \frac{1}{\mathrm{0,1}}=23 кДж$$

Количество подведенной теплоты по формуле

$$Q=L=23 кДж$$

б) Адиабатное расширение

Конечный объем

$$V_2=V_1{\left(\frac{p_1}{p_2}\right)}^{\frac{1}{k}}=\mathrm{0,01}\times {10}^{\frac{1}{\mathrm{1,4}}}=\mathrm{0,05188} {м}^3$$

Конечная температура воздуха

$$T_2=T_1{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{k-1}{k}}=298\times {\left(\frac{\mathrm{0,1}}{1}\right)}^{\frac{\mathrm{1,4}-1}{\mathrm{1,4}}}=\mathrm{154,3} К$$

$$t_2=-\mathrm{118,7} ℃$$

Работа газа

$$L=\frac{p_1{V}_1}{k-1}\left(1-{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{k-1}{k}}\right)=\frac{\mathrm{0,1}\times {10}^3\times \mathrm{0,01}}{\mathrm{1,4}-1}\times \left(1-{\left(\frac{\mathrm{0,1}}{1}\right)}^{\frac{\mathrm{1,4}-1}{\mathrm{1,4}}}\right)=12 кДж$$

в) Политропное расширение.

Конечный объем

$$V_2=V_1{\left(\frac{p_1}{p_2}\right)}^{\frac{1}{m}}=\mathrm{0,01}\times {10}^{\frac{1}{\mathrm{1,3}}}=\mathrm{0,05885} {м}^3$$

Конечная температура

$$T_2=T_1{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{m-1}{m}}=298\times {\left(\frac{\mathrm{0,1}}{1}\right)}^{\frac{\mathrm{1,3}-1}{\mathrm{1,3}}}=\mathrm{175,2} К$$

$$t_2=-\mathrm{97,8} ℃$$

Работа газа

$$L=\frac{p_1{V}_1}{m-1}\left(1-{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{m-1}{m}}\right)=\frac{\mathrm{0,1}\times {10}^3\times \mathrm{0,01}}{\mathrm{1,4}-1}\times \left(1-{\left(\frac{\mathrm{0,1}}{1}\right)}^{\frac{\mathrm{1,3}-1}{\mathrm{1,3}}}\right)=\mathrm{13,7} кДж$$

Подведенная теплота

$$Q=L\frac{k-m}{k-1}=\mathrm{13,7}\times \frac{\mathrm{1,4}-\mathrm{1,3}}{\mathrm{1,4}-1}=\mathrm{3,425} кДж$$

Ответ: не указан.

Температуру в конце сжатия определяют по уравнению

$$T_2=T_1{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{m-1}{m}}=291\times {\left(\frac{\mathrm{0,1}}{1}\right)}^{\frac{\mathrm{1,25}-1}{\mathrm{1,25}}}=439 К$$

$$t_2=T_2-273=439-273=166 ℃$$

Массу газа находят из характеристического уравнения для начального состояния газа

$$M=\frac{p_1{V}_1}{R_{возд}{T}_1}=\frac{\mathrm{0,1}\times {10}^6\times 20}{287\times 291}=\mathrm{23,95} кг$$

Объем воздуха в конце сжатия

$$V_2=\frac{M{R}_{возд}{T}_2}{p_2}=\frac{\mathrm{23,95}\times 287\times 439}{\mathrm{0,8}\times {10}^6}=\mathrm{3,77} {м}^3$$

Работа газа

$$L=\frac{1}{m-1}\left(p_1{V}_1-p_2{V}_2\right)=\frac{{10}^3}{\mathrm{0,25}}\left(\mathrm{0,1}\times 20-\mathrm{0,8}\times \mathrm{3,77}\right)=-4064 кДж$$

Работа, затрачиваемая на получение 1 м3 сжатого воздуха

$$l=\frac{-L}{V_2}=-\frac{4064}{\mathrm{3,77}}=-1078\frac{кДж}{{м}^3}$$

Количество теплоты, отводимой при сжатии воздуха

$$Q=L\frac{k-m}{k-1}=-4064\times \frac{\mathrm{1,4}-\mathrm{1,25}}{\mathrm{1,4}-1}=-1524 кДж$$

Ответ: l = -1078 кДж/м³; Q = -1524 кДж.

1) Политропный процесс с показателем m = 0,8.

Определяем

$$\phi =\frac{m-1}{m-k}=\frac{\mathrm{0,8}-1}{\mathrm{0,8}-\mathrm{1,4}}=\frac{1}{3}$$

Значение коэффициента φ позволяет сделать заключение, что в процессе расширения 1/3 внешней теплоты расходуется на увеличение внутренней энергии, а 2/3 — на внешнюю работу.

2) Политропный процесс с показателем m = 1,1.

Находим

$$\phi =\frac{m-1}{m-k}=\frac{\mathrm{1,1}-1}{\mathrm{1,1}-\mathrm{1,4}}=-\frac{1}{3}$$

или

$$q=l-\frac{1}{3}q$$

откуда

$$l=\frac{3}{4}q$$

т. е. полученная работа больше количества подведенной теплоты, другими словами, в данном процессе работа совершается как за счет подведенной к газу теплоты, так и за счет внутренней энергии. Нетрудно также видеть, что внутренняя энергия газа уменьшается на 1q/3.

3) Политропный процесс с показателем m = 1,5.

Так как т m > k, то теплота от газа отводится, внутренняя энергия газа уменьшается. Работа в этом процессе получается, очевидно, за счет внутренней энергии газа; теплота отводится также за счет уменьшения внутренней энергии. Определяем φ:

$$\phi =\frac{m-1}{m-k}=\frac{\mathrm{1,5}-1}{\mathrm{1,5}-\mathrm{1,4}}=5$$

По первому закону термодинамики

$$q=\Delta u+l$$

Для данного процесса имеем

$$-q=-\Delta u+l$$

Так как

$$\phi =\frac{\Delta u}{q}=5$$

то

$$q=\frac{\Delta u}{5}$$

следовательно,

$$-\frac{\Delta u}{5}=-\Delta u+l$$

или

$$l=\frac{4}{5}\Delta u$$

Полученный результат означает, что 4/5 от величины, на которую уменьшается внутренняя энергия газа, расходуются на внешнюю работу; количество же теплоты, отведенной от газа, составляет 1/5 уменьшения его внутренней энергии.

Ответ: не указан.