Истечение и дросселирование газов и паров

Определяем отношение

$$\frac{p_2}{p_1}=\frac{\mathrm{0,1}}{10}=\mathrm{0,01}$$

и, следовательно, меньше критического отношения давлений для воздуха, составляющего 0,528. Поэтому скорость истечения будет равна критической и определится по формуле

$$w_{кр}=\mathrm{1,08}\sqrt{R_{возд}{T}_1}=\mathrm{1,08}\times \sqrt{287\times 288}=310\frac{м}{с}$$

Площадь сечения трубки

$$f=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\mathrm{3,14}\times {\mathrm{0,01}}^2}{4}=\mathrm{0,0000785} {м}^2$$

Удельный объем воздуха

$${\upsilon }_1=\frac{R_{возд}{T}_1}{p_1}=\frac{287\times 288}{10\times {10}^6}=\mathrm{0,00827}\frac{{м}^3}{кг}$$

Секундный расход находим по формуле

$$M_{max}=\mathrm{0,686}f\sqrt{\frac{p_1}{{\upsilon }_1}}=\mathrm{0,686}\times \mathrm{0,0000785}\times \sqrt{\frac{10\times {10}^6}{\mathrm{0,00827}}}=\mathrm{1,87}\frac{кг}{с}$$

Ответ: w_кр = 310 м/с; M_max = 1,87 кг/с.

Отношение давлений составляет

$$\frac{p_2}{p_1}=\frac{40}{50}=\mathrm{0,8}>{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}_{кр}=\mathrm{0,528}$$

Следовательно, скорость истечения меньше критической и определяется по формуле

$$w=\sqrt{\frac{2k}{k-1}{p}_1{\upsilon }_1\left[1-{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{k-1}{k}}\right]}$$

Из характеристического уравнения найдем удельный объем кислорода

$${\upsilon }_1=\frac{R_{O2}{T}_1}{p_1}=\frac{\mathrm{259,8}\times 373}{5\times {10}^6}=\mathrm{0,0194}\frac{{м}^3}{кг}$$

Подставляя их значения, получаем

$$w=\sqrt{\frac{2\times \mathrm{1,4}}{\mathrm{1,4}-1}\times 5\times {10}^6\times \mathrm{0,0194}\times \left[1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^{\frac{\mathrm{1,4}-1}{\mathrm{1,4}}}\right]}=205\frac{м}{с}$$

Секундный расход кислорода

$$M=f\sqrt{\frac{2k}{k-1}\frac{p_1}{{\upsilon }_1}\left[{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{2}{k}}-{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{k+1}{k}}\right]}=$$

$$=\mathrm{0,00002}\times \sqrt{\frac{2\times \mathrm{1,4}}{\mathrm{1,4}-1}\times \frac{5\times {10}^6}{\mathrm{0,0194}}\times \left[{\left(\frac{4}{5}\right)}^{\frac{2}{\mathrm{1,4}}}-{\left(\frac{4}{5}\right)}^{\frac{\mathrm{1,4}+1}{\mathrm{1,4}}}\right]}=\mathrm{0,175}\frac{кг}{с}$$

При истечении в атмосферу отношение давлений

$$\frac{p_2}{p_1}=\frac{1}{50}<{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}_{кр}=\mathrm{0,528}$$

Следовательно, скорость истечения в этом случае будет равна критической, а расход — максимальным.

Скорость истечения

$$w_{кр}=\mathrm{1,08}\sqrt{R_{O2}{T}_1}=\mathrm{1,08}\times \sqrt{\mathrm{259,8}\times 373}=336\frac{м}{с}$$

Максимальный расход определится по формуле

$$M_{max}=\mathrm{0,686}f\sqrt{\frac{p_1}{{\upsilon }_1}}=\mathrm{0,686}\times \mathrm{0,00002}\times \sqrt{\frac{5\times {10}^6}{\mathrm{0,0194}}}=\mathrm{0,22}\frac{кг}{с}$$

Ответ: w = 205 м/с; M = 0,175 кг/с; w_кр = 336 м/с; M_max = 0,22 кг/с.

Площадь минимального сечения сопла находим по формуле

$$f_{min}=\frac{M_{max}}{w_{кр}}{\upsilon }_{кр}$$

Удельный объем воздуха в минимальном сечении υ_кр находим из соотношения параметров адиабатного процесса:

$$\frac{{\upsilon }_{кр}}{{\upsilon }_1}={\left(\frac{p_1}{p_{кр}}\right)}^{\frac{1}{k}}$$

Значение υ₁ определяем из начальных условий:

$${\upsilon }_1=\frac{R_{возд}{T}_1}{p_1}=\frac{287\times 573}{1\times {10}^6}=\mathrm{0,164}\frac{{м}^3}{кг}$$

Критическое отношение давлений для воздуха

$${\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}_{кр}=\mathrm{0,528}$$

Следовательно, критическое давление и удельный объем, устанавливающееся в минимальном сечении сопла,

$$p_{кр}=\mathrm{0,528}{p}_1=\mathrm{0,528}\times 1=\mathrm{0,528} МПа$$

$${\upsilon }_{кр}={\upsilon }_1{\left(\frac{p_1}{p_{кр}}\right)}^{\frac{1}{k}}=\mathrm{0,164}\times {\left(\frac{1}{\mathrm{0,528}}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{1,4}}}=\mathrm{0,259}\frac{{м}^3}{кг}$$

Теоретическая скорость воздуха w_кр в минимальном сечении по формуле

$$w_{кр}=\mathrm{1,08}\sqrt{R_{возд}{T}_1}=\mathrm{1,08}\times \sqrt{287\times 573}=433\frac{м}{с}$$

Следовательно, площадь минимального сечения сопла должна быть

$$f_{min}=\frac{4\times \mathrm{0,259}}{432}\times {10}^6=2400 м{м}^2$$

Принимая сечение сопла круглым, находим диаметр наиболее узкой части

$$d_{min}=\sqrt{\frac{4f_{min}}{\pi }}=\sqrt{\frac{4\times 2400}{\mathrm{3,14}}}=\mathrm{55,4} мм$$

Площадь выходного сечения сопла

$$f=\frac{M{\upsilon }_2}{w}$$

Удельный объем воздуха в выходном сечении

$${\upsilon }_2={\upsilon }_1{\left(\frac{p_1}{p_2}\right)}^{\frac{1}{k}}=\mathrm{0,164}\times {10}^{\frac{1}{\mathrm{1,4}}}=\mathrm{0,85}\frac{{м}^3}{кг}$$

Скорость истечения воздуха из сопла

$$w=\sqrt{\frac{2k}{k-1}{p}_1{\upsilon }_1\left[1-{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{k-1}{k}}\right]}=$$

$$=\sqrt{\frac{2\times \mathrm{1,4}}{\mathrm{1,4}-1}\times {10}^6\times \mathrm{0,164}\times \left(1-{\mathrm{0,1}}^{\frac{\mathrm{1,4}-1}{\mathrm{1,4}}}\right)}=744\frac{м}{с}$$

Площадь выходного сечения сопла

$$f=\frac{4\times \mathrm{0,87}}{744}\times {10}^6=4680 м{м}^2$$

Диаметр выходного сечения сопла

$$d=\sqrt{\frac{4f}{\pi }}=\sqrt{\frac{4\times 4680}{\mathrm{3,14}}}=\mathrm{77,0} мм$$

Расстояние между сечением сопла на выходе и наиболее узким сечением выбирается из конструктивных соображений; что касается длины расширяющейся части, то она определяется по формуле:

$$l=\frac{d-d_{min}}{2\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}}=\frac{\mathrm{77,0}-\mathrm{55,4}}{2\times \mathrm{0,0875}}=123 мм$$

Ответ: d_min = 55,4 мм; d = 77,0 мм; l = 123 мм.

Из диаграммы is

$$h_0=i_1-i_2=896\frac{кДж}{кг}$$

Скорость истечения

$$w=\mathrm{44,76}\sqrt{i_1-i_2}=\mathrm{44,76}\times \sqrt{896}=1340\frac{м}{с}$$

Ответ: w = 1340 м/с.

Отношение давлений

$$\frac{p_2}{p_1}=\frac{1}{12}=\mathrm{0,0834}$$

т. е. оно меньше критического отношения давлений для перегретого пара, составляющего 0,546. Следовательно, если истечение происходит не через расширяющееся сопло, то скорость истечения будет равна критической скорости. Для перегретого пара эта скорость

$$c_{кр}=\mathrm{44,76}\sqrt{i_1-i_{кр}}$$

Для нахождения i_кр определяем p_кр:

$$p_{кр}=\mathrm{0,546}{p}_1=\mathrm{0,546}\times \mathrm{1,2}=\mathrm{0,655} МПа$$

По параметрам p₁ = 1,2 МПа и t₁ = 300 ℃ найдем:

- удельную энтальпию

$$i_1=\mathrm{3045,6}\frac{кДж}{кг}$$

- удельную энтропию (адиабатный процесс)

$$s_1=s_2=s=\mathrm{7,033}\frac{кДж}{кг\times К}$$

По параметрам s = 7,033 кДж/(кг × К) и p_кр = 0,665 МПа найдем удельную энтальпию

$$i_{кр}=\mathrm{2904,0}\frac{кДж}{кг}$$

По параметрам s = 7,033 кДж/(кг × К) и p₂ = 0,1 МПа найдем удельную энтальпию

$$i_2=\mathrm{2553,1}\frac{кДж}{кг}$$

и, таким образом

$$c_{кр}=\mathrm{44,76}\times \sqrt{\mathrm{3045,6}-\mathrm{2904,0}}=\mathrm{532,6}\frac{м}{с}$$

Для сопла Лаваля скорость истечение больше критической

$$w=\mathrm{44,76}\sqrt{i_1-i_2}=\mathrm{44,76}\times \sqrt{\mathrm{3045,6}-\mathrm{2553,1}}=\mathrm{993,3}\frac{м}{с}$$

Ответ: c_кр = 532,6 м/с; w = 993,3 м/с.

Так как с достаточной точностью можно принять, что. при дросселировании энтальпия, воздуха в начальном и конечном состояниях одинакова, т.е. i₂ = i₁ то конечную температуру воздуха можно принять равной начальной, т. е.

$$t_2=t_1=20 ℃$$

Приращение энтропии можно найти по формуле

$$\Delta s=c_p\ln \frac{T_2}{T_1}-R\ln \frac{p_2}{p_1}$$

и так как для рассматриваемого процесса T₂ = T₁, то

$$\Delta s=-R\ln \frac{p_2}{p_1}=R\ln \frac{p_1}{p_2}=287\times \ln \frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,6}}=\mathrm{82,6}\frac{Дж}{кг\times К}$$

Ответ: Δs = 82,6 Дж/(кг × К).

При давлении p₁ = 1,8 МПа и температуре t₁ = 250 ℃ найдем удельную энтропию

$$i=\mathrm{2910,7}\frac{кДж}{кг}$$

При давлении p₂ = 1 МПа и энтальпии i₁ = 2910,7 кДж/кг найдем конечную температуру

$$t_2=\mathrm{235,8} ℃$$

Найдем температуры насыщения:

- при p₁ = 1,8 МПа и x = 1

$$t_{н1}=\mathrm{207,1} ℃$$

- при p₂ = 1 МПа и x = 1

$$t_{н2}=\mathrm{179,9} ℃$$

Перегрев в начальном и конечном состоянии:

$$\Delta t_{п1}=t_1-t_{н1}=250-\mathrm{207,1}=\mathrm{42,9} ℃$$

$$\Delta t_{п2}=t_2-t_{н2}=\mathrm{235,8}-\mathrm{179,9}=\mathrm{55,9} ℃$$

Изменение перегрева пара

$$\Delta t=\Delta t_{п2}-\Delta t_{п1}=\mathrm{55,9}-\mathrm{42,9}=13 ℃$$

Ответ: t₂ = 235,8 ℃; Δt = 13 ℃.