ЗакладкиКорзинаЗаказы

Содержание главы

  1. Напряжения и деформации в движущихся элементах конструкций
  2. Собственные колебания с одной степенью свободы
  3. Вынужденные колебания с одной степенью свободы
  4. Колебания систем с несколькими степенями свободы
  5. Действие удара на конструкцию
  6. Параметрические колебания и автоколебания

Примеры решений задач

Данные примеры задач, относятся к предмету «Сопротивление материалов».

Задача #5911

Условие:

2l2lωx

Стальной стержень постоянного сечения вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω. Определить допустимую по прочности наибольшую длину стержня lпр при частоте вращения n = 1200 об/мин и частоту вращения nmax, при которой стержень разорвется, если l = lпр. Дано: [σ] = 100 МПа, σв = 800 МПа, ρ = 7,83 т/м3.

Решение:

Элементарная сила инерции

dP=Fdxρω2x

Максимальное усилии

N=Fρω20l2xdx=18Fρω2l2

Из условия прочности

NFσ

полагая

ω=nπ30

получаем

lпр=1πn7200σρ=1,54 м

nmax=1πlпр7200σbρ=3395обм

Ответ: lпр = 1,54 м; nmax = 3395 об/мин.

Задача #5912

Условие:

l2l2Cm2m1№20а

При помощи лебедки C, установленной на балках двутаврового сечения № 20а, поднимается груз массы m1 = 5 т с постоянным ускорением. Известно, что в первые три секунды груз проходит расстояние h = 10 м. Проверить прочность балок. Масса лебедки m2 = 0,5 т; l = 4 м, [σ] = 160 МПа.

Решение:

Нагрузка на балки

P=m1+m2g+m12ht2=65×103

Максимальное напряжение

σд=Pl4×2W=65×103×44×2×203=160 МПа

Ответ: σд = 160 МПа.

Задача #5913

Условие:

llABrrbh

Определить наибольшее нормальное напряжение от изгиба силами инерции в спарнике AB, имеющем прямоугольное сечение. Колеса вращаются с постоянной угловой скоростью.

Дано: n = 300 об/мин, l = 2 м, r = 0,25 м, h = 5,6 см, ρ = 7,85 т/м3.

Решение:

Интенсивность сил инерции

q=m0ω2r=bhρnπ302r

Максимальный момент

M=ql28

Максимальное напряжение

σд=MW=3ql24bh2=nπ2rl2ρ1200h=103,8 МПа

Ответ: σд = 103,8 МПа.

Задача #5914

Условие:

lrABObttth

Найти наибольшее нормальное напряжение изгиба в шатуне от сил инерции. Сечение шатуна — двутавр. Дано: r = 0,1 м, l = 0,4м, b = 4 см, h = 5 см, t = 1 см, n = 2000 об/мин, ρ = 7,85 т/м3.

Решение:

Площадь сечения шатуна

F=11 см2

Момент инерции:

J=34,92 см4

W=13,97 см3

Наибольшая интенсивность сил инерции

q0=ρFω2r=ρFπn302r=37900 Н×м-1

Максимальный изгибающий момент

Mmax=q0l293=389 Н×м

Максимальное напряжение

σд=MW=27,8 МПа

Ответ: σд = 27,8 МПа.

Задача #5915

Условие:

llωmm

Цилиндрическая пружина, прикрепленная к вертикальному стержню и несущая по концам массы m = 1 кг, вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω. Определить угловую скорость, при которой удлинение каждой половины пружины будет равно f = 5 см. Вычислить максимальное касательное напряжение в пружине. Массой пружины пренебречь. Средний диаметр пружины D = 6 см, диаметр проволоки пружины d = 0,5 см, число витков n = 30, l = 15 см; G = 8 × 104 МПа.

Решение:

Жесткость пружины

c=Gd48D3n=1929Нм

По принципу Даламбера

mω2l+f=cf

Отсюда

ω=cfml+f=22 рад

Напряжение в пружине

τд=8PDπd3=8fcDπd3=118 МПа

Ответ: τд = 118 МПа.

Задача #5916

Условие:

bωt

На вал диаметра d = 60 мм насажен маховик с моментом инерции Jm = 40 кг × м2. Частота вращения вала n = 600 об/мин. После включения тормоза маховик останавливается, сделав 10 оборотов. Определить максимальное касательное напряжение в вале, считая силу торможения постоянной. Массой вала пренебречь.

Решение:

Угловое ускорение

ε=ω22φ=nπ302×12φ=10π

Крутящий момент

Mк=Jmε=400π Н×м

Касательное напряжение

τ=16Mкπd3=29,6 МПа

Ответ: τ = 29,6 МПа.

Задача #5917

Условие:

Маховик электроинерционного стартера представляет собой диск постоянной толщины диаметра D = 16 см и массы m = 8 кг. За время t = 1 с он приобретает частоту вращения n = 8000 об/мин. Найти максимальное касательное напряжение в вале диаметра d = 20 мм, на который насажен маховик, считая ускорение постоянным.

Решение:

Момент инерции диска

Jm=mD28

Угловое ускорение

ε=ωt=πn30t

Крутящий момент

Mк=Jmε=mD28×πn30t

Напряжение

τ=16Mкπd3=13,65 МПа

Ответ: τ = 13,65 МПа.

Задача #5918

Условие:

На дюралевый диск постоянной толщины надет стальной обод с натягом Δ = 2σ = 1 мм. Определить, при какой частоте вращения давление от натяга будет равно нулю. Коэффициент Пуассона дюраля μ = 0,32, плотность ρд = 2,7 т/м3, ρс = 7,85 т/м3, b = 50 см, t = 1,5 см, Eд = 7 × 104 МПа, Eс = 2 × 105 МПа.

Решение:

Изменение натяга равно удвоенной разности радиальных перемещений обода и крайних точек диска от действия сил инерции

2u1-u2=2ρсω2b3Eс-1-ω4Eдρдω2b3=2ω2b3ρсEс-1-μ4Eдρд

При

2u1-u2=Δ

давление от натяга будет равно нулю. Из этого условия, полагая

ω=nπ30

находим частоту вращения

n=1πb450ΔbρсEс-1-μ4Eдρд=3340обмин

Ответ: n = 3340 об/мин.

Задача #5921

Условие:

m

К цилиндрической пружине подвешен груз массы m = 2 кг. Груз может перемещаться только в вертикальном направлении. Определить частоту собственных колебаний груза без учета и с учетом массы пружины. Средний диаметр пружины D = 6 см, диаметр проволоки пружины d = 0,6 см, число витков n = 15, плотность ρ = 7,85 т/м3; G = 8 × 104 МПа.

Решение:

Жесткость пружины

c=Gd48D3n=4×103Нм

Частота

ω1=cm=44,72 с-1

Приведенная масса пружины

mпр=13πd24πDnρ=0,209 кг

Частота с учетом массы пружины

ω2=cm+mпр=42,55 с-1

Ответ: ω1 = 44,72 с-1; ω» = 42,55 с-1.

Задача #5922

Условие:

dml

К стальному стержню длины l = 1 м, диаметра d = 2 см прикреплен груз массы m = 50 кг. Найти частоту и период собственных вертикальных колебаний системы без учета и с учетом массы стержня. Плотность ρ = 7,85 т/м3, E = 2 × 105 МПа.

Решение:

Жесткость стержня

c=EFl=2π×107Нм

Частота

ω1=cm=1112 с-1

Приведенная масса стержня

mпр=13πd24lρ=0,822 кг

Частота с учетом массы стержня

ω2=cm+mпр=1112 с-1

Период

T2=2πω2=0,00565 с

Ответ: ω1 = 44,72 с-1; ω» = 42,55 с-1.

Ответ: не указан.

Задача #5923

Условие:

Определить частоту и период собственных продольных колебаний цилиндрической пружины. Средний диаметр пружины D = 60 мм, диаметр проволоки d = 2 мм, число витков n = 10, плотность ρ = 7,85 т/м3, G = 8 × 104 МПа.

Решение:

Жесткость пружины

c=Gd48D3n

Приведенная масса пружины

mпр=13πd24πDnρ=0,209 кг

Частота

ω=cmпр=dπD2n3G2ρ=69,14 с-1

Период

T=2πω=0,0909 с

Ответ: не указан.

Задача #5924

Условие:

mal

К жесткому рычагу, удерживаемому цилиндрической пружиной, прикреплен груз массы m = 3 кг. Определить частоту собственных колебаний системы, пренебрегая массой рычага и пружины. Средний диаметр пружины D = 3 см, диаметр проволоки d = 0,3 см, число витков n = 10, l = 25 см, a = 10 см; G = 8 × 104 МПа.

Решение:

Записываем уравнение движения системы, используя принцип Даламбера

x¨+ca2ml2x=0

Отсюда частота

ω=alcm

Жесткость пружины

c=Gd48D3n=3×103Нм

частота

Ответ: ω = 12,65 с-1.

Задача #5931

Условие:

Опора A шарнирно опертой горизонтальной балки АВ длины l, несущей массу m посередине пролета, совершает колебания в вертикальном направлении по закону vA = a sin ωвt. Найти закон движения массы и динамический прогиб балки vд под грузом.

Решение:

Сила X, действующая со стороны балки на массу m, определяется из условия

f=v-vA2=Xc

откуда

X=cv-ca2sinωвt

Уравнение движения массы

mv¨+X=0

или

v¨+ω2v=aω22sinωвt

где

ω2=cm=48EJml3

Решение дифференциального уравнения ищем в виде

v=C1sinωвt

Получаем

v=asinωвt21-ωвω

Прогиб балки

f=v-12vA=asinωвt2ωв2ω2-1

Ответ: не указан.

Задача #5932

Условие:

Определить максимальное напряжение в шарнирно опертой балке с массой m = 500 кг, расположенной посередине пролета, если одна из опор вибрирует с частотой ωв = 32 1/с. Амплитуда вибрации a = 4 мм. Длина балки l = 4 м, J = 410 см4, W = 51,8 см3; E = 2 × 105 МПа. Массой балки пренебречь.

Решение:

Собственная частота

ω=48EJml2=35,07 с-1

Динамический прогиб балки

f=0,5aωв2ω2-1=1×10-2 м

Динамическое напряжение

σд=MW=12EJfWl2=118,7 МПа

Статическое напряжение

σст=mgl4W=97,7 МПа

Максимальное напряжение

σmax=σст+σд=213,4 МПа

Ответ: σmax = 213,4 МПа.

Задача #5941

Условие:

l3l3l3mm

Определить частоты собственных поперечных колебаний шарнирно опертой балки с двумя одинаковыми сосредоточенными массами m = 500 кг, точки приложения которых делят пролет балки на три равные части. Жесткость EJ = 2,26 МН × м2, l = 3 м. Массой балки пренебречь.

Решение:

Уравнения движения системы:

-δ11m1x¨1-δ12m2x¨2=x1

-δ21m1x¨1-δ22m2x¨2=x2

Решение системы ищем в виде:

x1=A1cosωt

x2=A2cosωt

После подстановки получаем:

δ11m1ω2-1A1+δ12m2ω2A2=0

δ21m1ω2A1+δ22m2ω2-1A2=0

Приравняв нулю определитель этой системы, получаем уравнение частот

δ11δ22-δ122m1m2ω4-δ11m1+δ22m2ω2+1=0

В рассматриваемом случае:

m1=m2=m

δ11=δ22=4l3243EJ

δ12=δ21=7l3486EJ

Уравнение частот примет вид

15z2-16z+1=0

где

z=mω2l3486EJ

Решая это уравнения

z1=115

z2=1

Частоты:

ω1=486EJz1ml3=73,7 с-1

ω2=486EJz2ml3=285 с-1

Ответ: ω1 = 73,7 с-1; ω2 = 285 с-1.

Задача #5942

Условие:

lEJmD

Определить частоты собственных линейных и угловых колебаний диска диаметра D = 0,36 м и массы m = 15 кг, прикрепленного к концу консоли длины l = 0,5 м. Жесткость EJ = 0,5 кН × м2. Массой консоли пренебречь.

Решение:

Уравнения движения системы:

-δφφJmφ¨-δφxmx¨=φ

-δxφJmφ¨-δxxmx¨=x

Соответствующее уравнение частот

δφφδxx-δφx2mJmω4-δφφJm+δxxmω2+1=0

Учитывая, что

Jm=mD28

и введя обозначение

z=mω2l2EJ

получаем

0,00135z2-0,2z+1=0

Корни этого уравнения:

z1=5,18

z2=142,9

Частоты:

ω1=EJz1ml2=26,3 с-1

ω2=EJz2ml2=138 с-1

Ответ: ω1 = 26,3 с-1; ω2 = 138 с-1.

Задача #5951

Условие:

2l2lmh№22а

На стальную балку двутаврового сечения № 22а посередине пролета падает с высоты h = 10 см груз массы m = 100 кг. Определить прогиб под грузом и максимальное напряжение в балке. Длина пролета l = 2 м. Массой балки пренебречь; E = 2 × 105 МПа.

Решение:

Статический прогиб

Δст=mgl348EJ=0,0293×10-3 м

Коэффициент динамичности

Kд=1+1+2hΔст=83,6

Динамический прогиб

Δд=KдΔст=2,54×10-3 м

Динамическое напряжение

σд=Kдσд=Kдmgl4W=161,4 МПа

Ответ: Δд = 2,5 × 10-3 м; σд = 161,4 МПа.

Задача #5952

Условие:

mhl

Груз массы m = 50 кг падает с высоты h = 1 м на диск, укрепленный на нижнем конце стержня круглого сечения диаметра d = 2 см. Вычислить удлинение стержня и напряжение в стержне, пренебрегая массой диска и считая его недеформируемым. Задачу решить без учета и с учетом массы стержня. Плотность ρ = 7,85 т/м3, l = 2 м, E = 2 × 105. МПа.

Решение:

Статическое удлинение

λст=mglEF=0,0156×10-3 м

Коэффициент динамичности без учета массы стержня

Kд=1+2hλст=359

Динамическое удлинение

λд=Kдλст=5,60×10-3 м

Напряжение

σд=KдmgF=560 МПа

Коэффициент динамичности с учетом массы стержня

Kд=1+2hλст1+13m1m

где масса стержня

m1=πd24lρ=2,47 кг

Получаем:

Kд=356

λд=Kдλст=5,55×10-3 м

σд=KдmgF=556 МПа

Ответ: не указан.

Задача #5953

Условие:

mm1v

Определить напряжения в цилиндрической пружине, возникающие при ударе телом массы m = 2 кг, движущимся со скоростью v = 5 м/с. Средний диаметр пружины D = 4 см, диаметр проволоки пружины d = 0,6 см, число витков n = 12, m1 = 1,5 кг, G = 8 × 104 МПа. Удар считать абсолютно неупругим. Массой пружины пренебречь.

Решение:

Скорость движения системы после удара

v1=mvm+m1

Кинетическая энергия системы

T=m+m1v122=m2v22m+m1

Потенциальная энергия деформации пружины

U=Pλ2=4P2D3nGd4

Выразим P через напряжение

P=πd3τ8D

Получим

U=π2d2Dnτ216G

Из условия T = U находим

τ=mvπd8m+m1Dn=327 МПа

Ответ: τ = 327 МПа.

Задача #5954

Условие:

Определить минимальное число витков буферной цилиндрической пружины, которая могла бы воспринимать удар тела массы m = 5 кг, движущегося в горизонтальном направлении со скоростью v = 3 м/с, без появления пластических деформаций. Средний диаметр пружины D = 6 см, диаметр проволоки d = 0,6 см. Предел текучести при сдвиге τт = 300 МПа, G = 8 × 104 МПа. Массой пружины пренебречь.

Решение:

Выразим потенциальную энергию деформации пружины через напряжение τ

U=Pλ2=π2d2Dnτ216G

Из условия

U=T=mv22

находим

n=8mv2Gπ2d2Dτт2=15

Ответ: n = 15.

Задача #5955

Условие:

Определить напряжения, возникающие в коротком стальном стержне, движущемся в горизонтальном направлении со скоростью v = 3 м/с, при ударе о недеформируемую стенку. Плотность ρ = 7,85 т/м3. Принять, что напряжения в стержне распределяются по его длине по линейному закону; E = 2 × 105 МПа.

Решение:

Напряжение изменяется по длине стержня по линейному закону

σ=σдxl

Потенциальная энергия деформации

U=0lσ22EFdx=σ2F2El20lx2dx=σд2Fl6E

Кинетическая энергия

T=mv22=Flρv22

Из условия U = T находим

σд=v3Eρ=206 МПа

Ответ: σд = 206 МПа.

Задача #5956

Условие:

Балка длины 2l, падая в горизонтальном положении с высоты h, ударяется о препятствие своей серединой. Определить максимальный изгибающий момент в балке, если масса единицы длины балки m0.

Решение:

Кинетическая энергия падающей балки

T=mv22=m02l×2gh2=2m0lgh

Потенциальная энергия изгиба балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивности qд

U=20lM22EJdx=1EJ0lqдx222dx=qд2l520EJ

Из условия T = U находим qд, а затем максимальный изгибающий момент

Mmax=qДl22=10EJm0gh

Ответ: не указан.

Задача #5957

Условие:

Груз Р = 1,5 т с постоянной скоростью v = 2,4 м/сек опускается на сматывающемся с барабана лебедки проволочном тросе. Когда длина троса между грузом и лебедкой оказывается равной l = 180 м, происходит резкое торможение барабана, и груз останавливается. Площадь поперечного сечения троса F = 5 см2, вес погонного метра q = 2,1 кг/м, модуль упругости E = 1,6 · 106 кг/см2.

Определить наибольшее нормальное напряжение в тросе и его удлинение без учета и с учетом его веса.

Решение:

Пренебрегая весом троса, для вычисления наибольшего напряжения в нем при внезапном торможении лебедки воспользуемся формулой

σд=σсkд

где

σс=PF=15005=300кгсм2

Динамический коэффициент

kд=1+v2g×Δlс=1+v2EFgPl=1+2402×1,6×106×5981×1500×18000=5,17

Здесь единицей перед радикалом учитывается статическое действие нагрузки (при v = 0).

Таким образом, динамическое напряжение равно

σд=300×5,17=1551кгсм2

Удлинение троса

Δlд=Δlсkд=PlEFkд=1500×180001,6×106×5×5,17=17,45 см

При решении задачи с учетом собственного веса троса динамический коэффициент должен быть вычислен по формуле

kд1=1+v2EFgPl1+β

где β — отношение приведенной массы троса

Qтр3g=ql3g

к массе ударяющего груза

Pg

т. е.

β=ql3g×gP=ql3P=2,1×1803×1500=0,084

Таким образом, динамический коэффициент равен

kд1=1+2402×1,6×106×5981×1500×18000×1+0,0845,01

Наибольшее нормальное напряжение о тросе будет

maxσд=P+qlF=1500+2,1×1805×5,01=1882кгсм2

Полное удлинения троса

Δlд=Δlсkд1=P+0,5qlEFlkд1=1500+0,5×2,1×1801,6×106×5×18000×5,0119,05 см

Пренебрегая собственным весом троса, мы в данном случае существенно снижаем в нем расчетные значения напряжений н деформаций.

Ответ: не указан.

Задача #5958

Условие:

Двутавровая балка № 60, шарнирно опертая по концам, посредине пролета l = 4 м подвергается удару грузом P = 800 кг, падающим с высоты H = 5 см. Стенка двутавра расположена вертикально.

Определить наибольшее нормальное напряжение н наибольший прогиб балки без учета и с учетом ее массы.

Решение:

Для балки № 60 по сортаменту:

Jx=75450 см4

Wx=2510 см3

Вес единицы длины

q=104кгм

Наибольшее нормальное напряжение при статическом нагружении силой Р = 800 кг равно

maxσс=Pl4Wx=800×4004×2510=31,9кгсм2

Статический прогиб в месте приложения силы

fс=Pl348EJx=800×400348×2×106×75450=0,00707 см

Пренебрегая массой балки, динамический коэффициент вычисляем по формуле

kд=1+1+2Hfс=1+1+2×50,00707=1+1+1414,638,6

Следует иметь в виду, что эта формула становится весьма неточной при значениях

2Hfс>100

как в данном случае; при учете массы балки ее допустимо использовать и при значениях

2Hfс>100

Наибольшее нормальное напряжение в балке при ударе равно

maxσд=maxσс×kд=31,9×38,6=1231кгсм2

Наибольший прогиб ее

fд=fс×kд=0,00707×38,6=0,273 см

Статические составляющие напряжения н деформации от собственного веса балки здесь не учтены.

При учете массы балки динамический коэффициент должен быть вычислен по формуле

kд=1+1+2H1+βfс

где

1+β=1+αQP

причем для балки на двух шарнирных опорах

α=1735

Вес балки

Q=ql=104×4=416 кг

Таким образом

kд=1+1+2×51+1735×416800×0,00707=1+1+1414,61,2526=34,6

Теперь наибольшее нормальное напряжение в балке равно

maxσд=Ql8Wx+Pl4Wxkд=l8WxQ+2Pkд=

=4008×2510×416+2×800×34,6=1112кгсм2

Наибольший прогиб ее

fд=5Ql3384EJx+Pl3kд48EJx=58Q+Pkдl348EJx=

=58×416+800×34,6×400348×2×106×75450=0,247 см

Первые члены последних выражений представляют статическое напряжение и статический прогиб балки под действием ее собственного веса, не учтенные в предыдущем расчете.

Учет массы балки приводит в данном случае к снижению вычисленного напряжения н прогиба примерно в 1,1 раза.

Ответ: не указан.