Задачи динамики

Cтатистика главы
Количество разделов	6
Количество задач	199

Примеры решений задач

Данные примеры задач, относятся к предмету «Сопротивление материалов».

Задача #5911

Условие:

Стальной стержень постоянного сечения вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω. Определить допустимую по прочности наибольшую длину стержня l_пр при частоте вращения n = 1200 об/мин и частоту вращения n_max, при которой стержень разорвется, если l = l_пр. Дано: [σ] = 100 МПа, σ_в = 800 МПа, ρ = 7,83 т/м³.

Решение:

Элементарная сила инерции

$d P = F d x ρ ω^{2} x$

Максимальное усилии

$N = F ρ ω^{2} \int_{0}^{\frac{l}{2}} x d x = \frac{1}{8} F ρ ω^{2} l^{2}$

Из условия прочности

$\frac{N}{F} \leq [σ]$

полагая

$ω = \frac{n π}{30}$

получаем

$l_{п р} = \frac{1}{π n} \sqrt{\frac{7200 [σ]}{ρ}} = 1,54 м$

$n_{m a x} = \frac{1}{π l_{п р}} \sqrt{\frac{7200 σ_{b}}{ρ}} = 3395 \frac{о б}{м}$

Ответ: l_пр = 1,54 м; n_max = 3395 об/мин.

Задача #5912

Условие:

При помощи лебедки C, установленной на балках двутаврового сечения № 20а, поднимается груз массы m₁ = 5 т с постоянным ускорением. Известно, что в первые три секунды груз проходит расстояние h = 10 м. Проверить прочность балок. Масса лебедки m₂ = 0,5 т; l = 4 м, [σ] = 160 МПа.

Решение:

Нагрузка на балки

$P = (m_{1} + m_{2}) g + \frac{m_{1} 2 h}{t^{2}} = 65 \times 10^{3}$

Максимальное напряжение

$σ_{д} = \frac{P l}{4 \times 2 W} = \frac{65 \times 10^{3} \times 4}{4 \times 2 \times 203} = 160 М П а$

Ответ: σ_д = 160 МПа.

Задача #5913

Условие:

Определить наибольшее нормальное напряжение от изгиба силами инерции в спарнике AB, имеющем прямоугольное сечение. Колеса вращаются с постоянной угловой скоростью.

Дано: n = 300 об/мин, l = 2 м, r = 0,25 м, h = 5,6 см, ρ = 7,85 т/м³.

Решение:

Интенсивность сил инерции

$q = m_{0} ω^{2} r = b h ρ {(\frac{n π}{30})}^{2} r$

Максимальный момент

$M = \frac{q l^{2}}{8}$

Максимальное напряжение

$σ_{д} = \frac{M}{W} = \frac{3 q l^{2}}{4 b h^{2}} = \frac{{(n π)}^{2} r l^{2} ρ}{1200 h} = 103,8 М П а$

Ответ: σ_д = 103,8 МПа.

Задача #5914

Условие:

Найти наибольшее нормальное напряжение изгиба в шатуне от сил инерции. Сечение шатуна — двутавр. Дано: r = 0,1 м, l = 0,4м, b = 4 см, h = 5 см, t = 1 см, n = 2000 об/мин, ρ = 7,85 т/м³.

Решение:

Площадь сечения шатуна

$F = 11 с м^{2}$

Момент инерции:

$J = 34,92 с м^{4}$

$W = 13,97 с м^{3}$

Наибольшая интенсивность сил инерции

$q_{0} = ρ F ω^{2} r = ρ F {(\frac{π n}{30})}^{2} r = 37900 Н \times м^{- 1}$

Максимальный изгибающий момент

$M_{m a x} = \frac{q_{0} l^{2}}{9 \sqrt{3}} = 389 Н \times м$

Максимальное напряжение

$σ_{д} = \frac{M}{W} = 27,8 М П а$

Ответ: σ_д = 27,8 МПа.

Задача #5915

Условие:

Цилиндрическая пружина, прикрепленная к вертикальному стержню и несущая по концам массы m = 1 кг, вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω. Определить угловую скорость, при которой удлинение каждой половины пружины будет равно f = 5 см. Вычислить максимальное касательное напряжение в пружине. Массой пружины пренебречь. Средний диаметр пружины D = 6 см, диаметр проволоки пружины d = 0,5 см, число витков n = 30, l = 15 см; G = 8 × 10⁴ МПа.

Решение:

Жесткость пружины

$c = \frac{G d^{4}}{8 D^{3} n} = 1929 \frac{Н}{м}$

По принципу Даламбера

$m ω^{2} (l + f) = c f$

Отсюда

$ω = \sqrt{\frac{c f}{m (l + f)}} = 22 р а д$

Напряжение в пружине

$τ_{д} = \frac{8 P D}{π d^{3}} = \frac{8 f c D}{π d^{3}} = 118 М П а$

Ответ: τ_д = 118 МПа.

Задача #5916

Условие:

На вал диаметра d = 60 мм насажен маховик с моментом инерции J_m = 40 кг × м². Частота вращения вала n = 600 об/мин. После включения тормоза маховик останавливается, сделав 10 оборотов. Определить максимальное касательное напряжение в вале, считая силу торможения постоянной. Массой вала пренебречь.

Решение:

Угловое ускорение

$ε = \frac{ω^{2}}{2 φ} = {(\frac{n π}{30})}^{2} \times \frac{1}{2 φ} = 10 π$

Крутящий момент

$M_{к} = J_{m} ε = 400 π Н \times м$

Касательное напряжение

$τ = \frac{16 M_{к}}{π d^{3}} = 29,6 М П а$

Ответ: τ = 29,6 МПа.

Задача #5917

Условие:

Маховик электроинерционного стартера представляет собой диск постоянной толщины диаметра D = 16 см и массы m = 8 кг. За время t = 1 с он приобретает частоту вращения n = 8000 об/мин. Найти максимальное касательное напряжение в вале диаметра d = 20 мм, на который насажен маховик, считая ускорение постоянным.

Решение:

Момент инерции диска

$J_{m} = \frac{m D^{2}}{8}$

Угловое ускорение

$ε = \frac{ω}{t} = \frac{π n}{30 t}$

Крутящий момент

$M_{к} = J_{m} ε = \frac{m D^{2}}{8} \times \frac{π n}{30 t}$

Напряжение

$τ = \frac{16 M_{к}}{π d^{3}} = 13,65 М П а$

Ответ: τ = 13,65 МПа.

Задача #5918

Условие:

На дюралевый диск постоянной толщины надет стальной обод с натягом Δ = 2σ = 1 мм. Определить, при какой частоте вращения давление от натяга будет равно нулю. Коэффициент Пуассона дюраля μ = 0,32, плотность ρ_д = 2,7 т/м³, ρ_с = 7,85 т/м³, b = 50 см, t = 1,5 см, E_д = 7 × 10⁴ МПа, E_с = 2 × 10⁵ МПа.

Решение:

Изменение натяга равно удвоенной разности радиальных перемещений обода и крайних точек диска от действия сил инерции

$2 (u_{1} - u_{2}) = 2 (ρ_{с} \frac{ω^{2} b^{3}}{E_{с}} - \frac{1 - ω}{4 E_{д}} ρ_{д} ω^{2} b^{3}) = 2 ω^{2} b^{3} (\frac{ρ_{с}}{E_{с}} - \frac{1 - μ}{4 E_{д}} ρ_{д})$

При

$2 (u_{1} - u_{2}) = Δ$

давление от натяга будет равно нулю. Из этого условия, полагая

$ω = \frac{n π}{30}$

находим частоту вращения

$n = \frac{1}{π b} \sqrt{\frac{450 Δ}{b (\frac{ρ_{с}}{E_{с}} - \frac{1 - μ}{4 E_{д}} ρ_{д})}} = 3340 \frac{о б}{м и н}$

Ответ: n = 3340 об/мин.

Задача #5921

Условие:

К цилиндрической пружине подвешен груз массы m = 2 кг. Груз может перемещаться только в вертикальном направлении. Определить частоту собственных колебаний груза без учета и с учетом массы пружины. Средний диаметр пружины D = 6 см, диаметр проволоки пружины d = 0,6 см, число витков n = 15, плотность ρ = 7,85 т/м³; G = 8 × 10⁴ МПа.

Решение:

Жесткость пружины

$c = \frac{G d^{4}}{8 D^{3} n} = 4 \times 10^{3} \frac{Н}{м}$

Частота

$ω_{1} = \sqrt{\frac{c}{m}} = 44,72 с^{- 1}$

Приведенная масса пружины

$m_{п р} = \frac{1}{3} \frac{π d^{2}}{4} π D n ρ = 0,209 к г$

Частота с учетом массы пружины

$ω_{2} = \sqrt{\frac{c}{m + m_{п р}}} = 42,55 с^{- 1}$

Ответ: ω₁ = 44,72 с^-1; ω_» = 42,55 с^-1.

Задача #5922

Условие:

К стальному стержню длины l = 1 м, диаметра d = 2 см прикреплен груз массы m = 50 кг. Найти частоту и период собственных вертикальных колебаний системы без учета и с учетом массы стержня. Плотность ρ = 7,85 т/м³, E = 2 × 10⁵ МПа.

Решение:

Жесткость стержня

$c = \frac{E F}{l} = 2 π \times 10^{7} \frac{Н}{м}$

Частота

$ω_{1} = \sqrt{\frac{c}{m}} = 1112 с^{- 1}$

Приведенная масса стержня

$m_{п р} = \frac{1}{3} \frac{π d^{2}}{4} l ρ = 0,822 к г$

Частота с учетом массы стержня

$ω_{2} = \sqrt{\frac{c}{m + m_{п р}}} = 1112 с^{- 1}$

Период

$T_{2} = \frac{2 π}{ω_{2}} = 0,00565 с$

Ответ: ω₁ = 44,72 с^-1; ω_» = 42,55 с^-1.

Ответ: не указан.

Задача #5923

Условие:

Определить частоту и период собственных продольных колебаний цилиндрической пружины. Средний диаметр пружины D = 60 мм, диаметр проволоки d = 2 мм, число витков n = 10, плотность ρ = 7,85 т/м³, G = 8 × 10⁴ МПа.

Решение:

Жесткость пружины

$c = \frac{G d^{4}}{8 D^{3} n}$

Приведенная масса пружины

$m_{п р} = \frac{1}{3} \frac{π d^{2}}{4} π D n ρ = 0,209 к г$

Частота

$ω = \sqrt{\frac{c}{m_{п р}}} = \frac{d}{π D^{2} n} \sqrt{\frac{3 G}{2 ρ}} = 69,14 с^{- 1}$

Период

$T = \frac{2 π}{ω} = 0,0909 с$

Ответ: не указан.

Задача #5924

Условие:

К жесткому рычагу, удерживаемому цилиндрической пружиной, прикреплен груз массы m = 3 кг. Определить частоту собственных колебаний системы, пренебрегая массой рычага и пружины. Средний диаметр пружины D = 3 см, диаметр проволоки d = 0,3 см, число витков n = 10, l = 25 см, a = 10 см; G = 8 × 10⁴ МПа.

Решение:

Записываем уравнение движения системы, используя принцип Даламбера

$\ddot{x} + \frac{c a^{2}}{m l^{2}} x = 0$

Отсюда частота

$ω = \frac{a}{l} \sqrt{\frac{c}{m}}$

Жесткость пружины

$c = \frac{G d^{4}}{8 D^{3} n} = 3 \times 10^{3} \frac{Н}{м}$

частота

$Ответ: ω = 12,65 с$ ^-1.

Задача #5931

Условие: Опора A шарнирно опертой горизонтальной балки АВ длины l, несущей массу m посередине пролета, совершает колебания в вертикальном направлении по закону v_A = a sin ω_вt. Найти закон движения массы и динамический прогиб балки v_д под грузом. Решение:

Сила X, действующая со стороны балки на массу m, определяется из условия

f = v - \frac{v_{A}}{2} = \frac{X}{c}

откуда

$X = c v - c \frac{a}{2} \sin ω_{в} t$

Уравнение движения массы

$m \ddot{v} + X = 0$

или

$\ddot{v} + ω^{2} v = \frac{a ω^{2}}{2} \sin ω_{в} t$

где

$ω^{2} = \frac{c}{m} = \frac{48 E J}{m l^{3}}$

Решение дифференциального уравнения ищем в виде

$v = C_{1} \sin ω_{в} t$

Получаем

$v = \frac{a \sin ω_{в} t}{2 (1 - \frac{ω_{в}}{ω})}$

Прогиб балки

$f = v - \frac{1}{2} v_{A} = \frac{a \sin ω_{в} t}{2 (\frac{ω_{в}^{2}}{ω^{2}} - 1)}$

Ответ: не указан.

Задача #5932

Условие:

Определить максимальное напряжение в шарнирно опертой балке с массой m = 500 кг, расположенной посередине пролета, если одна из опор вибрирует с частотой ω_в = 32 1/с. Амплитуда вибрации a = 4 мм. Длина балки l = 4 м, J = 410 см⁴, W = 51,8 см³; E = 2 × 10⁵ МПа. Массой балки пренебречь.

Решение:

Собственная частота

$ω = \sqrt{\frac{48 E J}{m l^{2}}} = 35,07 с^{- 1}$

Динамический прогиб балки

$f = \frac{0,5 a}{\frac{ω_{в}^{2}}{ω^{2}} - 1} = 1 \times 10^{- 2} м$

Динамическое напряжение

$σ_{д} = \frac{M}{W} = \frac{12 E J f}{W l^{2}} = 118,7 М П а$

Статическое напряжение

$σ_{с т} = \frac{m g l}{4 W} = 97,7 М П а$

Максимальное напряжение

$σ_{m a x} = σ_{с т} + σ_{д} = 213,4 М П а$

Ответ: σ_max = 213,4 МПа.

Задача #5941

Условие:

Определить частоты собственных поперечных колебаний шарнирно опертой балки с двумя одинаковыми сосредоточенными массами m = 500 кг, точки приложения которых делят пролет балки на три равные части. Жесткость EJ = 2,26 МН × м², l = 3 м. Массой балки пренебречь.

Решение:

Уравнения движения системы:

$- δ_{11} m_{1} {\ddot{x}}_{1} - δ_{12} m_{2} {\ddot{x}}_{2} = x_{1}$

$- δ_{21} m_{1} {\ddot{x}}_{1} - δ_{22} m_{2} {\ddot{x}}_{2} = x_{2}$

Решение системы ищем в виде:

$x_{1} = A_{1} \cos ω t$

$x_{2} = A_{2} \cos ω t$

После подстановки получаем:

$(δ_{11} m_{1} ω^{2} - 1) A_{1} + δ_{12} m_{2} ω^{2} A_{2} = 0$

$δ_{21} m_{1} ω^{2} A_{1} + (δ_{22} m_{2} ω^{2} - 1) A_{2} = 0$

Приравняв нулю определитель этой системы, получаем уравнение частот

$(δ_{11} δ_{22} - δ_{12}^{2}) m_{1} m_{2} ω^{4} - (δ_{11} m_{1} + δ_{22} m_{2}) ω^{2} + 1 = 0$

В рассматриваемом случае:

$m_{1} = m_{2} = m$

$δ_{11} = δ_{22} = \frac{4 l^{3}}{243 E J}$

$δ_{12} = δ_{21} = \frac{7 l^{3}}{486 E J}$

Уравнение частот примет вид

$15 z^{2} - 16 z + 1 = 0$

где

$z = \frac{m ω^{2} l^{3}}{486 E J}$

Решая это уравнения

$z_{1} = \frac{1}{15}$

$z_{2} = 1$

Частоты:

$ω_{1} = \sqrt{\frac{486 E J z_{1}}{m l^{3}}} = 73,7 с^{- 1}$

$ω_{2} = \sqrt{\frac{486 E J z_{2}}{m l^{3}}} = 285 с^{- 1}$

Ответ: ω₁ = 73,7 с^-1; ω₂ = 285 с^-1.

Задача #5942

Условие:

Определить частоты собственных линейных и угловых колебаний диска диаметра D = 0,36 м и массы m = 15 кг, прикрепленного к концу консоли длины l = 0,5 м. Жесткость EJ = 0,5 кН × м². Массой консоли пренебречь.

Решение:

Уравнения движения системы:

$- δ_{φ φ} J_{m} \ddot{φ} - δ_{φ x} m \ddot{x} = φ$

$- δ_{x φ} J_{m} \ddot{φ} - δ_{x x} m \ddot{x} = x$

Соответствующее уравнение частот

$(δ_{φ φ} δ_{x x} - δ_{φ x}^{2}) m J_{m} ω^{4} - (δ_{φ φ} J_{m} + δ_{x x} m) ω^{2} + 1 = 0$

Учитывая, что

$J_{m} = \frac{m D^{2}}{8}$

и введя обозначение

$z = \frac{m ω^{2} l^{2}}{E J}$

получаем

$0,00135 z^{2} - 0,2 z + 1 = 0$

Корни этого уравнения:

$z_{1} = 5,18$

$z_{2} = 142,9$

Частоты:

$ω_{1} = \sqrt{\frac{E J z_{1}}{m l^{2}}} = 26,3 с^{- 1}$

$ω_{2} = \sqrt{\frac{E J z_{2}}{m l^{2}}} = 138 с^{- 1}$

Ответ: ω₁ = 26,3 с^-1; ω₂ = 138 с^-1.

Задача #5951

Условие:

На стальную балку двутаврового сечения № 22а посередине пролета падает с высоты h = 10 см груз массы m = 100 кг. Определить прогиб под грузом и максимальное напряжение в балке. Длина пролета l = 2 м. Массой балки пренебречь; E = 2 × 10⁵ МПа.

Решение:

Статический прогиб

$Δ_{с т} = \frac{m g l^{3}}{48 E J} = 0,0293 \times 10^{- 3} м$

Коэффициент динамичности

$K_{д} = 1 + \sqrt{1 + \frac{2 h}{Δ_{с т}}} = 83,6$

Динамический прогиб

$Δ_{д} = K_{д} Δ_{с т} = 2,54 \times 10^{- 3} м$

Динамическое напряжение

$σ_{д} = K_{д} σ_{д} = K_{д} \frac{m g l}{4 W} = 161,4 М П а$

Ответ: Δ_д = 2,5 × 10^-3 м; σ_д = 161,4 МПа.

Задача #5952

Условие:

Груз массы m = 50 кг падает с высоты h = 1 м на диск, укрепленный на нижнем конце стержня круглого сечения диаметра d = 2 см. Вычислить удлинение стержня и напряжение в стержне, пренебрегая массой диска и считая его недеформируемым. Задачу решить без учета и с учетом массы стержня. Плотность ρ = 7,85 т/м³, l = 2 м, E = 2 × 10⁵. МПа.

Решение:

Статическое удлинение

$λ_{с т} = \frac{m g l}{E F} = 0,0156 \times 10^{- 3} м$

Коэффициент динамичности без учета массы стержня

$K_{д} = 1 + \sqrt{\frac{2 h}{λ_{с т}}} = 359$

Динамическое удлинение

$λ_{д} = K_{д} λ_{с т} = 5,60 \times 10^{- 3} м$

Напряжение

$σ_{д} = K_{д} \frac{m g}{F} = 560 М П а$

Коэффициент динамичности с учетом массы стержня

$K_{д}^{’} = 1 + \sqrt{\frac{2 h}{λ_{с т} (1 + \frac{1}{3} \frac{m_{1}}{m})}}$

где масса стержня

$m_{1} = \frac{π d^{2}}{4} l ρ = 2,47 к г$

Получаем:

$K_{д}^{’} = 356$

$λ_{д}^{’} = K_{д}^{’} λ_{с т} = 5,55 \times 10^{- 3} м$

$σ_{д} = K_{д}^{’} \frac{m g}{F} = 556 М П а$

Ответ: не указан.

Задача #5953

Условие:

Определить напряжения в цилиндрической пружине, возникающие при ударе телом массы m = 2 кг, движущимся со скоростью v = 5 м/с. Средний диаметр пружины D = 4 см, диаметр проволоки пружины d = 0,6 см, число витков n = 12, m₁ = 1,5 кг, G = 8 × 10⁴ МПа. Удар считать абсолютно неупругим. Массой пружины пренебречь.

Решение:

Скорость движения системы после удара

$v_{1} = \frac{m v}{m + m_{1}}$

Кинетическая энергия системы

$T = \frac{(m + m_{1}) v_{1}^{2}}{2} = \frac{m^{2} v^{2}}{2 (m + m_{1})}$

Потенциальная энергия деформации пружины

$U = \frac{P λ}{2} = \frac{4 P^{2} D^{3} n}{G d^{4}}$

Выразим P через напряжение

$P = \frac{π d^{3} τ}{8 D}$

Получим

$U = \frac{π^{2} d^{2} D n τ^{2}}{16 G}$

Из условия T = U находим

$τ = \frac{m v}{π d} \sqrt{\frac{8}{(m + m_{1}) D n}} = 327 М П а$

Ответ: τ = 327 МПа.

Задача #5954

Условие:

Определить минимальное число витков буферной цилиндрической пружины, которая могла бы воспринимать удар тела массы m = 5 кг, движущегося в горизонтальном направлении со скоростью v = 3 м/с, без появления пластических деформаций. Средний диаметр пружины D = 6 см, диаметр проволоки d = 0,6 см. Предел текучести при сдвиге τ_т = 300 МПа, G = 8 × 10⁴ МПа. Массой пружины пренебречь.

Решение:

Выразим потенциальную энергию деформации пружины через напряжение τ

$U = \frac{P λ}{2} = \frac{π^{2} d^{2} D n τ^{2}}{16 G}$

Из условия

$U = T = \frac{m v^{2}}{2}$

находим

$n = \frac{8 m v^{2} G}{π^{2} d^{2} D τ_{т}^{2}} = 15$

Ответ: n = 15.

Задача #5955

Условие:

Определить напряжения, возникающие в коротком стальном стержне, движущемся в горизонтальном направлении со скоростью v = 3 м/с, при ударе о недеформируемую стенку. Плотность ρ = 7,85 т/м³. Принять, что напряжения в стержне распределяются по его длине по линейному закону; E = 2 × 10⁵ МПа.

Решение:

Напряжение изменяется по длине стержня по линейному закону

$σ = \frac{σ_{д} x}{l}$

Потенциальная энергия деформации

$U = \int_{0}^{l} \frac{σ^{2}}{2 E} F d x = \frac{σ^{2} F}{2 E l^{2}} \int_{0}^{l} x^{2} d x = \frac{σ_{д}^{2} F l}{6 E}$

Кинетическая энергия

$T = \frac{m v^{2}}{2} = \frac{F l ρ v^{2}}{2}$

Из условия U = T находим

$σ_{д} = v \sqrt{3 E ρ} = 206 М П а$

Ответ: σ_д = 206 МПа.

Задача #5956

Условие:

Балка длины 2l, падая в горизонтальном положении с высоты h, ударяется о препятствие своей серединой. Определить максимальный изгибающий момент в балке, если масса единицы длины балки m₀.

Решение:

Кинетическая энергия падающей балки

$T = \frac{m v^{2}}{2} = m_{0} 2 l \times \frac{2 g h}{2} = 2 m_{0} l g h$

Потенциальная энергия изгиба балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q_д

$U = 2 \int_{0}^{l} \frac{M^{2}}{2 E J} d x = \frac{1}{E J} \int_{0}^{l} {(\frac{q_{д} x^{2}}{2})}^{2} d x = \frac{q_{д}^{2} l^{5}}{20 E J}$

Из условия T = U находим q_д, а затем максимальный изгибающий момент

$M_{m a x} = \frac{q_{Д} l^{2}}{2} = \sqrt{10 E J m_{0} g h}$

Ответ: не указан.

Задача #5957

Условие:

Груз Р = 1,5 т с постоянной скоростью v = 2,4 м/сек опускается на сматывающемся с барабана лебедки проволочном тросе. Когда длина троса между грузом и лебедкой оказывается равной l = 180 м, происходит резкое торможение барабана, и груз останавливается. Площадь поперечного сечения троса F = 5 см², вес погонного метра q = 2,1 кг/м, модуль упругости E = 1,6 · 10⁶ кг/см².

Определить наибольшее нормальное напряжение в тросе и его удлинение без учета и с учетом его веса.

Решение:

Пренебрегая весом троса, для вычисления наибольшего напряжения в нем при внезапном торможении лебедки воспользуемся формулой

$σ_{д} = σ_{с} k_{д}$

где

$σ_{с} = \frac{P}{F} = \frac{1500}{5} = 300 \frac{к г}{с м^{2}}$

Динамический коэффициент

$k_{д} = 1 + \sqrt{\frac{v^{2}}{g \times Δ l_{с}}} = 1 + \sqrt{\frac{v^{2} E F}{g P l}} = 1 + \sqrt{\frac{240^{2} \times 1,6 \times 10^{6} \times 5}{981 \times 1500 \times 18000}} = 5,17$

Здесь единицей перед радикалом учитывается статическое действие нагрузки (при v = 0).

Таким образом, динамическое напряжение равно

$σ_{д} = 300 \times 5,17 = 1551 \frac{к г}{с м^{2}}$

Удлинение троса

$Δ l_{д} = Δ l_{с} k_{д} = \frac{P l}{E F} k_{д} = \frac{1500 \times 18000}{1,6 \times 10^{6} \times 5} \times 5,17 = 17,45 с м$

При решении задачи с учетом собственного веса троса динамический коэффициент должен быть вычислен по формуле

$k_{д 1} = 1 + \sqrt{\frac{v^{2} E F}{g P l (1 + β)}}$

где β — отношение приведенной массы троса

$\frac{Q_{т р}}{3 g} = \frac{q l}{3 g}$

к массе ударяющего груза

$\frac{P}{g}$

т. е.

$β = \frac{q l}{3 g} \times \frac{g}{P} = \frac{q l}{3 P} = \frac{2,1 \times 180}{3 \times 1500} = 0,084$

Таким образом, динамический коэффициент равен

$k_{д 1} = 1 + \sqrt{\frac{240^{2} \times 1,6 \times 10^{6} \times 5}{981 \times 1500 \times 18000 \times (1 + 0,084)}} \approx 5,01$

Наибольшее нормальное напряжение о тросе будет

$\max σ_{д} = \frac{P + q l}{F} = \frac{1500 + 2,1 \times 180}{5} \times 5,01 = 1882 \frac{к г}{с м^{2}}$

Полное удлинения троса

$Δ l_{д} = Δ l_{с} k_{д 1} = \frac{P + 0,5 q l}{E F} l k_{д 1} = \frac{1500 + 0,5 \times 2,1 \times 180}{1,6 \times 10^{6} \times 5} \times 18000 \times 5,01 \approx 19,05 с м$

Пренебрегая собственным весом троса, мы в данном случае существенно снижаем в нем расчетные значения напряжений н деформаций.

Ответ: не указан.

Задача #5958

Условие:

Двутавровая балка № 60, шарнирно опертая по концам, посредине пролета l = 4 м подвергается удару грузом P = 800 кг, падающим с высоты H = 5 см. Стенка двутавра расположена вертикально.

Определить наибольшее нормальное напряжение н наибольший прогиб балки без учета и с учетом ее массы.

Решение:

Для балки № 60 по сортаменту:

$J_{x} = 75450 с м^{4}$

$W_{x} = 2510 с м^{3}$

Вес единицы длины

$q = 104 \frac{к г}{м}$

Наибольшее нормальное напряжение при статическом нагружении силой Р = 800 кг равно

$\max σ_{с} = \frac{P l}{4 W_{x}} = \frac{800 \times 400}{4 \times 2510} = 31,9 \frac{к г}{с м^{2}}$

Статический прогиб в месте приложения силы

$f_{с} = \frac{P l^{3}}{48 E J_{x}} = \frac{800 \times 400^{3}}{48 \times 2 \times 10^{6} \times 75450} = 0,00707 с м$

Пренебрегая массой балки, динамический коэффициент вычисляем по формуле

$k_{д} = 1 + \sqrt{1 + \frac{2 H}{f_{с}}} = 1 + \sqrt{1 + \frac{2 \times 5}{0,00707}} = 1 + \sqrt{1 + 1414,6} \approx 38,6$

Следует иметь в виду, что эта формула становится весьма неточной при значениях

$\frac{2 H}{f_{с}} > 100$

как в данном случае; при учете массы балки ее допустимо использовать и при значениях

$\frac{2 H}{f_{с}} > 100$

Наибольшее нормальное напряжение в балке при ударе равно

$\max σ_{д} = \max σ_{с} \times k_{д} = 31,9 \times 38,6 = 1231 \frac{к г}{с м^{2}}$

Наибольший прогиб ее

$f_{д} = f_{с} \times k_{д} = 0,00707 \times 38,6 = 0,273 с м$

Статические составляющие напряжения н деформации от собственного веса балки здесь не учтены.

При учете массы балки динамический коэффициент должен быть вычислен по формуле

$k_{д}^{’} = 1 + \sqrt{1 + \frac{2 H}{(1 + β) f_{с}}}$

где

$1 + β = 1 + α \frac{Q}{P}$

причем для балки на двух шарнирных опорах

$α = \frac{17}{35}$

Вес балки

$Q = q l = 104 \times 4 = 416 к г$

Таким образом

$k_{д}^{’} = 1 + \sqrt{1 + \frac{2 \times 5}{(1 + \frac{17}{35} \times \frac{416}{800}) \times 0,00707}} = 1 + \sqrt{1 + \frac{1414,6}{1,2526}} = 34,6$

Теперь наибольшее нормальное напряжение в балке равно

${\max σ_{д}}^{’} = \frac{Q l}{8 W_{x}} + \frac{P l}{4 W_{x}} k_{д} = \frac{l}{8 W_{x}} (Q + 2 P k_{д}) =$

$= \frac{400}{8 \times 2510} \times (416 + 2 \times 800 \times 34,6) = 1112 \frac{к г}{с м^{2}}$

Наибольший прогиб ее

$f_{д}^{’} = \frac{5 Q l^{3}}{384 E J_{x}} + \frac{P l^{3} k_{д}^{’}}{48 E J_{x}} = (\frac{5}{8} Q + P k_{д}) \frac{l^{3}}{48 E J_{x}} =$

$= (\frac{5}{8} \times 416 + 800 \times 34,6) \times \frac{400^{3}}{48 \times 2 \times 10^{6} \times 75450} = 0,2 47 с м$

Первые члены последних выражений представляют статическое напряжение и статический прогиб балки под действием ее собственного веса, не учтенные в предыдущем расчете.

Учет массы балки приводит в данном случае к снижению вычисленного напряжения н прогиба примерно в 1,1 раза.

Ответ: не указан.

Задачи динамики

Содержание главы

Примеры решений задач

Задача #5911

Задача #5912

Задача #5913

Задача #5914

Задача #5915

Задача #5916

Задача #5917

Задача #5918

Задача #5921

Задача #5922

Задача #5923

Задача #5924

Задача #5931

Задача #5932

Задача #5941

Задача #5942

Задача #5951

Задача #5952

Задача #5953

Задача #5954

Задача #5955

Задача #5956

Задача #5957

Задача #5958

Навигация по странице

Сборник задач

Смежные главы