ЗакладкиКорзинаЗаказы

Содержание главы

  1. Экспериментальное исследование растяжения и сжатия
  2. Вычисление напряжений и деформаций
  3. Условие прочности, определение перемещений
  4. Статически неопределимые задачи (растяжение и сжатие)
  5. Температурные и монтажные напряжения
  6. Учет собственного веса и центробежных сил
  7. Расчет по предельному состоянию (растяжение и сжатие)
  8. Линейное, плоское и объемное напряженные состояния
  9. Теории (критерии) прочности
  10. Гибкие нити и тонкостенные сосуды
  11. Контактные напряжения

Примеры решений задач

Данные примеры задач, относятся к предмету «Сопротивление материалов».

Задача #5111

Условие:

Рабочая часть нормального образца диаметром d0 = 10 мм до испытания разделена тонкими рисками на 10 равных частей. После разрыва образца расстояния между рисками оказались равными: l0-1 = 12 мм, l2-3 = 11 мм, l3-4 = 11 мм, l4-5 = 14 мм, l5-6 = 19 мм, l6-7 = 15 мм, l7-8 = 12 мм, l8-9 = 11 мм, l9-10 = 11 мм. Минимальный диаметр образца в месте разрушения оказался равным d1 = 6 мм. Чему равно максимальное равномерное удлинения δравн? Вычислить среднее δср и максимальное δmax остаточное удлинения, а также относительное сужение в шейке образца ψ

Решение:

Исключив данные для участков 4-5, 5-6, 6-7, удлинения которых сильно отличаются от остальных, вычислим среднюю величину максимального равномерного удлинения

δравн=12-10×2+11-10×57×10=0,13

Среднее остаточное удлинение после разрыва

δср=11-10×5+12-10×2+14-10+19-10+(15-10)10×10=0,27

δmax =19-1010=0,9

ψ=F0-F1F0=d02-d12d02=0,64

Ответ: δравн = 0,13; δср = 0,27; δmax = 0,9; ψ = 0,64.

Задача #5112

Условие:

Нормальный образец диаметром d = 20 мм испытан на растяжение. Деформации во время испытания измерялись двумя зеркальными тензометрами с базой s = 100 мм и увеличением k = 500. Данные опыта приведены в таблице.

Вычислить модуль упругости E материала образца и условный предел пропорциональности σ0,002.

НагрузкаP, кНОтсчеты по тензометрам
правый n, ммлевый n, мм
102040
202748
303458
404267
505075

НагрузкаP, кНОтсчеты по тензометрам
правый n, ммлевый n, мм
605882
706790
807598
9084108
10095117

Решение:

По данным эксперимента составим таблицу средних приращений показаний тензометров, соответствующих среднему приращению нагрузки на ΔP = 10 кН.

НагрузкаP, кНПриращения нагрузкиΔP, кНСреднее показание тензометра nср, ммСреднее приращение показание Δnср, мм
10-30,0-
201037,57,5
301046,08,5
401054,58,5
501062,58,0
601070,07,5
701078,58,5
801086,58,0
901096,09,5
10010106,010,0

Приращение по линейному закону Δnуп, ммОтклонение от линейного закона на участке Δi, ммСуммарное отклонение ∑Δi, мм
---
8,05-0,55-0,55
8,050,45-0,10
8,050,450,35
8,05-0,050,30
8,05-0,05-0,25
8,050,450,20
8,05-0,050,15
8,051,451,60
8,051,953,55

Первые семь приращений Δnср мало отличаются друг от друга и, следовательно, соответствуют линейной зависимости между силой и удлинением.

Находим

Δnуп=7,5×2+8×2+8,5×37=8,05 мм

Δlуп=8,05500=1,61×10-2 мм

Модуль упругости

E=ΔP×sΔlуп×F=1,98×105 МПа

Вычитая из Δnср (4-й столбец таблицы) Δnуп (5-1 столбец), получим величины отклонений показаний тензометров от линейного закона на каждой ступени нагружения (6-й столбец). Последовательно суммируя эти отклонения с учетом их знаков, найдем величины полного отклонения от линейного закона при данной нагрузке. Условный предел пропорциональности находим по величине силы, которой соответствует отклонение.

Δi=0,002 %×l×k=1 мм

Эта сила находится в пределах между P = 80 кН и P = 90 кН. Она определяется линейной интерполяцией, P0,002 = 85,86 кН;

σ0,002=P0,002F=273 МПа

Ответ: не указан.

Задача #5113

Условие:

P P s s A B

На плоском образце установлены два тензометра. Тензометр A расположен вдоль оси образца, тензометр B – перпендикулярно оси. Увеличения тензометров соответственно равно kA = 950, kB = 1190. Базы обоих тензометров одинаковы: sA = sB = 20 мм.

Нагрузка P, кНОтсчеты по тензометрам
nA, ммnB, мм
24,536,0
1214,532,5
2224,030,0
3234,525,5

При растяжении образца ступенчато возрастающей нагрузкой получены данные, приведены в таблице.

Вычислить средние величины модуля продольной упругости E и коэффициент поперечной деформации μ (коэффициент Пуассона). Площадь сечения образца F = 1 см2.

Решение:

Средние приращения отсчетов, соответствующие ΔP = 10 кН, для продольного тензометра

ΔnA=10+9,5+10,53=10 мм

для поперечного тензометра ΔnB = 3,5 мм. Абсолютные удлинения (в среднем):

ΔsA=10950=1,05×10-2 мм

ΔsB=3,51190=2,9×10-3 мм

Отсюда

E=ΔP×sAF×ΔsA=1,9×105 МПа

μ=εBεA=εB/εBεA/εA=0,28

Ответ: не указан.

Задача #5114

Условие:

SS101060123456PP

Стальная полоса с отверстием d = 20 мм испытана на растяжение в пределах упругих деформаций. Ширина полосы b = 60 мм, толщина h = 10 мм. На полосу наклеили шесть электродатчиков (измерителей удлинений) с базой s = 10 мм на равных расстояниях друг от друга. Показания датчиков, полученные с помощью электронного измерителя статических деформаций, приведены в таблице.

Построить эпюру нормальных напряжений в ослабленном сечении и вычислить коэффициент концентрации напряжений вблизи отверстия. Модуль упругости материала E = 2,0 × 105 МПа. Цена деления измерителя деформаций c = 1,25 × 10-6.

Решение:

Средние приращения показаний тензометров при возрастании нагрузки на ΔP = 20 кН равны:

Δn1=18

Δn2=19

Δn3=37

Δn4=39

Δn5=19,5

Δn6=19

Соответствующие им значения напряжений

Δσi=ΔniE×c, МПа

Находим:

Δσ1=45 МПа

Δσ2=47,5 МПа

Δσ3=92,5 МПа

Δσ4=97,5 МПа

Δσ5=48,75 МПа

Δσ6=47,5 МПа

Эпюра (график) напряжений построенная по экспериментальным точкам, показана на рисунке сплошной линией. Среднее напряжение изображено штриховой линией.

Δσср=2×10460-20×10×10-6=5×107 Па=50 МПа

Среднее значение максимального напряжения из опыта

Δσmax=Δσ3+Δσ42=95 МПа

Теоретический коэффициент концентрации напряжений равен

αт=ΔσmaxΔσср=9550=1,9

Ответ: не указан.

Задача #5115

Условие:

Вычислить наибольшую возможную ошибку экспериментального определения модуля упругости при сжатии, если относительная ошибка силоизмерителя пресса составляет ±2 %; тензометр позволяет измерять удлинения с погрешностью ±1 %, а при измерении длины и диаметра образца допускается относительная погрешность ±0,5 %.

Решение:

Для определения наибольшей ошибки надо взять наибольшие значения величин, стоящих в числителе формулы, и наименьшие значения величин, стоящих в знаменателе

Emax=1,02P×1,005l0,99Δl×0,9952F=1,046PlΔlF=1,046Eср

ΔE=±0,046Eср

Ответ: не указан.

Задача #51101

Условие:

ABlfyx0

Медный провод подвешен между двумя точками A и B, расстояние между которыми l = 50 м. Определить допустимое натяжение провода T величину распора H (натяжение в нижней точке) и стрелу провисания f. Дано: диаметр сечения провода d = 4 мм, плотность материала ρ = 8 × 103 кг/м3, допускаемое напряжение [σ] = 50МПа.

Решение:

Максимальное натяжение действует в точках подвеса:

T=πd24σ=630 Н

Натяжение в нижней точке

H=T1+8f2l2

H и l связаны соотношением

H=pl28f

где p – вес одного метра провода, равный

p=Fρg=π4×16×10-6×8×103×9,81=0,985Нм

Решая совместно полученные уравнения, находим:

f=T2p-T2p2-l28=0,5 м

H=0,985×5028×0,5=615 Н

Значение H отличается от T всего на 2 %. Поэтому нити с малой стрелой провисания можно считать равномерно растянутыми по всей длине.

Ответ: T = 630 Н; f = 0,5 м; H = 615 Н.

Задача #51102

Условие:

Длина провода в ненапряженном состоянии l = 40 м. Определить напряжения и стрелу провисания провода, если его закрепить по концам в точках, расположенных на одной высоте. Материал провода — сталь, E = 2 × 105 МПа, ρ = 7,8 × 103 кг/м3.

Решение:

Считая провод равномерно растянутым по всей длине усилием

T=pl28f=ρgFl28f

вычисляем его удлинение

Δl=TlEF=pl38fEF=ρgl38fE

Уравнение кривой провисания

y=px22T=4fx2l2

Длина провисшего провода

S=20l21+dydx2×dx1+8f23l2l

т. е. удлинение

Δl=S-l=8f23l

Приравнивая оба выражения Δl, определим стрелу провисания

f=l43ρglE3=0,361 м

Напряжение в проводе

σ=TF=ρgl28f=430 МПа

Ответ: f = 0,361 м; σ = 430 МПа.

Задача #51103

Условие:

NBNAABxyl=50 мhB=20 мChA=2 м

Трос провисает по кривой АСВ, которую приближенно можно считать параболой. Вычислить натяжение троса. Вес одного метра троса p = 12 Н.

Решение:

Так как кривая провисания – парабола

y=kx2

с вершиной в точке C, то между координатами точек A и B имеется зависимость

a2b2=hAhB=220=0,1

откуда

a=b0,1=0,316b

a+b=1,316b=50 м

a=12 м

b=38 м

Распор

H=p4a28hA=432 Н

Ответ: H = 432 Н.

Задача #51104

Условие:

Вычислить напряжения, возникающие после посадки стального цилиндра толщиной 1 мм, нагретого до 330 К, на медную втулку толщиной 4 мм, имеющую температуру 285 К. В момент посадки зазор между втулкой и цилиндром считать равным нулю. Диаметр посадочной поверхности 100 мм. После посадки соединение охлаждается до 285 К. Вычислить взаимное давление соединяемых деталей, если для меди αм = 1,65 × 10-5, Eм = 1 × 105 МПа, для стали αст = 1,25 × 10-5, Eст = 2 × 105 МПа.

Решение:

При охлаждении на поверхности контакта цилиндров возникает давление p. Стальной цилиндр растягивается силой

Nст=pD2

а медный – сжат той же силой

Nм=Nст=pD2

Изменение диаметров цилиндров должно быть одинаковым. Условие совместности деформаций

αстΔtD=pD2DEстFст+DEмFм 

Отсюда находим давление между цилиндрами

p=2αстΔtEстFстFмDEстFст+EмFм=1,5 МПа

Ответ: p = 1,5 МПа.

Задача #51105

Условие:

Ø6018

По технологическим условиям сборки внутренний диаметр стальной рубашки, имеющей толщину hст = 1 мм, выполнен на 0,05 мм меньше наружного диаметра медной втулки толщиной 8 мм. Сборка ведется при температуре 290 К. Определить, на сколько градусов надо нагреть стальную рубашку для того, чтобы ее можно было напрессовать на втулку. Какие напряжения возникнут в деталях соединения после сборки и охлаждения? Дано: αст = 2 × 106 МПа, Eст = 2 × 105 МПа, Eм = 1,1 × 105 МПа.

Решение:

Диаметр посадочной поверхности

D=60+2×8=76 мм

Нагрев рубашки должен увеличивать ее диаметр на 0,05 мм, чтобы можно было осуществить посадку

αстΔtD=1,25×10-5Δt×7,6×10-2=5×10-5

Δt=52,5 К

После охлаждения произойдет упругая деформация втулки и рубашки под влиянием их взаимного надавливания. Давление p находится из условия равенства суммы радиальных деформаций цилиндров величине натяга

7,6×10-2p2×10-3×2×1011+7,6×10-2p2×8×10-3×1,1×1011=5×10-57,6×10-2

отсюда

p=2,8 МПа

Напряжения в цилиндрах:

σст=pD2hст=108 МПа

σм=pD2hм=-13,3 МПа

Ответ: Δt = 52,5 К; σст = 108 МПа; σм = -13,3 МПа.

Задача #51106

Условие:

xyxH=5мR=2мR=2мh=1смh=1смR=2м0CAB

Цилиндрический сосуд, шарнирно закрепленный по верхнему краю, снизу заканчивается полусферой. Построить эпюры главных напряжений по высоте сосуда, считая, что он заполнен водой доверху, и не учитывая его собственного веса.

Решение:

Напряжения в горизонтальных сечениях цилиндрической части сосуда постоянны

σ2=ρgR2hH-R3=103×9,81×22×10-2×6-23=5,22 МПа

Напряжения в меридианных сечениях: вверху цилиндра

σ1=pRh=0

так как p = 0; в месте соединения цилиндра с шаром

σ1=pRh=ρgH-RRh=7,84 МПа

В шаровой части наибольшие напряжения в нижней точке

σ1=σ2=ρgHR2h=5,88 МПа

Ответ: не указан.

Задача #51107

Условие:

papapbpb0xhabαα

Тонкостенная труба в форме усеченного конуса шарнирно закреплена по окружности на правом конце и нагружена давлением, распределенным по ее длине по линейному закону. Заданы крайние ординаты эпюры давления pA и pB, толщина стенки h, центральный угол при вершине конуса 2α и размеры a и b, отсчитываемые от вершины конуса O. Построить эпюры главных напряжений по длине трубы.

Решение:

Давление в текущем сечении с координатой x выразится таким образом

px=pa+pb-pax-ab-a

Радиусы торцевых сечений трубы Ra и Rb также радиус текущего сечения удобно выразить через угол наклона образующей конуса:

Ra=atgα

Rb=btgα

Rx=xtgα

Составим уравнение равновесия отсеченной части трубы

σ2h×2πRxcosα=axpx×2πRxsinαds=axpx×2πRxsinαdxcosα

После интегрирования находим продольные напряжения

σ2=xtgα6b-axhcosαpa3x2-a2b-2x3-a3+pb2x3-3ax2+a3

Меридианные главные напряжения σ1 находятся из уравнения Лапласа с учетом тога, что главные радиусы кривизны трубы

ρ1=Rxcosα=xtgαcosα

ρ2=

σ1=pxρ1h=xtgαb-ahcosαpab-x+pbx-a

Ответ: не указан.

Задача #51111

Условие:

2R22R1R3

Определить расчетные напряжения по IV теории прочности стальном шариковом подшипнике, схема которого представлена на рисунке. Радиус шарика R1 = 2,5 мм, радиус желоба R2 = 3 мм, радиус кольца R3 = 30 мм. Давление на наиболее нагруженный шарик подшипника равно Р = 40 кг.

Решение:

Найдем коэффициенты уравнения эллипса касания:

A=121R1-1R2=12×12,5-13=0,035

B=121R1+1R3=12×12,5+130=0,2165

Тогда отношение A к B равно

AB=0,0350,2165=0,1615

По этому отношению находим α:

α=0,772

Подсчитаем наибольшее нормальное напряжение

σmax=αPE2R2-R12R1R223=0,77240×2×1042×3-2,522,5×323=321кгмм2

Расчетное напряжение в опасной точке внутри материала равно

σIV=0,6σmax=0,6×321=193кгмм2

Из графика справочной таблице по значению отношения

AB=0,1615

находим коэффициенты n:

n1=0,23

n2=0,24

Тогда расчетное напряжение в центре эллипса касания составит

σIV=n1σmax=0,23×321=74кгмм2

а расчетное напряжение на конце большой полуоси того же эллипса равно

σIV=n2σmax=0,24×321=77кгмм2

Ответ: не указан.

Задача #5121

Условие:

Стальная полоса сечением 30 × 10 мм и длиной l = 250 мм растянута силой P = 60 кН. Модуль упругости материала полосы E = 2 × 105 МПа. Вычислить нормальное напряжение, абсолютное и относительное удлинения полосы

Решение:

Нормальное напряжение

σ=PF=60×1030,03×0,01=2×108 Па=200 МПа

Абсолютное и относительное удлинения полосы:

Δl=PlEF=60×103×0,252×1011×0,03×0,01=2,5×10-4 м=0,25 мм

ε=σE=2002×105=0,001

Ответ: σ = 200 МПа; Δl = 0,25 мм; ε = 0,001.

Задача #5122

Условие:

PPAABBA-AB-B10см20см40см1см2см2см

Цилиндрический стальной стержень длиной l = 40 см и диаметром D = 2 см в средней части ослаблен прорезью длиной l1 = 20 см и шириной h = 1 см. Вычислить полное удлинение и напряжения в ослабленной и неослабленной частях стержня, возникающие при растяжении его силами P = 15 кН. Модуль упругости материала E = 2 × 105 МПа.

Решение:

Площадь поперечного сечения:

- в неослабленных частях стержня

F1=πD24=3,14×0,0224=3,14×10-4 м2

- в ослабленных частях стержня

F2πD24-Dh=3,14×0,0224-0,02×0,01=1,14×10-4 м2

Нормальное напряжение:

σ1=PF1=15×1033,14×10-4=4,78×107 Па=47,8 МПа

σ2=PF2=15×1031,14×10-4=1,32×108 Па=132 МПа

Абсолютное удлинение:

Δl1=σ1l-l1E=47,8×0,4-0,22×105=4,78×10-5 м

Δl2=σ2l1E=132×0,22×105=1,32×10-4 м

Δl=Δl1+Δl2=4,78×10-5+1,32×10-4=1,8×10-4 м=0,18 мм

Ответ: не указан.

Задача #5123

Условие:

15°15°ABCPB’30°P

Вычислить напряжения в стреле AB и тросе CB мачтового крана, несущего груз P = 2 кН. Стрела выполнена из стальной трубы 20 × 18 мм, площадь поперечного сечения троса равна 0,1 см2. Найти, как изменятся напряжения в этих элементах, если, не изменяя величины груза, перевести кран в положение AB’C, изображенное на рисунке штриховыми линиями.

Решение:

Разложив силу P по направлениям стержней BA и BC, получим

NBA=-1,93P сжатие

NBC=P растяжение

Нормальное напряжение:

σBA=4×-1,93PπD2-d2=4×-1,93×2×1033,14×0,022-0,0182=-6,47×107 Па=-64,7 МПа

σBC=PSтр=2×1030,1×10-4=2×108 Па=200 МПа

Ответ: σBA = -64,7 МПа; σBC = 200 МПа.

Задача #5124

Условие:

30°hl0BACq

Жесткая балка ОС шарнирно закреплена в точке О и нагружена силами, равномерно распределенными по ее длине. Вычислить нормальные напряжения в подкосе АВ, если площадь его сечения FAB = 5 см2. Вычислить величину вертикального перемещения ΔC свободного конца балки (точки С), приняв модуль упругости материала подкоса E = 2 × 105 МПа и пренебрегая деформацией самой балки. Интенсивность распределенной нагрузки q = 2 кН/м, l = 4 м, h = 1,5 м, α = 30°.

Решение:

Заменяем распределенную нагрузку равнодействующей

R=4q=4×2=8 кН

Находим усилие NAB в подкосе, приравнивая нулю сумму моментов всех сил, действующих на балку, относительно шарнира O:

2R-1,3NAB=0

Плече силы NAB равно

OD=1,5cos30°=1,3 м

Находим

NAB=8×21,3=12,3 кН

Нормальное напряжение

σAB=NABFAB=24,6 МПа

Прикладываем в точке C силу, равную 1, и определяем реакцию NAB в подкосе имеем:

1×4=N¯AB×1,3=0

N¯AB=41,3=3,08 Н

Вычисляем перемещение по формуле Максвелла – Мора

ΔC=NABN¯ABEFAB×lAB=1,14 мм

Ответ: ΔC = 1,14 мм.

Задача #5125

Условие:

abcP3P2P1IIIIIIIIIIII4321

На стальной брус круглого сечения диаметром D = 3 см, жестко защемленный одним концом, действуют три силы, направленные вдоль оси бруса: P1 = 100 кН, Р2 = 140 кН и Р3 = 120 кН, как показано на рисунке. Вычислить продольные силы N и напряжения о на участках 1—2, 2—3, 3—4 бруса и упругие перемещения w сечений I—I, II—II, III—III. Построить эпюры продольной силы, напряжений и перемещений по длине бруса. Принять модуль упругости материала бруса Е = 2 × 106 МПа, длины участков: a = 0,2 м, b = 0,1 м, c = 0,3 м.

Решение:

Находим продольные силы на участках бруса как сумму всех сил, действующих на часть бруса по одну сторону от рассматриваемого сечения. Эпюра продольных сил N показана на рисунке,

Nmax=100 кН

σmax=NmaxF=4NmaxπD2=4×100×1033,14×0,032=1,42×108 Па=142 МПа

Продольное перемещение w сечения находится как сумма удлинении Δli участков бруса между заделкой и рассматриваемым сечением

wmax=σiliE

суммирование ведется по участкам, на которых напряжение постоянно. Получаем

wmax=113×0,2-56,6×0,1+141×0,3×1062×1011=2,96×10-4 м0,3 мм

Ответ: wmax = 0,3 мм.

Задача #5126

Условие:

PaPbPcIIIIIIIIIIIIabcFaFbFc

Ступенчатый брус нагружен силами, направленными вдоль его оси Ра = 120 кН, Рb =60 кН, Рс =20 кН. Длины участков бруса равны а = 0,2 м, b = 0,4 м, c = 0,8 м, а площади сечений Fa = 15 см2, Fb = 10 см2, Fc = 5 см2. Модуль упругости материала бруса Е = 2 × 106 МПа. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ, относительных удлинений ε и продольных перемещений сечений бруса w.

Решение:

Последовательно суммируя силы, начав со свободного конца, получим эпюру продольных сил N (см. рисунок)

Nmax=-20+60-120=-80 кН сжатие

σmax=NmaxF=-80×10315×10-4=-5,33×107 Па=-53,3 МПа

εmax=σmaxE=-5,33×1072×1011=-2,665×10-4

wmax=εili=-2,665×10-4×0,2+2×10-4×0,4-2×10-4×0,8=-1,33×10-4 м

Ответ: не указан.

Задача #5127

Условие:

l2l1l=l1+l2ddDDPP

Два цилиндрических стержня: ступенчатый и полый — закреплены своими верхними концами. Противоположные концы нагружаются растягивающими силами. Вычислить и сравнить между собой жесткости этих стержней на растяжение cступ и cпол, считая отношение диаметров d/D = α < 1, а отношение длин участков ступенчатого стержня l2/l1 = β. Длины стержней одинаковы.

Найти, при каком отношении между величинами α и β жесткости стержней равны.

Решение:

Жесткость на растяжение (сжатие) измеряется величиной силы, вызывающей удлинение, равное 1 м:

c=PΔ

Для ступенчатого стержня

Δступ=4l1PEπd2+4l2PEπD2=4l1PEπD21α2+β

cступ=πED2α24l11+α2β

Для полого стержня

Δпол=4Pl1+l2πED2-d2=4Pl11+βπED21-α2

cпол=πED21-α24l11+β

Имеем

cступ=cпол

α21+α2β=1-α21+β

β=1-2α2α4

Ответ: не указан.

Задача #5131

Условие:

Подобрать диаметр d шпилек крепления цилиндра двигателя внутреннего сгорания, считая распределение усилий между шпильками равномерным. Дано: внутренний диаметр цилиндра D = 100 мм, наибольшее избыточное давление газов в цилиндре p = 10 МПа, число шпилек n = 8, допускаемое напряжение для материала шпилек [σ] = 60 МПа.

Решение:

Усилие, отрывающей цилиндр от картера,

P=pπD24

При равномерном распределении усилия между шпильками допускаемое усилие равно

P=nπd24σ

Приравнивая полученные выражения, находим

d=Dpnσ=14,4 мм

принимаем

d=15 мм

Ответ: d = 15 мм.

Задача #5132

Условие:

ACBP60°60°

Груз Р удерживается двумя одинаковыми стержнями сечением F = 5 см2, наклоненными к вертикали под одинаковыми углами α = 60°. Определить допустимую величину груза Р и вычислить перемещение ΔB узла B; допускаемое напряжение материала стержней на растяжение [σ]р =100 МПа, а модуль E = 2 × 105 МПа.

Решение:

Приравнивая нулю сумму проекций на ось у всех сил, действующих на узел, получим

2N×cos60°-P=0

Усилия в стержнях равны в силу симметрии узла и приложенной нагрузки. Отсюда

N=P

Из условия прочности стержня находим

P=108×5×10-4=5×10-4 Н=50 кН

Прикладываем в узле вертикальную силу, равную 1, и находим усилия в стержнях

N¯=1

По формуле Максвелла – Мора имеем

ΔB=NiN¯iliEFi=2×P×1×42×1011×5×10-4×sin60°=4,62×10-3 м=4,62 мм

Ответ: P = 50 кН; ΔB = 4,62 мм.

Задача #5133

Условие:

PCBβαγA

Подобрать площади сечений стержней кронштейна ABC, нагруженного силой Р = 150 кН, по допускаемому напряжению [σ]р =120 МПа для растянутого стержня и [σ]с =50 МПа для сжатого. Углы, составляемые направлениями стержней и силы с вертикалью: α = 135°, β = 30°, γ = 0°.

Решение:

Спроектировав все силы, действующие на узел, на оси x и y и приравнивая нулю суммы проекций, находим реакции стержней

NAB=290 кН растяжение

NAC=-410 кН сжатие

Искомые величины площадей определим из условий прочности

NABFABσр

FAB2,9×1051,2×108=2,42×10-3 м2

NACFACσс

FAC4,1×1055×107=8,2×10-3 м2

Принимаем

FAB=24,2 см2

FAC=82 см2

Ответ: FAB = 24,2 см2; FAC = 82 см2.

Задача #5134

Условие:

αβγPBСlAClABA

Плоский узел ABC нагружен силой Р = 100 кН, составляющей с вертикалью угол γ = 30°. Длины прикрепляющих стержней lAB = 0,2 м и lAC = 0,1 м, площади сечений FAB = 10 см2 и FAC = 3 см2, углы между стержнями и горизонталью α = 30° и β = 60°. Модуль упругости материала стержней E = 2 × 105 МПа. Вычислить: а) горизонтальное перемещение узла Δx, б) вертикальное перемещение узла Δy, в) полное перемещение узла Δ и его направление (угол θ между направлением полного перемещения и горизонталью).

Решение:

Из условий равновесия узла находим усилия в стержнях от действия заданной силы Р:

NAB=0,866P

NAC=0,5P

Приложив горизонтальную силу 1, вычисляем вызываемые ею усилия в стержнях:

N¯ABг=0,866

N¯ACг=-0,5

Вычисляем горизонтальное перемещение узла

Δx=NiN¯iгliEFi=

=0,866×105×0,866×0,22×1011×10×10-4+0,5×105×-0,5×0,12×1011×3×10-4=3,32×10-5 м=0,0332 мм

Усилия от вертикальной силы 1 равны:

N¯ABв=0,5

N¯ACв=0,866

Вертикальное перемещение

Δy=NiN¯iвliEFi=

=0,866×105×0,5×0,22×1011×10×10-4+0,5×105×0,866×0,12×1011×3×10-4=0,115×10-3 м=0,115 мм

Полное перемещение узла

Δ=Δx2+Δy2=0,12 мм

tanθ=ΔyΔx=3,49

θ=74°

Ответ: Δx = 0,0332 мм; Δy = 0,115 мм; Δ = 0,12 мм; θ = 74°.

Задача #5135

Условие:

lllA

Плоская ферма, составленная из стержней одинакового сечения, нагревается на Δt = 100 К. Определить величину вертикального перемещения узла A, вызываемого нагревом, если коэффициент линейного расширения материала стержней α = 1,25 × 10-5. Размер l = 100 см. Температуру опорных стержней фермы считать неизменной.

Решение:

Нагрузим ферму в узле А вертикальной силой 1 и вычислим усилия в ее стержнях, рассматривая равновесие узлов. Направления и величины усилий Ni указаны на рисунке.

Вертикальное перемещение узла A определяется по формуле

Δy=αiliΔtiN¯i=

=1,25×10-5×100×1×l-1,41×1,41×1,4l+1×l-1×l+2×l-1,41×1,41l=

=-1,25×10-3 м=-1,25 мм

Знак минус указывает, что перемещение противоположно силе 1, т. е. направлено вверх.

Ответ: Δy = -1,25 мм.

Задача #5136

Условие:

ll30°30°30°ABCl

При монтаже фермы оказалось, что стержень ВС выполнен короче проектного размера на величину Δ0 = 0,005 l. Определить перемещение узла A, вызванное этим изменением размера, считая узлы фермы идеальными шарнирами. Длина l = 120 см.

Решение:

Перемещение находится по формуле

Δ=N¯iΔ0i

где Ni — усилия в стержнях от силы 1, приложенной в направлении искомого перемещения,

Δ0i — отклонение длины i-го стержня от номинального размера, которое считается положительным, если стержень длиннее нормы.

Приложив в узле A силы, равные 1 по вертикали и по горизонтали, находим реакции опор от каждой из этих сил (отдельно) и вычисляем усилия в стержнях фермы. Достаточно определить только усилия NBC, так как длины остальных стержней равны номинальным и соответствующие начальные отклонения Δ0i равны нулю. Имеем

N¯BCв=23

N¯BCг=0

Поэтому

Δy=23Δ0=23×0,005×120=0,4 см

Δx=0

Полное перемещение узла равно 0,4 см и направлено вертикально вверх (по направлению силы 1).

Напряжения в стержнях после сборки узла не возникают.

Ответ: Δx = 0; Δy = 0,4 см; Δ = 0.

Задача #5141

Условие:

lBCDAPαα

Вычислить усилия в стержнях трехстержневого узла и определить допустимую величину груза Р, приняв угол а=30°, площадь сечения каждого из стержней F=2 сма, модуль упругости Е =2*105 МПа, предел текучести ат=260 МПа, коэффициент запаса по пределу текучести пт=2. Определить, насколько изменится величина допустимой силы Р, если площадь сечения среднего стержня уменьшить вдвое, hq изменяя сечений боковых стержней.

Решение:

Стержневая система статически неопределима, так как для нахождения трех неизвестных усилий в стержнях можно составить только два уравнения равновесия узла

X=0

Y=0

Выберем основную систему, перерезав один из стержней, например стержень АС (см. рисунок а). Прикладываем к узлу А силу Р и вычисляем уравновешивающие ее усилия в боковых стержнях

NAB=NAD=P2cosα=0,577P

Усилие в перерезанном стержне в этом случае равно нулю.

Далее приложим в разрезе среднего стержня основной системы растягивающие силы 1 (см. рисунок б). Усилия в стержнях:

N¯AB=N¯AD=-0,577 сжатие

N¯AC=1

Неизвестное усилие X1 в среднем стержне заданного узла определяется из канонического уравнения

δ11X1+Δ1P=0

где

δ11=N¯i2liEFi=2×-0,5772×l2×1011×2×10-4×cos30°+12×l2×1011×2×10-4=-0,442×10-7l

Δ1P=NiN¯iliEFi=2×0,577P-0,577l2×1011×2×10-4×cos30°=-0,192×10-7Pl

X1=-Δ1Pδ11=0,434P

Усилия в стержнях исходной системы получаются путем суммирования усилий в основной системе от сил Р и X1:

N1=NAB+X1N¯AB=0,577P+-0,577×0,434P=0,326P=N3

N2=X1=0,434P

Наиболее нагружен средний стержень. Составляем для него условие прочности

0,434PFσ

где

σ=σТn=2602=130 МПа

Находим

P1,3×108×2×10-40,434=6×104 Н=60 кН

Уменьшение площади сечения среднего стержня скажется только на величине 6ц, которая в этом случае будет равна

δ11=2×-0,5772l2×1011×2×10-4×cos30°+12×l2×1011×1×10-4=0,692×10-7l

Тогда

X1=0,278P=N2

N1=N3=0,577P+-0,577×0,278P=0,417P

В этом случае более нагружены боковые стержни, для которых условие прочности

0,417P2×10-4=1,3×108

дает величину допустимой нагрузки:

P=62,4 кН

Увеличение допустимой нагрузки составит

62,4-6060×100%=4 %

Ответ: не указан.

Задача #5142

Условие:

ABCDEFPlαββββxy

Пятистержневой плоский узел А нагружен силой Р, наклоненной под углом α = 30° к горизонтали. Найти усилия в стержнях, считая, что они имеют одинаковое сечение и изготовлены из одного и того же материала. Углы между стержнями одинаковы: β = 30°.

Решение:

Задача является трижды статически неопределимой. Перережем три внутренних стержня и к полученной таким образом основной ситеме поочередно приложим заданную силу P и единичные силы в разрезах (см. рисунок). Неизвестные силы X1, X2, X3 в перерезанных стержнях находятся из системы канонических уравнений:

δ11X1+δ12X2+δ13X3+Δ1P=0

δ21X1+δ22X2+δ23X3+Δ2P=0

δ31X1+δ32X2+δ33X3+Δ3P=0

Коэффициенты и свободные члены уравнений вычисляются по формулам

δik=N¯iN¯kliEFi

ΔiP=N¯iNPiliEFi

Подставляя найденные для основной системы усилия, величины которых показаны на рисунке, получим

Δ1P=-1,155P×2lEF=-2,31PlEF

Δ2P=-1×P×2lEF=-2PlEF

Δ3P=-0,577P×2lEF=-1,154PlEF

δ11=4,489lEF

δ22=5lEF

δ33=4,489lEF

δ12=δ21=3,464lEF

δ13=δ31=2,667lEF

δ23=δ32=3,464lEF

После подстановки вычисленных величин решаем систему и получаем

X1=NAC=0,464P

X2=NAD=0,197P

X3=NAE=-0,170P

Усилия в боковых (не перерезанных) стержнях находим как суммы усилий от силы Р и найденных неизвестных:

NAB=P-1,155×0,464P-1×0,197P+0,577×0,170P=0,365P

NAF=-0,577×0,464P-1×0,197P-1,155-0,170P=-0,268P

Ответ: не указан.

Задача #5143

Условие:

P4PnnmmAB20 см10 см20 см20 смD1D2D3d0

Ступенчатый брус, жестко защемленный обоими концами, нагружен силой P = 200 кН в сечении m—m и силой 4Р = 800 кН в сечении n—n. Вдоль оси бруса имеется сквозное отверстие диаметром d0 = 2 см. Внешние диаметры ступеней: D1 = 6 см, D2 = 4 см, D3 = 8 см. Материал — сталь, Е = 2 × 105 МПа. Определить реакции опор A и B, построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ и продольных перемещений поперечных сечений бруса w.

Решение:

Отбросим верхнюю заделку и заменим ее действие неизвестной реакцией XA, которую определим из условия, что полное удлинение бруса равно нулю:

0,2XA25,1×10-4E+0,1XA-P9,42×10-4E+0,2XA-P47,1×10-4E++0,2XA-5P47,1×10-4E=0

Отсюда:

XA=1,33P=266 кН

XB=XA-5P=-734 кН сжатие

Эпюры продольных сил, напряжений и перемещений показаны на рисунке.

σmax=-7,34×10547,1×10-4=-155 МПа

wmax=0,155 мм

Ответ: не указан.

Задача #5144

Условие:

P40×40×4мм2525см100см

Короткая деревянная колонна сечением 25 × 25 см, усиленная четырьмя стальными уголками 40 × 40 × 4 мм, сжимается силой P, передающейся через абсолютно жесткую плиту. Вычислить, какая часть силы воспринимается уголками, и определить допустимую величину силы P, если для стали Eст = 2 × 105 МПа, [σ]ст = 160 МПа, а для дерева Eд = 1 × 104 МПа, [σ]д = 12 МПа. Определить, на сколько требуется укоротить уголки, создав зазор между ними и плитой, чтобы обеспечить равнопрочность конструкции. Найти допускаемую величину сжимающей силы для этого случая.

Решение:

Условие равновесие

Nд+Nст=P

Площади сечений

Fд=625 см2

Fст=12,2 см2

Деформация деревянной колонны и стальных уголков одинаковы

Δlд=Δlст

Отсюда

NдlEдFд=NстlEстFст

или

Nд=NстEдFдEстFст=2,58Nст

Подставив этот результат в уравнение равновесия, получим

Nст=0,28P

Nд=0,72P

Из условия прочности для уголков

0,28P12,2×10-41,6×107

получим

P697 кН

Условие прочности для деревянной части колоны

0,72P625×10-41,2×107

дает величину

P949 кН

Допустимая нагрузка определяется меньшем значением

P=697 кН

Если укоротить уголки, то деревянную часть колонны можно еще догрузить на величину

ΔP=949-697=252 кН

Эта нагрузка вызовет дополнительное обжатие дерева на

Δ=2,52×105×1625×104×1×1010=4×10-4 м=0,4 мм

Это и есть величина потребного укорочения уголков, при котором допустимая нагрузка на колонну возрастет до 949 кН, т. е. на 36 %.

Ответ: не указан.

Задача #5145

Условие:

ABCDB’C’PFA’aaaFl2l2Fl

Абсолютно жесткий брус поддерживается тремя параллельными тягами с одинаковой площадью сечения F = 10 см2. Вычислить усилия в стержнях и найти допускаемое значение нагрузки по допускаемому напряжению [σ] = 160 МПа. Определить, на каком расстоянии л; от левого конца бруса надо приложить силу P, чтобы при нагружении брус перемещался поступательно. Чему будет равна допускаемая величина нагрузки в этом случае?

Решение:

Задача один раз статически неопределима. Выберем основную систему, перерезав стержень BB’. Найдем усилия в стержнях основной системы сначала от заданной нагрузки P, а затем от единичной силы, приложенной в разрезе. Реакции указаны на рисунке. Неизвестное усилие в разрезанном стержне находим из канонического уравнения

X1δ11+Δ1P=0

где

Δ1P=NiN¯iliEFi=-23P×13lEF-P×23×3×l2EF=-Pl3EF

δ11=1321EF+232×l2EF+12×2lEF=7l3EF

Получаем:

X1=NBB=P7

NAA=23P-P3×7=1321P

NCC=P3-2P3×7=521P

Допустимая нагрузка находится из условия прочности наиболее нагруженного стержня AA’:

13P21×10×10-41,6×108

P258 кН

При поступательном перемещении бруса удлинения всех стержней одинаковы, а усилия в них пропорциональны жесткостям

ci=EFili

Равнодействующая этих сил приложена на расстоянии

x=2a

от точки A. Наибольшее усилие

N=4P7

будет в наиболее жестком стержне CC’. Допустимая величина нагрузки в этом случае

P=280 кН

Ответ: не указан.

Задача #5146

Условие:

2PPADaaa123aa30°

Абсолютно жесткий брус AD шарнирно прикреплен в точке D к абсолютно жесткой стенке и поддерживается тремя подкосами 1, 2 и 3. Вычислить усилия в подкосах и величину параметра нагрузки Р по допускаемым напряжениям [σ] = 160 МПа, если сечения всех подкосов имеют одинаковую площадь F = 2 см2.

Решение:

Задача дважды статически неопределима. Основную систему получим, перерезав, например, стержни 1 и 2 (см. рисунок). Поочередно нагрузим основную систему заданной нагрузкой и единичными силами X1 = 1 и Х2 = 1 в местах разрезов (рис. а, б, в). Из условия равновесия вычислим усилие в стержне 3 от каждой из этих нагрузок, а затем найдем величины коэффициентов и свободных членов канонических уравнений:

δ11=12×4aEF+-2,452a2EF=12,49aEF

δ22=12×2a2EF+-22a2EF=8,485aEF

δ12=δ21=-2-2,452a2EF=6,93aEF

Δ1P=11,3P-2,45a2EF=-39,15PaEF

Δ2P=11,3P-2a2EF=-31,96PaEF

Канонические уравнения имеют вид

6,93X1+8,485X2-31,96P=0

12,49X1+6,93X2-39,15P=0

Решая систему, получим

N1=X1=1,92P

N2=X2=2,2P

после чего найдем

N3=11,3P-2,45×1,92P-2×2,2P=2,2P

Допустимая величина силы находится из условия прочности для стержня 2 (или 5):

2,2P2×10-41,6×108

P14,5 кН

Ответ: не указан.

Задача #5151

Условие:

ABCD2F2Fl30°30°F

Симметричный трехстержневой узел собран при температуре T0 = 290 К. Определить напряжения в его стержнях при нагреве до 370 К. Найти перемещение точки А. Стержни стальные, α = 1,25 × 10-5 1/К, E = 2 × 105 МПа. Изменением модуля упругости при нагреве пренебречь; l = 2 м.

Решение:

Задача статически неопределима. Перережем средний стержень AC и приложим в разрезе силы X1 = 1 (см. рисунок). Из условий равновесия найдем усилия в не перерезанных стержнях

N¯AB=N¯AD=-0,577 сжатие

Неизвестную силу X1 в разрезаном стержне найдем из канонического уравнения

δ11X1+Δ1t=0

где

δ11=N¯i2liEFi=2×-0,5772×1,155l2EF+12×lEF=1,38lEF

Δ1t=N¯iαliΔti=1,25×10-5×80×2×-0,577×1,155l+1×l=-3,33×10-4l

Получим

X1=-Δ1tδ11=48×106F

NAB=NAD=-0,577X1=-27,7×106F

Искомые напряжения в стержнях:

σAC=X1F=48 МПа

σAB=σAD=-27,7×106F2F=-13,85 МПа

Ответ: σAC = 48 МПа; σAB = σAD = -13,85 МПа.

Задача #5152

Условие:

labABCD

Массивная дуралюминовая балка l = 3 м, поддерживается двумя стальными подкосами, имеющими площади сечений FBD = 5 см2 и FCD = 10 см2. Расстояния до точек прикрепления подкоса BD равны a = 1 м, b = 1 м. Вычислить усилия и напряжения в подкосах при нагреве всей конструкции на ΔT = 30 К. Упругой деформацией балки пренебречь, но учесть ее температурное удлинение. Принять для стали αст = 1,25 × 10-5 1/К, Eст = 2 × 105 МПа, для дуралюмина αдур = 2,25 × 10-5 1/К.

Решение:

Система один раз статически неопределима. Вычислим длины стержней (указаны на рисунке), выберем основную систему, перерезав стержень CD.

Приложим в разрезе силы, равные 1, и определим реакцию NBD в не перерезанном стержне BD. Усилия в точках В и С разложим на составляющие, изображенные на рисунке штриховыми стрелками. Горизонтальные составляющие, равные 0,949, будут производить работу на температурном расширении балки и должны быть учтены при вычислении Δ1t

Δ1t=N¯iαiΔtili=-1,33×1,25×10-5×30×1,41+0,943×2,25×10-5×1×30+

+1,125×10-5×30×3,16-0,943×2,25×10-5×3×30=-7,93×10-3

δ11=N¯iliEFi=12×3,162×1011×10-3+1,332×1,412×1011×5×10-4=4,12×10-8

NCD=X1=-Δ1tδ11=7,93×10-34,12×10-8=192,5 кН

NBD=-1,33X1=-256 кН сжатие

Напряжение:

σCD=192,5×10310-3=1,925×108 Па=192,5 МПа

σBD=-256×1035×10-4=-5,12×108 Па=-512 МПа

Ответ: не указан.

Задача #5153

Условие:

ACBD201020СтальДуралюминМедьØ16Ø32Ø40

Две дуралюминовых втулки высотой по 20 мм стянуты стальным болтом. Между втулками имеется медная прокладка толщиной 10 мм. При температуре 300 К натяжение болта N0 = 20 кН. Вычислить полное продольное усилие N и напряжения в болте и во втулках после нагревания соединения до 320 К. Дано: Eст = 2 × 105 МПа, αст = 1,25 × 10-5 1/К, Eм = 1,1 × 105 МПа, αм = 1,65 × 10-5 1/К, Eдур = 7 × 104 МПа, αдур = 2,25 × 10-5 1/К. Деформацией шайб АВ и CD пренебречь.

Решение:

При нагревании втулки расширяются больше, чем болт. Поэтому они окажутся сжатыми, а болт растянутым одинаковыми дополнительными силами AN. Составим условие равенства полных удлинений втулок и болта

αдурΔt×40×10-3+αмΔt×10×10-3-ΔN×40×10-3EFдур-ΔN×10×10-3EFм=

=αстΔt×50×10-3-ΔN×50×10-3EFст

Отсюда

ΔN=166Δt=166×20=3320 Н=3,32 кН

Полное усилие в болте

N=N0+ΔN=23,32 кН

Ответ: N = 23,32 кН.

Задача #5154

Условие:

FFF12330°30°5∙10-4llDCBAA’

При сборке трехстержневого узла оказалось, что средний стержень длиннее номинального размера на 5 × 10-4 l. Вычислить напряжения в стержнях после сборки узла, считая E = 2 × 105 МПа.

Решение:

Разрезав средний стержень, приложим к полученной основной системе X1 = 1 и вычислим усилия N в боковых стержнях (указаны на рисунке). Далее вычисляем

δ11=N¯i2liEFi=2×-0,5772lEFcos30°+12×lEF=1,77lEF

Δ10=N¯iΔ0=1×5×10-4l

δ11X1+Δ10=0

NAC=X1=-5×10-4lEF1,77l=-5,65×107F Н

NAB=NAD=-0,577×NAC=3,26×107F Н

Ответ: NAC = -5,65 × 107F; NAB = NAD = 3,26 × 107F.

Задача #5155

Условие:

DECBC’abdcAFCDFBEδ

Абсолютно жесткая балка поддерживается двумя стальными подкосами, имеющими площади сечений FBE = 2 см2, FCD = 4 см2. Верхняя тяга короче номинального размера на δ = 0,1 %. Вычислить напряжения в подкосах после сборки, приняв a = b = c = d = 1 м; E = 2 × 105 МПа.

Решение:

Задача один раз статически неопределима. Перережем стержень DC и приложим в разрезе силы X1 = 1 (см. рисунок). Вычислим усилие в подкосе BE из равенства нулю моментов всех сил относительно точки A. Усилие X1 в перерезанном стержне находится из канонического уравнения

δ11X1+Δ10=0

где

δ11=N¯i2liEFi=12×2,2362×1011×4×10-4+1,2652×1,412×1011×2×10-4=8,45×10-8

Δ10=N¯iΔ0i=-2,236×10-3

NCD=X1=-2,236×10-38,45×10-8=2,65×104 Н=26,5 кН

NBE=1,265×26,5=33,5 кН

σCD=2,65×1044×10-4=5,88×107 Па=58,8 МПа

σBE=3,35×1042×10-4=167,5 МПа

Ответ: σCD = 58,8 МПа; σBE = 167,5 МПа.

Задача #5161

Условие:

Вычислить величину наибольшего нормального напряжения и полное удлинение стержня постоянного сечения, закрепленного верхним концом и растягивающегося под действием собственного веса. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ и продольных перемещений w для стального стержня длиной l = 10 м. Плотность стали ρ = 7,85 × 103 кг/м3, модуль упругости E = 2,1 × 105 МПа. Определить наибольшую длину lпр стержня, допускаемую по условию прочности, если допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа.

Решение:

Наибольшие напряжения действуют в верхнем сечении стержня, вес которого

G=ρglF

σmax=GF=ρglFF=ρgl=7,85×103×9,81×10=7,7×105 Па=0,77 МПа

Удлинение элемента длиной dx, находящегося на расстоянии x от свободного конца, равно

ρgEFxdx

Полное удлинение равно перемещению свободного конца

wmax=0lρgEFxdx=ρgl22EF=σmaxlEF=1,83×10-5 м

Удлинение стержня под действием собственного веса в два раза меньше удлинения под действием силы, равной весу, но приложенной на конце стержня.

Ответ: σmax = 0,77 МПа; wmax = 1,83 × 10-5 м.

Задача #5162

Условие:

baABFaFb

Ступенчатый брус, защемленный обоими концами, деформируется под действием собственного веса. Вычислить реакции на концах бруса VA и VB, считая, что обе его части, имеющие площади сечений Fа и Fb, выполнены из одинакового материала с плотностью ρ и модулем упругости E.

Решение:

Разрежем брус, как показано на рисунке, и найдем силу X из условия, что сумма удлинений участков бруса под действием, веса и силы X должна быть равна нулю

X×aEFa+ρga2Fa2EFa+X×bEFb-ρgb2Fb2EFb

Откуда

X=-ρgaFa2×1-b2a21+baFaFb

Тогда

VA=X+ρgaFa

VB=X-ρgbFb

Ответ: не указан.

Задача #5163

Условие:

xlF1F2P

Призматический ступенчатый брус, защемленный верхним концом, растягивается собственным весом и силой Р, приложенной к нижнему концу. Напряжения в верхних сечениях каждой ступени равны допустимому напряжению [σ]. Определить длину х нижней ступени бруса так, чтобы вес бруса был минимальным. Плотность материала бруса равна ρ.

Решение:

Площади сечений бруса находятся из условий прочности:

F1=Pσ-ρgx

F2=Pσσ-ρgl-xσ-ρgx

Полный вес стержня

G=ρgPσl-ρgxl-xσ-ρgxσ-ρgl-x

Минимальное значение веса достигается при значении

x=l2-σρg±l24+σρg2

Ответ: не указан.

Задача #5171

Условие:

CBADP80 см60 см

Вычислить величину предельной нагрузки для фермы, нагруженной в точке А вертикальной силой Р. Определить, как изменится величина предельной нагрузки, если силу перенести вдоль линии ее действия в точку В. Сечения стержней одинаковы, F = 5 см2; пределы текучести при растяжении и сжатии одинаковы, σт = 300 МПа. Считать, что сжатые стержни устойчивости не теряют.

Решение:

Ферма содержит одну лишнюю связь. Выберем основную систему, перерезав стержень АВ. Усилия в стержнях основной системы от заданной нагрузки и от единичных сил, приложенных в разрезе, показаны на рисунках а и б соответственно. Силу Х1 в перерезанном стержне определяем из канонического уравнения

δ11X1+Δ1P=0

δ11=N¯i2liEF=2×259×1EF+2×1690,8EF+2×1×0,6EF=9,6EF

Δ1P=NiN¯iliEF=53P-531EF-43P×43×0,8EF=-4,2PEF

NAB=X1=-Δ1Pδ11=0,438P

NBD=0,438P-53=-0,73P

NAD=-43P+0,438P×43=-0,75P

NBC=0,438P×43=0,585P

Наиболее нагружен стержень АС. Нагрузка, соответствующая началу текучести в этом стержне, равна

0,935P=σтF=3×108×5×10-4

Отсюда

P=1,6×105 Н=160 кН

При достижении предельного значения нагрузки возникнут напряжения текучести и в диагональном стержне BD. В стержне АВ в этот момент действует сила

NAB=Pпр-σтFcosα=Pпр-9×104

В стержне BD действует сила

NBD=σтF=1,5×105 Н

Составим условия равновесия узла B:

Pпр-9×104=1,5×105×0,6

Отсюда предельная сила

Pпр=180 кН

Ответ: не указан.

Задача #5172

Условие:

3aaP

Определить, насколько изменится несущая способность бруса, если температура его повысится на 50 К. Площадь сечения бруса F = 10 см2, материал — сталь, E = 2 × 105 МПа, σт = 350МПа, коэффициент линейного расширения α = 1,25 × 10-5 1/K. Считать, что нагрев на механические характеристики материала не влияет.

Решение:

Из условия равенства нулю полного удлинения бруса находим реакцию в нижнем сечении

RB=0,75P

В предельном состоянии

RBF=0,75PF=σт=3,5×108P=467 кН

При нагревании возникнут дополнительные сжимающие силы X, определяемые из уравнения

XlEF+αlΔt=0

X=-αΔtEF=-125 кН сжатие

Эта сила, складывается в нижней части бруса с силой 0,75P, уменьшит предельную нагрузку

0,75P+1,25×10510×10-4=3,5×108

P=300 кН

Ответ: P = 300 кН.

Задача #5173

Условие:

Арматура40см40смP

Сравнить величины допускаемой силы Р, нагружающей железобетонную колонну, проведя расчет по допускаемым напряжениям, а затем по предельному состоянию. В обоих случаях коэффициент запаса принять равным nт = 3. Стальная арматура занимает 2 % от общей площади сечения колонны. Дано: для стали Eст = 2 × 105 МПа, σст = 400 МПа; для бетона Eб = 2 × 104 МПа, σб = 25 МПа.

Решение:

Удлинения арматуры и бетона одинаковы:

Δlст=Δlб

Поэтому

σст=10σб

Допускаемые напряжения по условию

[σ]ст=σстnт=133 МПа

σб=σбnт=8,3 МПа

Напряжение в стали не должно быть больше

10σб=83 МПа

которое и является максимальным напряжением для стали.

Допускаемая сила

P=σбFб+σmaxFст=8,3×1,6×10-1+83×3,2×10-3=1,57 МН

Если же вести расчет по допускаемым нагрузкам, то предельная сила

Pпр=σбFб+σстFст=5,2 МН

При nт = 3 допустимая сила

Pпр=5,23=1,73 МН

Ответ: не указан.

Задача #5181

Условие:

Определить величину силы P, растягивающей образец прямоугольного сечения 50 × 20 мм, если известны величины нормальных напряжений σα = 20 МПа σβ = 60 МПа на взаимно перпендикулярных площадках ab и cd.

Решение:

Напряжение в поперечном сечении стержня

σ0=σα+σβ=80 МПа

Отсюда растягивающая сила

P=σ0F=80 кН

Ответ: P = 80 кН.

Задача #5182

Условие:

PPØ16ατασαab

Диаметр тяги круглого сечения равен 16 мм. Растягивающая сила P = 40кН вызывает в наклонном сечении ab касательные напряжения τα, составляющие 60 % от нормальных напряжений в этом же сечении ab. Определить угол наклона сечения и значения σα и τα.

Решение:

Напряжение в поперечном сечении

σ0=PF=200 МПа

Напряжения в наклонном сечении

σα=σ0cos2α

τα=σ02sin2α=σ0sinαcosα

Должно выполнятся соотношение

τα=0,6σα

или

σ0sinαcosα=0,6σ0cos2α

Отсюда находим

α=31°

Искомые напряжения:

σα=200×cos231°=200×0,735=147 МПа

τα=0,6×147=88,2 МПа

Ответ: α = 31°; σα = 147 МПа; τα = 88,2 МПа.

Задача #5183

Условие:

σ1σ2σ1σ2βab

К краям квадратной пластинки приложены нормальные напряжения σ1 = 150 МПа и σ2 = 50 МПа. Вычислить аналитическим методом и проверить графическим методом напряжения в сечении ab, наклоненном под углом β = 80° к направлению σ1. Какие напряжения действуют в сечении, перпендикулярном данному?

Решение:

Угол между направлениями нормали к площадке ab и главного напряжения σ1

α=90°-β=10°

Искомые напряжения:

σα=σ1cos210°+σ2sin210°=147 МПа

σα+90°=σ1+σ2-σα=53 МПа

τα=σ1-σ22sin2α=17 МПа

τα+90°=-τα=-17 МПа

Ответ: не указан.

Задача #5184

Условие:

σ1σ2σ1σ2β1abβ2cταασασα

По краям прямоугольного элемента, действуют нормальные напряжения σ1 = 160 МПа и σ2 = -80 МПа. Известно, что в двух наклонных сечениях ab и ca элемента нормальные напряжения одинаковы и равны 40 МПа. Под какими углами к направлению σ1 проведены эти сечения? Чему равны касательные напряжения в этих сечениях?

Решение:

Нормальное напряжение

σα=160cos2α+80sin2α=40 МПа

Откуда

α=±45°

Касательное напряжение

τα=160+802sin±90°=±120 МПа

Ответ: τα = ±120 МПа.

Задача #5185

Условие:

σ2aσα+90°σ1ατα+90°τα+90°σα+90°σασατατα

Плоский прямоугольный элемент нагружен по краям нормальными и касательными напряжениями σα = -200 МПа, σα+90° = 100 МПа, τα = -120 МПа, τα+90° = -τα. Определить величины и направления главных напряжений, изобразить их на рисунке.

Решение:

Найдем угол α

tg2α=2τασα+90°-σα=0,8

α=19°20

Величины главных напряжений

σ1,2=12σα+σα+90°±σα+σα+90°2+4τα2

σ1=142 МПа

σ2=-242 МПа

Ответ: Ответ: α = 19°20’; σ1 = 142 МПа; σ2 = -242 МПа.

Задача #5186

Условие:

σα+90°τα+90°τα+90°σα+90°σασατατααA

Стальная пластинка нагружена по краям напряжениями σα = 100 МПа и σα+90° = -40 МПа, τα = -50 МПа. Определить, под каким углом α к напряжению σα надо установить тензометр A, чтобы он давал наибольшие показания при нагружении. Найти наибольшее относительное удлинение ε1 при E = 2 × 105 МПа и μ = 0,25 и соответствующее ему приращение показаний тензометра, имеющего базу s = 10 мм и увеличение k = 1000.

Решение:

Вычисляем величины и направления главных напряжений:

σ1,2=1260±1402+4×502=30±86 МПа

σ1=116 МПа

σ2=-56 МПа

tg2α=2×-50-40-100=0,714

α=17°45

Ответ: не указан.

Задача #5187

Условие:

PPllNKLMADCaaB

Вычислить относительное упругое уменьшение объема εv бетонного куба ABCD, сжатого при помощи шарнирного механизма усилиями, равномерно распределенными по всем четырем боковым граням. Длина ребра куба a = 0,1 м. Модуль упругости материала E = 2 × 104 МПа, μ = 0,17, предел пропорциональности σпц = 10 МПа. Силы, приложенные в точках K и L механизма, равны P = 50 кН.

Решение:

Сила, действующая на боковую грань куба, равна

P2

Напряжения на боковых гранях

σ2=σ3=-P2F=-5×104×210-2=-7,07 МПа

Две грани свободны от напряжений

σ1=0

Относительное изменения объема

εv=ε1+ε2+ε3=1-2μEσ1+σ2+σ3=

Ответ: εv = -0,467 × 10-3.

Задача #5188

Условие:

σcσbσa

Алюминиевый кубик испытывает действие нормальных напряжений σa = -40 МПа, σb = 100 МПа, σc = 6 0 МПа, приложенных к его граням. Вычислить: а) наибольшее касательное напряжение τmax, б) октаэдрическое нормальное напряжение σокт, в) октаэдрическое касательное напряжение τокт, г) относительную объемную деформацию εv, д) полную удельную потенциальную энергию u0 упругой деформации кубика и е) удельную энергию формоизменения uф. Считать E = 7 × 104 МПа, μ = 0,35.

Решение:

Напряжения:

σ1=100 МПа

σ2=60 МПа

σ3=-40 МПа

τmax=σ1-σ32=70 МПа

τокт=13σ1-σ22+σ2-σ32+σ1-σ32=58,8 МПа

σокт=σ1+σ2+σ33=40 МПа

Относительная объемная деформация

εv=1-2μEσ1+σ2+σ3=5×10-4

Энергии:

- упругой деформации

u0=12Eσ12+σ22+σ32-2μσ2σ3+σ3σ1+σ2σ1=1,1×105Джм3

- формоизменения

uф=1+μ6Eσ1-σ22+σ2-σ32+σ3-σ12=

=31+μ2Eτокт2=105Джм3

Ответ: не указан.

Задача #5191

Условие:

σ3σ2σ1σ1σ3σ2

Материал детали в опасной точке находится в объемном напряженном состоянии. Вычислить расчетные напряжения σэ.II, σэ.III, σэ.IV (эквивалентные напряжения) и проверить прочность по II, III и IV теориям прочности, принимая допускаемое напряжение на растяжение [σ]р = 120 МПа и μ = 0,35. Проверить прочность по V теории (Мора), если допускаемое напряжение на сжатие [σ]с = 300 МПа. Главные напряжения: σ1 = 90 МПа, σ2 = 70 МПа, σ3 = -30 МПа.

Решение:

Искомые напряжения:

σэ.II=σ1-μσ2+σ3=76 МПа<σр

σэ.III=σ1-σ2=120 МПа=σр

σэ.IV=12σ1-σ22+σ2-σ32+σ1-σ32=112 МПа<σр

σэ.V=σ1-σрσс=78 МПа<σр

Ответ: не указан.

Задача #5192

Условие:

pDt

Поплавок клапана испытательной машины представляет собой замкнутый цилиндр из алюминиевого сплава. Внешний диаметр цилиндра D = 80 мм. Поплавок подвергается всестороннему сжатию давлением p = 30 МПа. Вычислить толщину стенки поплавка, используя четвертую теорию прочности; допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа.

Решение:

Главные напряжения в стенке поплавка:

σ1=pD2t=30×8×10-22t=1,2t

σ2=0,5

σ3=0,6t

По четвертой теории прочности получаем

σэ.IV=1tσ1-σ22+σ2-σ32+σ1-σ32=1,04t<160 МПа

откуда толщина стенки

t=6,5×10-3м=6,5 мм

Ответ: не указан.

Задача #5193

Условие:

σy=-σσyσxσx=2|σy|ττ=0,5|σy|

Абсолютные величины напряжений на гранях плоского элемента находятся в следующем соотношении: σx = 2σy, τ = 0,5σy. Вычислить допускаемые величины этих напряжений по V теории прочности (Мора) при [σ]р = 100 МПа, [σ]с = 250 МПа. Во сколько раз изменится величина допускаемой нагрузки на элемент, если его выполнить из материала, имеющего одинаковое допускаемые напряжения на растяжение и сжатие: [σ] = 150 МПа?

Решение:

Вычисляем главные напряжения:

σгл=12σx+σy±σx-σy2+4τ2=

=122σ-σ±2σ+σ2+4σ22=0,5σ±3,16σ

σ1=3,66σ

σ2=0

σ3=-2,66σ

Условия прочности по теории Мора имеет вид:

σэ.Vσ1-kσ3σр

k=σрσс=100250=0,4

3,66σ-0,4-2,66σ100

σ=21,2 МПа

Допускаемые значения напряжений:

σx=42,4 МПа

σy=-21,2 МПа

τy=10,6 МПа

При одинаковой прочности на растяжение и на сжатия воспользуемся третьей теорией прочности:

σэ.III=σ1-σ3σ

3,66σ--2,66σ150 МПа

σ=1506,32=23,7 МПа

Ответ: не указан.