Растяжение и сжатие

Cтатистика главы
Количество разделов	11
Количество задач	600

Примеры решений задач

Данные примеры задач, относятся к предмету «Сопротивление материалов».

Задача #5111

Условие:

Рабочая часть нормального образца диаметром d₀ = 10 мм до испытания разделена тонкими рисками на 10 равных частей. После разрыва образца расстояния между рисками оказались равными: l_0-1 = 12 мм, l_2-3 = 11 мм, l_3-4 = 11 мм, l_4-5 = 14 мм, l_5-6 = 19 мм, l_6-7 = 15 мм, l_7-8 = 12 мм, l_8-9 = 11 мм, l_9-10 = 11 мм. Минимальный диаметр образца в месте разрушения оказался равным d₁ = 6 мм. Чему равно максимальное равномерное удлинения δ_равн? Вычислить среднее δ_сри максимальное δ_max остаточное удлинения, а также относительное сужение в шейке образца ψ

Решение:

Исключив данные для участков 4-5, 5-6, 6-7, удлинения которых сильно отличаются от остальных, вычислим среднюю величину максимального равномерного удлинения

$δ_{р а в н} = \frac{(12 - 10) \times 2 + (11 - 10) \times 5}{7 \times 10} = 0,13$

Среднее остаточное удлинение после разрыва

$δ_{с р} = \frac{(11 - 10) \times 5 + (12 - 10) \times 2 + (14 - 10) + (19 - 10) + (15 - 10)}{10 \times 10} = 0,27$

$δ_{m a x} = \frac{19 - 10}{10} = 0,9$

$ψ = \frac{F_{0} - F_{1}}{F_{0}} = \frac{d_{0}^{2} - d_{1}^{2}}{d_{0}^{2}} = 0,64$

Ответ: δ_равн = 0,13; δ_ср = 0,27; δ_max = 0,9; ψ = 0,64.

Задача #5112

Условие:

Нормальный образец диаметром d = 20 мм испытан на растяжение. Деформации во время испытания измерялись двумя зеркальными тензометрами с базой s = 100 мм и увеличением k = 500. Данные опыта приведены в таблице.

Вычислить модуль упругости E материала образца и условный предел пропорциональности σ_0,002.

НагрузкаP, кН	Отсчеты по тензометрам
	правый n, мм	левый n, мм
10	20	40
20	27	48
30	34	58
40	42	67
50	50	75

НагрузкаP, кН	Отсчеты по тензометрам
	правый n, мм	левый n, мм
60	58	82
70	67	90
80	75	98
90	84	108
100	95	117

Решение:

По данным эксперимента составим таблицу средних приращений показаний тензометров, соответствующих среднему приращению нагрузки на ΔP = 10 кН.

НагрузкаP, кН	Приращения нагрузкиΔP, кН	Среднее показание тензометра n_ср, мм	Среднее приращение показание Δn_ср, мм
10	-	30,0	-
20	10	37,5	7,5
30	10	46,0	8,5
40	10	54,5	8,5
50	10	62,5	8,0
60	10	70,0	7,5
70	10	78,5	8,5
80	10	86,5	8,0
90	10	96,0	9,5
100	10	106,0	10,0

Приращение по линейному закону Δn_уп, мм	Отклонение от линейного закона на участке Δ_i, мм	Суммарное отклонение ∑Δ_i, мм
-	-	-
8,05	-0,55	-0,55
8,05	0,45	-0,10
8,05	0,45	0,35
8,05	-0,05	0,30
8,05	-0,05	-0,25
8,05	0,45	0,20
8,05	-0,05	0,15
8,05	1,45	1,60
8,05	1,95	3,55

Первые семь приращений Δn_ср мало отличаются друг от друга и, следовательно, соответствуют линейной зависимости между силой и удлинением.

Находим

$Δ n_{у п} = \frac{7,5 \times 2 + 8 \times 2 + 8,5 \times 3}{7} = 8,05 м м$

$Δ l_{у п} = \frac{8,05}{500} = 1,61 \times 10^{- 2} м м$

Модуль упругости

$E = \frac{Δ P \times s}{Δ l_{у п} \times F} = 1,98 \times 10^{5} М П а$

Вычитая из Δn_ср (4-й столбец таблицы) Δn_уп (5-1 столбец), получим величины отклонений показаний тензометров от линейного закона на каждой ступени нагружения (6-й столбец). Последовательно суммируя эти отклонения с учетом их знаков, найдем величины полного отклонения от линейного закона при данной нагрузке. Условный предел пропорциональности находим по величине силы, которой соответствует отклонение.

$\sum Δ i = 0,002 % \times l \times k = 1 м м$

Эта сила находится в пределах между P = 80 кН и P = 90 кН. Она определяется линейной интерполяцией, P_0,002 = 85,86 кН;

$σ_{0,002} = \frac{P_{0,002}}{F} = 273 М П а$

Ответ: не указан.

Задача #5113

Условие:

На плоском образце установлены два тензометра. Тензометр A расположен вдоль оси образца, тензометр B – перпендикулярно оси. Увеличения тензометров соответственно равно k_A = 950, k_B = 1190. Базы обоих тензометров одинаковы: s_A = s_B = 20 мм.

Нагрузка P, кН	Отсчеты по тензометрам
	n_A, мм	n_B, мм
2	4,5	36,0
12	14,5	32,5
22	24,0	30,0
32	34,5	25,5

При растяжении образца ступенчато возрастающей нагрузкой получены данные, приведены в таблице.

Вычислить средние величины модуля продольной упругости E и коэффициент поперечной деформации μ (коэффициент Пуассона). Площадь сечения образца F = 1 см².

Решение:

Средние приращения отсчетов, соответствующие ΔP = 10 кН, для продольного тензометра

$Δ n_{A} = \frac{10 + 9,5 + 10,5}{3} = 10 м м$

для поперечного тензометра Δn_B = 3,5 мм. Абсолютные удлинения (в среднем):

$Δ s_{A} = \frac{10}{950} = 1,05 \times 10^{- 2} м м$

$Δ s_{B} = \frac{3,5}{1190} = 2,9 \times 10^{- 3} м м$

Отсюда

$E = \frac{Δ P \times s_{A}}{F \times Δ s_{A}} = 1,9 \times 10^{5} М П а$

$μ = \frac{ε_{B}}{ε_{A}} = \frac{ε_{B} / {ε ’}_{B}}{ε_{A} / {ε ’}_{A}} = 0,28$

Ответ: не указан.

Задача #5114

Условие:

Стальная полоса с отверстием d = 20 мм испытана на растяжение в пределах упругих деформаций. Ширина полосы b = 60 мм, толщина h = 10 мм. На полосу наклеили шесть электродатчиков (измерителей удлинений) с базой s = 10 мм на равных расстояниях друг от друга. Показания датчиков, полученные с помощью электронного измерителя статических деформаций, приведены в таблице.

Построить эпюру нормальных напряжений в ослабленном сечении и вычислить коэффициент концентрации напряжений вблизи отверстия. Модуль упругости материала E = 2,0 × 10⁵ МПа. Цена деления измерителя деформаций c = 1,25 × 10^-6.

Решение:

Средние приращения показаний тензометров при возрастании нагрузки на ΔP = 20 кН равны:

$Δ n_{1} = 18$

$Δ n_{2} = 19$

$Δ n_{3} = 37$

$Δ n_{4} = 39$

$Δ n_{5} = 19,5$

$Δ n_{6} = 19$

Соответствующие им значения напряжений

$Δ σ_{i} = Δ n_{i} E \times c, М П а$

Находим:

$Δ σ_{1} = 45 М П а$

$Δ σ_{2} = 47,5 М П а$

$Δ σ_{3} = 92,5 М П а$

$Δ σ_{4} = 97,5 М П а$

$Δ σ_{5} = 48,75 М П а$

$Δ σ_{6} = 47,5 М П а$

Эпюра (график) напряжений построенная по экспериментальным точкам, показана на рисунке сплошной линией. Среднее напряжение изображено штриховой линией.

$Δ σ_{с р} = \frac{2 \times 10^{4}}{(60 - 20) \times 10 \times 10^{- 6}} = 5 \times 10^{7} П а = 50 М П а$

Среднее значение максимального напряжения из опыта

$Δ σ_{m a x} = \frac{Δ σ_{3} + Δ σ_{4}}{2} = 95 М П а$

Теоретический коэффициент концентрации напряжений равен

$α_{т} = \frac{Δ σ_{m a x}}{Δ σ_{с р}} = \frac{95}{50} = 1,9$

Ответ: не указан.

Задача #5115

Условие:

Вычислить наибольшую возможную ошибку экспериментального определения модуля упругости при сжатии, если относительная ошибка силоизмерителя пресса составляет ±2 %; тензометр позволяет измерять удлинения с погрешностью ±1 %, а при измерении длины и диаметра образца допускается относительная погрешность ±0,5 %.

Решение:

Для определения наибольшей ошибки надо взять наибольшие значения величин, стоящих в числителе формулы, и наименьшие значения величин, стоящих в знаменателе

$E_{m a x} = \frac{1,02 P \times 1,005 l}{0,99 Δ l \times {0,995}^{2} F} = 1,046 \frac{P l}{Δ l F} = 1,046 E_{с р}$

$Δ E = \pm 0,046 E_{с р}$

Ответ: не указан.

Задача #51101

Условие:

Медный провод подвешен между двумя точками A и B, расстояние между которыми l = 50 м. Определить допустимое натяжение провода T величину распора H (натяжение в нижней точке) и стрелу провисания f. Дано: диаметр сечения провода d = 4 мм, плотность материала ρ = 8 × 10³ кг/м³, допускаемое напряжение [σ] = 50МПа.

Решение:

Максимальное натяжение действует в точках подвеса:

$T = \frac{π d^{2}}{4} [σ] = 630 Н$

Натяжение в нижней точке

$H = \frac{T}{1 + 8 \frac{f^{2}}{l^{2}}}$

H и l связаны соотношением

$H = \frac{p l^{2}}{8 f}$

где p – вес одного метра провода, равный

$p = F ρ g = \frac{π}{4} \times 16 \times 10^{- 6} \times 8 \times 10^{3} \times 9,81 = 0,985 \frac{Н}{м}$

Решая совместно полученные уравнения, находим:

$f = \frac{T}{2 p} - \sqrt{{(\frac{T}{2 p})}^{2} - \frac{l^{2}}{8}} = 0,5 м$

$H = \frac{0,985 \times 50^{2}}{8 \times 0,5} = 615 Н$

Значение H отличается от T всего на 2 %. Поэтому нити с малой стрелой провисания можно считать равномерно растянутыми по всей длине.

Ответ: T = 630 Н; f = 0,5 м; H = 615 Н.

Задача #51102

Условие:

Длина провода в ненапряженном состоянии l = 40 м. Определить напряжения и стрелу провисания провода, если его закрепить по концам в точках, расположенных на одной высоте. Материал провода — сталь, E = 2 × 10⁵ МПа, ρ = 7,8 × 10³ кг/м³.

Решение:

Считая провод равномерно растянутым по всей длине усилием

$T = \frac{p l^{2}}{8 f} = \frac{ρ g F l^{2}}{8 f}$

вычисляем его удлинение

$Δ l = \frac{T l}{E F} = \frac{p l^{3}}{8 f E F} = \frac{ρ g l^{3}}{8 f E}$

Уравнение кривой провисания

$y = \frac{p x^{2}}{2 T} = \frac{4 f x^{2}}{l^{2}}$

Длина провисшего провода

$S = 2 \int_{0}^{\frac{l}{2}} \sqrt{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}} \times d x \approx (1 + \frac{8 f^{2}}{3 l^{2}}) l$

т. е. удлинение

$Δ l = S - l = \frac{8 f^{2}}{3 l}$

Приравнивая оба выражения Δl, определим стрелу провисания

$f = \frac{l}{4} \sqrt[3]{\frac{3 ρ g l}{E}} = 0,361 м$

Напряжение в проводе

$σ = \frac{T}{F} = \frac{ρ g l^{2}}{8 f} = 430 М П а$

Ответ: f = 0,361 м; σ = 430 МПа.

Задача #51103

Условие:

Трос провисает по кривой АСВ, которую приближенно можно считать параболой. Вычислить натяжение троса. Вес одного метра троса p = 12 Н.

Решение:

Так как кривая провисания – парабола

$y = k x^{2}$

с вершиной в точке C, то между координатами точек A и B имеется зависимость

$\frac{a^{2}}{b^{2}} = \frac{h_{A}}{h_{B}} = \frac{2}{20} = 0,1$

откуда

$a = b \sqrt{0,1} = 0,316 b$

$a + b = 1,316 b = 50 м$

$a = 12 м$

$b = 38 м$

Распор

$H = p \frac{4 a^{2}}{8 h_{A}} = 432 Н$

Ответ: H = 432 Н.

Задача #51104

Условие:

Вычислить напряжения, возникающие после посадки стального цилиндра толщиной 1 мм, нагретого до 330 К, на медную втулку толщиной 4 мм, имеющую температуру 285 К. В момент посадки зазор между втулкой и цилиндром считать равным нулю. Диаметр посадочной поверхности 100 мм. После посадки соединение охлаждается до 285 К. Вычислить взаимное давление соединяемых деталей, если для меди α_м = 1,65 × 10^-5, E_м = 1 × 10⁵ МПа, для стали α_ст = 1,25 × 10^-5, E_ст = 2 × 10⁵ МПа.

Решение:

При охлаждении на поверхности контакта цилиндров возникает давление p. Стальной цилиндр растягивается силой

$N_{с т} = \frac{p D}{2}$

а медный – сжат той же силой

$N_{м} = N_{с т} = \frac{p D}{2}$

Изменение диаметров цилиндров должно быть одинаковым. Условие совместности деформаций

$α_{с т} Δ t D = \frac{p D}{2} (\frac{D}{E_{с т} F_{с т}} + \frac{D}{E_{м} F_{м}})$

Отсюда находим давление между цилиндрами

$p = \frac{2 α_{с т} Δ t E_{с т} F_{с т} F_{м}}{D (E_{с т} F_{с т} + E_{м} F_{м})} = 1,5 М П а$

Ответ: p = 1,5 МПа.

Задача #51105

Условие:

По технологическим условиям сборки внутренний диаметр стальной рубашки, имеющей толщину h_ст = 1 мм, выполнен на 0,05 мм меньше наружного диаметра медной втулки толщиной 8 мм. Сборка ведется при температуре 290 К. Определить, на сколько градусов надо нагреть стальную рубашку для того, чтобы ее можно было напрессовать на втулку. Какие напряжения возникнут в деталях соединения после сборки и охлаждения? Дано: α_ст = 2 × 10⁶ МПа, E_ст = 2 × 10⁵ МПа, E_м = 1,1 × 10⁵ МПа.

Решение:

Диаметр посадочной поверхности

$D = 60 + 2 \times 8 = 76 м м$

Нагрев рубашки должен увеличивать ее диаметр на 0,05 мм, чтобы можно было осуществить посадку

$α_{с т} Δ t D = 1,25 \times 10^{- 5} Δ t \times 7,6 \times 10^{- 2} = 5 \times 10^{- 5}$

$Δ t = 52,5 К$

После охлаждения произойдет упругая деформация втулки и рубашки под влиянием их взаимного надавливания. Давление p находится из условия равенства суммы радиальных деформаций цилиндров величине натяга

$\frac{7,6 \times 10^{- 2} p}{2 \times 10^{- 3} \times 2 \times 10^{11}} + \frac{7,6 \times 10^{- 2} p}{2 \times 8 \times 10^{- 3} \times 1,1 \times 10^{11}} = \frac{5 \times 10^{- 5}}{7,6 \times 10^{- 2}}$

отсюда

$p = 2,8 М П а$

Напряжения в цилиндрах:

$σ_{с т} = \frac{p D}{2 h_{с т}} = 108 М П а$

$σ_{м} = \frac{p D}{2 h_{м}} = - 13,3 М П а$

Ответ: Δt = 52,5 К; σ_ст = 108 МПа; σ_м = -13,3 МПа.

Задача #51106

Условие:

Цилиндрический сосуд, шарнирно закрепленный по верхнему краю, снизу заканчивается полусферой. Построить эпюры главных напряжений по высоте сосуда, считая, что он заполнен водой доверху, и не учитывая его собственного веса.

Решение:

Напряжения в горизонтальных сечениях цилиндрической части сосуда постоянны

$σ_{2} = \frac{ρ g R}{2 h} (H - \frac{R}{3}) = \frac{10^{3} \times 9,81 \times 2}{2 \times 10^{- 2}} \times (6 - \frac{2}{3}) = 5,22 М П а$

Напряжения в меридианных сечениях: вверху цилиндра

$σ_{1} = \frac{p R}{h} = 0$

так как p = 0; в месте соединения цилиндра с шаром

$σ_{1} = \frac{p R}{h} = ρ g (H - R) \frac{R}{h} = 7,84 М П а$

В шаровой части наибольшие напряжения в нижней точке

$σ_{1} = σ_{2} = \frac{ρ g H R}{2 h} = 5,88 М П а$

Ответ: не указан.

Задача #51107

Условие:

Тонкостенная труба в форме усеченного конуса шарнирно закреплена по окружности на правом конце и нагружена давлением, распределенным по ее длине по линейному закону. Заданы крайние ординаты эпюры давления p_A и p_B, толщина стенки h, центральный угол при вершине конуса 2α и размеры a и b, отсчитываемые от вершины конуса O. Построить эпюры главных напряжений по длине трубы.

Решение:

Давление в текущем сечении с координатой x выразится таким образом

$p_{x} = p_{a} + (p_{b} - p_{a}) \frac{x - a}{b - a}$

Радиусы торцевых сечений трубы R_a и R_b также радиус текущего сечения удобно выразить через угол наклона образующей конуса:

$R_{a} = a tg α$

$R_{b} = b tg α$

$R_{x} = x tg α$

Составим уравнение равновесия отсеченной части трубы

$σ_{2} h \times 2 π R_{x} \cos α = \int_{a}^{x} p_{x} \times 2 π R_{x} \sin α d s = \int_{a}^{x} p_{x} \times 2 π R_{x} \sin α \frac{d x}{\cos α}$

После интегрирования находим продольные напряжения

$σ_{2} = \frac{x tg α}{6 (b - a) x h \cos α} (p_{a} [3 (x^{2} - a^{2}) b - 2 (x^{3} - a^{3})] + p_{b} (2 x^{3} - 3 a x^{2} + a^{3}))$

Меридианные главные напряжения σ₁ находятся из уравнения Лапласа с учетом тога, что главные радиусы кривизны трубы

$ρ_{1} = \frac{R_{x}}{\cos α} = \frac{x tg α}{\cos α}$

$ρ_{2} = \infty$

$σ_{1} = \frac{p_{x} ρ_{1}}{h} = \frac{x tg α}{(b - a) h \cos α} [p_{a} (b - x) + p_{b} (x - a)]$

Ответ: не указан.

Задача #51111

Условие:

Определить расчетные напряжения по IV теории прочности стальном шариковом подшипнике, схема которого представлена на рисунке. Радиус шарика R₁ = 2,5 мм, радиус желоба R₂ = 3 мм, радиус кольца R₃ = 30 мм. Давление на наиболее нагруженный шарик подшипника равно Р = 40 кг.

Решение:

Найдем коэффициенты уравнения эллипса касания:

$A = \frac{1}{2} (\frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}}) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2,5} - \frac{1}{3}) = 0,035$

$B = \frac{1}{2} (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{3}}) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2,5} + \frac{1}{30}) = 0,2165$

Тогда отношение A к B равно

$\frac{A}{B} = \frac{0,035}{0,2165} = 0,1615$

По этому отношению находим α:

$α = 0,772$

Подсчитаем наибольшее нормальное напряжение

$σ_{m a x} = α \sqrt[3]{\frac{P E^{2} {(R_{2} - R_{1})}^{2}}{{(R_{1} R_{2})}^{2}}} = 0,772 \sqrt[3]{\frac{40 \times {(2 \times 10^{4})}^{2} \times {(3 - 2,5)}^{2}}{{(2,5 \times 3)}^{2}}} = 321 \frac{к г}{м м^{2}}$

Расчетное напряжение в опасной точке внутри материала равно

$σ_{I V} = 0,6 σ_{m a x} = 0,6 \times 321 = 193 \frac{к г}{м м^{2}}$

Из графика справочной таблице по значению отношения

$\frac{A}{B} = 0,1615$

находим коэффициенты n:

$n_{1} = 0,23$

$n_{2} = 0,2 4$

Тогда расчетное напряжение в центре эллипса касания составит

$σ_{I V}^{’} = n_{1} σ_{m a x} = 0,23 \times 321 = 74 \frac{к г}{м м^{2}}$

а расчетное напряжение на конце большой полуоси того же эллипса равно

$σ_{I V}^{’ ’} = n_{2} σ_{m a x} = 0,2 4 \times 321 = 77 \frac{к г}{м м^{2}}$

Ответ: не указан.

Задача #5121

Условие:

Стальная полоса сечением 30 × 10 мм и длиной l = 250 мм растянута силой P = 60 кН. Модуль упругости материала полосы E = 2 × 10⁵ МПа. Вычислить нормальное напряжение, абсолютное и относительное удлинения полосы

Решение:

Нормальное напряжение

$σ = \frac{P}{F} = \frac{60 \times 10^{3}}{0,03 \times 0,01} = 2 \times 10^{8} П а = 200 М П а$

Абсолютное и относительное удлинения полосы:

$Δ l = \frac{P l}{E F} = \frac{60 \times 10^{3} \times 0,25}{2 \times 10^{11} \times 0,03 \times 0,01} = 2,5 \times 10^{- 4} м = 0,25 м м$

$ε = \frac{σ}{E} = \frac{200}{2 \times 10^{5}} = 0,001$

Ответ: σ = 200 МПа; Δl = 0,25 мм; ε = 0,001.

Задача #5122

Условие:

Цилиндрический стальной стержень длиной l = 40 см и диаметром D = 2 см в средней части ослаблен прорезью длиной l₁ = 20 см и шириной h = 1 см. Вычислить полное удлинение и напряжения в ослабленной и неослабленной частях стержня, возникающие при растяжении его силами P = 15 кН. Модуль упругости материала E = 2 × 10⁵ МПа.

Решение:

Площадь поперечного сечения:

- в неослабленных частях стержня

$F_{1} = \frac{π D^{2}}{4} = \frac{3,14 \times {0,02}^{2}}{4} = 3,14 \times 10^{- 4} м^{2}$

- в ослабленных частях стержня

$F_{2} \approx \frac{π D^{2}}{4} - D h = \frac{3,14 \times {0,02}^{2}}{4} - 0,02 \times 0,01 = 1,14 \times 10^{- 4} м^{2}$

Нормальное напряжение:

$σ_{1} = \frac{P}{F_{1}} = \frac{15 \times 10^{3}}{3,14 \times 10^{- 4}} = 4,78 \times 10^{7} П а = 47,8 М П а$

$σ_{2} = \frac{P}{F_{2}} = \frac{15 \times 10^{3}}{1,14 \times 10^{- 4}} = 1,32 \times 10^{8} П а = 132 М П а$

Абсолютное удлинение:

$Δ l_{1} = \frac{σ_{1} (l - l_{1})}{E} = \frac{47,8 \times (0,4 - 0,2)}{2 \times 10^{5}} = 4,78 \times 10^{- 5} м$

$Δ l_{2} = \frac{σ_{2} l_{1}}{E} = \frac{132 \times 0,2}{2 \times 10^{5}} = 1,32 \times 10^{- 4} м$

$Δ l = Δ l_{1} + Δ l_{2} = 4,78 \times 10^{- 5} + 1,32 \times 10^{- 4} = 1,8 \times 10^{- 4} м = 0,18 м м$

Ответ: не указан.

Задача #5123

Условие:

Вычислить напряжения в стреле AB и тросе CB мачтового крана, несущего груз P = 2 кН. Стрела выполнена из стальной трубы 20 × 18 мм, площадь поперечного сечения троса равна 0,1 см². Найти, как изменятся напряжения в этих элементах, если, не изменяя величины груза, перевести кран в положение AB’C, изображенное на рисунке штриховыми линиями.

Решение:

Разложив силу P по направлениям стержней BA и BC, получим

$N_{B A} = - 1,93 P (с ж а т и е)$

$N_{B C} = P (р а с т я ж е н и е)$

Нормальное напряжение:

$σ_{B A} = \frac{4 \times (- 1,93 P)}{π (D^{2} - d^{2})} = \frac{4 \times (- 1,93 \times 2 \times 10^{3})}{3,14 \times ({0,02}^{2} - {0,018}^{2})} = - 6,47 \times 10^{7} П а = - 64,7 М П а$

$σ_{B C} = \frac{P}{S_{т р}} = \frac{2 \times 10^{3}}{0,1 \times 10^{- 4}} = 2 \times 10^{8} П а = 200 М П а$

Ответ: σ_BA = -64,7 МПа; σ_B_C = 200 МПа.

Задача #5124

Условие:

Жесткая балка ОС шарнирно закреплена в точке О и нагружена силами, равномерно распределенными по ее длине. Вычислить нормальные напряжения в подкосе АВ, если площадь его сечения F_AB = 5 см². Вычислить величину вертикального перемещения Δ_C свободного конца балки (точки С), приняв модуль упругости материала подкоса E = 2 × 10⁵ МПа и пренебрегая деформацией самой балки. Интенсивность распределенной нагрузки q = 2 кН/м, l = 4 м, h = 1,5 м, α = 30°.

Решение:

Заменяем распределенную нагрузку равнодействующей

$R = 4 q = 4 \times 2 = 8 к Н$

Находим усилие N_AB в подкосе, приравнивая нулю сумму моментов всех сил, действующих на балку, относительно шарнира O:

$2 R - 1,3 N_{A B} = 0$

Плече силы N_AB равно

$O D = 1,5 \cos 30 ° = 1,3 м$

Находим

$N_{A B} = \frac{8 \times 2}{1,3} = 12,3 к Н$

Нормальное напряжение

$σ_{A B} = \frac{N_{A B}}{F_{A B}} = 24,6 М П а$

Прикладываем в точке C силу, равную 1, и определяем реакцию N_AB в подкосе имеем:

$1 \times 4 = {\bar{N}}_{A B} \times 1,3 = 0$

${\bar{N}}_{A B} = \frac{4}{1,3} = 3,08 Н$

Вычисляем перемещение по формуле Максвелла – Мора

$Δ_{C} = \frac{N_{A B} {\bar{N}}_{A B}}{E F_{A B}} \times l_{A B} = 1,14 м м$

Ответ: Δ_C = 1,14 мм.

Задача #5125

Условие:

На стальной брус круглого сечения диаметром D = 3 см, жестко защемленный одним концом, действуют три силы, направленные вдоль оси бруса: P₁ = 100 кН, Р₂ = 140 кН и Р₃ = 120 кН, как показано на рисунке. Вычислить продольные силы N и напряжения о на участках 1—2, 2—3, 3—4 бруса и упругие перемещения w сечений I—I, II—II, III—III. Построить эпюры продольной силы, напряжений и перемещений по длине бруса. Принять модуль упругости материала бруса Е = 2 × 10⁶ МПа, длины участков: a = 0,2 м, b = 0,1 м, c = 0,3 м.

Решение:

Находим продольные силы на участках бруса как сумму всех сил, действующих на часть бруса по одну сторону от рассматриваемого сечения. Эпюра продольных сил N показана на рисунке,

$N_{m a x} = 100 к Н$

$σ_{m a x} = \frac{N_{m a x}}{F} = \frac{4 N_{m a x}}{π D^{2}} = \frac{4 \times 100 \times 10^{3}}{3,14 \times {0,03}^{2}} = 1,42 \times 10^{8} П а = 142 М П а$

Продольное перемещение w сечения находится как сумма удлинении Δl_i участков бруса между заделкой и рассматриваемым сечением

$w_{m a x} = \frac{\sum σ_{i} l_{i}}{E}$

суммирование ведется по участкам, на которых напряжение постоянно. Получаем

$w_{m a x} = \frac{(113 \times 0,2 - 56,6 \times 0,1 + 141 \times 0,3) \times 10^{6}}{2 \times 10^{11}} = 2,96 \times 10^{- 4} м \approx 0,3 м м$

Ответ: w_max = 0,3 мм.

Задача #5126

Условие:

Ступенчатый брус нагружен силами, направленными вдоль его оси Р_а = 120 кН, Р_b =60 кН, Р_с =20 кН. Длины участков бруса равны а = 0,2 м, b = 0,4 м, c = 0,8 м, а площади сечений F_a = 15 см², F_b = 10 см², F_c = 5 см². Модуль упругости материала бруса Е = 2 × 10⁶ МПа. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ, относительных удлинений ε и продольных перемещений сечений бруса w.

Решение:

Последовательно суммируя силы, начав со свободного конца, получим эпюру продольных сил N (см. рисунок)

$N_{m a x} = - 20 + 60 - 120 = - 80 к Н (с ж а т и е)$

$σ_{m a x} = \frac{N_{m a x}}{F} = \frac{- 80 \times 10^{3}}{15 \times 10^{- 4}} = - 5,33 \times 10^{7} П а = - 53,3 М П а$

$ε_{m a x} = \frac{σ_{m a x}}{E} = \frac{- 5,33 \times 10^{7}}{2 \times 10^{11}} = - 2,665 \times 10^{- 4}$

$w_{m a x} = \sum ε_{i} l_{i} = - 2,665 \times 10^{- 4} \times 0,2 + 2 \times 10^{- 4} \times 0,4 - 2 \times 10^{- 4} \times 0,8 = - 1,33 \times 10^{- 4} м$

Ответ: не указан.

Задача #5127

Условие:

Два цилиндрических стержня: ступенчатый и полый — закреплены своими верхними концами. Противоположные концы нагружаются растягивающими силами. Вычислить и сравнить между собой жесткости этих стержней на растяжение c_ступ и c_пол, считая отношение диаметров d/D = α < 1, а отношение длин участков ступенчатого стержня l₂/l₁ = β. Длины стержней одинаковы.

Найти, при каком отношении между величинами α и β жесткости стержней равны.

Решение:

Жесткость на растяжение (сжатие) измеряется величиной силы, вызывающей удлинение, равное 1 м:

$c = \frac{P}{Δ}$

Для ступенчатого стержня

$Δ_{с т у п} = \frac{4 l_{1} P}{E π d^{2}} + \frac{4 l_{2} P}{E π D^{2}} = \frac{4 l_{1} P}{E π D^{2}} (\frac{1}{α^{2}} + β)$

$c_{с т у п} = \frac{π E D^{2} α^{2}}{4 l_{1} (1 + α^{2} β)}$

Для полого стержня

$Δ_{п о л} = \frac{4 P (l_{1} + l_{2})}{π E (D^{2} - d^{2})} = \frac{4 P l_{1} (1 + β)}{π E D^{2} (1 - α^{2})}$

$c_{п о л} = \frac{π E D^{2} (1 - α^{2})}{4 l_{1} (1 + β)}$

Имеем

$c_{с т у п} = c_{п о л}$

$\frac{α^{2}}{1 + α^{2} β} = \frac{1 - α^{2}}{1 + β}$

$β = \frac{1 - 2 α^{2}}{α^{4}}$

Ответ: не указан.

Задача #5131

Условие:

Подобрать диаметр d шпилек крепления цилиндра двигателя внутреннего сгорания, считая распределение усилий между шпильками равномерным. Дано: внутренний диаметр цилиндра D = 100 мм, наибольшее избыточное давление газов в цилиндре p = 10 МПа, число шпилек n = 8, допускаемое напряжение для материала шпилек [σ] = 60 МПа.

Решение:

Усилие, отрывающей цилиндр от картера,

$P = \frac{p π D^{2}}{4}$

При равномерном распределении усилия между шпильками допускаемое усилие равно

$P = n (\frac{π d^{2}}{4}) [σ]$

Приравнивая полученные выражения, находим

$d = D \sqrt{\frac{p}{n} [σ]} = 14,4 м м$

принимаем

$d = 15 м м$

Ответ: d = 15 мм.

Задача #5132

Условие:

Груз Р удерживается двумя одинаковыми стержнями сечением F = 5 см², наклоненными к вертикали под одинаковыми углами α = 60°. Определить допустимую величину груза Р и вычислить перемещение Δ_B узла B; допускаемое напряжение материала стержней на растяжение [σ]_р =100 МПа, а модуль E = 2 × 10⁵ МПа.

Решение:

Приравнивая нулю сумму проекций на ось у всех сил, действующих на узел, получим

$2 N \times \cos 60 ° - P = 0$

Усилия в стержнях равны в силу симметрии узла и приложенной нагрузки. Отсюда

$N = P$

Из условия прочности стержня находим

$P = 10^{8} \times 5 \times 10^{- 4} = 5 \times 10^{- 4} Н = 50 к Н$

Прикладываем в узле вертикальную силу, равную 1, и находим усилия в стержнях

$\bar{N} = 1$

По формуле Максвелла – Мора имеем

$Δ_{B} = \sum \frac{N_{i} {\bar{N}}_{i} l_{i}}{E F_{i}} = \frac{2 \times P \times 1 \times 4}{2 \times 10^{11} \times 5 \times 10^{- 4} \times \sin 60 °} = 4,62 \times 10^{- 3} м = 4,62 м м$

Ответ: P = 50 кН; Δ_B = 4,62 мм.

Задача #5133

Условие:

Подобрать площади сечений стержней кронштейна ABC, нагруженного силой Р = 150 кН, по допускаемому напряжению [σ]_р =120 МПа для растянутого стержня и [σ]_с =50 МПа для сжатого. Углы, составляемые направлениями стержней и силы с вертикалью: α = 135°, β = 30°, γ = 0°.

Решение:

Спроектировав все силы, действующие на узел, на оси x и y и приравнивая нулю суммы проекций, находим реакции стержней

$N_{A B} = 290 к Н (р а с т я ж е н и е)$

$N_{A C} = - 410 к Н (с ж а т и е)$

Искомые величины площадей определим из условий прочности

$\frac{N_{A B}}{F_{A B}} \leq {[σ]}_{р}$

$F_{A B} \geq \frac{2,9 \times 10^{5}}{1,2 \times 10^{8}} = 2,42 \times 10^{- 3} м^{2}$

$\frac{N_{A C}}{F_{A C}} \leq {[σ]}_{с}$

$F_{A C} \geq \frac{4,1 \times 10^{5}}{5 \times 10^{7}} = 8,2 \times 10^{- 3} м^{2}$

Принимаем

$F_{A B} = 24,2 с м^{2}$

$F_{A C} = 82 с м^{2}$

Ответ: F_AB = 24,2 см²; F_A_C = 82 см².

Задача #5134

Условие:

Плоский узел ABC нагружен силой Р = 100 кН, составляющей с вертикалью угол γ = 30°. Длины прикрепляющих стержней l_AB = 0,2 м и l_AC = 0,1 м, площади сечений F_AB = 10 см² и F_AC = 3 см², углы между стержнями и горизонталью α = 30° и β = 60°. Модуль упругости материала стержней E = 2 × 10⁵ МПа. Вычислить: а) горизонтальное перемещение узла Δ_x, б) вертикальное перемещение узла Δ_y, в) полное перемещение узла Δ и его направление (угол θ между направлением полного перемещения и горизонталью).

Решение:

Из условий равновесия узла находим усилия в стержнях от действия заданной силы Р:

$N_{A B} = 0,866 P$

$N_{A C} = 0,5 P$

Приложив горизонтальную силу 1, вычисляем вызываемые ею усилия в стержнях:

${\bar{N}}_{A B}^{г} = 0,866$

${\bar{N}}_{A C}^{г} = - 0,5$

Вычисляем горизонтальное перемещение узла

$Δ_{x} = \sum \frac{N_{i} {\bar{N}}_{i}^{г} l_{i}}{E F_{i}} =$

$= \frac{0,866 \times 10^{5} \times 0,866 \times 0,2}{2 \times 10^{11} \times 10 \times 10^{- 4}} + \frac{0,5 \times 10^{5} \times (- 0,5) \times 0,1}{2 \times 10^{11} \times 3 \times 10^{- 4}} = 3,32 \times 10^{- 5} м = 0,0332 м м$

Усилия от вертикальной силы 1 равны:

${\bar{N}}_{A B}^{в} = 0,5$

${\bar{N}}_{A C}^{в} = 0,866$

Вертикальное перемещение

$Δ_{y} = \sum \frac{N_{i} {\bar{N}}_{i}^{в} l_{i}}{E F_{i}} =$

$= \frac{0,866 \times 10^{5} \times 0,5 \times 0,2}{2 \times 10^{11} \times 10 \times 10^{- 4}} + \frac{0,5 \times 10^{5} \times 0,866 \times 0,1}{2 \times 10^{11} \times 3 \times 10^{- 4}} = 0,115 \times 10^{- 3} м = 0,115 м м$

Полное перемещение узла

$Δ = \sqrt{Δ_{x}^{2} + Δ_{y}^{2}} = 0,12 м м$

$\tan θ = \frac{Δ_{y}}{Δ_{x}} = 3,49$

$θ = 74 °$

Ответ: Δ_x = 0,0332 мм; Δ_y = 0,115 мм; Δ = 0,12 мм; θ = 74°.

Задача #5135

Условие:

Плоская ферма, составленная из стержней одинакового сечения, нагревается на Δt = 100 К. Определить величину вертикального перемещения узла A, вызываемого нагревом, если коэффициент линейного расширения материала стержней α = 1,25 × 10^-5. Размер l = 100 см. Температуру опорных стержней фермы считать неизменной.

Решение:

Нагрузим ферму в узле А вертикальной силой 1 и вычислим усилия в ее стержнях, рассматривая равновесие узлов. Направления и величины усилий N_i указаны на рисунке.

Вертикальное перемещение узла A определяется по формуле

$Δ_{y} = \sum α_{i} l_{i} Δ t_{i} {\bar{N}}_{i} =$

$= 1,25 \times 10^{- 5} \times 100 \times (1 \times l - 1,41 \times 1,41 \times 1,4 l + 1 \times l - 1 \times l + 2 \times l - 1,41 \times 1,41 l) =$

$= - 1,25 \times 10^{- 3} м = - 1,25 м м$

Знак минус указывает, что перемещение противоположно силе 1, т. е. направлено вверх.

Ответ: Δ_y = -1,25 мм.

Задача #5136

Условие:

При монтаже фермы оказалось, что стержень ВС выполнен короче проектного размера на величину Δ₀ = 0,005 l. Определить перемещение узла A, вызванное этим изменением размера, считая узлы фермы идеальными шарнирами. Длина l = 120 см.

Решение:

Перемещение находится по формуле

$Δ = \sum {\bar{N}}_{i} Δ_{0 i}$

где N_i — усилия в стержнях от силы 1, приложенной в направлении искомого перемещения,

Δ₀_i — отклонение длины i-го стержня от номинального размера, которое считается положительным, если стержень длиннее нормы.

Приложив в узле A силы, равные 1 по вертикали и по горизонтали, находим реакции опор от каждой из этих сил (отдельно) и вычисляем усилия в стержнях фермы. Достаточно определить только усилия N_BC, так как длины остальных стержней равны номинальным и соответствующие начальные отклонения Δ₀_i равны нулю. Имеем

${\bar{N}}_{B C}^{в} = \frac{2}{3}$

${\bar{N}}_{B C}^{г} = 0$

Поэтому

$Δ_{y} = \frac{2}{3} Δ_{0} = \frac{2}{3} \times 0,005 \times 120 = 0,4 с м$

$Δ_{x} = 0$

Полное перемещение узла равно 0,4 см и направлено вертикально вверх (по направлению силы 1).

Напряжения в стержнях после сборки узла не возникают.

Ответ: Δ_x = 0; Δ_y = 0,4 см; Δ = 0.

Задача #5141

Условие:

Вычислить усилия в стержнях трехстержневого узла и определить допустимую величину груза Р, приняв угол α = 30°, площадь сечения каждого из стержней F=2 см а, модуль упругости Е = 2 × 10⁵ МПа, предел текучести σ_т = 260 МПа, коэффициент запаса по пределу текучести n_т = 2. Определить, насколько изменится величина допустимой силы Р, если площадь сечения среднего стержня уменьшить вдвое, изменяя сечений боковых стержней.

Решение:

Стержневая система статически неопределима, так как для нахождения трех неизвестных усилий в стержнях можно составить только два уравнения равновесия узла

$\sum X = 0$

$\sum Y = 0$

Выберем основную систему, перерезав один из стержней, например стержень АС (см. рисунок а). Прикладываем к узлу А силу Р и вычисляем уравновешивающие ее усилия в боковых стержнях

$N_{A B} = N_{A D} = \frac{P}{2 \cos α} = 0,577 P$

Усилие в перерезанном стержне в этом случае равно нулю.

Далее приложим в разрезе среднего стержня основной системы растягивающие силы 1 (см. рисунок б). Усилия в стержнях:

${\bar{N}}_{A B} = {\bar{N}}_{A D} = - 0,577 (с ж а т и е)$

${\bar{N}}_{A C} = 1$

Неизвестное усилие X₁ в среднем стержне заданного узла определяется из канонического уравнения

$δ_{11} X_{1} + Δ_{1 P} = 0$

где

$δ_{11} = \sum \frac{{\bar{N}}_{i}^{2} l_{i}}{E F_{i}} = 2 \times \frac{{(- 0,577)}^{2} \times l}{2 \times 10^{11} \times 2 \times 10^{- 4} \times \cos 30 °} + \frac{1^{2} \times l}{2 \times 10^{11} \times 2 \times 10^{- 4}} = - 0,442 \times 10^{- 7} l$

$Δ_{1 P} = \sum \frac{N_{i} {\bar{N}}_{i} l_{i}}{E F_{i}} = 2 \times \frac{0,577 P (- 0,577) l}{2 \times 10^{11} \times 2 \times 10^{- 4} \times \cos 30 °} = - 0,192 \times 10^{- 7} P l$

$X_{1} = - \frac{Δ_{1 P}}{δ_{11}} = 0,434 P$

Усилия в стержнях исходной системы получаются путем суммирования усилий в основной системе от сил Р и X₁:

$N_{1} = N_{A B} + X_{1} {\bar{N}}_{A B} = 0,577 P + (- 0,577) \times 0,434 P = 0,326 P = N_{3}$

$N_{2} = X_{1} = 0,434 P$

Наиболее нагружен средний стержень. Составляем для него условие прочности

$\frac{0,434 P}{F} \leq [σ]$

где

$[σ] = \frac{σ_{Т}}{n} = \frac{260}{2} = 130 М П а$

Находим

$P \leq \frac{1,3 \times 10^{8} \times 2 \times 10^{- 4}}{0,434} = 6 \times 10^{4} Н = 60 к Н$

Уменьшение площади сечения среднего стержня скажется только на величине 6ц, которая в этом случае будет равна

$δ_{11} = 2 \times \frac{{(- 0,577)}^{2} l}{2 \times 10^{11} \times 2 \times 10^{- 4} \times \cos 30 °} + \frac{1^{2} \times l}{2 \times 10^{11} \times 1 \times 10^{- 4}} = 0,692 \times 10^{- 7} l$

Тогда

$X_{1} = 0,278 P = N_{2}$

$N_{1} = N_{3} = 0,577 P + (- 0,577) \times 0,278 P = 0,417 P$

В этом случае более нагружены боковые стержни, для которых условие прочности

$\frac{0,417 P}{2 \times 10^{- 4}} = 1,3 \times 10^{8}$

дает величину допустимой нагрузки:

$P = 62,4 к Н$

Увеличение допустимой нагрузки составит

$\frac{62,4 - 60}{60} \times 100 % = 4 %$

Ответ: не указан.

Задача #5142

Условие:

Пятистержневой плоский узел А нагружен силой Р, наклоненной под углом α = 30° к горизонтали. Найти усилия в стержнях, считая, что они имеют одинаковое сечение и изготовлены из одного и того же материала. Углы между стержнями одинаковы: β = 30°.

Решение:

Задача является трижды статически неопределимой. Перережем три внутренних стержня и к полученной таким образом основной ситеме поочередно приложим заданную силу P и единичные силы в разрезах (см. рисунок). Неизвестные силы X₁, X₂, X₃ в перерезанных стержнях находятся из системы канонических уравнений:

$δ_{11} X_{1} + δ_{12} X_{2} + δ_{13} X_{3} + Δ_{1 P} = 0$

$δ_{21} X_{1} + δ_{22} X_{2} + δ_{23} X_{3} + Δ_{2 P} = 0$

$δ_{31} X_{1} + δ_{32} X_{2} + δ_{33} X_{3} + Δ_{3 P} = 0$

Коэффициенты и свободные члены уравнений вычисляются по формулам

$δ_{i k} = \sum \frac{{\bar{N}}_{i} {\bar{N}}_{k} l_{i}}{E F_{i}}$

$Δ_{i P} = \sum \frac{{\bar{N}}_{i} N_{P i} l_{i}}{E F_{i}}$

Подставляя найденные для основной системы усилия, величины которых показаны на рисунке, получим

$Δ_{1 P} = \frac{- 1,155 P \times 2 l}{E F} = - 2,31 \frac{P l}{E F}$

$Δ_{2 P} = \frac{- 1 \times P \times 2 l}{E F} = - 2 \frac{P l}{E F}$

$Δ_{3 P} = \frac{- 0,577 P \times 2 l}{E F} = - 1,154 \frac{P l}{E F}$

$δ_{11} = 4,489 \frac{l}{E F}$

$δ_{22} = \frac{5 l}{E F}$

$δ_{33} = \frac{4,489 l}{E F}$

$δ_{12} = δ_{21} = \frac{3,464 l}{E F}$

$δ_{13} = δ_{31} = \frac{2,667 l}{E F}$

$δ_{23} = δ_{32} = \frac{3,464 l}{E F}$

После подстановки вычисленных величин решаем систему и получаем

$X_{1} = N_{A C} = 0,464 P$

$X_{2} = N_{A D} = 0,197 P$

$X_{3} = N_{A E} = - 0,170 P$

Усилия в боковых (не перерезанных) стержнях находим как суммы усилий от силы Р и найденных неизвестных:

$N_{A B} = P - 1,155 \times 0,464 P - 1 \times 0,197 P + 0,577 \times 0,170 P = 0,365 P$

$N_{A F} = - 0,577 \times 0,464 P - 1 \times 0,197 P - 1,155 (- 0,170) P = - 0,268 P$

Ответ: не указан.

Задача #5143

Условие:

Ступенчатый брус, жестко защемленный обоими концами, нагружен силой P = 200 кН в сечении m—m и силой 4Р = 800 кН в сечении n—n. Вдоль оси бруса имеется сквозное отверстие диаметром d₀ = 2 см. Внешние диаметры ступеней: D₁ = 6 см, D₂ = 4 см, D₃ = 8 см. Материал — сталь, Е = 2 × 10⁵ МПа. Определить реакции опор A и B, построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ и продольных перемещений поперечных сечений бруса w.

Решение:

Отбросим верхнюю заделку и заменим ее действие неизвестной реакцией X_A, которую определим из условия, что полное удлинение бруса равно нулю:

$\frac{0,2 X_{A}}{25,1 \times 10^{- 4} E} + \frac{0,1 (X_{A} - P)}{9,42 \times 10^{- 4} E} + \frac{0,2 (X_{A} - P)}{47,1 \times 10^{- 4} E} + + \frac{0,2 (X_{A} - 5 P)}{47,1 \times 10^{- 4} E} = 0$

Отсюда:

$X_{A} = 1,33 P = 266 к Н$

$X_{B} = X_{A} - 5 P = - 734 к Н (с ж а т и е)$

Эпюры продольных сил, напряжений и перемещений показаны на рисунке.

$σ_{m a x} = \frac{- 7,34 \times 10^{5}}{47,1 \times 10^{- 4}} = - 155 М П а$

$w_{m a x} = 0,155 м м$

Ответ: не указан.

Задача #5144

Условие:

Короткая деревянная колонна сечением 25 × 25 см, усиленная четырьмя стальными уголками 40 × 40 × 4 мм, сжимается силой P, передающейся через абсолютно жесткую плиту. Вычислить, какая часть силы воспринимается уголками, и определить допустимую величину силы P, если для стали E_ст = 2 × 10⁵ МПа, [σ]_ст = 160 МПа, а для дерева E_д = 1 × 10⁴ МПа, [σ]_д = 12 МПа. Определить, на сколько требуется укоротить уголки, создав зазор между ними и плитой, чтобы обеспечить равнопрочность конструкции. Найти допускаемую величину сжимающей силы для этого случая.

Решение:

Условие равновесие

$N_{д} + N_{с т} = P$

Площади сечений

$F_{д} = 625 с м^{2}$

$F_{с т} = 12,2 с м^{2}$

Деформация деревянной колонны и стальных уголков одинаковы

$Δ l_{д} = Δ l_{с т}$

Отсюда

$\frac{N_{д} l}{E_{д} F_{д}} = \frac{N_{с т} l}{E_{с т} F_{с т}}$

или

$N_{д} = \frac{N_{с т} E_{д} F_{д}}{E_{с т} F_{с т}} = 2,58 N_{с т}$

Подставив этот результат в уравнение равновесия, получим

$N_{с т} = 0,28 P$

$N_{д} = 0,72 P$

Из условия прочности для уголков

$\frac{0,28 P}{12,2 \times 10^{- 4}} \leq 1,6 \times 10^{7}$

получим

$P \leq 697 к Н$

Условие прочности для деревянной части колоны

$\frac{0,72 P}{625 \times 10^{- 4}} \leq 1,2 \times 10^{7}$

дает величину

$P \leq 949 к Н$

Допустимая нагрузка определяется меньшем значением

$P = 697 к Н$

Если укоротить уголки, то деревянную часть колонны можно еще догрузить на величину

$Δ P = 949 - 697 = 252 к Н$

Эта нагрузка вызовет дополнительное обжатие дерева на

$Δ = \frac{2,52 \times 10^{5} \times 1}{625 \times 10^{4} \times 1 \times 10^{10}} = 4 \times 10^{- 4} м = 0,4 м м$

Это и есть величина потребного укорочения уголков, при котором допустимая нагрузка на колонну возрастет до 949 кН, т. е. на 36 %.

Ответ: не указан.

Задача #5145

Условие:

Абсолютно жесткий брус поддерживается тремя параллельными тягами с одинаковой площадью сечения F = 10 см². Вычислить усилия в стержнях и найти допускаемое значение нагрузки по допускаемому напряжению [σ] = 160 МПа. Определить, на каком расстоянии л; от левого конца бруса надо приложить силу P, чтобы при нагружении брус перемещался поступательно. Чему будет равна допускаемая величина нагрузки в этом случае?

Решение:

Задача один раз статически неопределима. Выберем основную систему, перерезав стержень BB’. Найдем усилия в стержнях основной системы сначала от заданной нагрузки P, а затем от единичной силы, приложенной в разрезе. Реакции указаны на рисунке. Неизвестное усилие в разрезанном стержне находим из канонического уравнения

$X_{1} δ_{11} + Δ_{1 P} = 0$

где

$Δ_{1 P} = \sum \frac{N_{i} {\bar{N}}_{i} l_{i}}{E F_{i}} = - \frac{2}{3} P \times \frac{1}{3} \frac{l}{E F} - \frac{P \times 2}{3 \times 3} \times \frac{l}{2 E F} = - \frac{P l}{3 E F}$

$δ_{11} = {(\frac{1}{3})}^{2} \frac{1}{E F} + {(\frac{2}{3})}^{2} \times \frac{l}{2 E F} + 1^{2} \times \frac{2 l}{E F} = \frac{7 l}{3 E F}$

Получаем:

$X_{1} = N_{B B^{’}} = \frac{P}{7}$

$N_{A A^{’}} = \frac{2}{3} P - \frac{P}{3 \times 7} = \frac{13}{21} P$

$N_{C C^{’}} = \frac{P}{3} - \frac{2 P}{3 \times 7} = \frac{5}{21} P$

Допустимая нагрузка находится из условия прочности наиболее нагруженного стержня AA’:

$\frac{13 P}{21 \times 10 \times 10^{- 4}} \leq 1,6 \times 10^{8}$

$P \leq 258 к Н$

При поступательном перемещении бруса удлинения всех стержней одинаковы, а усилия в них пропорциональны жесткостям

$c_{i} = \frac{E F_{i}}{l_{i}}$

Равнодействующая этих сил приложена на расстоянии

$x = 2 a$

от точки A. Наибольшее усилие

$N = \frac{4 P}{7}$

будет в наиболее жестком стержне CC’. Допустимая величина нагрузки в этом случае

$P = 280 к Н$

Ответ: не указан.

Задача #5146

Условие:

Абсолютно жесткий брус AD шарнирно прикреплен в точке D к абсолютно жесткой стенке и поддерживается тремя подкосами 1, 2 и 3. Вычислить усилия в подкосах и величину параметра нагрузки Р по допускаемым напряжениям [σ] = 160 МПа, если сечения всех подкосов имеют одинаковую площадь F = 2 см².

Решение:

Задача дважды статически неопределима. Основную систему получим, перерезав, например, стержни 1 и 2 (см. рисунок). Поочередно нагрузим основную систему заданной нагрузкой и единичными силами X₁ = 1 и Х₂ = 1 в местах разрезов (рис. а, б, в). Из условия равновесия вычислим усилие в стержне 3 от каждой из этих нагрузок, а затем найдем величины коэффициентов и свободных членов канонических уравнений:

$δ_{11} = \frac{1^{2} \times 4 a}{E F} + \frac{{(- 2,45)}^{2} a \sqrt{2}}{E F} = 12,49 \frac{a}{E F}$

$δ_{22} = \frac{1^{2} \times 2 a \sqrt{2}}{E F} + \frac{{(- 2)}^{2} a \sqrt{2}}{E F} = 8,485 \frac{a}{E F}$

$δ_{12} = δ_{21} = \frac{(- 2) {(- 2,45)}^{2} a \sqrt{2}}{E F} = 6,93 \frac{a}{E F}$

$Δ_{1 P} = \frac{11,3 P (- 2,45) a \sqrt{2}}{E F} = - 39,15 \frac{P a}{E F}$

$Δ_{2 P} = \frac{11,3 P (- 2) a \sqrt{2}}{E F} = - 31,96 \frac{P a}{E F}$

Канонические уравнения имеют вид

$6,93 X_{1} + 8,485 X_{2} - 31,96 P = 0$

$12,49 X_{1} + 6,93 X_{2} - 39,15 P = 0$

Решая систему, получим

$N_{1} = X_{1} = 1,92 P$

$N_{2} = X_{2} = 2,2 P$

после чего найдем

$N_{3} = 11,3 P - 2,45 \times 1,92 P - 2 \times 2,2 P = 2,2 P$

Допустимая величина силы находится из условия прочности для стержня 2 (или 5):

$\frac{2,2 P}{2 \times 10^{- 4}} \leq 1,6 \times 10^{8}$

$P \leq 14,5 к Н$

Ответ: не указан.

Задача #5151

Условие:

Симметричный трехстержневой узел собран при температуре T₀ = 290 К. Определить напряжения в его стержнях при нагреве до 370 К. Найти перемещение точки А. Стержни стальные, α = 1,25 × 10^-5 1/К, E = 2 × 10⁵ МПа. Изменением модуля упругости при нагреве пренебречь; l = 2 м.

Решение:

Задача статически неопределима. Перережем средний стержень AC и приложим в разрезе силы X₁ = 1 (см. рисунок). Из условий равновесия найдем усилия в не перерезанных стержнях

${\bar{N}}_{A B} = {\bar{N}}_{A D} = - 0,577 (с ж а т и е)$

Неизвестную силу X₁ в разрезаном стержне найдем из канонического уравнения

$δ_{11} X_{1} + Δ_{1 t} = 0$

где

$δ_{11} = \sum \frac{{\bar{N}}_{i}^{2} l_{i}}{E F_{i}} = 2 \times \frac{{(- 0,577)}^{2} \times 1,155 l}{2 E F} + \frac{1^{2} \times l}{E F} = 1,38 \frac{l}{E F}$

$Δ_{1 t} = \sum {\bar{N}}_{i} α l_{i} Δ t_{i} = 1,25 \times 10^{- 5} \times 80 \times (2 \times (- 0,577) \times 1,155 l + 1 \times l) = - 3,33 \times 10^{- 4} l$

Получим

$X_{1} = - \frac{Δ_{1 t}}{δ_{11}} = 48 \times 10^{6} F$

$N_{A B} = N_{A D} = - 0,577 X_{1} = - 27,7 \times 10^{6} F$

Искомые напряжения в стержнях:

$σ_{A C} = \frac{X_{1}}{F} = 48 М П а$

$σ_{A B} = σ_{A D} = \frac{- 27,7 \times 10^{6} F}{2 F} = - 13,85 М П а$

Ответ: σ_AC = 48 МПа; σ_A_B = σ_A_D = -13,85 МПа.

Задача #5152

Условие:

Массивная дуралюминовая балка l = 3 м, поддерживается двумя стальными подкосами, имеющими площади сечений F_BD = 5 см² и F_CD = 10 см². Расстояния до точек прикрепления подкоса BD равны a = 1 м, b = 1 м. Вычислить усилия и напряжения в подкосах при нагреве всей конструкции на ΔT = 30 К. Упругой деформацией балки пренебречь, но учесть ее температурное удлинение. Принять для стали α_ст = 1,25 × 10^-5 1/К, E_ст = 2 × 10⁵ МПа, для дуралюмина α_дур = 2,25 × 10^-5 1/К.

Решение:

Система один раз статически неопределима. Вычислим длины стержней (указаны на рисунке), выберем основную систему, перерезав стержень CD.

Приложим в разрезе силы, равные 1, и определим реакцию N_BD в не перерезанном стержне BD. Усилия в точках В и С разложим на составляющие, изображенные на рисунке штриховыми стрелками. Горизонтальные составляющие, равные 0,949, будут производить работу на температурном расширении балки и должны быть учтены при вычислении Δ₁_t

$Δ_{1 t} = \sum {\bar{N}}_{i} α_{i} Δ t_{i} l_{i} = - 1,33 \times 1,25 \times 10^{- 5} \times 30 \times 1,41 + 0,943 \times 2,25 \times 10^{- 5} \times 1 \times 30 +$

$+ 1,125 \times 10^{- 5} \times 30 \times 3,16 - 0,943 \times 2,25 \times 10^{- 5} \times 3 \times 30 = - 7,93 \times 10^{- 3}$

$δ_{11} = \sum \frac{{\bar{N}}_{i} l_{i}}{E F_{i}} = \frac{1^{2} \times 3,16}{2 \times 10^{11} \times 10^{- 3}} + \frac{{1,33}^{2} \times 1,41}{2 \times 10^{11} \times 5 \times 10^{- 4}} = 4,12 \times 10^{- 8}$

$N_{C D} = X_{1} = - \frac{Δ_{1 t}}{δ_{11}} = \frac{7,93 \times 10^{- 3}}{4,12 \times 10^{- 8}} = 192,5 к Н$

$N_{B D} = - 1,33 X_{1} = - 256 к Н (с ж а т и е)$

Напряжение:

$σ_{C D} = \frac{192,5 \times 10^{3}}{10^{- 3}} = 1,925 \times 10^{8} П а = 192,5 М П а$

$σ_{B D} = \frac{- 256 \times 10^{3}}{5 \times 10^{- 4}} = - 5,12 \times 10^{8} П а = - 512 М П а$

Ответ: не указан.

Задача #5153

Условие:

Две дуралюминовых втулки высотой по 20 мм стянуты стальным болтом. Между втулками имеется медная прокладка толщиной 10 мм. При температуре 300 К натяжение болта N₀ = 20 кН. Вычислить полное продольное усилие N и напряжения в болте и во втулках после нагревания соединения до 320 К. Дано: E_ст = 2 × 10⁵ МПа, α_ст = 1,25 × 10^-5 1/К, E_м = 1,1 × 10⁵ МПа, α_м = 1,65 × 10^-5 1/К, E_дур = 7 × 10⁴ МПа, α_дур = 2,25 × 10^-5 1/К. Деформацией шайб АВ и CD пренебречь.

Решение:

При нагревании втулки расширяются больше, чем болт. Поэтому они окажутся сжатыми, а болт растянутым одинаковыми дополнительными силами AN. Составим условие равенства полных удлинений втулок и болта

$α_{д у р} Δ t \times 40 \times 10^{- 3} + α_{м} Δ t \times 10 \times 10^{- 3} - \frac{Δ N \times 40 \times 10^{- 3}}{{(E F)}_{д у р}} - \frac{Δ N \times 10 \times 10^{- 3}}{{(E F)}_{м}} =$

$= α_{с т} Δ t \times 50 \times 10^{- 3} - \frac{Δ N \times 50 \times 10^{- 3}}{{(E F)}_{с т}}$

Отсюда

$Δ N = 166 Δ t = 166 \times 20 = 3320 Н = 3,32 к Н$

Полное усилие в болте

$N = N_{0} + Δ N = 23,32 к Н$

Ответ: N = 23,32 кН.

Задача #5154

Условие:

При сборке трехстержневого узла оказалось, что средний стержень длиннее номинального размера на 5 × 10^-4 l. Вычислить напряжения в стержнях после сборки узла, считая E = 2 × 10⁵ МПа.

Решение:

Разрезав средний стержень, приложим к полученной основной системе X₁ = 1 и вычислим усилия N в боковых стержнях (указаны на рисунке). Далее вычисляем

$δ_{11} = \sum \frac{{\bar{N}}_{i}^{2} l_{i}}{E F_{i}} = 2 \times \frac{{(- 0,577)}^{2} l}{E F \cos 30 °} + \frac{1^{2} \times l}{E F} = 1,77 \frac{l}{E F}$

$Δ_{10} = \sum {\bar{N}}_{i} Δ_{0} = 1 \times 5 \times 10^{- 4} l$

$δ_{11} X_{1} + Δ_{10} = 0$

$N_{A C} = X_{1} = - \frac{5 \times 10^{- 4} l E F}{1,77 l} = - 5,65 \times 10^{7} F Н$

$N_{A B} = N_{A D} = - 0,577 \times N_{A C} = 3,26 \times 10^{7} F Н$

Ответ: N_AC = -5,65 × 10⁷F; N_A_B = N_A_D = 3,26 × 10⁷F.

Задача #5155

Условие:

Абсолютно жесткая балка поддерживается двумя стальными подкосами, имеющими площади сечений F_BE = 2 см², F_CD = 4 см². Верхняя тяга короче номинального размера на δ = 0,1 %. Вычислить напряжения в подкосах после сборки, приняв a = b = c = d = 1 м; E = 2 × 10⁵ МПа.

Решение:

Задача один раз статически неопределима. Перережем стержень DC и приложим в разрезе силы X¹ = 1 (см. рисунок). Вычислим усилие в подкосе BE из равенства нулю моментов всех сил относительно точки A. Усилие X₁ в перерезанном стержне находится из канонического уравнения

$δ_{11} X_{1} + Δ_{10} = 0$

где

$δ_{11} = \sum \frac{{\bar{N}}_{i}^{2} l_{i}}{E F_{i}} = \frac{1^{2} \times 2,236}{2 \times 10^{11} \times 4 \times 10^{- 4}} + \frac{{1,265}^{2} \times 1,41}{2 \times 10^{11} \times 2 \times 10^{- 4}} = 8,45 \times 10^{- 8}$

$Δ_{10} = \sum {\bar{N}}_{i} Δ_{0 i} = - 2,236 \times 10^{- 3}$

$N_{C D} = X_{1} = \frac{- 2,236 \times 10^{- 3}}{8,45 \times 10^{- 8}} = 2,65 \times 10^{4} Н = 26,5 к Н$

$N_{B E} = 1,265 \times 26,5 = 33,5 к Н$

$σ_{C D} = \frac{2,65 \times 10^{4}}{4 \times 10^{- 4}} = 5,88 \times 10^{7} П а = 58,8 М П а$

$σ_{B E} = \frac{3,35 \times 10^{4}}{2 \times 10^{- 4}} = 167,5 М П а$

Ответ: σ_CD = 58,8 МПа; σ_BE = 167,5 МПа.

Задача #5161

Условие:

Вычислить величину наибольшего нормального напряжения и полное удлинение стержня постоянного сечения, закрепленного верхним концом и растягивающегося под действием собственного веса. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ и продольных перемещений w для стального стержня длиной l = 10 м. Плотность стали ρ = 7,85 × 10³ кг/м³, модуль упругости E = 2,1 × 10⁵ МПа. Определить наибольшую длину l_пр стержня, допускаемую по условию прочности, если допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа.

Решение:

Наибольшие напряжения действуют в верхнем сечении стержня, вес которого

$G = ρ g l F$

$σ_{m a x} = \frac{G}{F} = \frac{ρ g l F}{F} = ρ g l = 7,85 \times 10^{3} \times 9,81 \times 10 = 7,7 \times 10^{5} П а = 0,77 М П а$

Удлинение элемента длиной dx, находящегося на расстоянии x от свободного конца, равно

$\frac{ρ g}{E F} x d x$

Полное удлинение равно перемещению свободного конца

$w_{m a x} = \int_{0}^{l} \frac{ρ g}{E F} x d x = \frac{ρ g l^{2}}{2 E F} = \frac{σ_{m a x} l}{E F} = 1,83 \times 10^{- 5} м$

Удлинение стержня под действием собственного веса в два раза меньше удлинения под действием силы, равной весу, но приложенной на конце стержня.

Ответ: σ_max = 0,77 МПа; w_max = 1,83 × 10^-5 м.

Задача #5162

Условие:

Ступенчатый брус, защемленный обоими концами, деформируется под действием собственного веса. Вычислить реакции на концах бруса V_A и V_B, считая, что обе его части, имеющие площади сечений F_а и F_b, выполнены из одинакового материала с плотностью ρ и модулем упругости E.

Решение:

Разрежем брус, как показано на рисунке, и найдем силу X из условия, что сумма удлинений участков бруса под действием, веса и силы X должна быть равна нулю

$\frac{X \times a}{E F_{a}} + \frac{ρ g a^{2} F_{a}}{2 E F_{a}} + \frac{X \times b}{E F_{b}} - \frac{ρ g b^{2} F_{b}}{2 E F_{b}}$

Откуда

$X = - \frac{ρ g a F_{a}}{2} \times \frac{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}}{1 + \frac{b}{a} \frac{F_{a}}{F_{b}}}$

Тогда

$V_{A} = X + ρ g a F_{a}$

$V_{B} = X - ρ g b F_{b}$

Ответ: не указан.

Задача #5163

Условие:

Призматический ступенчатый брус, защемленный верхним концом, растягивается собственным весом и силой Р, приложенной к нижнему концу. Напряжения в верхних сечениях каждой ступени равны допустимому напряжению [σ]. Определить длину х нижней ступени бруса так, чтобы вес бруса был минимальным. Плотность материала бруса равна ρ.

Решение:

Площади сечений бруса находятся из условий прочности:

$F_{1} = \frac{P}{[σ] - ρ g x}$

$F_{2} = \frac{P [σ]}{([σ] - ρ g (l - x)) ([σ] - ρ g x)}$

Полный вес стержня

$G = ρ g P \frac{[σ] l - ρ g x (l - x)}{([σ] - ρ g x) ([σ] - ρ g (l - x))}$

Минимальное значение веса достигается при значении

$x = \frac{l}{2} - \frac{[σ]}{ρ g} \pm \sqrt{\frac{l^{2}}{4} + {(\frac{[σ]}{ρ g})}^{2}}$

Ответ: не указан.

Задача #5171

Условие:

Вычислить величину предельной нагрузки для фермы, нагруженной в точке А вертикальной силой Р. Определить, как изменится величина предельной нагрузки, если силу перенести вдоль линии ее действия в точку В. Сечения стержней одинаковы, F = 5 см²; пределы текучести при растяжении и сжатии одинаковы, σ_т = 300 МПа. Считать, что сжатые стержни устойчивости не теряют.

Решение:

Ферма содержит одну лишнюю связь. Выберем основную систему, перерезав стержень АВ. Усилия в стержнях основной системы от заданной нагрузки и от единичных сил, приложенных в разрезе, показаны на рисунках а и б соответственно. Силу Х₁ в перерезанном стержне определяем из канонического уравнения

$δ_{11} X_{1} + Δ_{1 P} = 0$

$δ_{11} = \sum \frac{{\bar{N}}_{i}^{2} l_{i}}{E F} = 2 \times \frac{25}{9} \times \frac{1}{E F} + 2 \times \frac{16}{9} \frac{0,8}{E F} + 2 \times 1 \times \frac{0,6}{E F} = \frac{9,6}{E F}$

$Δ_{1 P} = \sum \frac{N_{i} {\bar{N}}_{i} l_{i}}{E F} = \frac{5}{3} P (- \frac{5}{3}) \frac{1}{E F} - \frac{4}{3} P \times \frac{4}{3} \times \frac{0,8}{E F} = - \frac{4,2 P}{E F}$

$N_{A B} = X_{1} = - \frac{Δ_{1 P}}{δ_{11}} = 0,438 P$

$N_{B D} = 0,438 P (- \frac{5}{3}) = - 0,73 P$

$N_{A D} = - \frac{4}{3} P + 0,438 P \times \frac{4}{3} = - 0,75 P$

$N_{B C} = 0,438 P \times \frac{4}{3} = 0,585 P$

Наиболее нагружен стержень АС. Нагрузка, соответствующая началу текучести в этом стержне, равна

$0,935 P = σ_{т} F = 3 \times 10^{8} \times 5 \times 10^{- 4}$

Отсюда

$P = 1,6 \times 10^{5} Н = 160 к Н$

При достижении предельного значения нагрузки возникнут напряжения текучести и в диагональном стержне BD. В стержне АВ в этот момент действует сила

$N_{A B} = P_{п р} - σ_{т} F \cos α = P_{п р} - 9 \times 10^{4}$

В стержне BD действует сила

$N_{B D} = σ_{т} F = 1,5 \times 10^{5} Н$

Составим условия равновесия узла B:

$P_{п р} - 9 \times 10^{4} = 1,5 \times 10^{5} \times 0,6$

Отсюда предельная сила

$P_{п р} = 180 к Н$

Ответ: не указан.

Задача #5172

Условие:

Определить, насколько изменится несущая способность бруса, если температура его повысится на 50 К. Площадь сечения бруса F = 10 см², материал — сталь, E = 2 × 10⁵ МПа, σ_т = 350МПа, коэффициент линейного расширения α = 1,25 × 10^-⁵ 1/K. Считать, что нагрев на механические характеристики материала не влияет.

Решение:

Из условия равенства нулю полного удлинения бруса находим реакцию в нижнем сечении

$R_{B} = 0,75 P$

В предельном состоянии

$\frac{R_{B}}{F} = \frac{0,75 P}{F} = σ_{т} = 3,5 \times 10^{8} P = 467 к Н$

При нагревании возникнут дополнительные сжимающие силы X, определяемые из уравнения

$\frac{X l}{E F} + α l Δ t = 0$

$X = - α Δ t E F = - 125 к Н (с ж а т и е)$

Эта сила, складывается в нижней части бруса с силой 0,75P, уменьшит предельную нагрузку

$\frac{0,75 P + 1,25 \times 10^{5}}{10 \times 10^{- 4}} = 3,5 \times 10^{8}$

$P = 300 к Н$

Ответ: P = 300 кН.

Задача #5173

Условие:

Сравнить величины допускаемой силы Р, нагружающей железобетонную колонну, проведя расчет по допускаемым напряжениям, а затем по предельному состоянию. В обоих случаях коэффициент запаса принять равным n_т = 3. Стальная арматура занимает 2 % от общей площади сечения колонны. Дано: для стали E_ст = 2 × 10⁵ МПа, σ_ст = 400 МПа; для бетона E_б = 2 × 10⁴ МПа, σ_б = 25 МПа.

Решение:

Удлинения арматуры и бетона одинаковы:

$Δ l_{с т} = Δ l_{б}$

Поэтому

$σ_{с т} = 10 σ_{б}$

Допускаемые напряжения по условию

${[σ]}_{с т} = \frac{σ_{с т}}{n_{т}} = 133 М П а$

${[σ]}_{б} = \frac{σ_{б}}{n_{т}} = 8,3 М П а$

Напряжение в стали не должно быть больше

$10 σ_{б} = 83 М П а$

которое и является максимальным напряжением для стали.

Допускаемая сила

$[P] = {[σ]}_{б} F_{б} + σ_{m a x} F_{с т} = 8,3 \times 1,6 \times 10^{- 1} + 83 \times 3,2 \times 10^{- 3} = 1,57 М Н$

Если же вести расчет по допускаемым нагрузкам, то предельная сила

$P_{п р} = σ_{б} F_{б} + σ_{с т} F_{с т} = 5,2 М Н$

При n_т = 3 допустимая сила

${[P]}_{п р} = \frac{5,2}{3} = 1,73 М Н$

Ответ: не указан.

Задача #5181

Условие:

Определить величину силы P, растягивающей образец прямоугольного сечения 50 × 20 мм, если известны величины нормальных напряжений σ_α = 20 МПа σ_β = 60 МПа на взаимно перпендикулярных площадках ab и cd.

Решение:

Напряжение в поперечном сечении стержня

$σ_{0} = σ_{α} + σ_{β} = 80 М П а$

Отсюда растягивающая сила

$P = σ_{0} F = 80 к Н$

Ответ: P = 80 кН.

Задача #5182

Условие:

Диаметр тяги круглого сечения равен 16 мм. Растягивающая сила P = 40кН вызывает в наклонном сечении ab касательные напряжения τ_α, составляющие 60 % от нормальных напряжений в этом же сечении ab. Определить угол наклона сечения и значения σ_α и τ_α.

Решение:

Напряжение в поперечном сечении

$σ_{0} = \frac{P}{F} = 200 М П а$

Напряжения в наклонном сечении

$σ_{α} = σ_{0} \cos^{2} α$

$τ_{α} = \frac{σ_{0}}{2} \sin 2 α = σ_{0} \sin α \cos α$

Должно выполнятся соотношение

$τ_{α} = 0,6 σ_{α}$

или

$σ_{0} \sin α \cos α = 0,6 σ_{0} \cos^{2} α$

Отсюда находим

$α = 31 °$

Искомые напряжения:

$σ_{α} = 200 \times \cos^{2} 31 ° = 200 \times 0,735 = 147 М П а$

$τ_{α} = 0,6 \times 147 = 88,2 М П а$

Ответ: α = 31°; σ_α = 147 МПа; τ_α = 88,2 МПа.

Задача #5183

Условие:

К краям квадратной пластинки приложены нормальные напряжения σ₁ = 150 МПа и σ₂ = 50 МПа. Вычислить аналитическим методом и проверить графическим методом напряжения в сечении ab, наклоненном под углом β = 80° к направлению σ₁. Какие напряжения действуют в сечении, перпендикулярном данному?

Решение:

Угол между направлениями нормали к площадке ab и главного напряжения σ₁

$α = 90 ° - β = 10 °$

Искомые напряжения:

$σ_{α} = σ_{1} \cos^{2} 10 ° + σ_{2} \sin^{2} 10 ° = 147 М П а$

$σ_{α + 90 °} = σ_{1} + σ_{2} - σ_{α} = 53 М П а$

$τ_{α} = \frac{σ_{1} - σ_{2}}{2} \sin 2 α = 17 М П а$

$τ_{α + 90 °} = - τ_{α} = - 17 М П а$

Ответ: не указан.

Задача #5184

Условие:

По краям прямоугольного элемента, действуют нормальные напряжения σ₁ = 160 МПа и σ₂ = -80 МПа. Известно, что в двух наклонных сечениях ab и ca элемента нормальные напряжения одинаковы и равны 40 МПа. Под какими углами к направлению σ₁ проведены эти сечения? Чему равны касательные напряжения в этих сечениях?

Решение:

Нормальное напряжение

$σ_{α} = 160 \cos^{2} α + 80 \sin^{2} α = 40 М П а$

Откуда

$α = \pm 45 °$

Касательное напряжение

$τ_{α} = \frac{160 + 80}{2} \sin (\pm 90 °) = \pm 120 М П а$

Ответ: τ_α = ±120 МПа.

Задача #5185

Условие:

Плоский прямоугольный элемент нагружен по краям нормальными и касательными напряжениями σ_α = -200 МПа, σ_α+90_° = 100 МПа, τ_α = -120 МПа, τ_α+90_° = -τ_α. Определить величины и направления главных напряжений, изобразить их на рисунке.

Решение:

Найдем угол α

$tg 2 α = \frac{2 τ_{α}}{σ_{α + 90 °} - σ_{α}} = 0,8$

$α = 19 ° 20^{’}$

Величины главных напряжений

$σ_{1,2} = \frac{1}{2} (σ_{α} + σ_{α + 90 °} \pm \sqrt{{(σ_{α} + σ_{α + 90 °})}^{2} + 4 τ_{α}^{2}})$

$σ_{1} = 142 М П а$

$σ_{2} = - 242 М П а$

Ответ: Ответ: α = 19°20’; σ₁ = 142 МПа; σ₂ = -242 МПа.

Задача #5186

Условие:

Стальная пластинка нагружена по краям напряжениями σ_α = 100 МПа и σ_α+90_° = -40 МПа, τ_α = -50 МПа. Определить, под каким углом α к напряжению σ_α надо установить тензометр A, чтобы он давал наибольшие показания при нагружении. Найти наибольшее относительное удлинение ε₁ при E = 2 × 10⁵ МПа и μ = 0,25 и соответствующее ему приращение показаний тензометра, имеющего базу s = 10 мм и увеличение k = 1000.

Решение:

Вычисляем величины и направления главных напряжений:

$σ_{1,2} = \frac{1}{2} (60 \pm \sqrt{140^{2} + 4 \times 50^{2}}) = 30 \pm 86 М П а$

$σ_{1} = 116 М П а$

$σ_{2} = - 56 М П а$

$tg 2 α = \frac{2 \times (- 50)}{- 40 - 100} = 0,714$

$α = 17 ° 45^{’}$

Ответ: не указан.

Задача #5187

Условие:

Вычислить относительное упругое уменьшение объема ε_v бетонного куба ABCD, сжатого при помощи шарнирного механизма усилиями, равномерно распределенными по всем четырем боковым граням. Длина ребра куба a = 0,1 м. Модуль упругости материала E = 2 × 10⁴ МПа, μ = 0,17, предел пропорциональности σ_п_ц = 10 МПа. Силы, приложенные в точках K и L механизма, равны P = 50 кН.

Решение:

Сила, действующая на боковую грань куба, равна

$P \sqrt{2}$

Напряжения на боковых гранях

$σ_{2} = σ_{3} = \frac{- P \sqrt{2}}{F} = \frac{- 5 \times 10^{4} \times \sqrt{2}}{10^{- 2}} = - 7,07 М П а$

Две грани свободны от напряжений

$σ_{1} = 0$

Относительное изменения объема

$ε_{v} = ε_{1} + ε_{2} + ε_{3} = \frac{1 - 2 μ}{E} (σ_{1} + σ_{2} + σ_{3}) =$

$Ответ: ε$ _v = -0,467 × 10^-3.

Задача #5188

Условие: Алюминиевый кубик испытывает действие нормальных напряжений σ_a = -40 МПа, σ_b = 100 МПа, σ_c = 6 0 МПа, приложенных к его граням. Вычислить: а) наибольшее касательное напряжение τ_max, б) октаэдрическое нормальное напряжение σ_окт, в) октаэдрическое касательное напряжение τ_окт, г) относительную объемную деформацию ε_v, д) полную удельную потенциальную энергию u₀ упругой деформации кубика и е) удельную энергию формоизменения u_ф. Считать E = 7 × 10⁴ МПа, μ = 0,35. Решение:

Напряжения:

σ_{1} = 100 М П а

$σ_{2} = 60 М П а$

$σ_{3} = - 40 М П а$

$τ_{m a x} = \frac{σ_{1} - σ_{3}}{2} = 70 М П а$

$τ_{о к т} = \frac{1}{3} \sqrt{{(σ_{1} - σ_{2})}^{2} + {(σ_{2} - σ_{3})}^{2} + {(σ_{1} - σ_{3})}^{2}} = 58,8 М П а$

$σ_{о к т} = \frac{σ_{1} + σ_{2} + σ_{3}}{3} = 40 М П а$

Относительная объемная деформация

$ε_{v} = \frac{1 - 2 μ}{E} (σ_{1} + σ_{2} + σ_{3}) = 5 \times 10^{- 4}$

Энергии:

- упругой деформации

$u_{0} = \frac{1}{2 E} [σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} + σ_{3}^{2} - 2 μ (σ_{2} σ_{3} + σ_{3} σ_{1} + σ_{2} σ_{1})] = 1,1 \times 10^{5} \frac{Д ж}{м^{3}}$

- формоизменения

$u_{ф} = \frac{1 + μ}{6 E} [{(σ_{1} - σ_{2})}^{2} + {(σ_{2} - σ_{3})}^{2} + {(σ_{3} - σ_{1})}^{2}] =$

$= \frac{3 (1 + μ)}{2 E} τ_{о к т}^{2} = 10^{5} \frac{Д ж}{м^{3}}$

Ответ: не указан.

Задача #5191

Условие:

Материал детали в опасной точке находится в объемном напряженном состоянии. Вычислить расчетные напряжения σ_э_._II, σ_э_._II_I, σ_э_._I_V (эквивалентные напряжения) и проверить прочность по II, III и IV теориям прочности, принимая допускаемое напряжение на растяжение [σ]_р = 120 МПа и μ = 0,35. Проверить прочность по V теории (Мора), если допускаемое напряжение на сжатие [σ]_с = 300 МПа. Главные напряжения: σ₁ = 90 МПа, σ₂ = 70 МПа, σ₃ = -30 МПа.

Решение:

Искомые напряжения:

$σ_{э . I I} = σ_{1} - μ (σ_{2} + σ_{3}) = 76 М П а < {[σ]}_{р}$

$σ_{э . I I I} = σ_{1} - σ_{2} = 120 М П а = {[σ]}_{р}$

$σ_{э . I V} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{{(σ_{1} - σ_{2})}^{2} + {(σ_{2} - σ_{3})}^{2} + {(σ_{1} - σ_{3})}^{2}} = 112 М П а < {[σ]}_{р}$

$σ_{э . V} = σ_{1} - \frac{{[σ]}_{р}}{{[σ]}_{с}} = 78 М П а < {[σ]}_{р}$

Ответ: не указан.

Задача #5192

Условие:

Поплавок клапана испытательной машины представляет собой замкнутый цилиндр из алюминиевого сплава. Внешний диаметр цилиндра D = 80 мм. Поплавок подвергается всестороннему сжатию давлением p = 30 МПа. Вычислить толщину стенки поплавка, используя четвертую теорию прочности; допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа.

Решение:

Главные напряжения в стенке поплавка:

$σ_{1} = \frac{p D}{2 t} = \frac{30 \times 8 \times 10^{- 2}}{2 t} = \frac{1,2}{t}$

$σ_{2} = 0,5$

$σ_{3} = \frac{0,6}{t}$

По четвертой теории прочности получаем

$σ_{э . I V} = \frac{1}{t} \sqrt{{(σ_{1} - σ_{2})}^{2} + {(σ_{2} - σ_{3})}^{2} + {(σ_{1} - σ_{3})}^{2}} = \frac{1,04}{t} < 160 М П а$

откуда толщина стенки

$t = 6,5 \times 10^{- 3} м = 6,5 м м$

Ответ: не указан.

Задача #5193

Условие:

Абсолютные величины напряжений на гранях плоского элемента находятся в следующем соотношении: σ_x = 2σ_y, τ = 0,5σ_y. Вычислить допускаемые величины этих напряжений по V теории прочности (Мора) при [σ]_р = 100 МПа, [σ]_с = 250 МПа. Во сколько раз изменится величина допускаемой нагрузки на элемент, если его выполнить из материала, имеющего одинаковое допускаемые напряжения на растяжение и сжатие: [σ] = 150 МПа?

Решение:

Вычисляем главные напряжения:

$σ_{г л} = \frac{1}{2} (σ_{x} + σ_{y} \pm \sqrt{{(σ_{x} - σ_{y})}^{2} + 4 τ^{2}}) =$

$= \frac{1}{2} (2 σ - σ \pm \sqrt{{(2 σ + σ)}^{2} + 4 {(\frac{σ}{2})}^{2}}) = 0,5 σ \pm 3,16 σ$

$σ_{1} = 3,66 σ$

$σ_{2} = 0$

$σ_{3} = - 2,66 σ$

Условия прочности по теории Мора имеет вид:

$σ_{э . V} σ_{1} - k σ_{3} \leq {[σ]}_{р}$

$k = \frac{{[σ]}_{р}}{{[σ]}_{с}} = \frac{100}{250} = 0,4$

$3,66 σ - 0,4 - 2,66 σ \leq 100$

$σ = 21,2 М П а$

Допускаемые значения напряжений:

$σ_{x} = 42,4 М П а$

$σ_{y} = - 21,2 М П а$

$τ_{y} = 10,6 М П а$

При одинаковой прочности на растяжение и на сжатия воспользуемся третьей теорией прочности:

$σ_{э . I I I} = σ_{1} - σ_{3} \leq [σ]$

$3,66 σ - (- 2,66 σ) \leq 150 М П а$

$σ = \frac{150}{6,32} = 23,7 М П а$

Ответ: не указан.

Растяжение и сжатие

Содержание главы

Примеры решений задач

Задача #5111

Задача #5112

Задача #5113

Задача #5114

Задача #5115

Задача #51101

Задача #51102

Задача #51103

Задача #51104

Задача #51105

Задача #51106

Задача #51107

Задача #51111

Задача #5121

Задача #5122

Задача #5123

Задача #5124

Задача #5125

Задача #5126

Задача #5127

Задача #5131

Задача #5132

Задача #5133

Задача #5134

Задача #5135

Задача #5136

Задача #5141

Задача #5142

Задача #5143

Задача #5144

Задача #5145

Задача #5146

Задача #5151

Задача #5152

Задача #5153

Задача #5154

Задача #5155

Задача #5161

Задача #5162

Задача #5163

Задача #5171

Задача #5172

Задача #5173

Задача #5181

Задача #5182

Задача #5183

Задача #5184

Задача #5185

Задача #5186

Задача #5187

Задача #5188

Задача #5191

Задача #5192

Задача #5193

Навигация по странице

Сборник задач

Смежные главы