Брусья и стержни большой кривизны. Толстостенные цилиндры

В опасном сечении AB:

- нормальная сила

$$N=100 кН$$

- изгибающий момент

$$M=100\left(\mathrm{1,8}+\mathrm{0,5}\right)=230 кН\times м$$

Радиус кривизны нейтрального слоя

$$r=\frac{h}{\ln \frac{R_2}{R_1}}=\mathrm{0,4551} м$$

Расстояние между центром тяжести сечения и нейтральным слоем

$$e=R-r=\mathrm{0,0449} м$$

Наибольшее напряжение будет в точке A:

$$y_A=r-R_1=\mathrm{0,205} м$$

$${\sigma }_{max}=\frac{N}{F}+\frac{M{y}_A}{Fe{R}_1}=86 МПа<\left[\sigma \right]$$

Ответ: σ_max < [σ].

Проведем исследование для бруса с h/R = 1.

В этом случае:

$$R_1=R-\frac{h}{2}=\frac{R}{2}$$

$$R_2=R+\frac{h}{2}=\frac{3}{2}R$$

$$\frac{R_2}{R_1}=3$$

По точной формуле

$$e=R-\frac{h}{\ln 3}=\mathrm{0,0897}h$$

По приближенной формуле

$$\overline{e}=\frac{b{h}^3}{12bhR}=\frac{h}{12}=\mathrm{0,0833}h$$

В первом случае

$${\sigma }_{max}=\frac{M{y}_1}{Fe{R}_1}$$

во втором

$${\overline{\sigma }}_{max}=\frac{M{\overline{y}}_1}{F\overline{e}{R}_1}$$

Отношения максимальных напряжений

$$\frac{{\overline{\sigma }}_{max}}{{\sigma }_{max}}=\frac{{\overline{y}}_{1}e}{y_1\overline{e}}$$

где

$$y_1=\frac{h}{2}-e=\mathrm{0,4103}h$$

$${\overline{y}}_1=\frac{h}{2}-\overline{e}=\mathrm{0,4167}h$$

Получаем

$$\frac{{\overline{\sigma }}_{max}}{{\sigma }_{max}}=\mathrm{1,095}$$

Приближенная формула для e дает завышенное на 9,5 % значение для σ_max, что идет в запас прочности. При меньшей кривизне ошибка будет меньше. При

$$\frac{h}{R}=\frac{1}{2}$$

имеем

$$e=\mathrm{0,0424}h$$

$$y_1=\mathrm{0,4576}h$$

$$\overline{e}=\mathrm{0,417}h$$

$${\overline{y}}_1=\mathrm{0,4583}h$$

$$\frac{{\overline{\sigma }}_{max}}{{\sigma }_{max}}=\mathrm{1,02}$$

Ошибка составляет 2 %.

Ответ: ошибка 9,5 % и 2 %.

Определяем расстояние от внутреннего волокна до центра тяжести сечения

$$a=\frac{\left(2b_2+b_1\right)h}{3\left(b_1+b_2\right)}=\frac{\left(2\times 2+4\right)\times 9}{3\times \left(2+4\right)}=4 см$$

В опасном сечении нормальная сила N = 23 кН, изгибающий момент

$$M=23\times \left(3+4\right)\times {10}^{-2}=\mathrm{1,61} кН\times м$$

Максимальное нормальное напряжение

$${\sigma }_{max}=\frac{N}{F}+\frac{M{y}_1}{Fe{R}_1}$$

Радиус кривизны нейтрального слоя

$$r=\frac{F}{{\int }_F^{}\frac{dF}{\rho }}$$

Вычисляем:

$$F=\frac{1}{2}\left(b_1+b_2\right)h$$

$$dF=bd\rho$$

$$b=b_2+\left(b_1-b_2\right)\frac{R_2-\rho }{h}$$

$${\int }_F^{}\frac{dF}{\rho }={\int }_{R_1}^{R_2}\frac{bd\rho }{\rho }=\frac{b_1{R}_2-b_2{R}_1}{h}\ln \frac{R_2}{R_2}-\left(b_1-b_2\right)$$

В результате

$$r=\frac{\left(b_1+b_2\right)h^2}{2\left[\left(b_1{R}_2-b_2{R}_1\right)\ln \frac{R_2}{R_1}-\left(b_1-b_2\right)h\right]}=\mathrm{6,05} см$$

$$e=R-r=\mathrm{0,95} см$$

$$y_1=r-R_1=\mathrm{3,05} см$$

$$F=\frac{\left(b_1+b_2\right)h}{2}=27 с{м}^2$$

$${\sigma }_{max}=\mathrm{72,5} МПа<\left[\sigma \right]$$

Ответ: σ_max = 72,5 МПа < [σ].

Наибольшие напряжение действует во внутреннем слое цилиндра где

$${\sigma }_1={\sigma }_t=\frac{r_{н}^2+r_{в}^2}{r_{н}^2-r_{в}^2}{p}_{в}$$

$${\sigma }_2=0$$

$${\sigma }_3={\sigma }_r=-p_{в}$$

По III теории прочности имеем:

$$\frac{r_{н}^2+r_{в}^2}{r_{н}^2-r_{в}^2}{p}_{в}+p_{в}\le \frac{{\sigma }_{т}}{n_{т}}$$

Отсюда

$$r_{н}=r_{в}\sqrt{\frac{{\sigma }_{т}}{{\sigma }_{т}-2n_{т}{p}_{в}}}=\mathrm{94,5} мм$$

Принимаем

$$d_{н}=2r_{н}=190 мм$$

По IV теории прочности получаем:

$${\left(\frac{r_{н}^2+r_{в}^2}{r_{н}^2-r_{в}^2}\right)}^2{p}_{в}^2+\frac{r_{н}^2+r_{в}^2}{r_{н}^2-r_{в}^2}{p}_{в}^2+p_{в}^2\le {\left(\frac{{\sigma }_{т}}{n_{т}}\right)}^2$$

Отсюда

$$r_{н}=r_{в}\sqrt{\frac{{\sigma }_{т}^2+n_{т}{p}_{в}\sqrt{4{\sigma }_{т}^2-3n_{т}^2{p}_{в}^2}}{{\sigma }_{т}^2-3n_{т}^2{p}_{в}^2}}=\mathrm{83,5} мм$$

Принимаем

$$d_{н}=2r_{н}=178 мм$$

Ответ: d_н = 190 мм и 178 мм.

Для внутреннего цилиндра напряжения будут наибольшими при r = r_в

$${\sigma }_r=-p_{в}$$

$${\sigma }_t=\frac{r_{н}^2+r_{в}^2}{r_{н}^2-r_{в}^2}{p}_{в}-\frac{2r_{с}^2}{r_{с}^2-r_{в}^2}p=\mathrm{1,86}{p}_{в}-\mathrm{3,94}p$$

для наружного — при r = r_с

$${\sigma }_r^{’}=\frac{r_{в}^2}{r_{н}^2-r_{в}^2}\left(1-\frac{r_{н}^2}{r_{с}^2}\right)p_{в}-p=-\mathrm{0,273}{p}_{в}-p$$

$${\sigma }_t^{’}=\frac{r_{в}^2}{r_{н}^2-r_{в}^2}\left(1+\frac{r_{н}^2}{r_{с}^2}\right)p_{в}+\frac{r_{н}^2+r_{в}^2}{r_{н}^2-r_{в}^2}p=\mathrm{1,14}{p}_{в}+\mathrm{4,17}p$$

Условия равнопрочности

$${\sigma }_t^2-{\sigma }_t{\sigma }_r+{\sigma }_r^2={\left({\sigma }_t^{’}\right)}^2-{\sigma }_t^{’}{\sigma }_r^{’}+{\left({\sigma }_r^{’}\right)}^2$$

Отсюда получаем уравнение

$$\mathrm{4,63}{p}_{в}^2-\mathrm{30,92}{p}_{в}p-\mathrm{6,74}{p}^2=0$$

из которого находим

$$p_{в}=\mathrm{6,9}p$$

Давление от натяга находим из условия прочности

$$\sqrt{{\sigma }_t^2-{\sigma }_t{\sigma }_r+{\sigma }_r^2}\le \left[\sigma \right]$$

используя полученные ранее зависимости. Получаем

$$p=\mathrm{36,5} МПа$$

Допускаемое внутреннее давление

$$p_{в}=\mathrm{6,9}\times \mathrm{36,5}=252 МПа$$

Ответ: не указан.

Момент сил трения приравниваем внешнему моменту

$$fp\pi db\frac{d}{2}=M$$

Отсюда находим давление от натяга

$$p=\frac{2M}{\pi d^{2}bf}=\mathrm{53,2} МПа$$

Натяг

$$\mathrm{\Delta }=\frac{2pd}{E\left(1-\frac{d^2}{D^2}\right)}=\mathrm{0,0283} мм$$

Ответ: Δ = 0,0283 мм.

Условие наступления пластических деформаций по III теории прочности имеет вид

$${\sigma }_{экв}={\sigma }_t-{\sigma }_r={\sigma }_{т}$$

Для внутренних точек шкива имеем

$${\sigma }_{экв}=\frac{r_{н}^2+r_{в}^2}{r_{н}^2-r_{в}^2}p+p=\frac{2r_{н}^2}{r_{н}^2-r_{в}^2}p={\sigma }_{т}$$

Отсюда давление от натяга

$$p=\frac{{\sigma }_{т}}{2}\left(1-\frac{r_{в}^2}{r_{н}^2}\right)=\frac{{\sigma }_{т}}{2}\left(1-\frac{d^2}{D^2}\right)$$

Натяг

$$\mathrm{\Delta }=\frac{2pd}{E\left(1-\frac{d^2}{D^2}\right)}$$

Подставляя сюда выражение для p, получаем

$$\mathrm{\Delta }=\frac{{\sigma }_{т}d}{E}=\mathrm{0,06} мм$$

Для вала

$${\sigma }_{экв}=p$$

и, следовательно, меньше, чем для шкива.

Ответ: не указан.