Геометрические характеристики сечений балок

Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке A (см. рисунок). Высоту H полученного треугольника, найдем из пропорции

$$\frac{H}{a}=\frac{H-h}{b}$$

$$H=\frac{ah}{a-b}$$

Рассмотрим элементарную полоску шириной dy, расположенную параллельно основанию на расстоянии y. Ее длина

$$b\left(y\right)=\frac{a\left(H-y\right)}{H}$$

Статический момент площади трапеции относительно ее основания

$$S_x={\int }_0^{h}y\times b\left(y\right)dy=\frac{a}{H}{\int }_0^h\left(Hy-y^2\right)dy=\frac{a{h}^2}{6H}\left(3H-2h\right)$$

Подставляя полученное выше значение H, имеем

$$S_x=\frac{h^2\left(a+2b\right)}{6}$$

Вычисляем ординату центра трапеции:

$$y_C=\frac{S_x}{F}=\frac{a+2b}{a+b}\times \frac{h}{3}$$

Координата x_C вычисляется аналогично.

Ответ: не указан.

Вычисляем координаты центра сечения относительно осей, совпадающих с внешними сторонами фигуры

$$x_C=y_C=\frac{32\times 8+28\times 1}{60}=\mathrm{4,73} см$$

Далее находим

$$F=60 с{м}^2$$

$$J_x=\frac{2\times {16}^3+14\times 2^3}{3}=2768 с{м}^4$$

$$J_{xc}=2768-60\times {\mathrm{4,73}}^2=1420 с{м}^4$$

$$J_{xy}=32\times 8\times 1+28\times 9\times 1=508 с{м}^4$$

$$J_{xcyc}=508-60\times {\mathrm{4,73}}^2=-\mathrm{834,4} с{м}^4$$

По данным сортамента прокатных профилей для уголка 160 × 160 × 20 мм:

$$J_{xc}=\mathrm{1425,6} с{м}^4$$

$$J_{xcyc}=-\mathrm{829,5} с{м}^4$$

Ошибка приближенного решения не превышает 0,6 %.

Ответ: ошибка 0,6 %.

Используя формулу перехода к параллельным осям, составим условие равенства моментов инерции сечения относительно осей x и y:

$$1840=115+\mathrm{26,8}{\left(5+\frac{a}{2}\right)}^2$$

откуда

$$a=\mathrm{6,04} см$$

Ответ: a = 6,04 см.

Рассмотрим элементарную площадь dF, вырезанную из полосы двумя вертикальными плоскостями, расположенными на взаимном расстоянии dx. Учитывая, что

$$\frac{dy}{dx}=\mathrm{tg}\alpha$$

получим

$$dF=\frac{h}{\cos \alpha }dx=\frac{h}{\sin \alpha }dy$$

где α – угол наклона полосы к оси x.

При малой ширине полосы h можно пренебречь собственным моментом инерции элемента относительно его центральной оси, параллельной оси x. Тогда искомый момент инерции

$$J_x={\int }_{\left(F\right)}^{}{y}^{2}dF={\int }_{y_A}^{y_B}{y}^2\frac{h}{\sin \alpha }dy=\frac{h}{3\sin \alpha }\left(y_B^3-y_A^3\right)$$

Учитывая, что

$$\sin \alpha =\frac{y_B-y_A}{l}$$

получим

$$J_x=\frac{hl}{3}\left(y_A^2+y_A{y}_{Ba}+y_B^2\right)$$

Ответ: не указан.

Вариант а.

Площадь сечения

$$F=8a^2=\frac{\pi a^2}{4}=\mathrm{7,215}{a}^2$$

Расстояние от центральной оси прямоугольника x₀ до центра тяжести трубчатого сечения

$$y_{с}=\frac{S_{x0}}{F}$$

где

$$S_{x0}=-\frac{\pi a^2}{4}\times \frac{a}{2}=-\frac{\pi a^3}{8}$$

тогда

$$y_{с}=-\frac{\pi a^3}{8\times \mathrm{7,215}{a}^2}=-\mathrm{0,055}a$$

Момент инерции сечения относительно центральной оси x вычисляем по формулам перехода к параллельным осям

$$J_x=\sum \left(J_{x0}+F{c}^2\right)=$$

$$=\left[\frac{2a{\left(4a\right)}^3}{12}+8a^2{\left(\mathrm{0,055}a\right)}^2\right]-\left[\frac{\pi a^4}{64}+\frac{\pi a^2}{4}{\left(\frac{a}{2}+\mathrm{0,055}a\right)}^2\right]\approx \mathrm{10,33}{a}^4$$

Относительно вертикальной оси y момент инерции будет

$$J_y=\frac{2a{\left(2a\right)}^3}{12}-\frac{\pi a^4}{64}=\mathrm{2,62}{a}^4$$

Главные радиусы инерции:

$$i_x=\sqrt{\frac{J_x}{F}}=\sqrt{\frac{\mathrm{10,33}}{\mathrm{7,215}}{a}^2}=\mathrm{1,2}a$$

$$i_y=\sqrt{\frac{J_y}{F}}=\sqrt{\frac{\mathrm{2,62}}{\mathrm{7,215}}{a}^2}=\mathrm{0,6}a$$

Вариант б.

Выполнив аналогичный расчет, найдем:

$$F=7a^2$$

$$y_{с}=\mathrm{0,07}a$$

$$J_x=\mathrm{10,3}{a}^4$$

$$J_y=\mathrm{2,59}{a}^4$$

$$i_x=\mathrm{1,22}a$$

$$i_y=\mathrm{0,61}a$$

Моменты сопротивления сечений относительно главной оси x будут:

$$а) W_x=\frac{J_x}{y_{max}}=\frac{\mathrm{10,33}{a}^4}{\mathrm{2,055}a}=\mathrm{5,027}{a}^3$$

$$б) W_x=\frac{J_x}{y_{max}}=\frac{\mathrm{10,3}{a}^4}{\mathrm{2,07}a}=\mathrm{4,976}{a}^3$$

Ответ: не указан.

Расстояние от вспомогательной оси x₁ до центра тяжести сечения определяется по формуле

$$y_C=S_{x1}$$

где

$$S_{x1}={\int }_F^{}{y}_{1}dF$$

$$F=\mathrm{0,5}\pi r^2$$

Для вычисления статического момента площади S_x1 выделим элементарную полоску

$$dF=b\left(y\right)dy$$

Тогда

$$S_{x1}={\int }_0^{r}b\left(y\right)y_1 d{y}_1$$

Переходя к полярным координатам, найдем

$$b\left(y\right)=2r\sin \phi$$

$$y_1=r\cos \phi$$

$$d{y}_1=-r\sin \phi d\phi$$

Подставляя под знак интеграла и имея в виду, что при изменении y₁ от нуля до r угол φ изменяется от π/2 до нуля, получим

$$S_{x1}=-2r^3{\int }_{\frac{\pi }{2}}^r{\sin }^2\phi \cos \phi d\phi =2r^3\frac{{\sin }^3\phi }{3}=\frac{2}{3}{r}^3$$

Следовательно,

$$y_C=\frac{2r^3}{3\times \mathrm{0,5}\pi r^2}=\frac{4r}{3\pi }$$

Для определения момента инерции полукруга относительно центральной оси x воспользуемся формулой перехода к параллельным осям. Зная, что момент инерции площади полукруга относительно вспомогательной оси x₁ совпадающей с диаметром, равен половине момента инерции круга относительно той же оси, т. е. что

$$J_{x1}=\frac{1}{2}\times \frac{\pi r^4}{4}=\frac{\pi r^4}{8}$$

найдем

$$J_x=J_{x1}-F{y}_C^2=\frac{\pi r^4}{8}-\frac{\pi r^2}{2}\times \frac{16r^2}{9{\pi }^2}=\frac{\pi r^4}{8}\left(1-\frac{64}{9{\pi }^2}\right)\approx \mathrm{0,11}{r}^4$$

Момент инерции сечения относительно другой главной оси

$$J_y=\mathrm{0,5}\frac{\pi r^4}{4}=\frac{\pi r^4}{8}\approx \mathrm{0,39}{r}^4$$

Ответ: не указан.

Выделив на произвольном расстоянии y от оси x элементарную полоску шириной b(у) и высотой dy, где

$$b\left(y\right)=2r\sin \phi$$

$$y=r\cos \phi$$

$$dy=-r\sin \phi d\phi$$

найдем

$$J_x={\int }_F^{}{y}^2 dF=-2r^4{\int }_{\phi 0}^0{\sin }^2\phi \left(-r\sin \phi \right) d\phi =$$

$$=\frac{2r^4}{3}{\int }_0^{\phi 0}{\sin }^4\phi d\phi =\frac{2r^4}{16}\left(\frac{3}{8}{\phi }_0-\frac{\sin {\phi }_0}{4}+\frac{\sin 4{\phi }_0}{32}\right)=$$

$$=\frac{r^4}{16}\left(4{\phi }_0-\sin 4{\phi }_0\right)\approx \mathrm{0,315}{r}^4$$

Момент инерции рассматриваемой площади сегмента относительно другой оси y можно подсчитать как сумму моментов инерции элементарных полосок (прямоугольников) с основанием dy и высотой b(y)

$$J_y={\int }_{y1}^r\frac{b^3\left(y\right)dy}{12}=\frac{8r^3}{12}{\int }_{\phi 0}^0{\sin }^3\phi \left(-r\sin \phi \right) d\phi =$$

$$=\frac{2r^4}{3}{\int }_0^{\phi 0}{\sin }^4\phi d\phi =\frac{2r^4}{3}\left(\frac{3}{8}{\phi }_0-\frac{\sin {\phi }_0}{4}+\frac{\sin 4{\phi }_0}{32}\right)=$$

$$=\frac{r^4}{48}\left(12{\phi }_0-8\sin 2{\phi }_0+\sin 4{\phi }_0\right)\approx \mathrm{0,11}{r}^4$$

Ответ: не указан.