ЗакладкиКорзинаЗаказы

Содержание главы

  1. Чистый сдвиг
  2. Расчет болтовых, заклепочных и сварных соединений
  3. Кручение валов круглого сечения
  4. Статически неопределимые задачи (сдвиг и кручение)
  5. Расчет по предельному состоянию (сдвиг и кручение)
  6. Кручение брусьев некруглого сечения
  7. Цилиндрические витые пружины с малым шагом
  8. Врубки, шпонки и другие элементы конструкции

Примеры решений задач

Данные примеры задач, относятся к предмету «Сопротивление материалов».

Задача #5211

Условие:

Квадратная стальная пластинка растягивается в горизонтальном направлении напряжениями σ1 = 120 МПа и сжимается в перпендикулярном направлении напряжениями, равными по величине σ1. Вычислить величину и направление наибольших касательных напряжений. Определить изменение угла между диагоналями квадрата, считая, что E = 2 × 105 МПа, μ = 0,25.

Решение:

Если

σ2=-σ1

то имеет место чистый сдвиг с касательными напряжениями

τ=σ1=120 МПа

Модуль сдвига

G=E21+μ=8×104 МПа

Относительный сдвиг

γ=τG=1,5×10-3 рад=5,2

Ответ: не указан.

Задача #5212

Условие:

P=25 кНCDAB25 см25 см

Дуралюминовая пластинка толщиной h = 2 мм имеет по краям рамку из шарнирно соединенных по углам абсолютно жестких стержней. В точке C к рамке приложена вертикальная сила P = 25 кН. Вычислить: а) изменение у прямого угла пластинки; б) величину опускания ΔC точки C по вертикали; в) главные напряжения в пластинке; г) изменение Δl длины диагоналей АС и BD. Построить эпюры продольных сил в стержнях. Принять E = 7 × 104 МПа, μ = 0,34.

Решение:

Нагрузка P на стержень BC уравновешивается касательными напряжениями τ, передающимися с пластинки, работающей на чистый сдвиг:

P=τF=τhl

где F – площадь сечения пластинки,

l – высота пластинки (длина стержня BC).

τ=2,5×1042×10-3×0,25=5×107 Па=50 МПа

G=7×101021+0,34=2,6×1010 Па=2,6×104 МПа

γ=τG=1,92×10-3 рад

ΔC=γl=4,8×10-4 м=0,48 мм

Главные напряжения:

σ1=τ=50 МПа

σ2=-τ=-50 МПа

Удлинения диагоналей:

ΔlAC=ε1lAC=lACEσ1-μσ2=0,338 мм

ΔlBD=-0,338 мм

Ответ: не указан.

Задача #5213

Условие:

lBAABdbhM

Деталь A закреплена на валу B с помощью шпонки прямоугольного сечения. Длина шпонки l = 30 мм, высота h = 8 мм, ширина b = 10 мм. Определить допускаемый момент [M], который можно передать при помощи шпонки с детали A на деталь B, если D = 100 мм, d = 50 мм, допускаемые напряжения для материала шпонки на срез [τ]ср = 80 МПа и на смятие [σ]см = 200 МПа.

Решение:

Сила, с которой деталь давит на шпонку:

P=Md/2

Допустимая величина силы из условия прочности шпонки на срез равна

Pср=τсрbl=2,4×104 Н=24 кН

Из условия прочности на смятие

Pсм=σсмh2l=24 кН

Шпонка имеет одинаковую прочность на срез и на смятие. Допускаемый момент

M=Pd2=0,6 кН×м

Ответ: [M] = 0,6 кН × м.

Задача #5214

Условие:

PPdBAAbbB2bPP

Деталь A, оканчивающаяся двумя проушинами толщиной b = 8 мм, и деталь B, оканчивающаяся одной проушиной толщиной 2b = 16 мм, соединены пальцем, плотно входящим в отверстия деталей. Исходя из прочности соединения на срез и на смятие, определить силу, которую можно приложить к деталям, если диаметр пальца d = 20 мм, допускаемые напряжения материала пальца на срез [τ]ср = 80 МПа, на смятие [σ]см = 240 МПа, допускаемое напряжение на смятие материала деталей [σ]’см = 180 МПа.

Решение:

Болт срезается по двум сечениям общей площадью

Fср=2πd24=πd22=6,28×10-4 м2

Допускаемая сила из расчета на срез

Pср=τсрFср=5×104 Н=50 кН

Поверхность смятия одинакова как для серьги, так и для двух проушин

Fсм=2bd=3,2 см2

Для материала деталей допускаемое напряжение смятия меньше, чем для материала болта. Поэтому исходим из условия прочности на смятие деталей, получим

Pсм=σсмFсм=57,6 кН

Определяющим является срез. Допускаемая сила

P=50 кН

Ответ: не указан.

Задача #5221

Условие:

PPAAпо A-Adh1h’1h2

Определить число заклепок диаметром d = 4 мм, необходимых для прикрепления двух дуралюминовых профилей к косынке по схеме, указанной на рисунке. Соединение нагружено силой Р = 22 кН. Толщина полки профиля h1 = 1 мм, толщина косынки h2 = 2 мм. Допускаемые напряжения для заклепок [τ]ср = 100 МПа, [σ]см = 280 МПа.

Решение:

Заклепки двусрезные; площадь среза каждой заклепки

Fср=2πd24=πd22=2,51×10-4 м2

Площадь смятия одинакова для косынки и для двух профилей

Fсм=2h1d=h2d=8×10-6 м2

Из условий прочности на срез и на смятие находим число заклепок:

nср=PτсрFср=2,2×104108×2,51×10-4=8,75

nсм=PσсмFср=2,2×1042,8×108×8×10-6=9,82

Выбираем большее целое число n =10 заклепок (по 5 заклепок в ряду).

Ответ: n = 10.

Задача #5222

Условие:

PPdbPPhh

Два листа шириной b = 270 мм и толщиной h = 16 мм соединены внахлестку восемью заклепками диаметром d = 25 мм. Определить наибольшую силу, которую может безопасно выдержать это соединение и установить, насколько заклепочные отверстия понижают прочность листов. Дано: [σ]р = 120 МПа, [τ]ср = 80 МПа, [σ]см = 240 МПа.

Решение:

Определяем силу P из условия прочности листов на разрыв в сечениях по первому и второму рядам заклепок:

P1=σрb-2dh=422 кН

0,75P2=σрb-4dh=422 кН

Учитываем, что первый ряд заклепок воспринимает 0,25Р2, находим

P2=435 кН

Из условия прочности на срез заклепок

P3=312 кН

Из условия прочности на смятие

P4=435 кН

В качестве допустимой силы берем наименьшую

P=312 кН

Прочность листов в соединении снижена на

2db100%=18,5 %

Ответ: P = 312 кН.

Задача #5223

Условие:

AAPBB106620см6см66hhпо A-Aпо B-B

Клепаный узел нагружен внецентренно приложенной силой Р = 18 кН. Толщины фасонки и склепываемых профилей одинаковы h = 10 мм. Определить диаметр заклепок, исходя из допускаемых напряжений [τ]ср = 80 МПа, [σ]см = 250 МПа.

Решение:

Перенесем силу Р в центр заклепки 2 с добавлением момента

M1=0,26P

Сила равномерно распределится на три заклепки. Момент нагрузит две крайние заклепки силами

M10,12=2,17P

Из рисунка видно, что наибольшая сила (суммарная) приложена к заклепке 3:

P3=0,33P+2,17P=2,5P=45 кН

Из условия прочности заклепки на срез (соединение двусрезное) получим

d=2×4,5×104π×8×107=1,9×10-2 м=19 мм

Условие прочности на смятие дает следующую величину диаметра:

d=4,5×1042,5×108×10-2=1,8×10-2 м=18 мм

Определим наиболее нагруженную заклепку в вертикальном ряду. После переноса силы на линию расположения заклепок возникает дополнительный момент

M2=0,42P=0,42×18=7,56 кН×м

Этот момент уравновешивается парами горизонтальных сил, возникающих на заклепках. Величины сил пропорциональны расстоянию заклепки от центра соединения. Учитывая это, получим

P4×0,18+13P4×0,06=7,56×103

откуда

P4=P7=37,8 кН

Усилия на заклепках 5 и 6 будут в три раза меньше.

Сила Р распределится по заклепкам равномерно и нагрузит каждую из них

вертикальной составляющей

P4=4,5 кН

Учитывая наличие горизонтальных составляющих от момента, найдем равнодействующую силу, приложенную к наиболее нагруженным заклепкам 4 и 7:

P4=P7=37,82+4,52=38 кН

Эта сила меньше той, что действует на заклепку 3 в горизонтальном ряду.

Поэтому диаметр заклепки, обеспечивающий прочность всего соединения, равен 19 мм.

Ответ: не указан.

Задача #5224

Условие:

P12534404080 см4040r

Определить усилия в заклепках, прикрепляющих фасонку, нагруженную вертикальной силой Р = 10 кН. Определить, во сколько раз уменьшится запас прочности соединения, если убрать центральную заклепку.

Решение:

После переноса силы в центр расположения заклепок определяется момент

M=0,12P

Сила распределяется по заклепкам равномерно и дает вертикальные составляющие, равные

S=0,2P

Момент нагружает заклепки силами T, перпендикулярными радиусам

r=4×10-22=5,66×10-2 м

Соединяющим центры периферийных и центральной заклепок

M=4Tr

T=M4r=0,53P

По теореме косинусов вычислим геометрическую сумму сил Т и S для наиболее нагруженных заклепок 2 и 4

P2=P4=T2+S2+2TScos45°=6,85 кН

После удаления центральной заклепки сила S увеличится до 0,25Р. Сила Т не изменится. Сила, нагружающая опасные заклепки, будет равна

P2=P4=0,53P2+0,25P2+2×0,53×0,25×0,707P2=0,728P=7,28 кН

В результате запас прочности соединения уменьшится в

7,286,85=1,06 раз (на 6 %)

Ответ: не указан.

Задача #5225

Условие:

PPPP

Две стальные полосы толщиной h = 10 мм необходимо сварить встык так, чтобы соединение выдержало растягивающую силу Р = 100 кН. Определить ширину полос b и коэффициент использования материала полос k, если допускаемое напряжение для стали [σ]р = 140 МПа, а допускаемое напряжение для электродов [σ]э = 100 МПа. Какую силу выдержит соединение, если, шов сделать наклонным под углом 45°? Допускаемое напряжение материала шва на срез [τ]э = 80 МПа.

Решение:

Условие прочности шва при сварке встык дает

10510-2lш108

lш10-1 м=10 см

Ширина полосы должна быть больше на 1 см, чтобы компенсировать возможный непровар шва

b=10+1=11 см

При такой ширине полоса безопасно выдерживает силу

P1=σрbh=154 кН

Процент использования материала полосы равен

100154×100%=65 %

Ответ: не указан.

Задача #5226

Условие:

Pl1l2AAe2e180по A-A80×80×10

Определить длины швов для прикрепления к косынке равнобокого уголка 80 × 80 × 10 мм (площадь сечения F = 15,1 см2, e1 = 2,35 см), использовав условие равнопрочности соединительных швов и самого уголка. Материал уголка — сталь Ст. 3 [σ]р = 160 МПа. Допускаемое напряжение для материала шва [τ]э = 90 МПа.

Решение:

Расчетное усилие для уголка

P=1,6×108×15,1×10-4=2,42×105 Н=242 кН

Определим суммарную длину швов lш задавшись толщиной шва 8 мм

2,42×1050,7×8×10-3lш9×107

lш=48 см

Ширина полки уголка b = 8 см, следовательно, рабочая длина торцевого шва

lт=8-1=7 см

На долю фланговых швов остается

lф=lш-lт=41 см

Длины фланговых швов следует взять обратно пропорциональными их расстояниям от оси уголка

l1l2=e1e2=5,652,35=2,4

Расчетные длины швов

l1=29 см

l2=12 см

Их следует увеличить на 1 см для компенсации непровара. Таким образом

l1=30 см

l2=13 см

Ответ: не указан.

Задача #5227

Условие:

t1t1tPPd

Для испытания круглых стержней на срез применяется приспособление, размещаемое между подвижной и неподвижной траверсами одного из прессов (см. рисунок). Определить наибольший диаметр стального стержня, который может быть подвергнут срезу на прессе силою 60 т, если временное сопротивление испытуемой стали при срезе τв = 300 Мн/м2. Выяснить, какие напряжения смятия возникнут во вкладных втулках проушин при испытании такого стержня, если толщины проушин t = 0,03 м, t1 = 0,02 м.

Решение:

Стержень подвергается срезу по двум сечениям. Усилие, необходимое для перерезывания стержня диаметром d,

P=2πd24τв

откуда диаметр

d=2Pπτв

Так как сила пресса задана в тоннах, то, переходи к системе единиц СИ, имеем

P=60 т60×98070,89 Мн

Следовательно,

d=2×0,593,14×3000,036 м

Напряжения смятия, возникающие в высокопрочных вкладных втулках проушин, будут

σс=Ptd=0,590,03×0,0360,546Мнм2

Разумеется, такие же напряжения смятия возникнут и в материале болта. В системе единиц СГС ответом будет

d3,6 см

σс5560кгсм2

Ответ: d = 3,6 см; σс = 5560 кг/см2.

Задача #5228

Условие:

PPPPt1tP

Стык двух листов толщиной t = 10 мм, перекрытый двумя накладками толщиной t1 = 6 мм каждая, растягивается силами P = 24 т (см. рисунок). Определить необходимое количество заклепок диаметром d = 20 мм и разместить их в плане, если допускаемые напряжения приняты: для заклепок — на срез [τ] = 1000 кг/см2, на смятие [σс] = 2400 кг/см2 и на растяжение листов [σ] = 1600 кг/см2.

Решение:

Заклепки двухсрезные. Необходимое количество их из условия прочности на срез должно быть

nP2πd24τ=2×240003,14×22×10004

По условию прочности на смятие требуется

nPtdσс=240001×2×24005

Следует расставить с каждой стороны стыка по 5 заклепок.

Для размещения их в плане надо определить необходимую ширину листов. Из условия прочности на растяжение рабочая площадь сечения листа должна быть

FлPσ=15 см2

Рабочая ширина листа (за вычетом ослабления заклепочными отверстиями) должна быть

bл=Fлl=151=15 см

Полная ширина

b=bл+md

где m — число заклепок в поперечном сечении. При ширине b ≥ 15 см число заклепок в поперечном ряду должно быть не менее m = 2; тогда сечение будет ослаблено двумя отверстиями и полную ширину листов следует принять

b=15+2×2=19 см

Пить заклепок целесообразно разместить в шахматном порядке. Приняв шаг

a=3d

и расстояния от осей заклепочных отверстий до краев листов И накладок по

c=2d

размещаем заклепки, как показано на рисунке.

Ответ: n = 5.

Задача #5229

Условие:

PPPlbt

Стальная полоса с размерами сечения b = 0,1 м и t = 0,01 м, растягиваемая усилием P = 15 × 104 м, приваривается к фасонному листу внахлестку одним лобовым и двумя фланговыми швами (см. рисунок). Определить наименьшую длину фланговых швов, необходимую для прикрепления полосы к фасонке, при допускаемых напряжениях на срез швов [τэ] = 9 × 107 н/м2.

Решение:

Проверка прочности лобовых швов условно производится на срез. Принято считать, что усилие, воспринимаемое всеми швами, равномерно распределяется по рабочему им сечению. Следовательно,

τэ=P0,7tb+2lрτэ

Отсюда расчетная длина флангового шва

lр12P0,7tτэ-b=12P15×1040,7×0,01×9×107-0,1=0,069 м

Проектную длину шва (при учете ослабления непроваром только па одном конце) следует принять

l=0,069+0,005=0,074 м

Ответ: l = 0,074 м.

Задача #5231

Условие:

Полый вал закручивается моментами M, приложенными к его концам. Посередине вала под углом 45° к его оси установлен тензометр с базой s = 20 мм и увеличением k = 1000. Приращение показаний тензометра Δn = 12 мм соответствует увеличению крутящего момента на ΔMк = 9 кH × м. Вычислить модуль сдвига материала и приращение угла закручивания вала, если его длина l = 1 м, а диаметры сечения D = 0,12 м и d = 0,08 м.

Решение:

Относительное удлинение

ε=Δnks=0,6×10-3

Напряжения при кручении:

σ1=τ

σ2=-τ

поэтому

ε=σ1-μσ2E=τ1+μE=0,6×10-3

Отсюда

τ=0,6×10-3E1+μ=1,2×10-3G

С другой стороны

τ=MWp=16×9×103π×1,23×10-3×1-0,674=3,3×107 Па=33 МПа

Получаем

G=2,75×104 МПа

Угол закручивания

Δφ=9×103×1×322,75×104×π×1,24×10-41-0,674=2,01×10-2 рад=1°10

Ответ: G = 2,75 × 104 МПа; Δφ = 1°10’.

Задача #5232

Условие:

Определить величину крутящего момента, при котором расчет круглого сплошного вала на прочность дает тот же диаметр D, что и расчет на жесткость. Найти D. Допускаемое касательное напряжение [τ] = 80 МПа, допускаемый относительный угол закручивания [φ’] = 0,5° на 1 метр, модуль сдвига материала вала G = 8 × 104 МПа.

Решение:

По условию прочности

D=16Mкπτ3=0,4×10-2Mк3

По условию жесткости

D=32MкπGφ3=1,1×10-2Mк3

Приравнивая полученные выражения для диаметра вала, найдем

Mк=1,85×105 Н×м

Диаметр вала при этом

D=0,4×10-21,85×1053=0,228 м=22,8 см

Ответ: Mк = 1,85 × 105 Н × м; D = 22,8 см.

Задача #5233

Условие:

K1K2K3K4abcD

Подобрать диаметр вала, нагруженного моментами K1 = 2 кН × м, K2 = 10 кН × м, K3 = 1 кН × м и K4 = 9 кН × м. Допускаемое касательное напряжение для материала вала [τ] = 50 МПа. Построить эпюры касательных напряжений вдоль радиусов для каждого из трех участков вала, имеющих длины: a = 0,5 м, b = 0,8 м и c = 0,6 м. Построить эпюры относительных углов закручивания φ’ и абсолютных углов поворота φ по длине вала, считая левый конец вала неподвижным. Модуль сдвига материала вала G = 8 × 104 МПа.

Решение:

Последовательно суммируя моменты, приложенные по одну сторону от текущего сечения вала, построим эпюру крутящих моментов (см. рисунок). По наибольшему моменту подберем диаметр вала из условия прочности

D=16Mкπτ3=16×9×103π×5×1073=0,097 м=9,7 см

Касательные напряжения на поверхности вала

τmax=MкWp

где

Wp=1,8×10-4 м3

На рисунке показано изменение τmax вдоль оси вала и изменение τ по радиусу вала в трех сечениях A—A, B—B, C—C. Относительный угол закручивания вала

φ=MкGJp

Эпюра углов поворота сечений

φ=MкlGJp

может быть построена путем последовательного интегрирования функции φ’, начиная от неподвижного сечения.

Ответ: не указан.

Задача #5234

Условие:

Сравнить массы и углы закручивания двух сплошных круглых валов длиной l = 2 м каждый, воспринимающих одинаковые крутящие моменты M = 1 кН × м. Один вал стальной, другой из алюминиевого сплава. Диаметры валов подобрать по условию прочности. Дано: для стального вала [τ]ст = 80 МПа, ρ = 7,85 × 103 кг/м3, G = 8 × 104 МПа, для вала из алюминиевого сплава [τ]ал = 50 МПа, ρ = 2,6 × 103 кг/м3, G = 3 × 104 МПа.

Решение:

Определяем диаметры валов и моменты инерции:

- для стального вала

Dст=16×103π×8×1073=4×10-2 м=4 см

Jp.ст=π×4432=25,1 см4

- для алюминиевого вала

Dал=16×103π×5×1073=4,67×10-2 м=4,67 см

Jp.ал=π×4,67432=46,9 см4

Отношение углов закручивания

φалφст=Gст×Jp.стGал×Jp.ал=1,43

Отношение масс

mстmал=Dст2ρстDал2ρал=2,22

Ответ: не указан.

Задача #5235

Условие:

K1K2K3K4abcdD1D2D3

К ступенчатому валу приложены моменты K1 = 2 кН × м, K2 = 10 кН × м, K3 = 8 кН × м и уравновешивающий их момент К4. Подобрать диаметры D1, D2, D3 участков вала по допускаемому напряжению [τ] = 40 МПа, построить эпюры относительных углов закручивания вала φ’ и абсолютных углов φ поворота сечения при a = 0,5 м, b = 1,0 м, c = 0,5 м, d = 1,2 м, G = 8 × 104 МПа, считая неподвижным правый торец вала. Изобразить эпюру касательных напряжений вдоль радиуса одного из сечений вала.

Решение:

Построив эпюру крутящих моментов Mк, находим диаметры участков вала по условию прочности

D1=16×2×103π×4×1073=6,35×10-2 м

D2=16×1,2×104π×4×1073=1,15×10-1 м

D3=16×8×103π×4×1073=0,1 м

Соответствующие этим диаметрам полярные моменты инерции равны

jp1=π×6,354×10-832=1,6×10-6 м4

jp2=π×1,154×10-432=1,72×10-5 м4

jp3=π×0,14×10-432=9,8×10-6 м4

Далее вычисляем

φ=MкGJp

для каждого участка вала. Эпюра показана на рисунке. Эпюру углов φ поворота сечений вала получаем путем интегрирования эпюры φ’, начиная с неподвижного конца.

Ответ: не указан.

Задача #5236

Условие:

Определить диаметр сплошного стального вала круглого сечения, передающего крутящий момент Mк = 1,6 ам, если допускаемое напряжение на сдвиг [τ] = 800 кг/см2, а допустимый угол закручивания [φ] = 0,6° на один метр длины вала.

Решение:

Из условия прочности вала

τmax=MкWpτ

где

Wp=πr32

находим

r=2Mкπτ3=2×1600003,14×8003=5,0 см

Из условия жесткости вала

φ=MкlGJpφ

где

Jp=πr42

G=8×105кгсм2

φ=0,6π180=π300

вычисляем

r=2Mкl×300Gπ24=2×160000×100×300800000×9,864=5,9 см

Ответ: d ≥ 11,8 см.

Задача #5237

Условие:

Полый стальной вал с наружным диаметром d1 = 75 мм н внутренним d2 = 50 мм имеет длину 1 м. Он закручивается на 1° парой сил с моментом 350 кгм. Чему равны наибольшие касательные напряжения в вале? Определить величину модуля упругости при сдвиге. 

Решение:

Наибольшее касательное напряжение

τmax=Mкr1Jp

где

Jp=π32d14-d24=249 см4

τmax=35000×3,75249=527кгсм2

Модуль упругости при сдвиге находим из формулы для угла закручивания

G=MкlφJp=35000×100×180π×249=8,05×105кгсм2

Ответ: не указан.

Задача #5238

Условие:

Полый стальной вал с наружным диаметром d1 = 100 мм и внутренним d2 = 50 мм при вращении со скоростью 80 об/мин закручивается на угол 1,8° на длине 2,7 м. Какую он передает мощность? Чему равно наибольшее касательное напряжение в вале?

Решение:

Зная, что

N=Mкπn225000

Mк=φJpGl

φ=π100

Jp=1532πr14

можем написать следующее

N=π×15×π×r14×G×π×n100×32l×22500=95,6 л.с.

Величина τmax определится по формуле

τmax=Mкr1Jp=φ×G×r1l=466кгсм2

Ответ: τmax = 466 кг/см2.

Задача #5241

Условие:

ABK1K2l1al2

Моменты K1 и K2 приложены к валу постоянного сечения, защемленному обоими концами, как показано на рисунке. Определить, при каком соотношении между моментами K1 и K2 реактивные моменты в заделанных сечениях одинаковы.

Решение:

Из условия совместности деформаций момент в левой заделке равен

MA=K1a+l2+K2l2l1+l2+a

Из условия равновесия находим реактивный момент в правой заделке

MB=K1l1+K2a+l1l1+l2+a

Приравнивая эти моменты, находим отношение K1/K2.

Ответ: не указан.

Задача #5242

Условие:

ABK=100 кН∙мxl=1м

Определить, на каком расстоянии x от левой заделки надо приложить момент K, чтобы расчет вала по допускаемому напряжению [τ] = 100 МПа и по допускаемому относительному углу закручивания [φ’] = 0,5° на 1 метр давал одно и то же значение диаметра. G = 8 × 104 МПа.

Решение:

Составив условия совместной деформаций вала, можно убедится, что реактивные моменты равны

MA=K1-x

MB=Kxl

Более нагруженной будет более короткая часть вала. Составим для нее условие прочности, считая, что

xl2

K1-xl16πD3108

откуда

D=105×161-xlπ×1083=0,1721-xl3

Далее определим величину диаметра из условия жесткости

φmax=Kl-xx×32πD4Gl2=0,557,3

откуда

D=105×32l-xx×57,38×π×0,5×108×l24=0,195l-xxl23

Приравнивая полученные выражения для диаметра, находим

x=0,482l=0,482 м

Ответ: x = 0,482 м.

Задача #5251

Условие:

Сплошной вал круглого сечения диаметром D = 5 см закручивается моментами, приложенными к его концам. Построить эпюру касательных напряжений по радиусу сечения, соответствующую предельному состоянию вала, и найти предельный крутящий момент, если предел текучести материала вала τт = 150 МПа.

Решение:

В предельном состоянии касательные напряжения во всех точках сечения равны τт

Mпр=πD3τт12=4,9 кН×м

Ответ: Mпр = 4,9 кН × м.

Задача #5252

Условие:

Найти предельный момент Kпр, исходя из предела текучести материала τт = 200 МПа. Определить, как изменится предельный момент, если освободить левый конец вала.

Решение:

В предельном случае участки, примыкающие к заделкам, целиком находятся, в пластическом состоянии. Предельные моменты в заделках:

MA=πD13τт12=5,22×104 Н×м

MB=πD23τт12=1,13×104 Н×м

Предельный момент K равен сумме реактивных моментов по условию равновесия вала

Kпр=MA+MB=63,5 кН×м

Ответ: MA = 5,22 × 104 Н × м; MB = 1,13 × 104 Н × м; Kпр = 63,5 кН × м.

Задача #5261

Условие:

Вычислить, во сколько раз уменьшатся прочность и жесткость на кручение тонкостенной трубы, если ее разрезать вдоль образующей по всей длине. Внутренний диаметр трубы d = 8 см, толщина стенки h = 0,4 см.

Решение:

Для неразрезанной трубы момент сопротивления кручению

Wк=πD3161-α4=3,14×8,8316×0,317=42,4 см3

а полярный момент инерции

Jк=WкD2=186,6 см4

Для трубы с продольным разрезом имеем

Wк=h2s3=0,42×π×8,83=1,47 см3

Jк=h3s3=0,59 см2

Прочность уменьшается в 28,8 раза, жесткость — в 316 раз.

Ответ: не указан.

Задача #5262

Условие:

lMкhbh1ah1

Двутавровая балка длиной l = 1,5 м заделана в стену одним концом, а на другом конце нагружена закручивающим моментом Mк. Размеры поперечного сечения балки a = 12 см, b = 28 см, h = 2 см, h1 = 1 см. Определить наибольший момент Mк, который может выдержать балка при допускаемом напряжении [τ] = 60 МПа. Стеснением продольных перемещений в балке у заделки пренебречь.

Решение:

Вычисляем величину полярного момента

Jк=sh33=2,12×23+30×133=74 см4

Максимально касательное напряжение

τmax=MкhmaxJк=Mк×2×10-274×10-8=2,7×104Mк

Момент Mк находим из условия прочности

τmax=2,7×104Mк6×107

Получаем

Mк=2,22×103 Н×м=2,22 кН×м

Ответ: Mк = 2,22 кН × м.

Задача #5263

Условие:

3100300MM

Тонкостенный стержень замкнутого прямоугольного сечения закручен моментами M, приложенными к концам. Вычислить величину допускаемого момента [М] из условия прочности, приняв [τ] = 60 МПа. Определить, во сколько, раз уменьшится допускаемый момент, если коробку разрезать по всей длине вдоль образующей.

Решение:

Площадь поперечного сечения

ωк=2×30×10=600 см2=0,06 м2

Максимальное касательное напряжение

τmax=Mкωкδ=Mк0,06×3×10-36×107

откуда

Mк=1,08×104 Н×м=10,8 кН×м

Ответ: Mк = 10,8 кН × м.

Задача #5264

Условие:

МкМкCDBAbh

Стальной стержень прямоугольного сечения с размерами сторон 2 см на 3 см (см. рисунок) загружен двумя крутящими парами с моментами по 2 тсм каждая. Вычислить величину касательных напряжений, возникающих в поперечном сечении у поверхности стержня по линиям АВ и CD. Определить величину угла закручивания стержня при его длине 1 м.

Решение:

При расчетах на кручение стержней прямоугольного сечения пользуются следующими данными:

- момент инерции прямоугольника при кручении

Jк=αb4

где b — меньший из двух размеров сторон прямоугольника.

- момент сопротивления прямоугольника при кручении

Wк=βb3

Наибольшее касательное напряжение, возникающее в сечении посредине длинной стороны.

τmax=MкWк

Наибольшее касательное напряжение посредине короткой стороны сечения

τmax=γτmax

Коэффициенты α, β и γ зависят от величины отношения h/b.

Значения этих коэффициентов приведены в следующей таблице:

h/b11,51,752,02,5
α0,1400,2940,3450,4570,622
β0,2080,3460,4180,4930,645
γ1,00,8590,8200,7950,766

h/b3,04,06,08,010,0
α0,7901,1231,7892,4563,123
β0,8011,1281,7892,4563,123
γ0,7530,7450,7430,7420,742

Для данной задачи

hb=1,5

Находим по таблице значения коэффициентов:

α=0,294

β=0,346

γ=0,859

Наибольшее напряжение

τmax=20000,346×8=772кгсм2

Напряжение посредине короткой стороны

τmax=0,859×722=620кгсм2

Угол закручивания

φ=MкlGJк=2000×1008×105×0,294×16=0,0532 рад

Ответ: не указан.

Задача #5271

Условие:

PDd

Пружина, свитая из проволоки диаметром d = 20 мм и имеющая количество рабочих витков n = 8, сжимается силой P = 8 кН. Средний диаметр пружины D = 12 см. Определить осадку пружины Δ и максимальные касательные напряжения τmax. Модуль сдвига материала пружины G = 8,5 × 104 МПа.

Решение:

Максимальное касательное напряжения

τmax=8PD πdк3=300 МПа

Осадка пружины

Δ=nPDGd4=6,5 см

Ответ: τmax = 300 Мпа; Δ = 6,5 см.

Задача #5272

Условие:

PDd

Вычислить жесткость пружины, имеющей диаметр витка D = 20 см, диаметр проволоки d = 12 мм и число витков n = 5. Модуль сдвига G = 8 × 104 МПа.

Решение:

Искомая жесткость пружины

c=Gd48D3n=5,18МНм

Ответ: c = 5,18 МН/м.

Задача #5273

Условие:

PDd

Определить из условия прочности при допускаемом напряжении [τ] = 400 МПа диаметр проволоки цилиндрической пружины, имеющей средний диаметр витка D = 8 см. Максимальная нагрузка на пружину P = 20 кН.

Решение:

Определяем диаметр проволоки из условия прочности

τmax=8PDπd3τ

Имеем

d2,17 см

Выбираем

d=22 мм

Ответ: d = 22 мм.

Задача #5274

Условие:

Стальная цилиндрическая винтовая пружина круглого сечения диаметром 20 мм сжата осевой силой в 100 кг. Средний диаметр витков пружины 160 мм. Число витков 8. Определить наибольшее касательное напряжение в стержне пружины, величину осадки и полную потенциальную энергию деформации пружины. 

Решение:

Наибольшее касательное напряжение

τmax=PF+MкWp=Pπr2+2PRπr3=100π1+16=541кгсм2

Осадка пружины

λ=4PR3nGr4=4×100×8×38×105×14=2,048 см

Полная потенциальная энергия деформации пружины

U=Pλ2=102,4 кгсм

Ответ: не указан.

Задача #5275

Условие:

Витки буферной винтовой стальной пружины имеют средний диаметр 20 см. При осадке пружины на 5 см она должна поглощать 50 кгм энергии, причем наибольшие касательные напряжения в стержне пружины не должны превышать 1750 кг/см2. Определить диаметр стержня пружины и число витков.

Решение:

Потенциальная энергия пружины

U=Pλ2=5000 кгсм

Отсюда

P=2000 кг

Наибольшее напряжение в материале стержня пружины

τmax=Pπr2+2PRπr3=1750кгсм2

Подставив в эту формулу числовое значение P, получим

r+2R=2,75r3

Методом постепенного подбора найдем, что

r=2 см

Число витков

n=λGr44PR3=5×8×105×244×2000×103=8

Ответ: n = 8.

Задача #5276

Условие:

Предохранительный клапан диаметром 7,5 см, прижатый пружиной под некоторым начальным усилием P0, должен открываться при давлении на клапан в 8 ат, после того как пружина сожмется на 2 см. У полностью разгруженной пружины расстояние между витками в свету равно 5 мм, а при открытом клапане пружина сохраняет запас деформации в 16 мм. Средний диаметр витков пружины 6 см, а диаметр стального стержня пружины 12 мм. Определить необходимое число витков, величину начального усилия и наибольшее касательное напряжение в стержне пружины.

Решение:

Усилие, передаваемое клапаном на пружину при достижении давления в клапане в 8 ат, равно

P=353,2 кг

Под начальным усилием P, пружина должна дать осадку

λ0=0,5n-1,6-2=0,5n-3,6 (см)

При увеличении усилия от P0 до предельного значения P осадка пружины возрастет, на 2 см. Напишем дважды формулу для осадки пружины

2=4P-P0R3nGr4

0,5n-3,6=4P0R3nGr4

Из совместного решения этих двух уравнений получаем

n=12,112 витков

тогда

λ0=2,45 см

Затем из пропорции

P-P0P0=22,45

находим величину P0.

Ответ: 12 витков; 194 кг; 3430 кг/см2.

Задача #5281

Условие:

PNRbadeαch

Соединение стропильной ноги с затяжкой выполнено с помощью лобовой врубки (см. рисунок). Определить необходимые размеры соединения (a, d, е, с), если сжимающее усилие в подкосе равно P = 7 т, угол наклона крыши α = 30°, размеры сечения брусьев: b = 15 см и h = 20 см. Допускаемые напряжения приняты: на растяжение и сжатие вдоль волокон [σ] = 100 кг/см2, на смятие вдоль волокон [σр] = 80 кг/см2, на смятие поперек волокон [σ90] = 25 кг/см2, па смятие под углом 30° к волокнам [σ30] = 50 кг/см2 н па скалывание вдоль волокон [τ] = 10 кг/см2. Соединительный болт и силы трения в расчет не принимаются.

Решение:

Разложив силу Р на две составляющие, вертикальную и горизонтальную, получим:

P1=Psinα=7000×0,5=3500 кг

P=Pcosα=7000×0,865=6055 кг

Эти силы уравновешиваются реакцией опоры

R=P1

и растягивающим усилием в затяжке

N=P2

Сила P, вызывает смятие затяжки по площади опирания па опорную подушку (перпендикулярно к волокнам). Напряжения смятия

σс=P1abσ90

откуда

aP1aσ90=350015×25=9,33 см

Такую же длину с должна иметь площадь опирания подкоса на затяжку; конструктивно она принимается значительно больше.

Усилие P2 вызывает смятие вертикальной площадки в месте контакта торца стропильной ноги с затяжкой

Fс=bd

при этом смятие подкоса происходит под углом к волокнам, затяжки — вдоль волокон. Из условия прочности на смятие подкоса имеем

P2bdσ30

откуда

dP2bσ30=605515×50=8,07 см

Это же усилие вызывает появление скалывающих напряжений в выступающем конце затяжки (на длине e). Из условия прочности па скалывание вдоль волокон получим

P2beτ

Следовательно,

eP2bτ=605515×10=40,4 см

Ответ: не указан.