Сдвиг (смятие) и кручение

Если

$${\sigma }_2=-{\sigma }_1$$

то имеет место чистый сдвиг с касательными напряжениями

$$\tau ={\sigma }_1=120 МПа$$

Модуль сдвига

$$G=\frac{E}{2\left(1+\mu \right)}=8\times {10}^4 МПа$$

Относительный сдвиг

$$\gamma =\frac{\tau }{G}=\mathrm{1,5}\times {10}^{-3} рад={\mathrm{5,2}}^{’}$$

Ответ: не указан.

Нагрузка P на стержень BC уравновешивается касательными напряжениями τ, передающимися с пластинки, работающей на чистый сдвиг:

$$P=\tau F=\tau hl$$

где F – площадь сечения пластинки,

l – высота пластинки (длина стержня BC).

$$\tau =\frac{\mathrm{2,5}\times {10}^4}{2\times {10}^{-3}\times \mathrm{0,25}}=5\times {10}^7 Па=50 МПа$$

$$G=\frac{7\times {10}^{10}}{2\left(1+\mathrm{0,34}\right)}=\mathrm{2,6}\times {10}^{10} Па=\mathrm{2,6}\times {10}^4 МПа$$

$$\gamma =\frac{\tau }{G}=\mathrm{1,92}\times {10}^{-3} рад$$

$${\mathrm{\Delta }}_C=\gamma l=\mathrm{4,8}\times {10}^{-4} м=\mathrm{0,48} мм$$

Главные напряжения:

$${\sigma }_1=\tau =50 МПа$$

$${\sigma }_2=-\tau =-50 МПа$$

Удлинения диагоналей:

$$\mathrm{\Delta }{l}_{AC}={\epsilon }_1{l}_{AC}=\frac{l_{AC}}{E}\left({\sigma }_1-\mu {\sigma }_2\right)=\mathrm{0,338} мм$$

$$\mathrm{\Delta }{l}_{BD}=-\mathrm{0,338} мм$$

Ответ: не указан.

Сила, с которой деталь давит на шпонку:

$$P=\frac{M}{d/2}$$

Допустимая величина силы из условия прочности шпонки на срез равна

$${\left[P\right]}_{ср}={\left[\tau \right]}_{ср}bl=\mathrm{2,4}\times {10}^4 Н=24 кН$$

Из условия прочности на смятие

$${\left[P\right]}_{см}={\left[\sigma \right]}_{см}\frac{h}{2}l=24 кН$$

Шпонка имеет одинаковую прочность на срез и на смятие. Допускаемый момент

$$\left[M\right]=\left[P\right]\frac{d}{2}=\mathrm{0,6} кН\times м$$

Ответ: [M] = 0,6 кН × м.

Болт срезается по двум сечениям общей площадью

$$F_{ср}=2\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi d^2}{2}=\mathrm{6,28}\times {10}^{-4} {м}^2$$

Допускаемая сила из расчета на срез

$$P_{ср}={\left[\tau \right]}_{ср}{F}_{ср}=5\times {10}^4 Н=50 кН$$

Поверхность смятия одинакова как для серьги, так и для двух проушин

$$F_{см}=2bd=\mathrm{3,2} с{м}^2$$

Для материала деталей допускаемое напряжение смятия меньше, чем для материала болта. Поэтому исходим из условия прочности на смятие деталей, получим

$$P_{см}={\left[\sigma \right]}_{см}^{’}{F}_{см}=\mathrm{57,6} кН$$

Определяющим является срез. Допускаемая сила

$$\left[P\right]=50 кН$$

Ответ: не указан.

Заклепки двусрезные; площадь среза каждой заклепки

$$F_{ср}=2\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi d^2}{2}=\mathrm{2,51}\times {10}^{-4} {м}^2$$

Площадь смятия одинакова для косынки и для двух профилей

$$F_{см}=2h_{1}d=h_{2}d=8\times {10}^{-6} {м}^2$$

Из условий прочности на срез и на смятие находим число заклепок:

$$n_{ср}=\frac{P}{{\left[\tau \right]}_{ср}{F}_{ср}}=\frac{\mathrm{2,2}\times {10}^4}{{10}^8\times \mathrm{2,51}\times {10}^{-4}}=\mathrm{8,75}$$

$$n_{см}=\frac{P}{{\left[\sigma \right]}_{см}{F}_{ср}}=\frac{\mathrm{2,2}\times {10}^4}{\mathrm{2,8}\times {10}^8\times 8\times {10}^{-6}}=\mathrm{9,82}$$

Выбираем большее целое число n =10 заклепок (по 5 заклепок в ряду).

Ответ: n = 10.

Определяем силу P из условия прочности листов на разрыв в сечениях по первому и второму рядам заклепок:

$$P_1={\left[\sigma \right]}_{р}\left(b-2d\right)h=422 кН$$

$$\mathrm{0,75}{P}_2={\left[\sigma \right]}_{р}\left(b-4d\right)h=422 кН$$

Учитываем, что первый ряд заклепок воспринимает 0,25Р₂, находим

$$P_2=435 кН$$

Из условия прочности на срез заклепок

$$P_3=312 кН$$

Из условия прочности на смятие

$$P_4=435 кН$$

В качестве допустимой силы берем наименьшую

$$P=312 кН$$

Прочность листов в соединении снижена на

$$\frac{2d}{b}100\%=\mathrm{18,5} \%$$

Ответ: P = 312 кН.

Перенесем силу Р в центр заклепки 2 с добавлением момента

$$M_1=\mathrm{0,26}P$$

Сила равномерно распределится на три заклепки. Момент нагрузит две крайние заклепки силами

$$\frac{M_1}{\mathrm{0,12}}=\mathrm{2,17}P$$

Из рисунка видно, что наибольшая сила (суммарная) приложена к заклепке 3:

$$P_3=\mathrm{0,33}P+\mathrm{2,17}P=\mathrm{2,5}P=45 кН$$

Из условия прочности заклепки на срез (соединение двусрезное) получим

$$d=\sqrt{\frac{2\times \mathrm{4,5}\times {10}^4}{\pi \times 8\times {10}^7}}=\mathrm{1,9}\times {10}^{-2} м=19 мм$$

Условие прочности на смятие дает следующую величину диаметра:

$$d=\frac{\mathrm{4,5}\times {10}^4}{\mathrm{2,5}\times {10}^8\times {10}^{-2}}=\mathrm{1,8}\times {10}^{-2} м=18 мм$$

Определим наиболее нагруженную заклепку в вертикальном ряду. После переноса силы на линию расположения заклепок возникает дополнительный момент

$$M_2=\mathrm{0,42}P=\mathrm{0,42}\times 18=\mathrm{7,56} кН\times м$$

Этот момент уравновешивается парами горизонтальных сил, возникающих на заклепках. Величины сил пропорциональны расстоянию заклепки от центра соединения. Учитывая это, получим

$$P_4^{’}\times \mathrm{0,18}+\frac{1}{3}{P}_4^{’}\times \mathrm{0,06}=\mathrm{7,56}\times {10}^3$$

откуда

$$P_4^{’}=P_7^{’}=\mathrm{37,8} кН$$

Усилия на заклепках 5 и 6 будут в три раза меньше.

Сила Р распределится по заклепкам равномерно и нагрузит каждую из них

вертикальной составляющей

$$\frac{P}{4}=\mathrm{4,5} кН$$

Учитывая наличие горизонтальных составляющих от момента, найдем равнодействующую силу, приложенную к наиболее нагруженным заклепкам 4 и 7:

$$P_4=P_7=\sqrt{{\mathrm{37,8}}^2+{\mathrm{4,5}}^2}=38 кН$$

Эта сила меньше той, что действует на заклепку 3 в горизонтальном ряду.

Поэтому диаметр заклепки, обеспечивающий прочность всего соединения, равен 19 мм.

Ответ: не указан.

После переноса силы в центр расположения заклепок определяется момент

$$M=\mathrm{0,12}P$$

Сила распределяется по заклепкам равномерно и дает вертикальные составляющие, равные

$$S=\mathrm{0,2}P$$

Момент нагружает заклепки силами T, перпендикулярными радиусам

$$r=4\times {10}^{-2}\sqrt{2}=\mathrm{5,66}\times {10}^{-2} м$$

Соединяющим центры периферийных и центральной заклепок

$$M=4Tr$$

$$T=\frac{M}{4r}=\mathrm{0,53}P$$

По теореме косинусов вычислим геометрическую сумму сил Т и S для наиболее нагруженных заклепок 2 и 4

$$P_2=P_4=\sqrt{T^2+S^2+2TS\cos 45°}=\mathrm{6,85} кН$$

После удаления центральной заклепки сила S увеличится до 0,25Р. Сила Т не изменится. Сила, нагружающая опасные заклепки, будет равна

$$P_2=P_4=\sqrt{{\left(\mathrm{0,53}P\right)}^2+{\left(\mathrm{0,25}P\right)}^2+2\times \mathrm{0,53}\times \mathrm{0,25}\times \mathrm{0,707}{P}^2}=\mathrm{0,728}P=\mathrm{7,28} кН$$

В результате запас прочности соединения уменьшится в

$$\frac{\mathrm{7,28}}{\mathrm{6,85}}=\mathrm{1,06} раз \left(на 6 \%\right)$$

Ответ: не указан.

Условие прочности шва при сварке встык дает

$$\frac{{10}^5}{{10}^{-2}{l}_{ш}}\le {10}^8$$

$$l_{ш}\ge {10}^{-1} м=10 см$$

Ширина полосы должна быть больше на 1 см, чтобы компенсировать возможный непровар шва

$$b=10+1=11 см$$

При такой ширине полоса безопасно выдерживает силу

$$P_1={\left[\sigma \right]}_{р}bh=154 кН$$

Процент использования материала полосы равен

$$\frac{100}{154}\times 100\%=65 \%$$

Ответ: не указан.

Расчетное усилие для уголка

$$P=\mathrm{1,6}\times {10}^8\times \mathrm{15,1}\times {10}^{-4}=\mathrm{2,42}\times {10}^5 Н=242 кН$$

Определим суммарную длину швов l_ш задавшись толщиной шва 8 мм

$$\frac{\mathrm{2,42}\times {10}^5}{\mathrm{0,7}\times 8\times {10}^{-3}{l}_{ш}}\le 9\times {10}^7$$

$$l_{ш}=48 см$$

Ширина полки уголка b = 8 см, следовательно, рабочая длина торцевого шва

$$l_{т}=8-1=7 см$$

На долю фланговых швов остается

$$l_{ф}=l_{ш}-l_{т}=41 см$$

Длины фланговых швов следует взять обратно пропорциональными их расстояниям от оси уголка

$$\frac{l_1}{l_2}=\frac{e_1}{e_2}=\frac{\mathrm{5,65}}{\mathrm{2,35}}=\mathrm{2,4}$$

Расчетные длины швов

$$l_1=29 см$$

$$l_2=12 см$$

Их следует увеличить на 1 см для компенсации непровара. Таким образом

$$l_1=30 см$$

$$l_2=13 см$$

Ответ: не указан.

Стержень подвергается срезу по двум сечениям. Усилие, необходимое для перерезывания стержня диаметром d,

$$P=2\frac{\pi d^2}{4}{\tau }_{в}$$

откуда диаметр

$$d=\sqrt{\frac{2P}{\pi {\tau }_{в}}}$$

Так как сила пресса задана в тоннах, то, переходи к системе единиц СИ, имеем

$$P=60 т\approx 60\times 9807\approx \mathrm{0,89} Мн$$

Следовательно,

$$d=\sqrt{\frac{2\times \mathrm{0,59}}{\mathrm{3,14}\times 300}}\approx \mathrm{0,036} м$$

Напряжения смятия, возникающие в высокопрочных вкладных втулках проушин, будут

$${\sigma }_{с}=\frac{P}{td}=\frac{\mathrm{0,59}}{\mathrm{0,03}\times \mathrm{0,036}}\approx \mathrm{0,546}\frac{Мн}{{м}^2}$$

Разумеется, такие же напряжения смятия возникнут и в материале болта. В системе единиц СГС ответом будет

$$d\approx \mathrm{3,6} см$$

$${\sigma }_{с}\approx 5560\frac{кг}{с{м}^2}$$

Ответ: d = 3,6 см; σ_с = 5560 кг/см².

Заклепки двухсрезные. Необходимое количество их из условия прочности на срез должно быть

$$n\ge \frac{P}{2\frac{\pi d^2}{4}\left[\tau \right]}=\frac{2\times 24000}{\mathrm{3,14}\times 2^2\times 1000}\approx 4$$

По условию прочности на смятие требуется

$$n\ge \frac{P}{td\left[{\sigma }_{с}\right]}=\frac{24000}{1\times 2\times 2400}\approx 5$$

Следует расставить с каждой стороны стыка по 5 заклепок.

Для размещения их в плане надо определить необходимую ширину листов. Из условия прочности на растяжение рабочая площадь сечения листа должна быть

$$F_{л}\ge \frac{P}{\left[\sigma \right]}=15 с{м}^2$$

Рабочая ширина листа (за вычетом ослабления заклепочными отверстиями) должна быть

$$b_{л}=\frac{F_{л}}{l}=\frac{15}{1}=15 см$$

Полная ширина

$$b=b_{л}+md$$

где m — число заклепок в поперечном сечении. При ширине b ≥ 15 см число заклепок в поперечном ряду должно быть не менее m = 2; тогда сечение будет ослаблено двумя отверстиями и полную ширину листов следует принять

$$b=15+2\times 2=19 см$$

Пить заклепок целесообразно разместить в шахматном порядке. Приняв шаг

$$a=3d$$

и расстояния от осей заклепочных отверстий до краев листов И накладок по

$$c=2d$$

размещаем заклепки, как показано на рисунке.

Ответ: n = 5.

Проверка прочности лобовых швов условно производится на срез. Принято считать, что усилие, воспринимаемое всеми швами, равномерно распределяется по рабочему им сечению. Следовательно,

$${\tau }_{э}=\frac{P}{\mathrm{0,7}t\left(b+2l_{р}\right)}\le \left[{\tau }_{э}\right]$$

Отсюда расчетная длина флангового шва

$$l_{р}\ge \frac{1}{2}\left(\frac{P}{\mathrm{0,7}t\left[{\tau }_{э}\right]}-b\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{P15\times {10}^4}{\mathrm{0,7}\times \mathrm{0,01}\times 9\times {10}^7}-\mathrm{0,1}\right)=\mathrm{0,069} м$$

Проектную длину шва (при учете ослабления непроваром только па одном конце) следует принять

$$l=\mathrm{0,069}+\mathrm{0,005}=\mathrm{0,074} м$$

Ответ: l = 0,074 м.

Относительное удлинение

$$\epsilon =\frac{\mathrm{\Delta }n}{ks}=\mathrm{0,6}\times {10}^{-3}$$

Напряжения при кручении:

$${\sigma }_1=\tau$$

$${\sigma }_2=-\tau$$

поэтому

$$\epsilon =\frac{{\sigma }_1-\mu {\sigma }_2}{E}=\frac{\tau \left(1+\mu \right)}{E}=\mathrm{0,6}\times {10}^{-3}$$

Отсюда

$$\tau =\frac{\mathrm{0,6}\times {10}^{-3}E}{1+\mu }=\mathrm{1,2}\times {10}^{-3}G$$

С другой стороны

$$\tau =\frac{M}{W_p}=\frac{16\times 9\times {10}^3}{\pi \times {\mathrm{1,2}}^3\times {10}^{-3}\times \left(1-{\mathrm{0,67}}^4\right)}=\mathrm{3,3}\times {10}^7 Па=33 МПа$$

Получаем

$$G=\mathrm{2,75}\times {10}^4 МПа$$

Угол закручивания

$$\mathrm{\Delta }\phi =\frac{9\times {10}^3\times 1\times 32}{\mathrm{2,75}\times {10}^4\times \pi \times {\mathrm{1,2}}^4\times {10}^{-4}\left(1-{\mathrm{0,67}}^4\right)}=\mathrm{2,01}\times {10}^{-2} рад=1°{10}^{’}$$

Ответ: G = 2,75 × 10⁴ МПа; Δφ = 1°10’.

По условию прочности

$$D=\sqrt[3]{\frac{16M_{к}}{\pi \left[\tau \right]}}=\mathrm{0,4}\times {10}^{-2}\sqrt[3]{M_{к}}$$

По условию жесткости

$$D=\sqrt[3]{\frac{32M_{к}}{\pi G\left[{\phi }^{’}\right]}}=\mathrm{1,1}\times {10}^{-2}\sqrt[3]{M_{к}}$$

Приравнивая полученные выражения для диаметра вала, найдем

$$M_{к}=\mathrm{1,85}\times {10}^5 Н\times м$$

Диаметр вала при этом

$$D=\mathrm{0,4}\times {10}^{-2}\sqrt[3]{\mathrm{1,85}\times {10}^5}=\mathrm{0,228} м=\mathrm{22,8} см$$

Ответ: M_к = 1,85 × 105 Н × м; D = 22,8 см.

Последовательно суммируя моменты, приложенные по одну сторону от текущего сечения вала, построим эпюру крутящих моментов (см. рисунок). По наибольшему моменту подберем диаметр вала из условия прочности

$$D=\sqrt[3]{\frac{16M_{к}}{\pi \left[\tau \right]}}=\sqrt[3]{\frac{16\times 9\times {10}^3}{\pi \times 5\times {10}^7}}=\mathrm{0,097} м=\mathrm{9,7} см$$

Касательные напряжения на поверхности вала

$${\tau }_{max}=\frac{M_{к}}{W_p}$$

где

$$W_p=\mathrm{1,8}\times {10}^{-4} {м}^3$$

На рисунке показано изменение τ_max вдоль оси вала и изменение τ по радиусу вала в трех сечениях A—A, B—B, C—C. Относительный угол закручивания вала

$${\phi }^{’}=\frac{M_{к}}{G{J}_p}$$

Эпюра углов поворота сечений

$$\phi =\frac{M_{к}l}{G{J}_p}$$

может быть построена путем последовательного интегрирования функции φ’, начиная от неподвижного сечения.

Ответ: не указан.

Определяем диаметры валов и моменты инерции:

- для стального вала

$$D_{ст}=\sqrt[3]{\frac{16\times {10}^3}{\pi \times 8\times {10}^7}}=4\times {10}^{-2} м=4 см$$

$$J_{p.ст}=\frac{\pi \times 4^4}{32}=\mathrm{25,1} с{м}^4$$

- для алюминиевого вала

$$D_{ал}=\sqrt[3]{\frac{16\times {10}^3}{\pi \times 5\times {10}^7}}=\mathrm{4,67}\times {10}^{-2} м=\mathrm{4,67} см$$

$$J_{p.ал}=\frac{\pi \times {\mathrm{4,67}}^4}{32}=\mathrm{46,9} с{м}^4$$

Отношение углов закручивания

$$\frac{{\phi }_{ал}}{{\phi }_{ст}}=\frac{G_{ст}\times J_{p.ст}}{G_{ал}\times J_{p.ал}}=\mathrm{1,43}$$

Отношение масс

$$\frac{m_{ст}}{m_{ал}}=\frac{D_{ст}^2{\rho }_{ст}}{D_{ал}^2{\rho }_{ал}}=\mathrm{2,22}$$

Ответ: не указан.

Построив эпюру крутящих моментов M_к, находим диаметры участков вала по условию прочности

$$D_1=\sqrt[3]{\frac{16\times 2\times {10}^3}{\pi \times 4\times {10}^7}}=\mathrm{6,35}\times {10}^{-2} м$$

$$D_2=\sqrt[3]{\frac{16\times \mathrm{1,2}\times {10}^4}{\pi \times 4\times {10}^7}}=\mathrm{1,15}\times {10}^{-1} м$$

$$D_3=\sqrt[3]{\frac{16\times 8\times {10}^3}{\pi \times 4\times {10}^7}}=\mathrm{0,1} м$$

Соответствующие этим диаметрам полярные моменты инерции равны

$$j_{p1}=\frac{\pi \times {\mathrm{6,35}}^4\times {10}^{-8}}{32}=\mathrm{1,6}\times {10}^{-6} {м}^4$$

$$j_{p2}=\frac{\pi \times {\mathrm{1,15}}^4\times {10}^{-4}}{32}=\mathrm{1,72}\times {10}^{-5} {м}^4$$

$$j_{p3}=\frac{\pi \times {\mathrm{0,1}}^4\times {10}^{-4}}{32}=\mathrm{9,8}\times {10}^{-6} {м}^4$$

Далее вычисляем

$${\phi }^{’}=\frac{M_{к}}{G{J}_p}$$

для каждого участка вала. Эпюра показана на рисунке. Эпюру углов φ поворота сечений вала получаем путем интегрирования эпюры φ’, начиная с неподвижного конца.

Ответ: не указан.

Из условия прочности вала

$${\tau }_{max}=\frac{M_{к}}{W_p}\le \left[\tau \right]$$

где

$$W_p=\frac{\pi r^3}{2}$$

находим

$$r=\sqrt[3]{\frac{2M_{к}}{\pi \left[\tau \right]}}=\sqrt[3]{\frac{2\times 160000}{\mathrm{3,14}\times 800}}=\mathrm{5,0} см$$

Из условия жесткости вала

$$\phi =\frac{M_{к}l}{G{J}_p}\le \left[\phi \right]$$

где

$$J_p=\frac{\pi r^4}{2}$$

$$G=8\times {10}^5\frac{кг}{с{м}^2}$$

$$\left[\phi \right]=\mathrm{0,6}\frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{300}$$

вычисляем

$$r=\sqrt[4]{\frac{2M_{к}l\times 300}{G{\pi }^2}}=\sqrt[4]{\frac{2\times 160000\times 100\times 300}{800000\times \mathrm{9,86}}}=\mathrm{5,9} см$$

Ответ: d ≥ 11,8 см.

Наибольшее касательное напряжение

$${\tau }_{max}=\frac{M_{к}{r}_1}{J_p}$$

где

$$J_p=\frac{\pi }{32}\left(d_1^4-d_2^4\right)=249 с{м}^4$$

$${\tau }_{max}=\frac{35000\times \mathrm{3,75}}{249}=527\frac{кг}{с{м}^2}$$

Модуль упругости при сдвиге находим из формулы для угла закручивания

$$G=\frac{M_{к}l}{\phi J_p}=\frac{35000\times 100\times 180}{\pi \times 249}=\mathrm{8,05}\times {10}^5\frac{кг}{с{м}^2}$$

Ответ: не указан.

Зная, что

$$N=\frac{M_{к}\pi n}{225000}$$

$$M_{к}=\frac{\phi J_{p}G}{l}$$

$$\phi =\frac{\pi }{100}$$

$$J_p=\frac{15}{32}\pi r_1^4$$

можем написать следующее

$$N=\frac{\pi \times 15\times \pi \times r_1^4\times G\times \pi \times n}{100\times 32l\times 22500}=\mathrm{95,6} л.с.$$

Величина τ_max определится по формуле

$${\tau }_{max}=\frac{M_{к}{r}_1}{J_p}=\frac{\phi \times G\times r_1}{l}=466\frac{кг}{с{м}^2}$$

Ответ: τ_max = 466 кг/см².

Из условия совместности деформаций момент в левой заделке равен

$$M_A=\frac{K_1\left(a+l_2\right)+K_2{l}_2}{l_1+l_2+a}$$

Из условия равновесия находим реактивный момент в правой заделке

$$M_B=\frac{K_1{l}_1+K_2\left(a+l_1\right)}{l_1+l_2+a}$$

Приравнивая эти моменты, находим отношение K₁/K₂.

Ответ: не указан.

Составив условия совместной деформаций вала, можно убедится, что реактивные моменты равны

$$M_A=K\left(1-x\right)$$

$$M_B=\frac{Kx}{l}$$

Более нагруженной будет более короткая часть вала. Составим для нее условие прочности, считая, что

$$x\le \frac{l}{2}$$

$$\frac{K\left(1-\frac{x}{l}\right)16}{\pi D^3}\le {10}^8$$

откуда

$$D=\sqrt[3]{\frac{{10}^5\times 16\left(1-\frac{x}{l}\right)}{\pi \times {10}^8}}=\mathrm{0,172}\sqrt[3]{1-\frac{x}{l}}$$

Далее определим величину диаметра из условия жесткости

$${\phi }_{max}=\frac{K\left(l-x\right)x\times 32}{\pi D^{4}G{l}^2}=\frac{\mathrm{0,5}}{\mathrm{57,3}}$$

откуда

$$D=\sqrt[4]{\frac{{10}^5\times 32\left(l-x\right)x\times \mathrm{57,3}}{8\times \pi \times \mathrm{0,5}\times {10}^8\times l^2}}=\mathrm{0,195}\sqrt[3]{\frac{\left(l-x\right)x}{l^2}}$$

Приравнивая полученные выражения для диаметра, находим

$$x=\mathrm{0,482}l=\mathrm{0,482} м$$

Ответ: x = 0,482 м.

В предельном состоянии касательные напряжения во всех точках сечения равны τ_т

$$M_{пр}=\frac{\pi D^3{\tau }_{т}}{12}=\mathrm{4,9} кН\times м$$

Ответ: M_пр = 4,9 кН × м.

В предельном случае участки, примыкающие к заделкам, целиком находятся, в пластическом состоянии. Предельные моменты в заделках:

$$M_A=\frac{\pi D_1^3{\tau }_{т}}{12}=\mathrm{5,22}\times {10}^4 Н\times м$$

$$M_B=\frac{\pi D_2^3{\tau }_{т}}{12}=\mathrm{1,13}\times {10}^4 Н\times м$$

Предельный момент K равен сумме реактивных моментов по условию равновесия вала

$$K_{пр}=M_A+M_B=\mathrm{63,5} кН\times м$$

Ответ: M_A = 5,22 × 10⁴ Н × м; M_B = 1,13 × 10⁴ Н × м; K_пр = 63,5 кН × м.

Для неразрезанной трубы момент сопротивления кручению

$$W_{к}=\frac{\pi D^3}{16}\left(1-{\alpha }^4\right)=\frac{\mathrm{3,14}\times {\mathrm{8,8}}^3}{16}\times \mathrm{0,317}=\mathrm{42,4}\mathrm{ }с{м}^3$$

а полярный момент инерции

$$J_{к}=\frac{W_{к}D}{2}=\mathrm{186,6} с{м}^4$$

Для трубы с продольным разрезом имеем

$$W_{к}=\frac{h^{2}s}{3}=\frac{{\mathrm{0,4}}^2\times \pi \times \mathrm{8,8}}{3}=\mathrm{1,47} с{м}^3$$

$$J_{к}=\frac{h^{3}s}{3}=\mathrm{0,59} с{м}^2$$

Прочность уменьшается в 28,8 раза, жесткость — в 316 раз.

Ответ: не указан.

Вычисляем величину полярного момента

$$J_{к}=\sum \frac{s{h}^3}{3}=\frac{\mathrm{2,12}\times 2^3+30\times 1^3}{3}=74 с{м}^4$$

Максимально касательное напряжение

$${\tau }_{max}=\frac{M_{к}{h}_{max}}{J_{к}}=\frac{M_{к}\times 2\times {10}^{-2}}{74\times {10}^{-8}}=\mathrm{2,7}\times {10}^4{M}_{к}$$

Момент M_к находим из условия прочности

$${\tau }_{max}=\mathrm{2,7}\times {10}^4{M}_{к}\le 6\times {10}^7$$

Получаем

$$M_{к}=\mathrm{2,22}\times {10}^3 Н\times м=\mathrm{2,22} кН\times м$$

Ответ: M_к = 2,22 кН × м.

Площадь поперечного сечения

$${\omega }_{к}=2\times 30\times 10=600 с{м}^2=\mathrm{0,06} {м}^2$$

Максимальное касательное напряжение

$${\tau }_{max}=\frac{M_{к}}{{\omega }_{к}\delta }=\frac{M_{к}}{\mathrm{0,06}\times 3\times {10}^{-3}}\le 6\times {10}^7$$

откуда

$$M_{к}=\mathrm{1,08}\times {10}^4 Н\times м=\mathrm{10,8} кН\times м$$

Ответ: M_к = 10,8 кН × м.

При расчетах на кручение стержней прямоугольного сечения пользуются следующими данными:

- момент инерции прямоугольника при кручении

$$J_{к}=\alpha b^4$$

где b — меньший из двух размеров сторон прямоугольника.

- момент сопротивления прямоугольника при кручении

$$W_{к}=\beta b^3$$

Наибольшее касательное напряжение, возникающее в сечении посредине длинной стороны.

$${\tau }_{max}^{’}=\frac{M_{к}}{W_{к}}$$

Наибольшее касательное напряжение посредине короткой стороны сечения

$${\tau }_{max}^{’’}=\gamma {\tau }_{max}^{’}$$

Коэффициенты α, β и γ зависят от величины отношения h/b.

Значения этих коэффициентов приведены в следующей таблице:

Для данной задачи

$$\frac{h}{b}=\mathrm{1,5}$$

Находим по таблице значения коэффициентов:

$$\alpha =\mathrm{0,294}$$

$$\beta =\mathrm{0,346}$$

$$\gamma =\mathrm{0,859}$$

Наибольшее напряжение

$${\tau }_{max}^{’}=\frac{2000}{\mathrm{0,346}\times 8}=772\frac{кг}{с{м}^2}$$

Напряжение посредине короткой стороны

$${\tau }_{max}^{’’}=\mathrm{0,859}\times 722=620\frac{кг}{с{м}^2}$$

Угол закручивания

$$\phi =\frac{M_{к}l}{G{J}_{к}}=\frac{2000\times 100}{8\times {10}^5\times \mathrm{0,294}\times 16}=\mathrm{0,0532} рад$$

Ответ: не указан.

Максимальное касательное напряжения

$${\tau }_{max}=\frac{8PD }{{\pi d}_{к}^3}=300 МПа$$

Осадка пружины

$$\mathrm{\Delta }=\frac{nPD}{G{d}^4}=\mathrm{6,5} см$$

Ответ: τ_max = 300 Мпа; Δ = 6,5 см.

Искомая жесткость пружины

$$c=\frac{G{d}^4}{8D^{3}n}=\mathrm{5,18}\frac{МН}{м}$$

Ответ: c = 5,18 МН/м.

Определяем диаметр проволоки из условия прочности

$${\tau }_{max}=\frac{8PD}{\pi d^3}\le \left[\tau \right]$$

Имеем

$$d\ge \mathrm{2,17} см$$

Выбираем

$$d=22 мм$$

Ответ: d = 22 мм.

Наибольшее касательное напряжение

$${\tau }_{max}=\frac{P}{F}+\frac{M_{к}}{W_p}=\frac{P}{\pi r^2}+\frac{2PR}{\pi r^3}=\frac{100}{\pi }\left(1+16\right)=541\frac{кг}{с{м}^2}$$

Осадка пружины

$$\lambda =\frac{4P{R}^{3}n}{G{r}^4}=\frac{4\times 100\times 8\times 3}{8\times {10}^5\times 1^4}=\mathrm{2,048} см$$

Полная потенциальная энергия деформации пружины

$$U=\frac{P\lambda }{2}=\mathrm{102,4} кгсм$$

Ответ: не указан.

Потенциальная энергия пружины

$$U=\frac{P\lambda }{2}=5000 кгсм$$

Отсюда

$$P=2000 кг$$

Наибольшее напряжение в материале стержня пружины

$${\tau }_{max}=\frac{P}{\pi r^2}+\frac{2PR}{\pi r^3}=1750\frac{кг}{с{м}^2}$$

Подставив в эту формулу числовое значение P, получим

$$r+2R=\mathrm{2,75}{r}^3$$

Методом постепенного подбора найдем, что

$$r=2 см$$

Число витков

$$n=\frac{\lambda G{r}^4}{4P{R}^3}=\frac{5\times 8\times {10}^5\times 2^4}{4\times 2000\times {10}^3}=8$$