ЗакладкиКорзинаЗаказы

Содержание главы

  1. Изгиб прямоугольных пластинок
  2. Изгиб круглых пластинок
  3. Устойчивость прямоугольных пластинок при сжатии
  4. Устойчивость прямоугольных пластинок при сдвиге
  5. Местная устойчивость тонкостенных стержней
  6. Устойчивость оболочек
  7. Послекритическая деформация пластинок
  8. Касательные напряжения в подкрепленных оболочках

Примеры решений задач

Данные примеры задач, относятся к предмету «Сопротивление материалов».

Задача #51111

Условие:

Свободная прямоугольная пластинка толщины h = 0,6 см изгибается моментами Mx = 600 Н × м/м, равномерно распределенными вдоль длинных краев, параллельных оси y. Определить максимальный крутящий момент в пластинке и наибольшие нормальные и касательные напряжения. Определить главные радиусы кривизны срединной поверхности пластинки. Материал пластинки — сталь (E = 2 × 105 МПа, μ = 0,3).

Решение:

Свободная пластинка изогнется по поверхности двоякой кривизны. Каждая полоска пластинки, перпендикулярная оси y, изгибается под действием моментов Mx, как обычная балка. Напряжения

σx,max=MxWx=6Mx1×h2=108 Па=100 МПа

В направлении оси y изгибающие моменты отсутствуют и

σy=0

Наибольшие касательные напряжения

τmax=σx,max-σy2=50 МПа

Наибольший крутящий момент

Kmax=τmax×1×h26=300Н×мм

Главные радиусы кривизны:

ρx=EJMx=6 м

(выпуклость направлена вниз)

ρy=EJμMx=-20 м

(выпуклость вверх).

Ответ: ρx = 6 м; ρy = -20 м.

Задача #51112

Условие:

МxМxМyМyhxy

Свободная прямоугольная пластинка толщины h = 0,4 см изгибается равномерно распределенными вдоль ее краев моментами Mx = 300 Н × м/м и My = 100 Н × м/м. Определить наибольшие нормальные и касательные напряжения в пластинке и проверить ее прочность по энергетической теории прочности при допускаемом напряжении [σ] = 120 МПа.

Решение:

Напряжения:

σx,max=6Mxh2=112,5 МПа

σy,max=6Myh2=37,5 МПа

τmax=σx,max-σy,max2=37,5 МПа

Условие прочности по энергетической теории прочности выполняется

σэкв=22σ1-σ22+σ2-σ32+σ3-σ12=99 МПа<120 МПа

Ответ: σэкв < [σ].

Задача #51113

Условие:

К двум параллельным краям прямоугольной пластинки толщины h = 0,5 см приложены равномерно распределенные моменты Mx = 250 Н × м/м. Определить погонную интенсивность моментов My которые требуется приложить к двум другим сторонам, чтобы аннулировать кривизну пластинки в направлении оси y. По какой поверхности в этом случае изогнется пластинка?

Определить максимальные нормальные и касательные напряжения и радиус кривизны ρx при одновременном действии моментов Mx и My, считая E = 7 × 104 МПа, μ = 0,35.

Решение:

По условию

1ρy=μMxEJ=0

Отсюда

My=μMx=87,5Н×мм

Пластинка изогнется по цилиндрической поверхности с радиусом кривизны

ρx=EJMx-μMy=3,32 м

Напряжения:

σx,max=MxWx=6Mxh2=60 МПа

σy,max=MyWy=6Myh2=21 МПа

τmax=σx,max-σy,max2=19,5 МПа

Ответ: не указан.

Задача #51114

Условие:

MxMxMyMyxybaf

Прямоугольная пластинка толщины h под действием моментов Mx, My, равномерно распределенных вдоль ее краев, изогнулась по цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси y. Стрела прогиба пластинки f = 0,9 мм и направлена вверх. Определить наибольшие нормальные и касательные напряжения в пластинке. Дано: a = 24 см, b = 20 см, h = 0,6 см, E = 2 × 105 МПа, μ = 0,25.

Решение:

Находим соотношение между стрелой f и радиусом кривизны пластины (см. рисунок):

OA=ρx

OD=ρx-f

AD=a2=12 см=0,12 м

ρx2=ρx-9×10-42+0,122

ρx=8 м

С другой стороны

ρx=EJMx-μMy=Eh312Mx1-μ2

Отсюда

Mx=0,48Н×мм

а

My=μMx=0,12Н×мм

Напряжения:

σx,max=6Mxh2=80 МПа

σy,max=6Myh2=20 МПа

Ответ: не указан.

Задача #51115

Условие:

Прямоугольная пластинка длины a = 20 см, ширины b = 10 см, толщины h = 0,2 см свободно оперта по длинным ребрам и подвергается равномерно распределенной нагрузке интенсивности p = 12,5 кПа. Определить наибольший прогиб f и наибольшие нормальные напряжения в пластинке, приняв E = 7,2 × 104 МПа, μ = 0,34.

Решение:

Цилиндрическая жесткость пластинки

D=Eh3121-μ2=54,3 Н×м

Наибольший изгибающий момент (посередине пластинки)

Mx,max=pb28=15,6Н×мм

Напряжение

σx,max=6Mx,maxh2=23,4 МПа

Наибольший прогиб

f=5384pb4D=0,3 мм

Ответ: f = 0,3 мм.

Задача #51121

Условие:

а) Построить эпюру прогибов (v) и эпюры изгибающих моментов в радиальном (M1) и окружном (M2) направлениях для круглой пластинки толщины h = 1 мм и радиуса r = 5 см, жестко защемленной по краю и нагруженной равномерно распределенной поперечной нагрузкой интенсивности p = 10 кПа. Коэффициент Пуассона μ = 0,3. Модуль упругости E = 2,2 × 105 МПа. б) Решить эту же задачу для пластинки, свободно опертой по краю.

Решение:

нет

Задача #51131

Условие:

Определить толщину пластинки h из условия устойчивости при сжатии силой Р = 30 кН, равномерно распределенной вдоль коротких краев. Пластинка шарнирно оперта по контуру. Дано: a = 35 см, b = 10 см, E = 2 × 105 МПа, μ = 0,28, коэффициент запаса устойчивости n = 1,5.

Решение:

Критическое напряжение

σк=Pnbh=4,5×105h

Цилиндрическая жесткость пластины

D=Eh3121-μ2=1,8×1010h3 1

При отношении длин сторон пластинки

ab=3,5>12

пластинка потеряет устойчивость с образованием m = 3 полуволн по длине. Поэтому

kσ=mba+amb2=4,1

Толщину пластинки находим из условия

kσπ2Db2h=4,5×105h

С учетом (1) отсюда

h=1,84×10-3 м=1,84 мм

Ответ: h = 1,84 мм.

Задача #51141

Условие:

qqqq25 см40 см

Прямоугольная пластинка с размерами a = 40 см, b = 25 см, h = 0,4 см шарнирно оперта по контуру и нагружена по кромкам сдвигающими усилиями q. Определить критическое касательное напряжение, считая E = 7,2 × 104 МПа, τпц = 120 МПа.

Решение:

Критическое касательное напряжения

τк=0,9kτEbh2

Для случая шарнирного опирания всех краев пластинки

kτ=5,35+4ba2=6,9

Получаем

τк=114 МПа

Ответ: τк = 114 МПа.

Задача #51142

Условие:

Квадратная пластинка 30 × 30 см и толщины h = 0,2 см испытывает чистый сдвиг. Определить величину критического напряжения для случая жесткого защемления всех краев пластинки. Насколько уменьшатся критические напряжения, если края опереть шарнирно? Принять E = 2,1 × 105 МПа.

Решение:

Для жесткого защемления краев пластинки

kτ=9+5,6ba2=14,6

Критическое касательное напряжения

τк=0,9kτEbh2=122,6 МПа

Ответ: τк = 122,6 МПа.

Задача #51143

Условие:

x60см20см25см25см

Подкрепленная цилиндрическая оболочка испытывает действие крутящего момента Mк = 50 кН × м. Нервюры по длине оболочки располагаются с шагом 25 см. Определить максимальный шаг x стрингеров из условия устойчивости панелей оболочки, имеющей толщину h = 0,2 см. Дано: E = 7,2 × 104 МПа, τпц = 200 МПа. Соединение панелей о подкрепляющими стержнями считать шарнирным.

Решение:

Касательные напряжения при кручении замкнутой оболочки

τ=Mкωкh=104 МПа

Шаг стрингеров находим из условий устойчивости пластинки длины 25 см и ширины x под действием касательных напряжений от крутящего момента

kτ=5,35+4x0,252

kк=0,9×7,2×1010×4×10-6x25,35+4x0,252=1,04×108 Па

x=0,107 м

Ответ: x = 0,107 м.

Задача #51144

Условие:

P30см12смzxy

Тонкостенная прямоугольная панель, окаймленная жесткими ребрами, прикрепленными однорядным заклепочным швом, испытывает сдвиг под действием силы P. Определить допускаемую величину силы при запасе устойчивости n = 1,5. Толщина стенки h = 0,1 см, модуль упругости E = 2 × 105 МПа, τпц = 250 МПа.

Решение:

Касательное напряжение в стенке панели

τ=nPдопbh=4,17×103Pдоп Па

его следует приравнять критическому напряжению} определяемому по формуле

τк=0,9kτEbh2

Получим

kτ=5,99

Pдоп=1,8×104=18 кН

Ответ: Pдоп = 18 кН.

Задача #51151

Условие:

6 см0,1 см2,5 см

Определить допускаемую сжимающую силу из условия местной устойчивости для короткого тонкостенного стержня швеллерного сечения. Дано: коэффициент запаса устойчивости n = 2, E = 7,2 × 104 МПа, μ = 0,3.

Решение:

Стенку швеллера, подкрепленную примыкающими к ней полками, следует рассматривать как длинную пластинку, шарнирно опертую по контуру.

σк=3,6Eh2b2=72 МПа

Полки рассматриваются как пластинки, шарнирно опертые по трем сторонам, с одним свободным краем. В этом случае

kσ=0,45

Тогда для полки

σк=kσπ2Db2h=46,7 МПа

Критическая сила находится из условия потери устойчивости полок, имеющих меньшее критическое напряжение, чем стенка

Pк=σкF=46,7×106×2×2,5×10-2+6×10-2×10-3=5140 Н=5,14 кН

При заданном коэффициенте запаса допускаемая сила в два раза меньше критической.

Ответ: Pк = 5,14 кН.

Задача #51161

Условие:

Круговая цилиндрическая оболочка сжата осевой силой Р = 52 кН. Определить верхнее и расчетное (нижнее) значения критической силы и соответствующие им коэффициенты запаса устойчивости. Дано: E = 7 × 104 МПа, толщина оболочки h = 0,1 см, радиус кривизны оболочки R = 20 см.

Решение:

Максимальное (верхнее) критическое напряжение

σк.max=0,6EhR=210 МПа

Критическая сила

Pк.max=2πRhσк.max=264 кН

Минимальная (нижняя) критическая сила в три раза меньше.

Ответ: не указан.

Задача #51162

Условие:

RhOp

Определить критическое внешнее давление pкр для длинной цилиндрической оболочки радиуса R = 10 см, толщины h = 0,8 мм, считая E = 2,1 × 105 МПа, μ = 0,3, σпц = 250 МПа.

Решение:

Критическое давление

pк=Eh31-μ2R3=2,95×104 Па

Ответ: pк = 29,5 кПа.

Задача #51163

Условие:

МкМкRh

Длинная цилиндрическая оболочка радиуса R = 40 см со стенкой толщиной h = 0,15 см закручивается моментами, приложенными по ее торцам.

Найти критическую величину крутящего момента и критические напряжения, если E = 7,2 × 104 МПа, μ = 0,34, σпц = 120 МПа.

Решение:

Для длинной оболочки величина критического крутящего момента определяется по приближенной формуле

Mк=πE2Rh5=6,2×103 Н×м=6,2 кН×м

Критическое напряжение

τк=MкWк=Mк2πR2h=4,1 МПа

Ответ: Mк = 6,2 кН × м; τк = 4,1 МПа.

Задача #51164

Условие:

Длинная цилиндрическая оболочка радиуса R = 20 см со стенкой толщины h = 0,1 см сжата продольной силой N = 100 кН. Определить величину крутящего момента, который может дополнительно выдержать оболочка до потери устойчивости. Материал оболочки — сталь: E = 2,1 × 105 МПа, μ = 0,25, σпц = 300 МПа, τпц = 160 МПа.

Решение:

Нижнее (минимальное) критическое напряжение при простом осевом сжатии оболочки

σк,0=0,2EhR=210 МПа

Критическое напряжение при кручении

τк,0=E4hR32=18,6 МПа

Критическая комбинация напряжений σк и τк при одновременном действии кручения и осевого сжатия должна удовлетворять условию

σкσк,0+τкτк,03=1

Тогда

σк=NF=N2πRh=79,6 МПа

79,6210+τк18,63=1

τк=15,9 МПа

Искомый крутящий момент

Mк=τкWк=τк×2πR2h=4 кН×м

Ответ: Mк = 4 кН × м.

Задача #51165

Условие:

При сливе топлива из резервуара в случае неисправности дренажной системы возможна потеря устойчивости оболочки под действием внешнего давления. Определить толщину h верхнего сферического днища резервуара из условия глубокого разрежения. Радиус сферы R равен 4 м. Модуль упругости материала E = 7,2 × 104 МПа. Перепад давления составляет 100 кПа; считать давление равномерно распределенным по всему днищу. Расчетное напряжение приближенно определять, как для полной сферической оболочки (см. приложения).

Решение:

В первом приближении принимаем отношение радиуса к толщине оболочки равным 500. При этом по справочной таблице приложения

k=0,24

Из формулы

q=kEhR2

находим

h1=9,6×10-3 м

Тогда

Rh1=416

Во втором приближении, принимая

Rh1=416

интерполируя, по таблице находим

k=0,26

отсюда

h2=9,1×10-3 м

Продолжая расчет, получаем

h39,3 мм

Отметим, что, судя по расчету, назначение толщины верхнего днища из условия глубокого разрежения нерационально: необходима большая масса днища. Отсюда возникает требование повышения надежности дренажных систем.

Ответ: не указан.

Задача #51166

Условие:

Тонкостенный цилиндрический резервуар, выполненный из алюминиево-магниевого сплава (E = 7,2 × 104 МПа), диаметра D = 2 м, длины L = 3 м и толщины h = 3 мм при закрытом клапане вывезен в холодное время года из хранилища, где поддерживались нормальные условия (q1 = 100 кПа, T1 = 288 К). Проверить устойчивость оболочки, если температура наружного воздуха t = -20 °С при q = 1 кПа.

Указания. 1) При постоянном объеме q1/q2 = T1/T2 где T = 273 + t; 2) критическое давление определять по данным в справочном приложении.

Решение:

В новых условиях давление в резервуаре

q2=T2T1q1=88 кПа

Внешнее избыточное давление

Δq=q1-q2=12 кПа

Коэффициент k при заданном R/h, равном 667 по таблице справочного приложения, равен

k=0,66

Ответ: k = 0,66.

Задача #51167

Условие:

q1q2

При транспортировке летательного аппарата топливный отсек, схема которого представлена на рисунке, находится в наддутом состоянии. Оценить опасный (критический) перепад давления наддува (Δq)кр = q1 - q2 при котором возможна потеря устойчивости плоского промежуточного днища. Дано: E = 0,72 × 105 МПа, радиус сферы R = 2 м, толщина днища h = 4 мм.

Решение:

Расчетная (нижняя) критическая величина избыточного давления определяется по формуле

qкр=kEhR2

По таблице приложения для

Rh=500

получаем

k=0,24

Ответ: k = 0,24.