Пластинки и оболочки

Cтатистика главы
Количество разделов	8
Количество задач	92

Примеры решений задач

Данные примеры задач, относятся к предмету «Сопротивление материалов».

Задача #51111

Условие:

Свободная прямоугольная пластинка толщины h = 0,6 см изгибается моментами M_x = 600 Н × м/м, равномерно распределенными вдоль длинных краев, параллельных оси y. Определить максимальный крутящий момент в пластинке и наибольшие нормальные и касательные напряжения. Определить главные радиусы кривизны срединной поверхности пластинки. Материал пластинки — сталь (E = 2 × 10⁵ МПа, μ = 0,3).

Решение:

Свободная пластинка изогнется по поверхности двоякой кривизны. Каждая полоска пластинки, перпендикулярная оси y, изгибается под действием моментов M_x, как обычная балка. Напряжения

$σ_{x, m a x} = \frac{M_{x}}{W_{x}} = \frac{6 M_{x}}{1 \times h^{2}} = 10^{8} П а = 100 М П а$

В направлении оси y изгибающие моменты отсутствуют и

$σ_{y} = 0$

Наибольшие касательные напряжения

$τ_{m a x} = \frac{σ_{x, m a x} - σ_{y}}{2} = 50 М П а$

Наибольший крутящий момент

$K_{m a x} = τ_{m a x} \times \frac{1 \times h^{2}}{6} = 300 \frac{Н \times м}{м}$

Главные радиусы кривизны:

$ρ_{x} = \frac{E J}{M_{x}} = 6 м$

(выпуклость направлена вниз)

$ρ_{y} = \frac{E J}{μ M_{x}} = - 20 м$

(выпуклость вверх).

Ответ: ρ_x = 6 м; ρ_y = -20 м.

Задача #51112

Условие:

Свободная прямоугольная пластинка толщины h = 0,4 см изгибается равномерно распределенными вдоль ее краев моментами M_x = 300 Н × м/м и M_y = 100 Н × м/м. Определить наибольшие нормальные и касательные напряжения в пластинке и проверить ее прочность по энергетической теории прочности при допускаемом напряжении [σ] = 120 МПа.

Решение:

Напряжения:

$σ_{x, m a x} = \frac{6 M_{x}}{h^{2}} = 112,5 М П а$

$σ_{y, m a x} = \frac{6 M_{y}}{h^{2}} = 37,5 М П а$

$τ_{m a x} = \frac{σ_{x, m a x} - σ_{y, m a x}}{2} = 37,5 М П а$

Условие прочности по энергетической теории прочности выполняется

$σ_{э к в} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{{(σ_{1} - σ_{2})}^{2} + {(σ_{2} - σ_{3})}^{2} + {(σ_{3} - σ_{1})}^{2}} = 99 М П а < 120 М П а$

Ответ: σ_экв < [σ].

Задача #51113

Условие:

К двум параллельным краям прямоугольной пластинки толщины h = 0,5 см приложены равномерно распределенные моменты M_x = 250 Н × м/м. Определить погонную интенсивность моментов M_y которые требуется приложить к двум другим сторонам, чтобы аннулировать кривизну пластинки в направлении оси y. По какой поверхности в этом случае изогнется пластинка?

Определить максимальные нормальные и касательные напряжения и радиус кривизны ρ_x при одновременном действии моментов M_x и M_y, считая E = 7 × 10⁴ МПа, μ = 0,35.

Решение:

По условию

$\frac{1}{ρ_{y}} = \frac{μ M_{x}}{E J} = 0$

Отсюда

$M_{y} = μ M_{x} = 87,5 \frac{Н \times м}{м}$

Пластинка изогнется по цилиндрической поверхности с радиусом кривизны

$ρ_{x} = \frac{E J}{M_{x} - μ M_{y}} = 3,32 м$

Напряжения:

$σ_{x, m a x} = \frac{M_{x}}{W_{x}} = \frac{6 M_{x}}{h^{2}} = 60 М П а$

$σ_{y, m a x} = \frac{M_{y}}{W_{y}} = \frac{6 M_{y}}{h^{2}} = 21 М П а$

$τ_{m a x} = \frac{σ_{x, m a x} - σ_{y, m a x}}{2} = 19,5 М П а$

Ответ: не указан.

Задача #51114

Условие:

Прямоугольная пластинка толщины h под действием моментов M_x, M_y, равномерно распределенных вдоль ее краев, изогнулась по цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси y. Стрела прогиба пластинки f = 0,9 мм и направлена вверх. Определить наибольшие нормальные и касательные напряжения в пластинке. Дано: a = 24 см, b = 20 см, h = 0,6 см, E = 2 × 10⁵ МПа, μ = 0,25.

Решение:

Находим соотношение между стрелой f и радиусом кривизны пластины (см. рисунок):

$O A = ρ_{x}$

$O D = ρ_{x} - f$

$A D = \frac{a}{2} = 12 с м = 0,12 м$

$ρ_{x}^{2} = {(ρ_{x} - 9 \times 10^{- 4})}^{2} + {0,12}^{2}$

$ρ_{x} = 8 м$

С другой стороны

$ρ_{x} = \frac{E J}{M_{x} - μ M_{y}} = \frac{E h^{3}}{12 M_{x} (1 - μ^{2})}$

Отсюда

$M_{x} = 0,48 \frac{Н \times м}{м}$

$M_{y} = μ M_{x} = 0,12 \frac{Н \times м}{м}$

Напряжения:

$σ_{x, m a x} = \frac{6 M_{x}}{h^{2}} = 80 М П а$

$σ_{y, m a x} = \frac{6 M_{y}}{h^{2}} = 20 М П а$

Ответ: не указан.

Задача #51115

Условие:

Прямоугольная пластинка длины a = 20 см, ширины b = 10 см, толщины h = 0,2 см свободно оперта по длинным ребрам и подвергается равномерно распределенной нагрузке интенсивности p = 12,5 кПа. Определить наибольший прогиб f и наибольшие нормальные напряжения в пластинке, приняв E = 7,2 × 10⁴ МПа, μ = 0,34.

Решение:

Цилиндрическая жесткость пластинки

$D = \frac{E h^{3}}{12 (1 - μ^{2})} = 54,3 Н \times м$

Наибольший изгибающий момент (посередине пластинки)

$M_{x, m a x} = \frac{p b^{2}}{8} = 15,6 \frac{Н \times м}{м}$

Напряжение

$σ_{x, m a x} = \frac{6 M_{x, m a x}}{h^{2}} = 23,4 М П а$

Наибольший прогиб

$f = \frac{5}{384} \frac{p b^{4}}{D} = 0,3 м м$

Ответ: f = 0,3 мм.

Задача #51121

Условие:

а) Построить эпюру прогибов (v) и эпюры изгибающих моментов в радиальном (M₁) и окружном (M₂) направлениях для круглой пластинки толщины h = 1 мм и радиуса r = 5 см, жестко защемленной по краю и нагруженной равномерно распределенной поперечной нагрузкой интенсивности p = 10 кПа. Коэффициент Пуассона μ = 0,3. Модуль упругости E = 2,2 × 10⁵ МПа. б) Решить эту же задачу для пластинки, свободно опертой по краю.

Решение:

нет

Задача #51131

Условие:

Определить толщину пластинки h из условия устойчивости при сжатии силой Р = 30 кН, равномерно распределенной вдоль коротких краев. Пластинка шарнирно оперта по контуру. Дано: a = 35 см, b = 10 см, E = 2 × 10⁵ МПа, μ = 0,28, коэффициент запаса устойчивости n = 1,5.

Решение:

Критическое напряжение

$σ_{к} = \frac{P n}{b h} = \frac{4,5 \times 10^{5}}{h}$

Цилиндрическая жесткость пластины

$D = \frac{E h^{3}}{12 (1 - μ^{2})} = 1,8 \times 10^{10} h^{3} (1)$

При отношении длин сторон пластинки

$\frac{a}{b} = 3,5 > \sqrt{12}$

пластинка потеряет устойчивость с образованием m = 3 полуволн по длине. Поэтому

$k_{σ} = {(\frac{m b}{a} + \frac{a}{m b})}^{2} = 4,1$

Толщину пластинки находим из условия

$\frac{k_{σ} π^{2} D}{b^{2} h} = \frac{4,5 \times 10^{5}}{h}$

С учетом (1) отсюда

$h = 1,84 \times 10^{- 3} м = 1,84 м м$

Ответ: h = 1,84 мм.

Задача #51141

Условие:

Прямоугольная пластинка с размерами a = 40 см, b = 25 см, h = 0,4 см шарнирно оперта по контуру и нагружена по кромкам сдвигающими усилиями q. Определить критическое касательное напряжение, считая E = 7,2 × 10⁴ МПа, τ_пц = 120 МПа.

Решение:

Критическое касательное напряжения

$τ_{к} = \frac{0,9 k_{τ} E}{{(\frac{b}{h})}^{2}}$

Для случая шарнирного опирания всех краев пластинки

$k_{τ} = 5,35 + 4 {(\frac{b}{a})}^{2} = 6,9$

Получаем

$τ_{к} = 114 М П а$

Ответ: τ_к = 114 МПа.

Задача #51142

Условие:

Квадратная пластинка 30 × 30 см и толщины h = 0,2 см испытывает чистый сдвиг. Определить величину критического напряжения для случая жесткого защемления всех краев пластинки. Насколько уменьшатся критические напряжения, если края опереть шарнирно? Принять E = 2,1 × 10⁵ МПа.

Решение:

Для жесткого защемления краев пластинки

$k_{τ} = 9 + 5,6 {(\frac{b}{a})}^{2} = 14,6$

Критическое касательное напряжения

$τ_{к} = \frac{0,9 k_{τ} E}{{(\frac{b}{h})}^{2}} = 122,6 М П а$

Ответ: τ_к = 122,6 МПа.

Задача #51143

Условие:

Подкрепленная цилиндрическая оболочка испытывает действие крутящего момента M_к = 50 кН × м. Нервюры по длине оболочки располагаются с шагом 25 см. Определить максимальный шаг x стрингеров из условия устойчивости панелей оболочки, имеющей толщину h = 0,2 см. Дано: E = 7,2 × 10⁴ МПа, τ_пц = 200 МПа. Соединение панелей о подкрепляющими стержнями считать шарнирным.

Решение:

Касательные напряжения при кручении замкнутой оболочки

$τ = \frac{M_{к}}{ω_{к} h} = 104 М П а$

Шаг стрингеров находим из условий устойчивости пластинки длины 25 см и ширины x под действием касательных напряжений от крутящего момента

$k_{τ} = 5,35 + 4 {(\frac{x}{0,25})}^{2}$

$k_{к} = \frac{0,9 \times 7,2 \times 10^{10} \times 4 \times 10^{- 6}}{x^{2}} [5,35 + 4 {(\frac{x}{0,25})}^{2}] = 1,04 \times 10^{8} П а$

$x = 0,107 м$

Ответ: x = 0,107 м.

Задача #51144

Условие:

Тонкостенная прямоугольная панель, окаймленная жесткими ребрами, прикрепленными однорядным заклепочным швом, испытывает сдвиг под действием силы P. Определить допускаемую величину силы при запасе устойчивости n = 1,5. Толщина стенки h = 0,1 см, модуль упругости E = 2 × 10⁵ МПа, τ_пц = 250 МПа.

Решение:

Касательное напряжение в стенке панели

$τ = \frac{n P_{д о п}}{b h} = 4,17 \times 10^{3} P_{д о п} П а$

его следует приравнять критическому напряжению} определяемому по формуле

$τ_{к} = \frac{0,9 k_{τ} E}{{(\frac{b}{h})}^{2}}$

Получим

$k_{τ} = 5,99$

$P_{д о п} = 1,8 \times 10^{4} = 18 к Н$

Ответ: P_доп = 18 кН.

Задача #51151

Условие:

Определить допускаемую сжимающую силу из условия местной устойчивости для короткого тонкостенного стержня швеллерного сечения. Дано: коэффициент запаса устойчивости n = 2, E = 7,2 × 10⁴ МПа, μ = 0,3.

Решение:

Стенку швеллера, подкрепленную примыкающими к ней полками, следует рассматривать как длинную пластинку, шарнирно опертую по контуру.

$σ_{к} = \frac{3,6 E h^{2}}{b^{2}} = 72 М П а$

Полки рассматриваются как пластинки, шарнирно опертые по трем сторонам, с одним свободным краем. В этом случае

$k_{σ} = 0,45$

Тогда для полки

$σ_{к} = \frac{k_{σ} π^{2} D}{b^{2} h} = 46,7 М П а$

Критическая сила находится из условия потери устойчивости полок, имеющих меньшее критическое напряжение, чем стенка

$P_{к} = σ_{к} F = 46,7 \times 10^{6} \times (2 \times 2,5 \times 10^{- 2} + 6 \times 10^{- 2}) \times 10^{- 3} = 5140 Н = 5,14 к Н$

При заданном коэффициенте запаса допускаемая сила в два раза меньше критической.

Ответ: P_к = 5,14 кН.

Задача #51161

Условие:

Круговая цилиндрическая оболочка сжата осевой силой Р = 52 кН. Определить верхнее и расчетное (нижнее) значения критической силы и соответствующие им коэффициенты запаса устойчивости. Дано: E = 7 × 10⁴ МПа, толщина оболочки h = 0,1 см, радиус кривизны оболочки R = 20 см.

Решение:

Максимальное (верхнее) критическое напряжение

$σ_{к . m a x} = \frac{0,6 E h}{R} = 210 М П а$

Критическая сила

$P_{к . m a x} = 2 π R h σ_{к . m a x} = 264 к Н$

Минимальная (нижняя) критическая сила в три раза меньше.

Ответ: не указан.

Задача #51162

Условие:

Определить критическое внешнее давление p_кр для длинной цилиндрической оболочки радиуса R = 10 см, толщины h = 0,8 мм, считая E = 2,1 × 10⁵МПа, μ = 0,3, σ_пц = 250 МПа.

Решение:

Критическое давление

$p_{к} = \frac{E h^{3}}{(1 - μ^{2}) R^{3}} = 2,95 \times 10^{4} П а$

Ответ: p_к = 29,5 кПа.

Задача #51163

Условие:

Длинная цилиндрическая оболочка радиуса R = 40 см со стенкой толщиной h = 0,15 см закручивается моментами, приложенными по ее торцам.

Найти критическую величину крутящего момента и критические напряжения, если E = 7,2 × 10⁴ МПа, μ = 0,34, σ_пц = 120 МПа.

Решение:

Для длинной оболочки величина критического крутящего момента определяется по приближенной формуле

$M_{к} = \frac{π E}{2} \sqrt{R h^{5}} = 6,2 \times 10^{3} Н \times м = 6,2 к Н \times м$

Критическое напряжение

$τ_{к} = \frac{M_{к}}{W_{к}} = \frac{M_{к}}{2 π R^{2} h} = 4,1 М П а$

Ответ: M_к = 6,2 кН × м; τ_к = 4,1 МПа.

Задача #51164

Условие:

Длинная цилиндрическая оболочка радиуса R = 20 см со стенкой толщины h = 0,1 см сжата продольной силой N = 100 кН. Определить величину крутящего момента, который может дополнительно выдержать оболочка до потери устойчивости. Материал оболочки — сталь: E = 2,1 × 10⁵ МПа, μ = 0,25, σ_пц = 300 МПа, τ_пц = 160 МПа.

Решение:

Нижнее (минимальное) критическое напряжение при простом осевом сжатии оболочки

$σ_{к, 0} = \frac{0,2 E h}{R} = 210 М П а$

Критическое напряжение при кручении

$τ_{к, 0} = \frac{E}{4} {(\frac{h}{R})}^{\frac{3}{2}} = 18,6 М П а$

Критическая комбинация напряжений σ_к и τ_к при одновременном действии кручения и осевого сжатия должна удовлетворять условию

$\frac{σ_{к}}{σ_{к, 0}} + {(\frac{τ_{к}}{τ_{к, 0}})}^{3} = 1$

Тогда

$σ_{к} = \frac{N}{F} = \frac{N}{2 π R h} = 79,6 М П а$

$\frac{79,6}{210} + {(\frac{τ_{к}}{18,6})}^{3} = 1$

$τ_{к} = 15,9 М П а$

Искомый крутящий момент

$M_{к} = τ_{к} W_{к} = τ_{к} \times 2 π R^{2} h = 4 к Н \times м$

Ответ: M_к = 4 кН × м.

Задача #51165

Условие:

При сливе топлива из резервуара в случае неисправности дренажной системы возможна потеря устойчивости оболочки под действием внешнего давления. Определить толщину h верхнего сферического днища резервуара из условия глубокого разрежения. Радиус сферы R равен 4 м. Модуль упругости материала E = 7,2 × 10⁴ МПа. Перепад давления составляет 100 кПа; считать давление равномерно распределенным по всему днищу. Расчетное напряжение приближенно определять, как для полной сферической оболочки (см. приложения).

Решение:

В первом приближении принимаем отношение радиуса к толщине оболочки равным 500. При этом по справочной таблице приложения

$k = 0,24$

Из формулы

$q = k E {(\frac{h}{R})}^{2}$

находим

$h_{1} = 9,6 \times 10^{- 3} м$

Тогда

$\frac{R}{h_{1}} = 416$

Во втором приближении, принимая

$\frac{R}{h_{1}} = 416$

интерполируя, по таблице находим

$k = 0,26$

отсюда

$h_{2} = 9,1 \times 10^{- 3} м$

Продолжая расчет, получаем

$h_{3} \approx 9,3 м м$

Отметим, что, судя по расчету, назначение толщины верхнего днища из условия глубокого разрежения нерационально: необходима большая масса днища. Отсюда возникает требование повышения надежности дренажных систем.

Ответ: не указан.

Задача #51166

Условие:

Тонкостенный цилиндрический резервуар, выполненный из алюминиево-магниевого сплава (E = 7,2 × 10⁴ МПа), диаметра D = 2 м, длины L = 3 м и толщины h = 3 мм при закрытом клапане вывезен в холодное время года из хранилища, где поддерживались нормальные условия (q₁ = 100 кПа, T₁ = 288 К). Проверить устойчивость оболочки, если температура наружного воздуха t = -20 °С при q = 1 кПа.

Указания. 1) При постоянном объеме q₁/q₂ = T₁/T₂ где T = 273 + t; 2) критическое давление определять по данным в справочном приложении.

Решение:

В новых условиях давление в резервуаре

$q_{2} = \frac{T_{2}}{T_{1}} q_{1} = 88 к П а$

Внешнее избыточное давление

$Δ q = q_{1} - q_{2} = 12 к П а$

Коэффициент k при заданном R/h, равном 667 по таблице справочного приложения, равен

$k = 0,66$

Ответ: k = 0,66.

Задача #51167

Условие:

При транспортировке летательного аппарата топливный отсек, схема которого представлена на рисунке, находится в наддутом состоянии. Оценить опасный (критический) перепад давления наддува (Δq)_кр = q₁ - q₂ при котором возможна потеря устойчивости плоского промежуточного днища. Дано: E = 0,72 × 10⁵ МПа, радиус сферы R = 2 м, толщина днища h = 4 мм.

Решение:

Расчетная (нижняя) критическая величина избыточного давления определяется по формуле

$q_{к р} = k E {(\frac{h}{R})}^{2}$

По таблице приложения для

$\frac{R}{h} = 500$

получаем

$k = 0,24$

Ответ: k = 0,24.

Пластинки и оболочки

Содержание главы

Примеры решений задач

Задача #51111

Задача #51112

Задача #51113

Задача #51114

Задача #51115

Задача #51121

Задача #51131

Задача #51141

Задача #51142

Задача #51143

Задача #51144

Задача #51151

Задача #51161

Задача #51162

Задача #51163

Задача #51164

Задача #51165

Задача #51166

Задача #51167

Навигация по странице

Сборник задач

Смежные главы