ЗакладкиКорзинаЗаказы

Содержание главы

  1. Устойчивость стержней в пределах упругости
  2. Устойчивость за пределами упругости
  3. Расчет на устойчивость по строительным нормам
  4. Приближенные методы расчета стержневых систем
  5. Продольно-поперечный изгиб
  6. Расчеты на устойчивость в сложных случаях

Примеры решений задач

Данные примеры задач, относятся к предмету «Сопротивление материалов».

Задача #5711

Условие:

30001350015000 мм3000100

Кожух и сосуд вертикального цилиндрического резервуара установлены на четырех опорных колоннах. Резервуар имеет упоры, исключающие все перемещения сосуда, кроме осевых. Масса сосуда с залитым криопродуктом составляет M = 100 тонн. Для компенсации термических деформаций опорные колонны сосуда в верхней и нижней частях имеют сферические шарниры. Колонны выполнены из трубы диаметра 10 см.

Подобрать толщину колонн h из условия их устойчивости. Коэффициент неравномерности распределения весовых нагрузок по колоннам принять равным k = 2. Коэффициент запаса устойчивости принять nу = 1,5. Материал колонн — сталь, E = 2 × 105 МПа, σпц = 240 МПа.

Решение:

Определим максимальную реакцию в опорной колонне с учетом неравномерности весовых усилий по колонам

Rmax=2Mg4=0,48 МН

Примем ориентировочную толщину стенки колонны h = 1,2 см. Определим гибкость колонны λ, учитывая, что она теряет устойчивость как стержень, шарнирно опертый по торцам, и обозначая радиус тонкостенного сечения колонны через r (радиус инерции приближенно равен i = r√2, коэффициент приведения длины μ = 1)

λ=μli=μl2r=106

Предельная гибкость для применения формулы Эйлера

λ×=πEσ0,2=91<106

Следовательно, формула Эйлера применима. Находим

Pкр=π2EJμl2=0,525 МН

Но по условию усилие в колонне равно 0,48МН. Коэффициент запаса устойчивости, принятый равным 1,5, не обеспечен.

Определим необходимую толщину. Назначим

h2=1,5×10-2 м

h3=2×10-2 м

При этом получим значения критической нагрузки

Pкр2=0,65 МН

Pкр3=0,87 МН

Строим график зависимости nу(h) и находим, что коэффициенту nу = 1,5 отвечает толщина

hp=1,67×10-2 м

Ответ: не указан.

Задача #5712

Условие:

Определить величины критической силы и критического напряжения для сжатой стойки двутаврового поперечного сечения № 27. Оба конца стойки шарнирно оперты (шаровой шарнир). Длина стойки 4 м. Материал — сталь с пределом пропорциональности σп = 2000 кг/см2 и модулем упругости E = 2 × 106 кг/см2.

Решение:

Двутавр № 27 имеет геометрические характеристики:

F=40,2 см2

Jmin=Jy=260 см4

imin=iy=2,54 см

Гибкость стержня

λ=μlimin=1×4002,54=157,5>λпред=πEσп=3,14×2×1062×103=99,3

таким образом, применима формула Эйлера.

Критическое усилие равно

Pк=EJminπ2μl2=2×106×260×9,871×4002=32080 кг

Критическое напряжение

σк=PкF=3208040,2=798кгсм2

Ответ: Pк = 32080 кг; σк = 798 кг/см2.

Задача #5721

Условие:

Из условия устойчивости с помощью таблицы значений коэффициента снижения допускаемого напряжения φ определить размеры поперечного сечения деревянной стойки, нагруженной продольной сжимающей силой Р = 20 т. Один конец стойки оперт шарнирно, второй защемлен, длина ее l = 3 м; сечение стойки прямоугольное с отношением сторон h : b = 2 : 1. Основное допускаемое напряжение [σ] = 100 кг/см2.

Решение:

Выразим основные геометрические характеристики поперечного сечения и гибкость стойки через размер b. Имеем

F=bh=2b2

Jmin=hb312=b46

imin=JminF=b46×2b2=b23

λ=μlimin=0,7×300×2×3b=728b

Необходимую величину b найдем путем проб. Вначале ориентировочно принимаем, что φ = 0,5; тогда

F=Pφσ=200000,5×100=400 см2

b=F2=400214 см

При этом

λ=72814=52

φ=0,782

тогда

σу=φσ=0,782×100=78,2кгсм2>σдейст=PF=200002×142=51кгсм2

Сечение сильно недонапряжено.

Испробуем b = 12 см; теперь

λ=72812=60,7

φ=0,702

F=2×122=288 см2

σу=0,702×100=70,2кгсм2σдейст=PF=20000288=69,5кгсм2

Ответ: b = 12 см и h = 24 см.

Задача #5731

Условие:

Ø1600010000Ø600мм

Резервуар для хранения нефтепродуктов опирается на восемь колонн трубчатого сечения. Масса резервуара с залитым продуктом M = 3500 т. Длина опорной колонны l = 10 м, диаметр d = 0,6 м. Материал — сталь Ст. 3 с расчетным сопротивлением — пределом текучести σт = 200 МПа. Коэффициент неравномерности распределения усилий в колоннах kp = 2. По предварительным расчетам толщина колонны выбрана равной 35 мм. Проверить коэффициент запаса опорной конструкции из расчета на устойчивость (продольный изгиб), пользуясь таблицей коэффициентов φ уменьшения допускаемых напряжений. При определении номинального допускаемого напряжения коэффициент запаса по пределу текучести принять равным nт = 1,5. Проверить устойчивость опорной конструкции, считая минимальный коэффициент запаса равным 2.

Решение:

Номинальное допускаемое напряжение, найденное по пределу текучести, равно

σтnт=133 МПа

Общая нагрузка на восемь колонн равна (без учета перегрузки)

P=Mg=34,3×103 кН=34,3 МН

на одну колонну приходится сила

N=P8=4,3 МН

Если считать резервуар абсолютно жестким, то при общей потере устойчивости всех колонн нижний конец следует считать защемленным, а верхний — также защемленным, но получающим горизонтальное смещение, как показано на рисунке. При этом точку перегиба упругой линии можно считать расположенной посередине высоты, так что коэффициент приведения длины равен

μ=1

Радиус инерции сечения приближенно равен

i=r2

гибкость

λ=μli=46,8

По таблице коэффициентов φ продольного изгиба для стали с соответствующим расчетным сопротивлением находим

φ0,88

Допускаемое напряжение

σφ=121 МПа

соответствующая нагрузка

N=9 МН

Запас устойчивости равен

94,3=2,1

Проверим далее условно запас устойчивости отдельной колонны, считая, что резервуар в целом не смещается, но с учетом перегрузки. Так как возможный коэффициент неравномерности нагрузки равен 2, то на отдельную колонну может прийтись сила

2N=8,6 МН

При новых граничных условиях

μ=0,5

Гибкость оказывается равной

λ=23,4

Соответствующий коэффициент φ по таблице равен 0,96.

При этом

σφ=132 МПа

N=8,71 МН

запас устойчивости

8,714,3=2,03

Ответ: не указан.

Задача #5741

Условие:

Определить приближенное значение критической силы для стержня, шарнирно опертого по концам, при помощи энергетического метода, принимая упругую линию в виде а) параболы v = c(lx – x2); б) кривой прогиба балки под действием равномерно распределенной нагрузки v = c(l3x – 2lx3 + x4).

Решить ту же задачу по методу Бубнова — Галеркина. Сравнить результаты с точным решением, а также с решением по методу последовательных приближений, если исходные кривые определяются теми же уравнениями.

Решение:

При потере устойчивости сжимающая сила Р производит работу

A=PΔ

где

Δ=120lv2dx

Приращение потенциальной энергии деформации может быть представлено в виде

U=0lM2dx2EJ

где

M=Pv

Критическое значение силы находим из условия

U=A

для стержня постоянного сечения будем иметь

P=EJ0lv2dx0lv2dx 1

Потенциальная энергия может быть найдена с помощью выражения

U=120lEGv2dx

При этом критическая сила в случае постоянного сечения

P=EJ0lv2dx0lv2dx 2

Находим: по формуле (1)

Pкр=10EJl2

по формуле (2)

Pкр=12EJl2

Как видим использование формулы типа (1) заслуживает предпочтения, так как при этом ошибка по сравнению с точным значением получается лишь около 1,3 % вместо 21 % по формуле (2).

Уравнение метода Бубнова — Галеркина при

v=Cηx

получает вид

0lEJη+Pηηdx=0

Подставляя

η=lx-x2

и производя интегрирование, приходим к результату, полученному по формуле (1).

Ответ: не указан.

Задача #5742

Условие:

dlyxPPGJкGJ

Балка длины l, жесткости на изгиб EJ сжата силами Р. Поворот каждого из концов балки вызывает закручивание поперечной балки длины d и крутильной жесткости GJк. Определить критическую сжимающую силу, представив ее в виде Pкр = mπ2EJ/l2 и найдя зависимость коэффициента m от параметра c = GJкl/(EJdπ2). Рассмотреть предельные случаи c = 0 и c = ∞. Решить задачу приближенно, пользуясь энергетическим методом. Упругую линию балки представить в виде

v = f1 sin(πx/l) + f2(1 – cos(2πx/l))

где f1 и f2 — независимые величины.

Решение:

Потенциальная энергия изгиба продольной балки

U=12EJ0lv2dx

После вычислений получаем

U1=π2EJ2l4f12l2+16l3πf1f2+8lf22

Потенциальная энергия кручения поперечных балок

U2=GJк2dvX=0

или

U2=GJкdf12π2l2

Работа сжимающих сил при потере устойчивости

A=12Plv2dx

или

A=π2P2l2f12l2+f1f216l3π+f222l

Составляем уравнения

fiU1+U2-A=0 i=1,2

После преобразований получаем уравнения, содержащие f1 и f2; приравниваем нулю определителе составленный из коэффициентов при f1 и f2 в этих уравнениях.

Ответ: не указан.

Задача #5743

Условие:

Plxy

Упругий стержень диаметра 16 мм шарнирно оперт по концам. Одна из опор является неподвижной, а вторая — упругой. Жесткость упругой опоры равна c Н/м. Определить критическую нагрузку Pкр при E = 0,7 × 105 МПа. Найти минимальное значение жесткости упругой опоры c0 («критическую жесткость»), при которой в момент потери устойчивости упругая опора не получает перемещений и может рассматриваться как абсолютно жесткая.

Решение:

Дифференциальное уравнение упругой линии записываем в виде

vIV+k2v=0

где

k2=PEJ

Общий интеграл этого уравнения

v=A+Bx+Ccoskx+Dsinkx

Используем граничные условия

y0=0

y0=0

а также соотношения между реакцией упругой опоры и осадкой опоры

N=cvl

С другой стороны, поперечная

Q=-Ejv

а для проекции силы Р на плоскость поперечного сечения получаем выражение

Pvl

Отсюда

N=EJvl+Pvl

Из полученной системы уравнений определяем критическую силу.

Ответ: не указан.

Задача #5744

Условие:

Ev,JvPEd,FdABDα=30°l

Вертикальный стальной стержень BD, сжимаемый силой P, оперт в точке B, а в точке D шарнирно присоединен к двум дюралевым тягам. Площадь поперечного сечения стержня BD Fv = 30 см2; момент инерции сечения относительно оси, перпендикулярной к плоскости рисунка, Jv = 120 см4; длина l = 1,2 м, модуль упругости, стали Ev = 2,2 × 105 МПа, предел упругости σу = 700 МПа. Площадь поперечного сечения тяги Fd = 0,6 см2, модуль упругости дюраля Ed = 0,7 × 105 МПа. Гибкость тяг настолько велика, что они работают только на растяжение. Тяги следует считать присоединенными к стержню уже после приложения сжимающей нагрузки. Перемещение стержня из общей с тягами плоскости исключено. Определить критическое значение силы Р, при которой произойдет опрокидывание сжатого стержня, сравнить с величиной эйлеровой нагрузки при продольном изгибе на длине BD.

Решение:

Пусть при потере устойчивости точка D переместится в D1 (см. рисунок); обозначим горизонтальную проекцию перемещения через δ, вертикальную — через δ1, удлинение тяги — через δ2. Из рисунка имеем

δcosα=δ1sinα+δ2

Растягивающее усилие, возникающее в тяге при перемещении точки D в D1, обозначим через X. Тогда

δ2=XldEdFd

где ld — длина тяги.

Приращение сжимающей силы в вертикальном стержне при потере устойчивости обозначим через X1, очевидно,

X1=Xcosα

Зная, что

δ1=X1lEvFv

и

l=ldsinα

получим

X=EdFdδcosαld1+EdFdEvFvsin-1α

Условие равновесия шарнира D в проекциях на горизонтальную ось (при отклонении δ)

Xcosα=Pδl

Сравнивая эти соотношения, находим критическую силу, отвечающую «опрокидыванию» конструкции. Проверяем, находится ли критическое напряжение в пределах упругости.

Ответ: не указан.

Задача #5745

Условие:

vlPstr1xP

В конструкции, состоящей из круговой цилиндрической обшивки и часто расставленных ребер, каждое ребро подвергается действию сжимающей силы Р. Определить критическую силу Pкр для ребра с учетом влияния обшивки, если все ребра прогибаются одинаково и при этом в радиальном направлении. Обшивка является для ребра как бы упругим основанием; при определении реактивной погонной нагрузки принять во внимание лишь растяжение обшивки в направлении дуги, вызываемое прогибом ребра.

Расстояние между соседними ребрами, измеренное по дуге, равное, толщина обшивки t. Концы ребер оперты шарнирно. Зависимость между напряжениями в обшивке, действующими по дуге, и соответствующей деформацией определяется модулем Е.

Решение:

Прогиб ребра в радиальном направлении на величину v вызывает деформацию обшивки вдоль дуги, равную

ε=vr

соответствующее напряжение

σ=E1vr

Погонное давление со стороны обшивки на каждое ребро составит

qx=E1vrtrs

Дифференциальное уравнение упругой линии ребра имеет вид

EJvIV+Pv=αv=0

где

α=E1str2

ось x направлена вдоль образующей. Корни характеристического уравнения λ1, ..., λ2 оказываются мнимыми; полагая

λ1,2=±im

и

λ3,4=±in

записываем решение в виде

v=C1sinmx+C2cosmx+C3sinnx+C4cosnx

Пользуясь граничными условиями, приходим к системе уравнений относительно постоянных C1, ..., C4, из которой определяем критическую силу.

Ответ: не указан.