Устойчивость стержней и стержневых систем

Cтатистика главы
Количество разделов	6
Количество задач	153

Примеры решений задач

Данные примеры задач, относятся к предмету «Сопротивление материалов».

Задача #5711

Условие:

Кожух и сосуд вертикального цилиндрического резервуара установлены на четырех опорных колоннах. Резервуар имеет упоры, исключающие все перемещения сосуда, кроме осевых. Масса сосуда с залитым криопродуктом составляет M = 100 тонн. Для компенсации термических деформаций опорные колонны сосуда в верхней и нижней частях имеют сферические шарниры. Колонны выполнены из трубы диаметра 10 см.

Подобрать толщину колонн h из условия их устойчивости. Коэффициент неравномерности распределения весовых нагрузок по колоннам принять равным k = 2. Коэффициент запаса устойчивости принять n_у = 1,5. Материал колонн — сталь, E = 2 × 10⁵ МПа, σ_пц = 240 МПа.

Решение:

Определим максимальную реакцию в опорной колонне с учетом неравномерности весовых усилий по колонам

$R_{m a x} = \frac{2 M g}{4} = 0,48 М Н$

Примем ориентировочную толщину стенки колонны h = 1,2 см. Определим гибкость колонны λ, учитывая, что она теряет устойчивость как стержень, шарнирно опертый по торцам, и обозначая радиус тонкостенного сечения колонны через r (радиус инерции приближенно равен i = r√2, коэффициент приведения длины μ = 1)

$λ = \frac{μ l}{i} = \frac{μ l \sqrt{2}}{r} = 106$

Предельная гибкость для применения формулы Эйлера

$λ_{\times} = π \sqrt{\frac{E}{σ_{0,2}}} = 91 < 106$

Следовательно, формула Эйлера применима. Находим

$P_{к р} = \frac{π^{2} E J}{{(μ l)}^{2}} = 0,525 М Н$

Но по условию усилие в колонне равно 0,48МН. Коэффициент запаса устойчивости, принятый равным 1,5, не обеспечен.

Определим необходимую толщину. Назначим

$h_{2} = 1,5 \times 10^{- 2} м$

$h_{3} = 2 \times 10^{- 2} м$

При этом получим значения критической нагрузки

$P_{к р 2} = 0,65 М Н$

$P_{к р 3} = 0,87 М Н$

Строим график зависимости n_у(h) и находим, что коэффициенту n_у = 1,5 отвечает толщина

$h_{p} = 1,67 \times 10^{- 2} м$

Ответ: не указан.

Задача #5712

Условие:

Определить величины критической силы и критического напряжения для сжатой стойки двутаврового поперечного сечения № 27. Оба конца стойки шарнирно оперты (шаровой шарнир). Длина стойки 4 м. Материал — сталь с пределом пропорциональности σ_п = 2000 кг/см² и модулем упругости E = 2 × 10⁶ кг/см².

Решение:

Двутавр № 27 имеет геометрические характеристики:

$F = 40,2 с м^{2}$

$J_{m i n} = J_{y} = 260 с м^{4}$

$i_{m i n} = i_{y} = 2,54 с м$

Гибкость стержня

$λ = \frac{μ l}{i_{m i n}} = \frac{1 \times 400}{2,54} = 157,5 > λ_{п р е д} = π \sqrt{\frac{E}{σ_{п}}} = 3,14 \times \sqrt{\frac{2 \times 10^{6}}{2 \times 10^{3}}} = 99,3$

таким образом, применима формула Эйлера.

Критическое усилие равно

$P_{к} = \frac{E J_{m i n} π^{2}}{{(μ l)}^{2}} = \frac{2 \times 10^{6} \times 260 \times 9,87}{{(1 \times 400)}^{2}} = 32080 к г$

Критическое напряжение

$σ_{к} = \frac{P_{к}}{F} = \frac{32080}{40,2} = 798 \frac{к г}{с м^{2}}$

Ответ: P_к = 32080 кг; σ_к = 798 кг/см².

Задача #5721

Условие:

Из условия устойчивости с помощью таблицы значений коэффициента снижения допускаемого напряжения φ определить размеры поперечного сечения деревянной стойки, нагруженной продольной сжимающей силой Р = 20 т. Один конец стойки оперт шарнирно, второй защемлен, длина ее l = 3 м; сечение стойки прямоугольное с отношением сторон h : b = 2 : 1. Основное допускаемое напряжение [σ] = 100 кг/см².

Решение:

Выразим основные геометрические характеристики поперечного сечения и гибкость стойки через размер b. Имеем

$F = b h = 2 b^{2}$

$J_{m i n} = \frac{h b^{3}}{12} = \frac{b^{4}}{6}$

$i_{m i n} = \sqrt{\frac{J_{m i n}}{F}} = \sqrt{\frac{b^{4}}{6 \times 2 b^{2}}} = \frac{b}{2 \sqrt{3}}$

$λ = \frac{μ l}{i_{m i n}} = \frac{0,7 \times 300 \times 2 \times \sqrt{3}}{b} = \frac{728}{b}$

Необходимую величину b найдем путем проб. Вначале ориентировочно принимаем, что φ = 0,5; тогда

$F = \frac{P}{φ [σ]} = \frac{20000}{0,5 \times 100} = 400 с м^{2}$

$b = \sqrt{\frac{F}{2}} = \sqrt{\frac{400}{2}} \approx 14 с м$

При этом

$λ = \frac{728}{14} = 52$

$φ = 0,782$

тогда

$[σ_{у}] = φ [σ] = 0,782 \times 100 = 78,2 \frac{к г}{с м^{2}} > σ_{д е й с т} = \frac{P}{F} = \frac{20000}{2 \times 14^{2}} = 51 \frac{к г}{с м^{2}}$

Сечение сильно недонапряжено.

Испробуем b = 12 см; теперь

$λ = \frac{728}{12} = 60,7$

$φ = 0,702$

$F = 2 \times 12^{2} = 288 с м^{2}$

$[σ_{у}] = 0,702 \times 100 = 70,2 \frac{к г}{с м^{2}} \approx σ_{д е й с т} = \frac{P}{F} = \frac{20000}{288} = 69,5 \frac{к г}{с м^{2}}$

Ответ: b = 12 см и h = 24 см.

Задача #5731

Условие:

Резервуар для хранения нефтепродуктов опирается на восемь колонн трубчатого сечения. Масса резервуара с залитым продуктом M = 3500 т. Длина опорной колонны l = 10 м, диаметр d = 0,6 м. Материал — сталь Ст. 3 с расчетным сопротивлением — пределом текучести σ_т = 200 МПа. Коэффициент неравномерности распределения усилий в колоннах k_p = 2. По предварительным расчетам толщина колонны выбрана равной 35 мм. Проверить коэффициент запаса опорной конструкции из расчета на устойчивость (продольный изгиб), пользуясь таблицей коэффициентов φ уменьшения допускаемых напряжений. При определении номинального допускаемого напряжения коэффициент запаса по пределу текучести принять равным n_т = 1,5. Проверить устойчивость опорной конструкции, считая минимальный коэффициент запаса равным 2.

Решение:

Номинальное допускаемое напряжение, найденное по пределу текучести, равно

$\frac{σ_{т}}{n_{т}} = 133 М П а$

Общая нагрузка на восемь колонн равна (без учета перегрузки)

$P = M g = 34,3 \times 10^{3} к Н = 34,3 М Н$

на одну колонну приходится сила

$N = \frac{P}{8} = 4,3 М Н$

Если считать резервуар абсолютно жестким, то при общей потере устойчивости всех колонн нижний конец следует считать защемленным, а верхний — также защемленным, но получающим горизонтальное смещение, как показано на рисунке. При этом точку перегиба упругой линии можно считать расположенной посередине высоты, так что коэффициент приведения длины равен

$μ = 1$

Радиус инерции сечения приближенно равен

$i = \frac{r}{\sqrt{2}}$

гибкость

$λ = \frac{μ l}{i} = 46,8$

По таблице коэффициентов φ продольного изгиба для стали с соответствующим расчетным сопротивлением находим

$φ \approx 0,88$

Допускаемое напряжение

${[σ]}_{φ} = 121 М П а$

соответствующая нагрузка

$[N] = 9 М Н$

Запас устойчивости равен

$\frac{9}{4,3} = 2,1$

Проверим далее условно запас устойчивости отдельной колонны, считая, что резервуар в целом не смещается, но с учетом перегрузки. Так как возможный коэффициент неравномерности нагрузки равен 2, то на отдельную колонну может прийтись сила

$2 N = 8,6 М Н$

При новых граничных условиях

$μ = 0,5$

Гибкость оказывается равной

$λ = 23,4$

Соответствующий коэффициент φ по таблице равен 0,96.

При этом

${[σ]}_{φ} = 132 М П а$

$[N] = 8,71 М Н$

запас устойчивости

$\frac{8,71}{4,3} = 2,03$

Ответ: не указан.

Задача #5741

Условие:

Определить приближенное значение критической силы для стержня, шарнирно опертого по концам, при помощи энергетического метода, принимая упругую линию в виде а) параболы v = c(lx – x²); б) кривой прогиба балки под действием равномерно распределенной нагрузки v = c(l³x – 2lx³ + x⁴).

Решить ту же задачу по методу Бубнова — Галеркина. Сравнить результаты с точным решением, а также с решением по методу последовательных приближений, если исходные кривые определяются теми же уравнениями.

Решение:

При потере устойчивости сжимающая сила Р производит работу

$A = P Δ$

где

$Δ = \frac{1}{2} \int_{0}^{l} {(v^{’})}^{2} d x$

Приращение потенциальной энергии деформации может быть представлено в виде

$U = \int_{0}^{l} \frac{M^{2} d x}{2 E J}$

где

$M = P v$

Критическое значение силы находим из условия

$U = A$

для стержня постоянного сечения будем иметь

$P = E J \frac{\int_{0}^{l} {(v^{’})}^{2} d x}{\int_{0}^{l} v^{2} d x} (1)$

Потенциальная энергия может быть найдена с помощью выражения

$U = \frac{1}{2} \int_{0}^{l} E G v^{’ ’ 2} d x$

При этом критическая сила в случае постоянного сечения

$P = E J \frac{\int_{0}^{l} v^{’ ’ 2} d x}{\int_{0}^{l} v^{’ 2} d x} (2)$

Находим: по формуле (1)

$P_{к р} = \frac{10 E J}{l^{2}}$

по формуле (2)

$P_{к р} = \frac{12 E J}{l^{2}}$

Как видим использование формулы типа (1) заслуживает предпочтения, так как при этом ошибка по сравнению с точным значением получается лишь около 1,3 % вместо 21 % по формуле (2).

Уравнение метода Бубнова — Галеркина при

$v = C η (x)$

получает вид

$\int_{0}^{l} (E J η^{’ ’} + P η) η d x = 0$

Подставляя

$η = l x - x^{2}$

и производя интегрирование, приходим к результату, полученному по формуле (1).

Ответ: не указан.

Задача #5742

Условие:

Балка длины l, жесткости на изгиб EJ сжата силами Р. Поворот каждого из концов балки вызывает закручивание поперечной балки длины d и крутильной жесткости GJ_к. Определить критическую сжимающую силу, представив ее в виде P_к_р = mπ²EJ/l² и найдя зависимость коэффициента m от параметра c = GJ_кl/(EJdπ²). Рассмотреть предельные случаи c = 0 и c = ∞. Решить задачу приближенно, пользуясь энергетическим методом. Упругую линию балки представить в виде

v = f₁ sin(πx/l) + f₂(1 – cos(2πx/l))

где f₁ и f₂ — независимые величины.

Решение:

Потенциальная энергия изгиба продольной балки

$U = \frac{1}{2} E J \int_{0}^{l} v^{’ ’ 2} d x$

После вычислений получаем

$U_{1} = \frac{π^{2} E J}{2 l^{4}} (f_{1}^{2} \frac{l}{2} + \frac{16 l}{3 π} f_{1} f_{2} + 8 l f_{2}^{2})$

Потенциальная энергия кручения поперечных балок

$U_{2} = \frac{G J_{к}}{2 d} (v_{X = 0}^{’})$

или

$U_{2} = \frac{G J_{к}}{d} \frac{f_{1}^{2} π^{2}}{l^{2}}$

Работа сжимающих сил при потере устойчивости

$A = \frac{1}{2} P \int_{}^{l} v^{’ 2} d x$

или

$A = \frac{π^{2} P}{2 l^{2}} (f_{1}^{2} \frac{l}{2} + f_{1} f_{2} \frac{16 l}{3 π} + f_{2}^{2} 2 l)$

Составляем уравнения

$\frac{\partial}{\partial f_{i}} (U_{1} + U_{2} - A) = 0 (i = 1,2)$

После преобразований получаем уравнения, содержащие f₁ и f₂; приравниваем нулю определителе составленный из коэффициентов при f₁ и f₂ в этих уравнениях.

Ответ: не указан.

Задача #5743

Условие:

Упругий стержень диаметра 16 мм шарнирно оперт по концам. Одна из опор является неподвижной, а вторая — упругой. Жесткость упругой опоры равна c Н/м. Определить критическую нагрузку P_кр при E = 0,7 × 10⁵ МПа. Найти минимальное значение жесткости упругой опоры c₀ («критическую жесткость»), при которой в момент потери устойчивости упругая опора не получает перемещений и может рассматриваться как абсолютно жесткая.

Решение:

Дифференциальное уравнение упругой линии записываем в виде

$v^{I V} + k^{2} v^{’ ’} = 0$

где

$k^{2} = \frac{P}{E J}$

Общий интеграл этого уравнения

$v = A + B x + C \cos k x + D \sin k x$

Используем граничные условия

$y (0) = 0$

$y^{’ ’} (0) = 0$

а также соотношения между реакцией упругой опоры и осадкой опоры

$N = c v (l)$

С другой стороны, поперечная

$Q = - E j v^{’ ’ ’}$

а для проекции силы Р на плоскость поперечного сечения получаем выражение

$P v^{’} (l)$

Отсюда

$N = E J v^{’ ’ ’} (l) + P v^{’} (l)$

Из полученной системы уравнений определяем критическую силу.

Ответ: не указан.

Задача #5744

Условие:

Вертикальный стальной стержень BD, сжимаемый силой P, оперт в точке B, а в точке D шарнирно присоединен к двум дюралевым тягам. Площадь поперечного сечения стержня BD F_v = 30 см²; момент инерции сечения относительно оси, перпендикулярной к плоскости рисунка, J_v = 120 см⁴; длина l = 1,2 м, модуль упругости, стали E_v = 2,2 × 10⁵ МПа, предел упругости σ_у = 700 МПа. Площадь поперечного сечения тяги F_d = 0,6 см², модуль упругости дюраля E_d = 0,7 × 10⁵ МПа. Гибкость тяг настолько велика, что они работают только на растяжение. Тяги следует считать присоединенными к стержню уже после приложения сжимающей нагрузки. Перемещение стержня из общей с тягами плоскости исключено. Определить критическое значение силы Р, при которой произойдет опрокидывание сжатого стержня, сравнить с величиной эйлеровой нагрузки при продольном изгибе на длине BD.

Решение:

Пусть при потере устойчивости точка D переместится в D₁ (см. рисунок); обозначим горизонтальную проекцию перемещения через δ, вертикальную — через δ₁, удлинение тяги — через δ₂. Из рисунка имеем

$δ \cos α = δ_{1} \sin α + δ_{2}$

Растягивающее усилие, возникающее в тяге при перемещении точки D в D₁, обозначим через X. Тогда

$δ_{2} = \frac{X l_{d}}{E_{d} F_{d}}$

где l_d — длина тяги.

Приращение сжимающей силы в вертикальном стержне при потере устойчивости обозначим через X₁, очевидно,

$X_{1} = X \cos α$

Зная, что

$δ_{1} = \frac{X_{1} l}{E_{v} F_{v}}$

$l = l_{d} \sin α$

получим

$X = \frac{E_{d} F_{d} δ \cos α}{l_{d} (1 + \frac{E_{d} F_{d}}{E_{v} F_{v}} \sin^{- 1} α)}$

Условие равновесия шарнира D в проекциях на горизонтальную ось (при отклонении δ)

$X \cos α = \frac{P δ}{l}$

Сравнивая эти соотношения, находим критическую силу, отвечающую «опрокидыванию» конструкции. Проверяем, находится ли критическое напряжение в пределах упругости.

Ответ: не указан.

Задача #5745

Условие:

В конструкции, состоящей из круговой цилиндрической обшивки и часто расставленных ребер, каждое ребро подвергается действию сжимающей силы Р. Определить критическую силу P_кр для ребра с учетом влияния обшивки, если все ребра прогибаются одинаково и при этом в радиальном направлении. Обшивка является для ребра как бы упругим основанием; при определении реактивной погонной нагрузки принять во внимание лишь растяжение обшивки в направлении дуги, вызываемое прогибом ребра.

Расстояние между соседними ребрами, измеренное по дуге, равное, толщина обшивки t. Концы ребер оперты шарнирно. Зависимость между напряжениями в обшивке, действующими по дуге, и соответствующей деформацией определяется модулем Е.

Решение:

Прогиб ребра в радиальном направлении на величину v вызывает деформацию обшивки вдоль дуги, равную

$ε = \frac{v}{r}$

соответствующее напряжение

$σ = \frac{E_{1} v}{r}$

Погонное давление со стороны обшивки на каждое ребро составит

$q_{x} = E_{1} \frac{v}{r} \frac{t}{r} s$

Дифференциальное уравнение упругой линии ребра имеет вид

$E J v^{I V} + P v^{’ ’} = α v = 0$

где

$α = \frac{E_{1} s t}{r^{2}}$

ось x направлена вдоль образующей. Корни характеристического уравнения λ₁, ..., λ₂ оказываются мнимыми; полагая

$λ_{1,2} = \pm i m$

$λ_{3,4} = \pm i n$

записываем решение в виде

$v = C_{1} \sin m x + C_{2} \cos m x + C_{3} \sin n x + C_{4} \cos n x$

Пользуясь граничными условиями, приходим к системе уравнений относительно постоянных C₁, ..., C₄, из которой определяем критическую силу.

Ответ: не указан.

Устойчивость стержней и стержневых систем

Содержание главы

Примеры решений задач

Задача #5711

Задача #5712

Задача #5721

Задача #5731

Задача #5741

Задача #5742

Задача #5743

Задача #5744

Задача #5745

Навигация по странице

Сборник задач

Смежные главы