ЗакладкиКорзинаЗаказы

Оглавление раздела

  1. Тела с одномерным температурным полем
  2. Тела конечных размеров
  3. Расчет отданной (воспринятой) теплоты
  4. Регулярный режим охлаждения (нагревания) тел

Примеры решений задач

Данные примеры задач, относятся к предмету «Тепломассообмен».

Задача 1-4-1-1

Условие:

Пластина толщиной 2δ0 = 20 мм, нагретая до t0 = 150 ℃, помещена в воздушную среду для охлаждения. Температура воздуха tж = 20 ℃. Коэффициенты теплопроводности и температуропроводности равны соответственно λ = 0,175 Вт/(м × К) и a = 0,833 × 10–7 м2/с. Коэффициент теплоотдачи от поверхности пластины к воздуху α = 70 Вт/(м2 × К). Определить температуры в трех точках: x = 0; x = 0,5δ0; x = δ0 в момент времени τ = 20 мин.

Решение:

Число Био:

Bi=αδ0λ=70×0,010,175=4,0

Число Фурье:

Fo=aτ×60δ02=0,833×10-7×20×600,012=1,0

По справочной таблице находим:

μ1=fBi=1,2646

D1=fBi=1,229

Искомые безразмерные температуры:

Θ=D1cosμ1Xe-μ12Fо=

=1,229×cos1,2646×X×2,72-1,26462×1,0=0,2483cos1,2646X

ΘX=0=0,2483×cos1,2646×0=0,2483

ΘX=0,5=0,2483×cos1,2646×0,5=0,2003

ΘX=1,0=0,2483×cos1,2646×1=0,0748

Тогда

tx=0=tж+t0-tжΘX=0=20+150-20×0,2483=52,28 

tx=0,5δ0=tж+t0-tжΘX=0,5=20+150-20×0,2003=46,04 

tx=δ0=tж+t0-tжΘX=1,0=20+150-20×0,0748=29,72 

Ответ: tx=0 = 52,28 ℃; tx=0,5δ0 = 46,04 ℃; tx0 = 29,72 ℃.

Задача 1-4-1-2

Условие:

Начальная температура листа стали (его толщина 10 мм) t0 = 100 ℃. Физические свойства стали: λ = 45 Вт/(м × К); ρ = 7900 кг/м3; cp = 0,46 кДж/(кг × К). Найдите температуру листа через 1 мин после начала охлаждения в воздухе и в воде. Для воздуха α = 5 Вт/(м2 × К), для воды α = 500 Вт/(м2 × К). И в том, и в другом случае tж = 20 ℃.

Решение:

Коэффициент температуропроводности стали:

a=λcpρ=450,46×103×7900=1,24×10-5м2с

Число Био для листа толщиной 2δ0:

- в воздухе

Bi1=αδ0λ=5×0,00545=0,000555

- в воде

Bi2=αδ0λ=500×0,00545=0,0555

Так как Bi1 << 1 и Bi2 << 1, то в двух случаях в любой момент времени температура будет одинакова во всех точках листа.

Число Фурье:

Fo=aτ×60δ02=1,24×10-5×1×600,0052=30

Найдем безразмерные температуры в заданный момент времени при охлаждении:

- в воздухе

Θ1=exp-Bi1Fo=exp-0,000555×30=0,983

- в воде

Θ2=exp-Bi1Fo=exp-0,0555×30=0,189

Температура листа:

- в воздухе

t1=tж+Θ1t0-tж=20+0,983×100-20=98,6 

- в воде

t2=tж+Θ1t0-tж=20+0,189×100-20=35,1 

Ответ: t1 = 98,6 ℃; t2 = 35,1 ℃.

Задача 1-4-1-3

Условие:

Внутренняя часть ограждения промышленной печи выполнена из огнеупорного материала (шамотного кирпича), а внешняя представляет собой тепловую изоляцию. Толщина огнеупора δ = 250 мм. Его физические свойства следующие: λ = 1,6 Вт/(м × К); a = 3,5 × 10–7 м2/с. Температура огнеупора и температура в печи t0 = 20 ℃. Найдите температуры внутренней и внешней поверхностей огнеупора через 10 ч после того, как температура газов в печи скачком возрастет до 1000 ℃. Коэффициент теплоотдачи от газов к стенке α = 32 Вт/( м2 × К). Условно считайте, что через внешнюю поверхность огнеупора тепловой поток отсутствует.

Решение:

Число Фурье:

Fo=aτ×3600δ2=3,5×10-7×10×36000,252=0,202

Число Био:

Bi=αδλ=32×0,251,6=5,0

Так как Fo < 0,3, то для расчета температур необходимо взять несколько членов суммы рядов.

Находим:

μ1=fBi=1,3138

μ2=fBi=4,0336

μ3=fBi=6,9096

Тогда коэффициенты:

Dn=2sinμnμn+sinμncosμn

D1=2×sin1,31381,3138+sin1,3138×cos1,3138=1,240

D2=2×sin4,03364,0336+sin4,0336×cos4,0336=-0,3442

D3=2×sin6,90966,9096+sin6,9096×cos6,9096=0,1587

Найдем безразмерные температуры на внешней (X = 0) и внутренней (X = 1) поверхностях:

ΘX=0=D1exp-μ12Fo+D2exp-μ12Fo+D3exp-μ12Fo

ΘX=0=1,240exp-1,31382×0,202+

+0,3442exp-4,03362×0,202+0,1587exp-6,90962×0,202=0,862

ΘX=1=D1cosμ1Xexp-μ12Fo+D2cosμ2Xexp-μ12Fo+D3cosμ3Xexp-μ12Fo

ΘX=1=0,8750cos1,3138-0,0128cos4,0336=0,2304

Определяем искомые температуры:

tx=δ=tж-ΘX=1tж-t0=1000-0,2304×1000-20=772 

tx=0=tж-ΘX=0tж-t0=1000-0,8622×1000-20=155 

Ответ: tx= δ = 772 ℃; tx=0 = 155 ℃.

Задача 1-4-1-4

Условие:

В печь с температурой газов tж = 800 ℃ помещен длинный стальной вал диаметром 120 мм. Физические свойства стали таковы: λ = 42 Вт/(м × К); а = 1,22 × 10–5 м2/с. Начальная температура вала t0 = 30 ℃. В процессе нагревания вала α = 140 Вт/(м2 × К). Определите время, по истечении которого температура на оси вала станет равной 780 ℃.

Решение:

Число Био:

Bi=αr0λ=140×0,0642=0,2

По справочной таблице находим:

μ1=fBi=0,6170

Функция Бесселя первого рода нулевого и первого порядков:

J0μ1=J00,6170=0,9071

J1μ1=J10,6170=0,2941

Вычисляем:

D1=2J1μ1μ1J02μ1+J12μ1=2×0,29410,6170×0,90712+0,29412=1,048

В заданный момент времени безразмерная температура на оси вала:

ΘR=0=tоси-tжt0-tж=780-80030-800=0,026

ΘR=0=D1exp-μ12Fo

Отсюда найдем число Фурье:

Fo=lnΘR=0D1-μ12=ln0,0261,048-0,61702=0,97045

Искомое время нагревания вала:

τ=For023600a=9,7045×0,0623600×1,22×10-5=0,795 ч

Ответ: τ = 0,795 ч.

Задача 1-4-1-5

Условие:

Стальная плита неограниченной протяженности толщиной 200 мм, равномерно прогретая до температуры t0 = 250 ℃, помещена в воздушную среду с температурой tж = 15 ℃; коэффициент теплоотдачи на поверхностях плиты α равен 30 Вт/(м2 × К), теплопроводность материала плиты λ = 45 Вт/(м × К), коэффициент температуропроводности a = 1,25 × 10-5 м2/с.

Определить температуры в середине и на поверхности плиты через 1 ч после начала охлаждения.

Для условия данной задачи определить температуру на расстоянии 50 мм от середины плиты.

Решение:

Для заданных условий рассчитываем определяющие критерии:

Bi=αδλ=30×0,145=0,07

Fo=aτδ2=1,2×10-5×36000,12=4,5

С помощью номограмм находим значения безразмерных температур в середине плиты и на ее поверхности:

θx=0=0,75

θx=δ=0,71

после чего определяем температуры:

tx=0=θx=0t0-tж+tж=0,75×250-15+15=191 

tx=δ=θx=δt0-tж+tж=0,71×250-15+15=182 

Безразмерная температура в плоской стенке определяется уравнением:

θ=i=12sinnini+sinnicosnicosnixδexp-ni2FO

так как Fo = 4,5 >> 0,3, то при решении можно ограничиться первым членом ряда:

θ=2sinn1n1+sinn1cosn1cosn1xδexp-n12FO

Значения

N1=2sinn1n1+sinn1cosn1 и n1

в зависимости от критерия Bi приведены в справочной таблице, из которой находим:

n1=0,26

N1=1,012

Искомая температуру на расстоянии 50 мм от середины плиты:

θx=0,05=1,012cos0,260,050,1exp-0,262×4,5=0,74

tx=0,05=θx=0,05t0-tж+tж=0,74×250-15+15=189 

Ответ: tx=0 = 191 ℃; tx=δ = 182 ℃; tx=0,05 = 189 ℃.

Задача 1-4-1-6

Условие:

Резиновая пластина толщиной 2δ = 20 мм, нагретая до температуры t0 = 140 ℃, помещена в воздушную среду с температурой tж = 15 ℃.

Определить температуры в середине и на поверхности пластины через τ = 20 мин после начала охлаждения.

Коэффициент теплопроводности резины λ = 0,175 Вт/(м × ℃). Коэффициент температуропроводности резины a = 0,833 × 10-7 м2/с.

Коэффициент теплоотдачи от поверхности пластины к окружающему воздуху α = 65 Вт/(м2 × ℃).

Для условий данной задачи определить температуру на расстоянии x = δ/2 = 5 мм от середины пластины. Определить также безразмерные температуры в середине и на поверхности пластины расчетным путем и сравнить результаты расчета со значениями θx=0 и θx=δ полученные в данной задаче ранее.

Решение:

Число Био и Фурье:

Bi=αδλ=65×0,010,175=3,73

Fo=60τaδ2=60×20×0,833-70,012=1,0

При этих значениях критериев Bi и Fo по графикам находим безразмерные температуры:

- на середине пластины

θx=0=0,26

- на поверхности пластины

θx=δ=0,083

Следовательно, размерные температуры:

tx=0=tж+θx=0t0-tж=15+0,26×140-15=47,5 

tx=δ=tж+θx=δt0-tж=15+0,083×140-15=25,4 

Безразмерная температура неограниченной пластины при охлаждении в среде с постоянной температурой выражается уравнением:

θ=n=12sinμnμn+sinμncosμncosμnxδexp-μn2Fo

Так как в рассматриваемом случае критерий Fo = 1 > 0,3, то можно ограничится первым членом ряда, тогда

θ=Nexp-μ12Focosμ1xδ

и безразмерные температуры в середине и на поверхности пластины будут равны:

θx=0=Nexp-μ12Fo

θx=δ=Pexp-μ12Fo

Значения величин N, P, μ1 и μ21 в зависимости от Bi приведены в табличных данных.

В рассматриваемом случае при Bi = 3,73 из таблицы находим:

N=1,224

P=0,390

μ1=1,248

μ12=1,56

Следовательно, при Fo = 1

θx=δ/2=1,224cos1,2482exp-1,46=0,208

tx=δ/2=tж+θx=δ/2t0-tж=15+0,208×125=41 

θx=0=1,224exp-1,56=0,257

θx=0=0,390exp-1,56=0,082

Ответ: tx=0 = 47,5 ℃; tx=δ = 25,4 ℃; tx=δ/2 = 41 ℃.

Задача 1-4-1-7

Условие:

Длинный стальной вал диаметром d = 2r0 = 120 мм, который имел температуру t0 = 20 ℃, был помещен в печь с температурой tж = 820 ℃.

Определить время τ, необходимое для нагрева вала, если нагрев считать законченным, когда температура на оси вала tr=0 = 800 ℃. Определить также температуру на поверхности вала tr=r0 в конце нагрева.

Коэффициенты теплопроводности и температуропроводности стали равны соответственно λ = 21 Вт/(м × ℃); a = 6,11 × 10-6 м2/с. Коэффициент теплоотдачи к поверхности вала α = 140 Вт/(м2 × ℃).

Решение:

Число Био:

Bi=αr0λ=140×0,0621=0,4

Безразмерная температура на оси цилиндра:

θr=0=tж-tr=0tж-t0=820-800820-20=0,025

При этих значениях Bi и θr=0 по графику находим значения критерия Fo = 5,2. Следовательно, время, необходимое для нагрева вала,

τ=r02Foa=60×10-3×5,26,11×10-6=3060 с=51 мин

По графику при Bi = 0,4 и Fo = 5,2 определяем безразмерную температуру на поверхности цилиндра:

θr=r0=0,02

Следовательно, температура на поверхности цилиндра:

tr=r0=tж-θr=r0tж-t0=820-0,02×820-20=804 

Ответ: τ = 51 мин; tr=r0 = 804 ℃.

Задача 1-4-2-1

Условие:

z x yxzy0

Стальной слиток, имеющий форму параллелепипеда с размерами 200 × 400 × 500 мм, имел начальную температуру t0 = 20 ℃, а затем был помещен в печь с температурой tж = 1400 ℃.

Определить температуру tц в центре слитка через τ = 1,5 ч после загрузки его в печь.

Коэффициенты теплопроводности и температуропроводности стали соответственно равны λ = 37,2 Вт/(м × ℃), a = 6,94 × 10-6 м2/с, а коэффициент теплоотдачи на поверхности слитка α = 186 Вт/(м2 × ℃).

Решение:

Безразмерная температура любой точки параллелепипеда равна произведению безразмерных температур трех безграничных пластин, пересечением которых образован параллелепипед.

Следовательно, температуру в центре параллелепипеда можно найти из уравнения:

tж-tцtж-t0=tж-tx=0tж-t0=tж-ty=0tж-t0=tж-tz=0tж-t0

Температуры пластин tx=0, ty=0, tz=0 можно найти с помощью графика зависимости температуры середины безграничной пластины от критериев Bi и Fo. Для пластины толщиной 2δx = 200 мм имеем:

Fox=aτδx2=6,94×106×54000,12=3,75

Bix=αδxλ=186×0,137,2=0,5

По графику находим, что при Fox = 3,75 и Bix = 0,5:

tж-tx=0tж-t0=0,22

Аналогично для пластины толщиной 2δy = 400 мм имеем:

Fox=0,937

Bix=1,0

По графику находим:

tж-ty=0tж-t0=0,57

Для пластины толщиной 2δz = 500 мм:

Foz=0,6

Biz=1,25

и

tж-tz=0tж-t0=0,68

Следовательно,

tж-tцtж-t0=0,22×0,57×0,68=0,0852

и температура в центре слитка

tц=tж-0,0852tж-t0=1400-0,0852×1400-200=1282 

Ответ: tц = 1282 ℃.