Теплопроводность при нестационарном режиме

Число Био:

$$Bi=\frac{\alpha {\delta }_0}{\lambda }=\frac{70\times \mathrm{0,01}}{\mathrm{0,175}}=\mathrm{4,0}$$

Число Фурье:

$$Fo=\frac{a\tau \times 60}{{\delta }_0^2}=\frac{\mathrm{0,833}\times {10}^{-7}\times 20\times 60}{{\mathrm{0,01}}^2}=\mathrm{1,0}$$

По справочной таблице находим:

$${\mu }_1=f\left(Bi\right)=\mathrm{1,2646}$$

$$D_1=f\left(Bi\right)=\mathrm{1,229}$$

Искомые безразмерные температуры:

$$\mathrm{\Theta }=D_1\cos \left({\mu }_{1}X\right)e^{-{\mu }_1^{2}Fо}=$$

$$=\mathrm{1,229}\times \cos \left(\mathrm{1,2646}\times X\right)\times {\mathrm{2,72}}^{-{\mathrm{1,2646}}^2\times \mathrm{1,0}}=\mathrm{0,2483}\cos \left(\mathrm{1,2646}X\right)$$

$${\mathrm{\Theta }}_{\mathrm{X}=0}=\mathrm{0,2483}\times \cos \left(\mathrm{1,2646}\times 0\right)=\mathrm{0,2483}$$

$${\mathrm{\Theta }}_{\mathrm{X}=\mathrm{0,5}}=\mathrm{0,2483}\times \cos \left(\mathrm{1,2646}\times \mathrm{0,5}\right)=\mathrm{0,2003}$$

$${\mathrm{\Theta }}_{\mathrm{X}=\mathrm{1,0}}=\mathrm{0,2483}\times \cos \left(\mathrm{1,2646}\times 1\right)=\mathrm{0,0748}$$

Тогда

$$t_{x=0}=t_{ж}+\left(t_0-t_{ж}\right){\mathrm{\Theta }}_{\mathrm{X}=0}=20+\left(150-20\right)\times \mathrm{0,2483}=\mathrm{52,28} ℃$$

$$t_{x=\mathrm{0,5}{\mathrm{\delta }}_0}=t_{ж}+\left(t_0-t_{ж}\right){\mathrm{\Theta }}_{\mathrm{X}=\mathrm{0,5}}=20+\left(150-20\right)\times \mathrm{0,2003}=\mathrm{46,04} ℃$$

$$t_{x={\mathrm{\delta }}_0}=t_{ж}+\left(t_0-t_{ж}\right){\mathrm{\Theta }}_{\mathrm{X}=\mathrm{1,0}}=20+\left(150-20\right)\times \mathrm{0,0748}=\mathrm{29,72} ℃$$

Ответ: t_x=0 = 52,28 ℃; t_x=0,5δ0 = 46,04 ℃; t_x=δ0 = 29,72 ℃.

Коэффициент температуропроводности стали:

$$a=\frac{\lambda }{c_p\rho }=\frac{45}{\mathrm{0,46}\times {10}^3\times 7900}=\mathrm{1,24}\times {10}^{-5}\frac{{м}^2}{с}$$

Число Био для листа толщиной 2δ₀:

- в воздухе

$$B{i}_1=\frac{\alpha {\delta }_0}{\lambda }=\frac{5\times \mathrm{0,005}}{45}=\mathrm{0,000555}$$

- в воде

$$B{i}_2=\frac{\alpha {\delta }_0}{\lambda }=\frac{500\times \mathrm{0,005}}{45}=\mathrm{0,0555}$$

Так как Bi₁ << 1 и Bi₂ << 1, то в двух случаях в любой момент времени температура будет одинакова во всех точках листа.

Число Фурье:

$$Fo=\frac{a\tau \times 60}{{\delta }_0^2}=\frac{\mathrm{1,24}\times {10}^{-5}\times 1\times 60}{{\mathrm{0,005}}^2}=30$$

Найдем безразмерные температуры в заданный момент времени при охлаждении:

- в воздухе

$${\mathrm{\Theta }}_1=\exp \left(-B{i}_{1}Fo\right)=\exp \left(-\mathrm{0,000555}\times 30\right)=\mathrm{0,983}$$

- в воде

$${\mathrm{\Theta }}_2=\exp \left(-B{i}_{1}Fo\right)=\exp \left(-\mathrm{0,0555}\times 30\right)=\mathrm{0,189}$$

Температура листа:

- в воздухе

$$t_1=t_{ж}+{\mathrm{\Theta }}_1\left(t_0-t_{ж}\right)=20+\mathrm{0,983}\times \left(100-20\right)=\mathrm{98,6} ℃$$

- в воде

$$t_2=t_{ж}+{\mathrm{\Theta }}_1\left(t_0-t_{ж}\right)=20+\mathrm{0,189}\times \left(100-20\right)=\mathrm{35,1} ℃$$

Ответ: t₁ = 98,6 ℃; t₂ = 35,1 ℃.

Число Фурье:

$$Fo=\frac{a\tau \times 3600}{{\delta }^2}=\frac{\mathrm{3,5}\times {10}^{-7}\times 10\times 3600}{{\mathrm{0,25}}^2}=\mathrm{0,202}$$

Число Био:

$$Bi=\frac{\alpha \delta }{\lambda }=\frac{32\times \mathrm{0,25}}{\mathrm{1,6}}=\mathrm{5,0}$$

Так как Fo < 0,3, то для расчета температур необходимо взять несколько членов суммы рядов.

Находим:

$${\mu }_1=f\left(Bi\right)=\mathrm{1,3138}$$

$${\mu }_2=f\left(Bi\right)=\mathrm{4,0336}$$

$${\mu }_3=f\left(Bi\right)=\mathrm{6,9096}$$

Тогда коэффициенты:

$$D_n=\frac{2\sin {\mu }_n}{{\mu }_n+\sin {\mu }_n\cos {\mu }_n}$$

$$D_1=\frac{2\times \sin \mathrm{1,3138}}{\mathrm{1,3138}+\sin \mathrm{1,3138}\times \cos \mathrm{1,3138}}=\mathrm{1,240}$$

$$D_2=\frac{2\times \sin \mathrm{4,0336}}{\mathrm{4,0336}+\sin \mathrm{4,0336}\times \cos \mathrm{4,0336}}=-\mathrm{0,3442}$$

$$D_3=\frac{2\times \sin \mathrm{6,9096}}{\mathrm{6,9096}+\sin \mathrm{6,9096}\times \cos \mathrm{6,9096}}=\mathrm{0,1587}$$

Найдем безразмерные температуры на внешней (X = 0) и внутренней (X = 1) поверхностях:

$${\mathrm{\Theta }}_{\mathrm{X}=0}=D_1\exp \left(-{\mu }_1^{2}Fo\right)+D_2\exp \left(-{\mu }_1^{2}Fo\right)+D_3\exp \left(-{\mu }_1^{2}Fo\right)$$

$${\mathrm{\Theta }}_{\mathrm{X}=0}=\mathrm{1,240}\exp \left(-{\mathrm{1,3138}}^2\times \mathrm{0,202}\right)+$$

$$+\mathrm{0,3442}\exp \left(-{\mathrm{4,0336}}^2\times \mathrm{0,202}\right)+\mathrm{0,1587}\exp \left(-{\mathrm{6,9096}}^2\times \mathrm{0,202}\right)=\mathrm{0,862}$$

$${\mathrm{\Theta }}_{\mathrm{X}=1}=D_1\cos \left({\mu }_{1}X\right)\exp \left(-{\mu }_1^{2}Fo\right)+D_2\cos \left({\mu }_{2}X\right)\exp \left(-{\mu }_1^{2}Fo\right)+D_3\cos \left({\mu }_{3}X\right)\exp \left(-{\mu }_1^{2}Fo\right)$$

$${\mathrm{\Theta }}_{\mathrm{X}=1}=\mathrm{0,8750}\cos \mathrm{1,3138}-\mathrm{0,0128}\cos \mathrm{4,0336}=\mathrm{0,2304}$$

Определяем искомые температуры:

$$t_{x=\delta }=t_{ж}-{\mathrm{\Theta }}_{\mathrm{X}=1}\left(t_{ж}-t_0\right)=1000-\mathrm{0,2304}\times \left(1000-20\right)=772 ℃$$

$$t_{x=0}=t_{ж}-{\mathrm{\Theta }}_{\mathrm{X}=0}\left(t_{ж}-t_0\right)=1000-\mathrm{0,8622}\times \left(1000-20\right)=155 ℃$$

Ответ: t_{x= δ} = 772 ℃; t_x=0 = 155 ℃.

Число Био:

$$Bi=\frac{\alpha r_0}{\lambda }=\frac{140\times \mathrm{0,06}}{42}=\mathrm{0,2}$$

По справочной таблице находим:

$${\mu }_1=f\left(Bi\right)=\mathrm{0,6170}$$

Функция Бесселя первого рода нулевого и первого порядков:

$$J_0\left({\mu }_1\right)=J_0\left(\mathrm{0,6170}\right)=\mathrm{0,9071}$$

$$J_1\left({\mu }_1\right)=J_1\left(\mathrm{0,6170}\right)=\mathrm{0,2941}$$

Вычисляем:

$$D_1=\frac{2J_1\left({\mu }_1\right)}{{\mu }_1\left[J_0^2\left({\mu }_1\right)+J_1^2\left({\mu }_1\right)\right]}=\frac{2\times \mathrm{0,2941}}{\mathrm{0,6170}\times \left[{\mathrm{0,9071}}^2+{\mathrm{0,2941}}^2\right]}=\mathrm{1,048}$$

В заданный момент времени безразмерная температура на оси вала:

$${\mathrm{\Theta }}_{\mathrm{R}=0}=\frac{t_{оси}-t_{ж}}{t_0-t_{ж}}=\frac{780-800}{30-800}=\mathrm{0,026}$$

$${\mathrm{\Theta }}_{\mathrm{R}=0}=D_1\exp \left(-{\mu }_1^{2}Fo\right)$$

Отсюда найдем число Фурье:

$$Fo=\frac{\ln \frac{{\mathrm{\Theta }}_{\mathrm{R}=0}}{D_1}}{-{\mu }_1^2}=\frac{\ln \frac{\mathrm{0,026}}{\mathrm{1,048}}}{-{\mathrm{0,6170}}^2}=\mathrm{0,97045}$$

Искомое время нагревания вала:

$$\tau =\frac{Fo{r}_0^2}{3600a}=\frac{\mathrm{9,7045}\times {\mathrm{0,06}}^2}{3600\times \mathrm{1,22}\times {10}^{-5}}=\mathrm{0,795} ч$$

Ответ: τ = 0,795 ч.

Для заданных условий рассчитываем определяющие критерии:

$$Bi=\frac{\alpha \delta }{\lambda }=\frac{30\times \mathrm{0,1}}{45}=\mathrm{0,07}$$

$$Fo=\frac{\mathrm{a}\tau }{{\delta }^2}=\frac{\mathrm{1,2}\times {10}^{-5}\times 3600}{{\mathrm{0,1}}^2}=\mathrm{4,5}$$

С помощью номограмм находим значения безразмерных температур в середине плиты и на ее поверхности:

$${\theta }_{x=0}=\mathrm{0,75}$$

$${\theta }_{x=\delta }=\mathrm{0,71}$$

после чего определяем температуры:

$$t_{x=0}={\theta }_{x=0}\left(t_0-t_{ж}\right)+t_{ж}=\mathrm{0,75}\times \left(250-15\right)+15=191 ℃$$

$$t_{x=\delta }={\theta }_{x=\delta }\left(t_0-t_{ж}\right)+t_{ж}=\mathrm{0,71}\times \left(250-15\right)+15=182 ℃$$

Безразмерная температура в плоской стенке определяется уравнением:

$$\theta ={\sum }_{i=1}^{\infty }\frac{2\sin n_i}{n_i+\sin n_i\cos n_i}\cos \left(n_i\frac{x}{\delta }\right)\exp \left(-n_i^2{F}_O\right)$$

так как Fo = 4,5 >> 0,3, то при решении можно ограничиться первым членом ряда:

$$\theta =\frac{2\sin n_1}{n_1+\sin n_1\cos n_1}\cos \left(n_1\frac{x}{\delta }\right)\exp \left(-n_1^2{F}_O\right)$$

Значения

$$N_1=\frac{2\sin n_1}{n_1+\sin n_1\cos n_1} и n_1$$

в зависимости от критерия Bi приведены в справочной таблице, из которой находим:

$$n_1=\mathrm{0,26}$$

$$N_1=\mathrm{1,012}$$

Искомая температуру на расстоянии 50 мм от середины плиты:

$${\theta }_{x=\mathrm{0,05}}=\mathrm{1,012}\cos \left(\mathrm{0,26}\frac{\mathrm{0,05}}{\mathrm{0,1}}\right)\exp \left(-{\mathrm{0,26}}^2\times \mathrm{4,5}\right)=\mathrm{0,74}$$

$$t_{x=\mathrm{0,05}}={\theta }_{x=\mathrm{0,05}}\left(t_0-t_{ж}\right)+t_{ж}=\mathrm{0,74}\times \left(250-15\right)+15=189 ℃$$

Ответ: t_x=0 = 191 ℃; t_x=δ = 182 ℃; t_x=0,05 = 189 ℃.

Число Био и Фурье:

$$Bi=\frac{\alpha \delta }{\lambda }=\frac{65\times \mathrm{0,01}}{\mathrm{0,175}}=\mathrm{3,73}$$

$$Fo=\frac{60\tau a}{{\delta }^2}=\frac{60\times 20\times {\mathrm{0,833}}^{-7}}{{\mathrm{0,01}}^2}=\mathrm{1,0}$$

При этих значениях критериев Bi и Fo по графикам находим безразмерные температуры:

- на середине пластины

$${\theta }_{x=0}=\mathrm{0,26}$$

- на поверхности пластины

$${\theta }_{x=\delta }=\mathrm{0,083}$$

Следовательно, размерные температуры:

$$t_{x=0}=t_{ж}+{\theta }_{x=0}\left(t_0-t_{ж}\right)=15+\mathrm{0,26}\times \left(140-15\right)=\mathrm{47,5} ℃$$

$$t_{x=\delta }=t_{ж}+{\theta }_{x=\delta }\left(t_0-t_{ж}\right)=15+\mathrm{0,083}\times \left(140-15\right)=\mathrm{25,4} ℃$$

Безразмерная температура неограниченной пластины при охлаждении в среде с постоянной температурой выражается уравнением:

$$\theta =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2\sin {\mu }_n}{{\mu }_n+\sin {\mu }_n\cos {\mu }_n}\cos \left({\mu }_n\frac{x}{\delta }\right)\exp \left(-{\mu }_n^{2}Fo\right)$$

Так как в рассматриваемом случае критерий Fo = 1 > 0,3, то можно ограничится первым членом ряда, тогда

$$\theta =N\exp \left(-{\mu }_1^{2}Fo\right)\cos \left({\mu }_1\frac{x}{\delta }\right)$$

и безразмерные температуры в середине и на поверхности пластины будут равны:

$${\theta }_{x=0}=N\exp \left(-{\mu }_1^{2}Fo\right)$$

$${\theta }_{x=\delta }=P\exp \left(-{\mu }_1^{2}Fo\right)$$

Значения величин N, P, μ₁ и μ²₁ в зависимости от Bi приведены в табличных данных.

В рассматриваемом случае при Bi = 3,73 из таблицы находим:

$$N=\mathrm{1,224}$$

$$P=\mathrm{0,390}$$

$${\mu }_1=\mathrm{1,248}$$

$${\mu }_1^2=\mathrm{1,56}$$

Следовательно, при Fo = 1

$${\theta }_{x=\delta /2}=\mathrm{1,224}\cos \left(\frac{\mathrm{1,248}}{2}\right)\exp \left(-\mathrm{1,46}\right)=\mathrm{0,208}$$

$$t_{x=\delta /2}=t_{ж}+{\theta }_{x=\delta /2}\left(t_0-t_{ж}\right)=15+\mathrm{0,208}\times 125=41 ℃$$

$${\theta }_{x=0}^{’}=\mathrm{1,224}\exp \left(-\mathrm{1,56}\right)=\mathrm{0,257}$$

$${\theta }_{x=0}^{’}=\mathrm{0,390}\exp \left(-\mathrm{1,56}\right)=\mathrm{0,082}$$

Ответ: t_x=0 = 47,5 ℃; t_x=δ = 25,4 ℃; t_x=δ/2 = 41 ℃.

Число Био:

$$Bi=\frac{\alpha r_0}{\lambda }=\frac{140\times \mathrm{0,06}}{21}=\mathrm{0,4}$$

Безразмерная температура на оси цилиндра:

$${\theta }_{r=0}=\frac{t_{ж}-t_{r=0}}{t_{ж}-t_0}=\frac{820-800}{820-20}=\mathrm{0,025}$$

При этих значениях Bi и θ_r=0 по графику находим значения критерия Fo = 5,2. Следовательно, время, необходимое для нагрева вала,

$$\tau =\frac{r_0^{2}Fo}{a}=\frac{\left(60\times {10}^{-3}\right)\times \mathrm{5,2}}{\mathrm{6,11}\times {10}^{-6}}=3060 с=51 мин$$

По графику при Bi = 0,4 и Fo = 5,2 определяем безразмерную температуру на поверхности цилиндра:

$${\theta }_{r=r0}=\mathrm{0,02}$$

Следовательно, температура на поверхности цилиндра:

$$t_{r=r0}=t_{ж}-{\theta }_{r=r0}\left(t_{ж}-t_0\right)=820-\mathrm{0,02}\times \left(820-20\right)=804 ℃$$

Ответ: τ = 51 мин; t_r=r0 = 804 ℃.

Безразмерная температура любой точки параллелепипеда равна произведению безразмерных температур трех безграничных пластин, пересечением которых образован параллелепипед.

Следовательно, температуру в центре параллелепипеда можно найти из уравнения:

$$\frac{t_{ж}-t_{ц}}{t_{ж}-t_0}=\frac{t_{ж}-t_{x=0}}{t_{ж}-t_0}=\frac{t_{ж}-t_{y=0}}{t_{ж}-t_0}=\frac{t_{ж}-t_{z=0}}{t_{ж}-t_0}$$

Температуры пластин t_x=0, t_y=0, t_z=0 можно найти с помощью графика зависимости температуры середины безграничной пластины от критериев Bi и Fo. Для пластины толщиной 2δ_x = 200 мм имеем:

$$F{o}_x=\frac{a\tau }{{\delta }_x^2}=\frac{\mathrm{6,94}\times {10}^6\times 5400}{{\mathrm{0,1}}^2}=\mathrm{3,75}$$

$$B{i}_x=\frac{\alpha {\delta }_x}{\lambda }=\frac{186\times \mathrm{0,1}}{\mathrm{37,2}}=\mathrm{0,5}$$

По графику находим, что при Fo_x = 3,75 и Bi_x = 0,5:

$$\frac{t_{ж}-t_{x=0}}{t_{ж}-t_0}=\mathrm{0,22}$$

Аналогично для пластины толщиной 2δ_y = 400 мм имеем:

$$F{o}_x=\mathrm{0,937}$$

$$B{i}_x=\mathrm{1,0}$$

По графику находим:

$$\frac{t_{ж}-t_{y=0}}{t_{ж}-t_0}=\mathrm{0,57}$$

Для пластины толщиной 2δ_z = 500 мм:

$$F{o}_z=\mathrm{0,6}$$

$$B{i}_z=\mathrm{1,25}$$

и

$$\frac{t_{ж}-t_{z=0}}{t_{ж}-t_0}=\mathrm{0,68}$$

Следовательно,

$$\frac{t_{ж}-t_{ц}}{t_{ж}-t_0}=\mathrm{0,22}\times \mathrm{0,57}\times \mathrm{0,68}=\mathrm{0,0852}$$

и температура в центре слитка

$$t_{ц}=t_{ж}-\mathrm{0,0852}\left(t_{ж}-t_0\right)=1400-\mathrm{0,0852}\times \left(1400-200\right)=1282 ℃$$

Ответ: t_ц = 1282 ℃.