Теплопроводность и теплопередача при стационарном режиме

Cтатистика главы
Количество разделов	5
Количество задач	297

Примеры решений задач

Данные примеры задач, относятся к предмету «Тепломассообмен».

Задача #1111

Условие:

Плоская стенка выполнена из материала с коэффициентом теплопроводности λ = 20 Вт/(м × К). Толщина стенки δ = 10 мм. На одной стороне стенки температура t_с1 = 100 ℃, на другой 90 ℃. Найти плотность теплового потока через стенку и температуру в середине стенки.

Решение:

Плотность теплового потока:

$q = \frac{λ (t_{с т 1} - t_{с т 2})}{δ \times 10^{- 3}} = \frac{20 \times (100 - 90)}{10 \times 10^{- 3}} = 20000 \frac{В т}{м^{2}}$

Так как при λ = const температура в стенке изменяется по линейному закону, то в середине стенки:

$t_{с р} = \frac{1}{2} (t_{с т 1} + t_{с т 2}) = \frac{1}{2} \times (100 + 90) = 95 ℃$

Ответ: q = 20000 Вт/м²; t_ср = 95 ℃.

Задача #11110

Условие:

Определить, сколько теплоты передается ежечасно через стенки картера авиадвигателя, если толщина стенок δ = 5,5 мм, поверхность F = 0,6 м², температура на внутренней поверхности картера t_w₁ = 75 ℃, на наружной t_w2 = 68 ℃, а средний коэффициент теплопроводности стенок λ = 175 Вт/(м × К).

Решение:

Количество теплоты, передаваемое через стенки картера двигателя в час:

$Q = \frac{λ}{δ} (t_{w 1} - t_{w 2}) F = \frac{175}{0,0055} \times (75 - 68) \times 0,61 = 133636 В т$

Ответ: Q = 133636 Вт.

Задача #11111

Условие:

Определить толщину тепловой изоляции δ, выполненной из: 1) альфоля и 2) шлаковой ваты. Удельные потери теплоты через изоляционный слой q = 523 Вт/м², температуры его поверхностей t_w1 = 700 ℃ и t_w2 = 40 ℃. Коэффициент теплопроводности альфоля при толщине воздушных слоев 10 мм λ_а = 0,0302 + 0,000085t и коэффициент теплопроводности шлаковой ваты λ_ш = 0,058 + 0,000145t

Решение:

Средний коэффициент теплопроводности:

- альфоля

$λ_{а} = 0,0302 + 0,000085 \frac{t_{w 1} + t_{w 2}}{2} =$

$= 0,0302 + 0,000085 \times \frac{700 + 40}{2} = 0,0617 \frac{В т}{м \times ℃}$

- шлаковой ваты

$λ_{ш} = 0,058 + 0,000145 \frac{t_{w 1} + t_{w 2}}{2} =$

$= 0,058 + 0,000145 \times \frac{700 + 40}{2} = 0,1117 \frac{В т}{м \times ℃}$

Толщина тепловой изоляции:

- альфоля

$δ_{а} = \frac{λ_{а}}{q} (t_{w 1} - t_{w 2}) = \frac{0,0617}{523} \times (700 - 40) = 0,0778 м = 77,8 м м$

- шлаковой ваты

$δ_{ш} = \frac{λ_{ш}}{q} (t_{w 1} - t_{w 2}) = \frac{0,1117}{523} \times (700 - 40) = 0,141 м = 141 м м$

Ответ: δ_а = 77,8 мм; δ_ш = 141 мм.

Задача #11112

Условие:

Рефрижераторный бак, заполняемый охлажденным соляным раствором, можно выполнить из углеродистой стали [λ_у.с = 45,4 Вт/(м × К)] или из нержавеющей стали [λ_н.с = 17,5 Вт/(м × К)]; в обоих случаях толщина стенки бака одинакова δ = 6 мм. Известно, что плотность теплового потока от окружающего воздуха к баку 525 Вт/м².

Сравнить разности между температурами внутренней и наружной поверхности стенки для двух вариантов конструкции.

Решение:

По формуле определения плотности теплового потока для однослойной плоской стенки определяют разность температур внутренней t^I и наружной t^II поверхностей стенки для бака из углеродистой стали:

$q = \frac{λ}{δ} (t^{I} - t^{I I})$

$Δ t = t^{I} - t^{I I} = q \frac{δ}{λ} = 525 \times \frac{0,006}{45,4} = 0,07 ℃$

Для бака из нержавеющей стали при том же подводе теплоты и толщине стенки

$Δ t^{’} = 525 \times \frac{0,006}{17,5} = 0,18 ℃$

т. е. при равных условиях — плотности теплового потока и толщине стенки — разности температур обратно пропорциональны теплопроводностям стенок.

Ответ: при использовании углеродистой стали Δt = 0,07 ℃, нержавеющей стали Δt’ = 0,18 ℃.

Задача #11113

Условие:

Температура верхней поверхности льда на озере равна — 10 ℃; плотность теплового потока через лед 28,1 Вт/м², а теплопроводность льда λ_л = 2,25 Вт/(м × К).

Определить максимальную толщину слоя льда, который может образоваться в этих условиях.

Решение:

При наступлении холодов толщина слоя льда будет постепенно увеличиваться путем намерзания воды с нижней его поверхности до тех пор, пока на этой поверхности, не установится температура 0 ℃, поэтому

$t^{I} = 0 ℃$

При этих условиях толщина слоя льда

$δ_{м а к с} = \frac{λ_{л} (t^{I} - t^{I I})}{q} = \frac{2,24 \times 10}{28,1} = 0,8 м$

Ответ: δ_макс = 0,8 м.

Задача #11114

Условие:

В Арктике и Антарктиде применяют постройки из льда [λ_л = 2,25 Вт/(м × К)] и снега [λ_сн = 0,465 Вт/(м - К)].

Какую толщину должна иметь стенка продуктового склада из льда, чтобы при плотности теплового потока q = 116,3 Вт/м² и температуре на наружной поверхности t^II = 40 ℃ можно было обеспечить температуру на внутренней поверхности i^I = -1 ℃? Как изменится толщина стенки склада, если в условиях прежних температур и того же теплового потока лед заменить снегом?

Решение:

1) Определяем толщину стенки склада из льда

$δ_{л} = \frac{λ_{л}}{q} (t^{I} - t^{I I}) = \frac{2,25 \times 39}{116,3} = 0,755 м$

2) В случае замены льда снегом при том же тепловом потоке и разности температур

$\frac{δ_{л}}{δ_{с н}} = \frac{λ_{л}}{λ_{с н}}$

или

$\frac{δ_{л}}{δ_{с н}} = 4,85$

т. е. при замене льда снегом толщину стенки можно уменьшить почти в 5 раз, а именно до

$δ_{с н} = \frac{0,755}{4,84} = 0,156 м$

Ответ: δ_л = 0,755 м; δ_л/δ_сн = 4,84.

Задача #11115

Условие:

Теплопроводность жира в твердом состоянии определяют методом пластины, при котором через плоский слой исследуемого материала пропускают стационарный тепловой поток (рис.). Опытный образец продукта имеет форму диска диаметром d = 150 мм, толщиной δ = 13 мм. Температура охлаждаемой поверхности диска t = 0 ℃. Точка плавления жира 27 ℃. Напряжение на клеммах электронагревателя U =12 В. Ожидаемая величина теплопроводности жира δ_ж = 0,198 Вт/(м × К).

Определить, в пределах какой максимальной силы тока можно регулировать реостат электронагревателя, чтобы таяние жира было исключено. Устройство прибора обеспечивает прохождение всего выделяемого нагревателем тепла через исследуемый материал в направлении, перпендикулярном его поверхности.

Решение:

Для плоской однослойной стенки

$Q = \frac{λ Δ t F}{δ}$

где

$Q = I v$

площадь охлаждаемой поверхности

$F = \frac{π d^{2}}{4}$

следовательно

$I v = \frac{λ Δ t F}{δ}$

откуда

$I = \frac{λ Δ t F}{v δ} = \frac{0,198 \times 27 \times 3,14 \times {0,15}^{2}}{12 \times 0,013 \times 4} \approx 0,61 А$

Ответ: до 0,61 А.

Задача #11116

Условие:

Мощность холодильной установки позволяет компенсировать приток тепла через поверхности ограждений холодильной камеры в пределах плотности теплового потока q = 16,5 Вт/м². Стенки камеры выполнены из строительного кирпича [λ_с.к = 0,29 Вт/(м × К), δ_с.к = 50 см], изнутри они покрыты торфоплитами [λ_т = 0,082 Вт/(м × К), δ_т = 10 см] и слоем штукатурки [λ_шт = 0,78 Вт/(м × К), δ_шт = 2 см].

Определить какая разность температур будет поддерживаться на поверхностях ограждений камеры. Влияние заполненных раствором швов в стенке не учитывать.

Решение:

Для трехслойной плоской стенки

$q = \frac{Δ t}{\frac{δ_{с . к}}{λ_{с . к}} + \frac{δ_{т}}{λ_{т}} + \frac{δ_{ш т}}{λ_{ш т}}}$

откуда

$Δ t = q (\frac{δ_{с . к}}{λ_{с . к}} + \frac{δ_{т}}{λ_{т}} + \frac{δ_{ш т}}{λ_{ш т}}) = 16,5 \times (\frac{0,5}{0,29} + \frac{0,1}{0,082} + \frac{0,02}{0,78}) = 49 ℃$

Ответ: Δt = 49 ℃.

Задача #11117

Условие:

Холодильная камера отделена от цеха стенкой из строительного кирпича [δ_c_.к = 25 см, λ_с.к = 0,29 Вт/(м × К)], покрытой со стороны цеха штукатуркой [λ_шт = 0,78Вт/(м × К)], а со стороны камеры шлаковой ватой [λ_ш.в = 0,07 Вт/(м × K)] и такой же штукатуркой. Толщина каждого слоя штукатурки δ_шт = 2,5 см. Температура поверхности штукатурки со стороны камеры t^V= -20 ℃. Температура воздуха в цехе 20 ℃, относительная влажность φ = 0,7. Через стенку проникает тепловой поток плотностью 17,4 Вт/м².

Определить минимальную толщину слоя шлаковой ваты, при которой выпадение влаги на поверхности стенки со стороны цеха будет исключено.

Решение:

По Id - диаграмме при температуре воздуха в цехе 20 ℃ и относительной влажности φ = 70 % определяют точку росы

$t^{I} = 14 ℃$

Следовательно, температура поверхности стенки со стороны цеха должна быть не ниже 14 ℃.

Минимальную толщину слоя шлаковой ваты, обеспечивающую предельно допустимую температуру поверхности стенки со стороны цеха 14 ℃, рассчитывают с помощью уравнения

$q = \frac{t^{I} - t^{V}}{\frac{δ_{ш т}}{λ_{ш т}} + \frac{δ_{с . к}}{λ_{с . к}} + \frac{δ_{ш . в}}{λ_{ш . в}} + \frac{δ_{ш т}}{λ_{ш т}}}$

т. е.

$17,4 = \frac{14 - (- 20)}{\frac{0,025}{0,78} + \frac{0,25}{0,29} + \frac{δ_{ш . в}}{0,78} + \frac{0,025}{0,78}}$

откуда

$δ_{ш . в} = 0,0719 м \approx 0,072 м$

Ответ: δ_ш.в = 0,072 м.

Задача #1112

Условие:

Чтобы уменьшить до заданного значения тепловые потери с поверхности промышленного теплообменника, решили закупить тепловую изоляцию с λ’_из = 0,2 Вт/(м × К). Оказалось, что на складе имеется изоляция, для которой λ’’_из = 0,1 Вт/(м × К), но она на 50 % дороже первой. Больше или меньше (и насколько) придется заплатить за вторую изоляцию?

Решение:

Количество закупаемого материала прямо пропорционально толщине изоляционного слоя. Тепловые потери будут равны заданному значению, если

$\frac{δ_{и з}^{’}}{λ_{и з}^{’}} = \frac{δ_{и з}^{’ ’}}{λ_{и з}^{’ ’}}$

Толщина слоя изоляции во втором случае в два раза меньше, чем в первом. При этом стоимость второй изоляции составляет 75 % стоимости первой. То есть за вторую изоляцию нужно будет заплатить на 25 % меньше.

Ответ: нужно будет заплатить на 25 % меньше.

Задача #1113

Условие:

Температура внешней металлической поверхности сушильной камеры t_с1 = 150 ℃. Сушильная камера изолирована матами из минеральной стекловаты. Толщина мата δ = 60 мм. Температура воздуха в помещении t_ж2 = 15 ℃ и коэффициент теплоотдачи α₂ = 10 Вт/(м² × К). Найдите температуру наружной поверхности тепловой изоляции t_с2.

Решение:

Для минеральной стекловаты коэффициент теплопроводности:

$λ = 0,052 + 0,00064 t = 0,052 + 0,00032 (t_{с 1} + t_{с 2})$

Из равенства теплового потока, следует:

$q = \frac{λ}{δ} (t_{с 1} - t_{с 2}) = α_{2} (t_{с 2} - t_{ж 2})$

Методом подбора найдем искомую температуру:

$t_{с 1} = 28 ℃$

Ответ: t_с1 = 28 ℃.

Задача #1114

Условие:

Образец материала для определения λ методом пластины выполнен в форме диска диаметром d = 0,5 м, толщиной δ = 0,03 м и помещен между холодильником и плоским рабочим электронагревателем (РН) мощностью Q = 160 Вт. Имеются охранные нагреватели снизу и по кольцу вокруг РН для предотвращения растекания теплоты в нижнем и боковом направлениях. Определить λ с использованием значений температуры поверхностей образца (℃): t₁ = 10, t₂ = 45, t^*₁ = 25, t^*₂ = 58, характеризующих два возможных одномерных стационарных поля в образце при отключенном нижнем (охранном) нагревателе, но неизменном значении Q. Температура окружающей среды t_с = 25 ℃. Термосопротивлением между образцом и РН пренебречь.

Решение:

Здесь справедливы отношения

$\frac{4 Q}{π d^{2}} = \frac{λ (t_{2} - t_{1})}{δ} + \frac{t_{2} - t_{с}}{R} = \frac{λ (t_{2}^{*} - t_{1}^{*})}{δ} + \frac{t_{2}^{*} - t_{с}}{R}$

где R – термосопротивление между РН и средой.

Подставим известный численные значения:

$\frac{4 \times 160}{3,14 \times {0,5}^{2}} = (45 - 10) \frac{λ}{δ} + \frac{45 - 25}{R} = (58 - 25) \frac{λ}{δ} + \frac{58 - 25}{R}$

или после сокращения

$814,8 = \frac{35 λ}{δ} + \frac{20}{R} = 33 (\frac{λ}{δ} + \frac{1}{R})$

Это соотношение представляет собой систему из двух уравнений относительно λ/δ и R. Из него следует

$R = 0,304 \frac{м \times К}{К}$

$λ = 21,33 \times 0,03 = 0,64 \frac{В т}{м \times К} (а с ф а л ь т)$

Ответ: λ = 0,64 Вт/(м× К).

Задача #1115

Условие:

При работе печи с обмуровкой, выполненной из шамотного [λ₁ = 0,84 (1+0,695 t/1000) Вт/(м × К), δ₁ = 0,24 м] и красного [λ_к = 0,70 Вт/(м × К)] кирпича, температуры на внутренних поверхностях слоев составляли t₁ и t_к = 850 ℃. После замены части слоя красного кирпича (толщиной δ_э) промежуточной засыпкой из диатомовой крошки [λ₂ = 0,113 (1+0,002 t) Вт/(м × К), δ₂ = 0,092 м] – без изменения t₁ и плотности теплового потока q – получено, что t_к = 430 ℃. Определить t₁, q и уменьшение толщины обмуровки Δδ.

Решение:

Из условия задачи видно, что по толщине засыпки температура изменяется от t₂ = 850 ℃ до t₃ = 430 ℃. Поэтому применение формул типа

$q = \frac{{\bar{λ}}_{i} (t_{i + 1} - t_{i})}{δ_{i}}$

${\bar{λ}}_{i} = \int_{t_{i}}^{t_{i + 1}} \frac{{\bar{λ}}_{i} (t) d t}{t_{i + 1} - t_{i}}$

справедливо при любом характере зависимости λ_i(t); при i = 2, а затем при i = 1 получаем значения:

$λ_{2} = 0,113 (1 + 0,002 \frac{t_{3} + t_{2}}{2}) =$

$= 0,113 \times (1 + 0,002 \times \frac{430 + 850}{2}) = 0,258 \frac{В т}{м \times К}$

$q = \frac{λ_{2} (t_{3} - t_{2})}{δ_{2}} = \frac{0,258 \times (430 - 850)}{0,092} = - 1176 \frac{В т}{м^{2}}$

$λ_{1} = 0,84 (1 + 0,695 \times \frac{t_{1} + 850}{2 \times 1000})$

$1176 = \frac{λ_{1} (t_{1} - 850)}{0,24}$

$t_{1} = 1052 ℃$

$\frac{λ_{к}}{δ_{э}} = \frac{λ_{2}}{δ_{2}}$

$δ_{э} = 0,092 \times \frac{0,70}{0,258} = 0,25 м$

$Δ δ = δ_{э} - δ_{2} = 0,25 - 0,092 = 0,158 м$

Ответ: t₁ = 1052 ℃; q = -1176 Вт/м²; Δδ = 0,158 м.

Задача #1116

Условие:

Плоская стенка выполнена из шамотного кирпича толщиной δ = 250 мм. Температура ее поверхностей: t_с1 = 1350 ℃ и t_с₂ = 50 ℃. Коэффициент теплопроводности шамотного кирпича является функцией от температуры λ = 0,838×(1 + 0,0007 t).

Вычислить и изобразить в масштабе распределение температуры в стенке.

Решение:

В случае линейной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры плотность теплового потока, Вт/м²,

$q = \frac{λ_{с р}}{δ} (t_{с 1} - t_{с 2})$

где средний коэффициент теплопроводности, Вт/(м × ℃),

$λ_{с р} = λ_{0} (1 + b \frac{t_{с 1} + t_{с 2}}{2})$

В рассматриваемом случае

$λ_{с р} = 0,838 \times (1 + 0,0007 \times \frac{1350 + 50}{2}) = 1,25 \frac{В т}{м \times ℃}$

$q = \frac{1,25}{0,25} \times (1350 - 50) = 6500 \frac{В т}{м^{2}}$

Температура на любом расстоянии x от поверхности стенки определяется по формуле:

$t_{x} = \sqrt{{(\frac{1}{b} + t_{с 1})}^{2} - \frac{2 q x}{λ_{0} b}} - \frac{1}{b}$

Подставив известное значение λ₀ и найденное значение q, получим:

$t_{x} = \sqrt{{(\frac{1}{0,0007} + 1350)}^{2} - \frac{2 \times 6500 x}{0,838 \times 0,0007}} - \frac{1}{0,0007}$

откуда

$t_{x} = (\sqrt{7,74 - 22,3 x} - 1,43) \times 10^{3}$

Подставим в полученное уравнение значения x, выраженные в метрах, найдем соответствующие значения температуры стенки.

Результаты сведем в таблицу и построим график.

x, мм	t, ℃
0	1350
50	1145
100	920
125	800
150	670
200	390
225	230
250	50

Ответ: в таблице.

Задача #1117

Условие:

Температуры на поверхности шамотной стенки, толщина которой δ = 200 мм, равны: t_с1 = 1000 ℃ и t_с2 = 200 ℃. Коэффициент теплопроводности шамота изменяется в зависимости от температуры по уравнению

λ = 0,813 + 0,000582 t

Показать, что плотность теплового потока q, Вт/м², в случае линейной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры может быть вычислена по формуле для постоянного коэффициента теплопроводности, взятого при средней температуре стенки.

Найти ошибку в определении температуры в точках х = 57,5; 110 и 157,5 мм, если вычисления производятся по значению коэффициента теплопроводности, среднему для заданного интервала температур и построить график распределения температуры в стенке.

Решение:

Средняя температура стенки:

$t_{с р} = \frac{t_{с 1} + t_{с 2}}{2} = \frac{1000 + 200}{2} = 600 ℃$

Среднеарифметический коэффициент теплопроводности:

$λ_{с р} = 0,813 + 0,000582 t_{с р} = 0,813 + 0,000582 \times 600 = 1,162 \frac{В т}{м \times ℃}$

Перепишем уравнения линейной зависимости теплопроводности от температуры:

$λ = λ_{0} (1 + b t) \to 0,813 (1 + 7,159 \times 10^{- 4} t)$

Плотность теплового потока через стенку:

$q = \frac{t_{с 1} - t_{с 2}}{\frac{δ}{λ_{с р}}} = \frac{1000 - 200}{\frac{200 \times 10^{- 3}}{1,162}} = 4648 \frac{В т}{м^{2}}$

Линейная зависимость температуры от x:

$t_{x (л)} = t_{с 1} - \frac{q x}{λ_{с р}}$

$t_{x (л)} = 1000 - \frac{4648 x}{1,162}$

$t_{x (л)} = 1000 - 4000 x (1)$

Нелинейная зависимость температуры от x:

$t_{x (н)} = \sqrt{{(\frac{1}{b} + t_{с 1})}^{2} - \frac{2 q x}{λ_{0} b}} - \frac{1}{b}$

$t_{x (н)} = \sqrt{{(\frac{1}{7,159 \times 10^{- 4}} + 1000)}^{2} - \frac{2 \times 4648 x}{0,813 \times 7,159 \times 10^{- 4}}} - \frac{1}{7,159 \times 10^{- 4}}$

$t_{x (н)} = {(5744857 - 15971776 x)}^{0,5} - 1397 (2)$

Погрешность:

$∆ = 100 \frac{t_{x (л)} - t_{x (н)}}{t_{x (л)}} (3)$

Результаты вычислений по формулам (1), (2) и (3) сведем в таблицу и построим график.

x	t_x(_л₎	t_x(_н₎	Δ, %
0	1000	1000	0
0,0575	770	800	-3,75
0,11	560	600	-6,67
0,1575	370	400	-7,5
0,2	200	200	0

Ответ: в таблице.

Задача #1118

Условие:

Обмуровка печи состоит из слоев шамотного и красного кирпича, между которыми расположена засыпка из диатомита. Толщина шамотного слоя δ₁ = 120 мм, диатомитовой засыпки δ₂ = 50 мм и красного кирпича δ₃ = 250 мм. Коэффициенты теплопроводности материалов соответственно равны: λ₁ = 0,93 Вт/(м × ℃); λ₂ = 0,13 Вт/(м × ℃) и λ₃ = 0,7 Вт/(м × ℃).

Какой толщины следует сделать слой из красного кирпича δ₃, если отказаться от применения засыпки из диатомита, чтобы тепловой поток через обмуровку оставался неизменным?

Решение:

Коэффициент теплопередачи в обеих случаях равен:

$k = \frac{1}{\frac{δ_{1}}{λ_{1}} + \frac{δ_{2}}{λ_{2}} + \frac{δ_{3}}{λ_{3}}} = \frac{1}{\frac{0,12}{0,93} + \frac{0,05}{0,13} + \frac{0,25}{0,7}} = 1,148 \frac{В т}{м^{2} \times ℃}$

Тогда найдем толщину красного кирпича в двухслойной стенке:

$x = λ_{3} (\frac{1}{k} - \frac{δ_{1}}{λ_{1}}) = 0,7 \times (\frac{1}{1,148} - \frac{0,12}{0,7}) = 0,490 м$

Округляем до кратного размера кирпича:

$x = 500 м м$

Ответ: x = 500 мм.

Задача #1119

Условие:

Обмуровка печи выполнена из слоя шамотного кирпича с коэффициентом теплопроводности λ = 0,84 × (1 + 0,695 × 10^-3 t), Вт/(м × ℃); толщина обмуровки δ = 250 мм.

Определить потери теплоты с одного квадратного метра поверхности q, Вт/м², и температуры на внешних поверхностях стены, если температура газов в печи t_ж1 = 1200 ℃ и воздуха в помещении t_ж₂ = 30 ℃, коэффициент теплоотдачи от газов к стенке α₁ = 30 Вт/(м² × ℃) и от обмуровки к окружающему воздуху α₂ = 10 Вт/(м² × ℃).

Решение:

Зададимся средней температурой стенки:

${\bar{t}}_{с} = 650 ℃$

При этой температуре коэффициент теплопроводности шамотного кирпича равен:

$λ_{с р} = 0,84 \times (1 + 0,695 \times 10^{- 3} \times 650) = 1,12 \frac{В т}{м \times ℃}$

Определяем коэффициент теплопередачи:

$k = \frac{1}{\frac{1}{α_{1}} + \frac{δ}{λ_{с р}} + \frac{1}{α_{2}}} = \frac{1}{\frac{1}{30} + \frac{0,25}{1,12} + \frac{1}{10}} = 2,81 \frac{В т}{м^{2} \times ℃}$

и плотность теплового потока

$q = k (t_{ж 1} - t_{ж 2}) = 2,81 \times (1200 - 30) = 3290 \frac{В т}{м^{2}}$

При полученной плотности теплового потока вычисляем температуры на поверхностях стенки:

$t_{с 1} = t_{ж 1} - \frac{q}{α_{1}} = 1200 - \frac{3290}{30} = 1091 ℃$

$t_{с 2} = t_{ж 2} + \frac{q}{α_{2}} = 30 + \frac{3290}{10} = 359 ℃$

Определяем среднюю температуру стенки и уточняем значение коэффициента теплопроводности:

${\bar{t}}_{с} = 0,5 \times (1091 + 359) = 725 ℃$

$λ_{с р} = 0,84 \times (1 + 0,695 \times 10^{- 3} \times 725) = 1,265 \frac{В т}{м \times ℃}$

$k = \frac{1}{\frac{1}{30} + \frac{0,25}{1,265} + \frac{1}{10}} = 3,02 \frac{В т}{м^{2} \times ℃}$

При этом плотность теплового потока:

$q = 3,02 \times (1200 - 30) = 3530 \frac{В т}{м^{2}}$

При новом значении плотности теплового потока вычисляем температуры t_с1 t_с₂:

$t_{с 1} = 1200 - \frac{3530}{30} = 1082 ℃$

$t_{с 2} = 30 + \frac{3530}{10} = 383 ℃$

Определяем среднее значения температуры стенки и коэффициент теплопроводности:

${\bar{t}}_{с} = 0,5 \times (1082 + 383) = 732 ℃$

$λ_{с р} = 0,84 \times (1 + 0,695 \times 10^{- 3} \times 732) = 1,267 \frac{В т}{м \times ℃}$

Так как полученное среднее значение коэффициента теплопроводности практически совпадает с принятым ранее значением, то дальнейших пересчетов делать не нужно и можно принять:

$q = 3530 \frac{В т}{м^{2}}$

Ответ: q = 3530 Вт/м².

Задача #1121

Условие:

В трубчатом теплообменнике средняя температура жидкости t_ж1 = 200 ℃, а t_ж2 = 100 ℃. Коэффициент теплоотдачи α₁ = 2000 Вт/(м² × К), α₂ = 100 Вт/(м² × К). Наружный диаметр латунных труб равен 20 мм, толщина стенки составляет 1 мм. Найдите коэффициент теплопередачи k, среднюю плотность теплового потока q от горячей жидкости к холодной, а также t_с1 и t_с2.

Решение:

Коэффициент теплопроводности латуни:

$λ = 100 \frac{В т}{(м \times К)}$

Термическое сопротивление:

- стенки трубы

$R_{λ} = \frac{δ}{λ} = \frac{0,001}{100} = 10^{- 5} м^{2} \times \frac{К}{В т}$

- теплоотдачи

$R_{α 1} = \frac{1}{α_{1}} = \frac{1}{2000} = 5 \times 10^{- 4} м^{2} \times \frac{К}{В т}$

$R_{α 2} = \frac{1}{α_{2}} = \frac{1}{100} = 0,01 м^{2} \times \frac{К}{В т}$

Средний коэффициент теплопередачи:

$k = \frac{1}{R_{α 1} + R_{λ} + R_{α 2}} = \frac{1}{5 \times 10^{- 4} + 10^{- 5} + 0,01} = 95,1 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Средняя плотность теплового потока:

$q = k (t_{ж 1} - t_{ж 2}) = 95,1 \times (200 - 100) = 9510 \frac{В т}{м^{2}}$

Температуры стенок:

$t_{с 1} = t_{ж 1} - \frac{q}{α_{1}} = 200 - \frac{9510}{2000} = 195,2 ℃$

$t_{с 2} = t_{ж 2} + \frac{q}{α_{2}} = 100 + \frac{9510}{100} = 195,1 ℃$

Ответ: k = 95,1 Вт/(м² × К); q = 9510 Вт/м²; t_с1 = 195,2 ℃; t_с2 = 195,1 ℃.

Задача #11210

Условие:

Стальной трубопровод [λ_с = 45,4 Вт/(м × К)] диаметром 60 × 5 мм холодильной установки имеет двухслойную тепловую изоляцию: слой мипоры 20 мм [λ_м = 0,041 Вт/(м × К)] и слой шлаковой ваты 30 мм [λ_ш.в = 0,07 Вт/(м × К)].

Определить долю каждого из изоляционных слоев и стенки трубы в общем изолирующем действии конструкции.

Решение:

Эффективность изоляции измеряется ее удельным термическим сопротивлением. Общее удельное термическое сопротивление стенки трубы и двух изоляционных слоев равно сумме частных сопротивлений.

В данном случае

$R_{1} = \frac{1}{2 \times 45,4} \times \ln \frac{60}{50} = 0,002 \frac{м \times К}{В т}$

$R_{2} = \frac{1}{2 \times 0,041} \times \ln \frac{100}{60} = 6,225 \frac{м \times К}{В т}$

$R_{3} = \frac{1}{2 \times 0,07} \times \ln \frac{160}{100} = 3,353 \frac{м \times К}{В т}$

и следовательно

$R = R_{1} + R_{2} + R_{3} = 9,58 \frac{м \times К}{В т}$

Таким образом, доля частных сопротивлений к общему

$R_{1} = \frac{0,002 \times 100}{9,58} = 0,02 %$

$R_{2} = \frac{6,225 \times 100}{9,58} = 64,98 %$

$R_{3} = \frac{3,353 \times 100}{9,58} = 35 %$

Необходимо обратить внимание на следующее: доля стенки металлической трубы в общем изоляционном действии конструкции ничтожна; тонкий слой качественной изоляции, положенной непосредственно на трубу, может дать больший изолирующий эффект, чем сравнительно толстый слой изоляции несколько худшего качества, положенный снаружи, на первый слой.

Ответ: стенка трубы 0,02 %; мипора 64,98 %; шлаковая вата 35 %.

Задача #1122

Условие:

Змеевики пароперегревателя выполнены из труб диаметром d₂/d₁ = 40/30 мм; материал труб – сталь 12X18H9T, λ = 22,4 Вт/(м × К). Найти максимальную t_м и среднюю t (в радиальном сечении) температуры участка трубы, если известно, что температура на расстоянии 2 мм от наружной поверхности составляет t₀ = 530 ℃, а тепловой поток на единицу длины q_l = 60100 Вт/м.

Решение:

Линейный тепловой поток для цилиндрической трубки:

$q_{l} = \frac{2 π λ (t_{м} - t_{0})}{\ln \frac{d_{2}}{d_{1}}}$

Откуда найдем t_м:

$t_{м} = t_{0} + \frac{q_{l} \ln \frac{d_{2}}{d_{1}}}{2 π λ} = 530 + \frac{60100 \times \ln \frac{40}{36}}{2 \times 3,14 \times 22,4} = 575 ℃$

Средняя t (в радиальном сечении) температура участка трубы:

$\bar{t} = \frac{\int_{r_{1}}^{r_{2}} t r d r}{\int_{r_{1}}^{r_{2}} r d r} - t_{м} + \frac{q_{l}}{2 π λ} [\int_{r_{1}}^{r_{2}} r d r (\ln r - \ln r_{2})] \times \frac{2}{r_{2}^{2} - r_{1}^{2}} =$

$= t_{м} + \frac{q_{l}}{2 π λ} [\frac{r_{2}^{2} (\ln r_{2} - 0,5) - r_{1}^{2} (\ln r_{1} - 0,5)}{r_{2}^{2} - r_{1}^{2}} - \ln r_{2}] =$

$= 575 + \frac{60100}{2 \times 3,14 \times 22,4} \times [\frac{20^{2} \times (\ln 20 - 0,5) - 15^{2} \times (\ln 15 - 0,5)}{20^{2} - 15^{2}} - \ln 20] = 519,4 ℃$

Ответ: t_м = 575 ℃; t = 519,4 ℃.

Задача #1123

Условие:

Стальной трубопровод диаметром d₁/d₂ = 100/110 мм с коэффициентом теплопроводности λ₁ = 50 Вт/(м × ℃) покрыт изоляцией в два слоя одинаковой толщины δ₂ = δ₃ = 50 мм. Температура внутренней поверхности трубы t_с1 = 250 ℃ и наружной поверхности изоляции t_с4 = 50 ℃.

Определить потери теплоты через изоляцию с 1 м трубопровода и температуру на границе соприкосновения слоев изоляции, если первый слой изоляции, накладываемый на поверхность трубы, выполнен из материала с коэффициентом теплопроводности λ₂ = 0,06 Вт/(м × ℃), а второй слой – из материала с коэффициентом теплопроводности λ₃ = 0,12 Вт/(м × ℃).

Как изменяться тепловые потери с 1 м трубопровода, рассмотренного в задаче, если слои изоляции поменять местами, т. е. Слой с большим коэффициентом теплопроводности наложить непосредственно на поверхность трубы? Все другие условия оставить без изменений.

Решение:

Диаметры:

- на соприкосновении слоев

$d_{3} = d_{2} + 2 δ_{2} = 110 + 2 \times 50 = 210 м м$

- наружной изоляции

$d_{4} = d_{3} + 2 δ_{3} = 210 + 2 \times 50 = 310 м м$

Линейная плотность теплового потока:

$q_{l (1)} = \frac{π (t_{с 1} - t_{с 4})}{\frac{1}{2 λ_{1}} \ln \frac{d_{2}}{d_{1}} + \frac{1}{2 λ_{2}} \ln \frac{d_{3}}{d_{2}} + \frac{1}{2 λ_{3}} \ln \frac{d_{4}}{d_{3}}} =$

$= \frac{3,14 \times (250 - 50)}{\frac{1}{2 \times 50} \times \ln \frac{110}{100} + \frac{1}{2 \times 0,06} \times \ln \frac{210}{110} + \frac{1}{2 \times 0,12} \times \ln \frac{310}{210}} = 89,6 \frac{В т}{м}$

Температура:

- на границе соприкосновения трубы и изоляции

$t_{с 2} = t_{с 1} - \frac{q_{l}}{π} (\frac{1}{2 λ_{1}} \ln \frac{d_{2}}{d_{1}}) =$

$= 250 - \frac{89,6}{3,14} \times (\frac{1}{2 \times 50} \ln \frac{110}{100}) \approx 250 ℃$

- на границе соприкосновения слоев изоляции

$t_{с 3} = t_{с 2} - \frac{q_{l}}{π} (\frac{1}{2 λ_{2}} \ln \frac{d_{3}}{d_{2}}) =$

$= 250 - \frac{89,6}{3,14} \times (\frac{1}{2 \times 0,06} \ln \frac{210}{110}) = 96,2 ℃$

- промежуточные температуры в середине слоев изоляции

$t_{δ 2 / 2} = t_{с 2} - \frac{q_{l}}{π} (\frac{1}{2 λ_{2}} \ln \frac{d_{2} + δ_{2}}{d_{2}}) =$

$= 250 - \frac{89,6}{3,14} \times (\frac{1}{2 \times 0,06} \ln \frac{110 + 50}{110}) = 160,9 ℃$

$t_{δ 3 / 2} = t_{с 3} - \frac{q_{l}}{π} (\frac{1}{2 λ_{3}} \ln \frac{d_{3} + δ_{3}}{d_{3}}) =$

$= 96,2 - \frac{89,6}{3,14} \times (\frac{1}{2 \times 0,12} \ln \frac{210 + 50}{210}) = 70,8 ℃$

При изменении порядка слоев изоляции:

- линейная плотность теплового потока

$q_{l (2)} = \frac{π (t_{с 1} - t_{с 4})}{\frac{1}{2 λ_{1}} \ln \frac{d_{2}}{d_{1}} + \frac{1}{2 λ_{3}} \ln \frac{d_{3}}{d_{2}} + \frac{1}{2 λ_{2}} \ln \frac{d_{4}}{d_{3}}} =$

$= \frac{3,14 \times (250 - 50)}{\frac{1}{2 \times 50} \times \ln \frac{110}{100} + \frac{1}{2 \times 0,12} \times \ln \frac{210}{110} + \frac{1}{2 \times 0,06} \times \ln \frac{310}{210}} = 105,7 \frac{В т}{м}$

- на границе соприкосновения трубы и изоляции

$t_{с 2} = t_{с 1} - \frac{q_{l}}{π} (\frac{1}{2 λ_{1}} \ln \frac{d_{2}}{d_{1}}) =$

$= 250 - \frac{105,7}{3,14} \times (\frac{1}{2 \times 50} \ln \frac{110}{100}) \approx 250 ℃$

- температура на границе соприкосновения слоев изоляции

$t_{с 3} = t_{с 2} - \frac{q_{l}}{π} (\frac{1}{2 λ_{3}} \ln \frac{d_{3}}{d_{2}}) =$

$= 250 - \frac{105,7}{3,14} \times (\frac{1}{2 \times 0,12} \ln \frac{210}{110}) = 159,3 ℃$

- промежуточные температуры в середине слоев изоляции

$t_{δ 2 / 2} = t_{с 2} - \frac{q_{l}}{π} (\frac{1}{2 λ_{3}} \ln \frac{d_{2} + δ_{2}}{d_{2}}) =$

$= 250 - \frac{105,7}{3,14} \times (\frac{1}{2 \times 0,12} \ln \frac{110 + 50}{110}) = 197,4 ℃$

$t_{δ 3 / 2} = t_{с 3} - \frac{q_{l}}{π} (\frac{1}{2 λ_{2}} \ln \frac{d_{3} + δ_{3}}{d_{3}}) =$

$= 159,3 - \frac{105,7}{3,14} \times (\frac{1}{2 \times 0,06} \ln \frac{210 + 50}{210}) = 99,4 ℃$

Увеличения тепловых потерь:

$Δ q = 100 \frac{105,7 - 89,6}{89,6} = 18 %$

В обоих случаях построим температурные графики.

Ответ: q_l₍₁₎ = 89,6 Вт/м; q_l₍₂₎ = 105,7 Вт/м; Δq = 18 %.

Задача #1124

Условие:

Определить количество теплоты, проходящее через единицу длины стенки камеры сгорания ЖРД диаметром d = 180 мм, если толщиной стенки δ_w = 2,5 мм, коэффициент теплопроводности материала из хромоникелевой стали марки 1Х18Н9Т λ = 34,9 Вт/(м × ℃). Температуры на поверхностях стенке поддерживаются постоянными и равными t_w₁ = 1200 ℃ и t_w₂ = 600 ℃.

Для данных условий задачи определить количество теплоты, прошедшее через единицу длины стенки камеры сгорания ЖРД с защитным покрытием толщиной δ_п = 0,5 мм и его коэффициентом теплопроводности λ_п = 2,67 Вт/(м × ℃).

Решение:

Наружный диаметр трубы:

$d_{н} = d + 2 δ_{w} = 180 + 2 \times 2,5 = 185 м м$

Внутренний диаметр трубы с учетом защитного покрытия:

$d_{п} = d - 2 δ_{п} = 180 - 2 \times 0,5 = 179 м м$

Количество теплоты, проходящее через единицу длины стенки камеры:

- без защитного покрытия

$q_{l} = \frac{π (t_{w 1} - t_{w 2})}{\frac{1}{2 λ} \ln \frac{d_{н}}{d}} = \frac{3,14 \times (1200 - 600)}{\frac{1}{2 \times 34,9} \times \ln \frac{185}{180}} = 4,80 \times 10^{6} \frac{В т}{м}$

- с защитным покрытием

$q_{l}^{’} = \frac{π (t_{w 1} - t_{w 2})}{\frac{1}{2 λ_{п}} \ln \frac{d}{d_{п}} + \frac{1}{2 λ} \ln \frac{d_{н}}{d}} = \frac{3,14 \times (1200 - 600)}{\frac{1}{2 \times 2,67} \times \ln \frac{180}{179} + \frac{1}{2 \times 34,9} \times \ln \frac{185}{180}} = 1,312 \times 10^{6} \frac{В т}{м}$

Ответ: q_l = 4,80 × 10⁶ Вт/м; q’_l = 1,312 × 10⁶ Вт/м.

Задача #1125

Условие:

Стенка камеры сгорания РД диаметром 200/206 мм покрыта с внутренней стороны слоем тугоплавкого покрытия толщиной δ = 1 мм; коэффициент теплопроводности стенки камеры и покрытия соответственно равны λ_w = 41,8 Вт/(м × ℃) и λ_п = 1,395 Вт/(м × ℃); температура на внутренней поверхности покрытия t_w1 = 2500 ℃ и на внешней поверхности стенки t_w₃ = 500 ℃. Определить удельный тепловой поток на единицу длины стенки и температуры поверхностей стенок в зоне контакта, если термическое сопротивление контакта R_к = 0,757 × 10^-3 (м² × ℃)/Вт.

Решение:

Внутренний диаметр камеры сгорания РД с учетом внутреннего покрытия:

$d_{1} = d_{2} - 2 δ = 200 - 2 \times 1 = 198 м м$

Удельный тепловой поток на единицу длины стенки:

$q_{l} = \frac{π (t_{w 1} - t_{w 3})}{\frac{1}{2 λ_{п}} \ln \frac{d_{2}}{d_{1}} + \frac{1}{2 λ_{w}} \ln \frac{d_{3}}{d_{2}} + \frac{R_{к}}{d_{2}}} =$

$= \frac{3,14 \times (2500 - 500)}{\frac{1}{2 \times 1,395} \times \ln \frac{200}{198} + \frac{1}{2 \times 41,8} \times \ln \frac{206}{200} + \frac{0,757 \times 10^{- 3}}{0,2}} = 811281 В т$

Температура в зоне контакта:

$t_{w 2}^{’} = t_{w 1} - \frac{q_{l}}{π} (\frac{1}{2 λ_{п}} \ln \frac{d_{2}}{d_{1}}) = 2500 - \frac{811281}{3,14} \times (\frac{1}{2 \times 1,395} \times \ln \frac{200}{198}) = 1569,3 ℃$

$t_{w 2}^{’ ’} = t_{w 2}^{’} - \frac{q_{l} R_{к}}{π d_{2}} = 1569,3 - \frac{811281 \times 0,757 \times 10^{- 3}}{3,14 \times 0,2} = 593,4 ℃$

Ответ: q_l = 811281 Вт; t’_w2 = 1569,3 ℃; t’’_w2 = 593,4 ℃.

Задача #1126

Условие:

Электропровод диаметром 2 мм необходимо изолировать каучуковой изоляцией, чтобы отдача теплоты от провода была максимальной при условии, если коэффициент теплопроводности каучука λ = 0,163 Вт/(м × ℃), а коэффициент теплоотдачи поверхности изоляции воздуху α = 16,3 Вт/(м² × ℃).

Решение:

Тепловой поток достигает максимума при

$d_{и з} = d_{к р} = \frac{2 λ_{и з}}{α} = \frac{2 \times 0,163}{16,3} = 0,02 м$

диаметр электропровода d = 2 мм = 0,002 м, т. е.

$d_{к р} > d_{2}$

Следовательно, при покрытии электропровода изоляцией из каучука теплоотдача увеличивается и при толщине

$δ = \frac{0,02 - 0,002}{2} = 0,009 м = 9 м м$

тепловой поток достигает максимума.

Ответ: δ = 9 мм.

Задача #1127

Условие:

По стеклянному трубопроводу диаметром 56 × 3 мм [λ_стк = 0,745 Вт/(м × К)] течет пастеризованное молоко. Температура внутренней поверхности трубы t^I = 74,5 ℃. Температура молока понижается в среднем на 1 ℃ (на каждые 10 м длины трубопровода при скорости движения жидкости w = 0,5 м/с). Удельная теплоемкость молока c_м = 3840 Дж/(кг × К). Плотность ρ_м = 1030 кг/м³.

Определить температуру наружной поверхности трубы.

Решение:

Количество молока, проходящее через трубу,

$M = \frac{π d^{2}}{4} w = \frac{π \times {0,05}^{2}}{4} \times 0,5 \times 1030 = 1,01 \frac{к г}{с}$

Количество теплоты, которое молоко отдает стенке на участке трубы длиной 1 м

$q_{l} = M c_{м} Δ t = 1,01 \times 3840 \times 0,1 = 388,1 \frac{В т}{м}$

с другой стороны,

$q_{l} = \frac{2 π λ (t^{I} - t^{I I})}{\ln \frac{d_{2}}{d_{1}}}$

Отсюда температура на наружной поверхности трубы

$t^{I I} = t^{I} - \frac{q_{l} \ln \frac{d_{2}}{d_{1}}}{2 π λ} = 74,5 - \frac{388 \times \ln \frac{56}{50}}{2 \times 3,14 \times 0,745} = 65 ℃$

Ответ: t^II = 65 ℃.

Задача #1128

Условие:

Проверить, можно ли прокладывать канализацию бетонными трубами [λ₆ = 1,28 Вт/(м × К)] диаметром 150 × 25 мм без тепловой изоляции в грунте, температура которого на глубине заложения трубы непосредственно у ее поверхности достигает t^II = -1,8 ℃. Температура замерзания жидкости в канализации t_з = -0,5 ℃. Тепловой поток на 1 м трубы q_l = 21,7 Вт/м.

Влияние скорости движения по трубе в расчет не принимается.

Решение:

Для решения задачи необходимо выяснить, будет ли жидкость в канализации при данных условиях намерзать на внутренней поверхности труб. Это будет происходить, если температура внутренней поверхности трубы t^I окажется ниже точки замерзания t₃ = -0,5 ℃.

Для однослойной цилиндрической стенки трубы в соответствии с формулой

$t^{I} = \frac{q_{l} \ln \frac{d_{2}}{d_{1}}}{2 π λ_{б}} - t^{I I} = \frac{21,7 \times \ln \frac{150}{100}}{2 \times 3,14 \times 1,28} - 1,8 = - 0,71 ℃$

Ответ: температура внутренней поверхности t^I = -0,71 ℃. Следовательно, прокладка труб без изоляции на данной глубине недопустима.

Задача #1129

Условие:

Стальной трубопровод диаметром 108 × 5 мм [λ₁ = 50,3 Вт/(м × К)] имеет трехслойную изоляцию (рис.). Толщина первого слоя δ₁ = 25 мм [λ₂ = 0,038 Вт/(м × К)]; второго — δ₂ = 35 мм [λ₃ = 0,052 Вт/(м × К)] и третьего — δ₃ = 4 мм (λ₄ = 0,116 Вт/(м × К)]. Температура на внутренней поверхности трубы t^I = 218 ℃, на наружной поверхности второго слоя изоляции I^IV = 76 ℃.

Определить неизвестные температуры на поверхностях слоев.

Решение:

Чтобы определить температуры поверхностей слоев, необходимо рассчитать тепловой поток на 1 м трубы.

Температурному перепаду t^I - I^IV соответствует удельное термическое сопротивление теплопроводности

$R_{1} + R_{2} + R_{3} = \frac{1}{2 λ_{1}} \ln \frac{d_{2}}{d_{1}} + \frac{1}{2 λ_{2}} \ln \frac{d_{3}}{d_{2}} + \frac{1}{2 λ_{3}} \ln \frac{d_{4}}{d_{3}}$

Зависимость между температурной разностью и удельным термическим сопротивлением для нескольких слоев многослойной стенки такая же, как общая зависимость для всех слоев стенки в целом,

$q_{l} = \frac{π Δ t}{R}$

При стационарном тепловом процессе через каждый из слоев проходит один и тот же тепловой поток, равный потоку через всю многослойную стенку

$q_{l} = \frac{π (t^{I} - t^{I V})}{R_{1} + R_{2} + R_{3}} = \frac{π (t^{I} - t^{V})}{R_{1} + R_{2} + R_{3} + R_{4}}$

так как t^V неизвестно, воспользуемся левой частью этого выражения, откуда можно определить q_l

$q_{l} = \frac{3,14 \times (218 - 76)}{\frac{1}{2 \times 50,3} \times \ln \frac{108}{98} + \frac{1}{2 \times 0,038} \times \ln \frac{158}{108} + \frac{1}{2 \times 0,052} \times \ln \frac{228}{158}} = 52,24 \frac{В т}{м}$

Зная q_l можно рассчитать температуры поверхностей слоев.

Для расчета каждой температуры составляют уравнение теплового потока через данный слой, так чтобы в это уравнение входили одна из известных (заданных) температур и искомая температура. При этом необходимо строго следить за тем, чтобы сумма удельных тепловых сопротивлений в знаменателе дробного выражения для q_l соответствовала температурной разности, взятой в числителе; например, для первого слоя (стенка трубы)

$t^{I I} = t^{I} - \frac{q_{l} R_{1}}{π} = 218 - \frac{52,24 \times 0,001}{3,14} = 217,98 ℃$

для второго слоя аналогично предыдущему расчету

$t^{I I I} = t^{I I} - \frac{q_{l} R_{2}}{π} = 217,98 - \frac{52,24 \times 5,0073}{3,14} = 134,67 ℃$

для третьего слоя t^IV известно из условия задачи (t^IV = 76 ℃). Все же произведем расчет в целях проверки данных, полученных ранее:

$t^{I V} = t^{I I I} - \frac{q_{l} R_{3}}{π} = 134,67 - \frac{52,24 \times 3,5269}{3,14} = 75,99 ℃ \approx 76 ℃$

Таким же образом можно определить t^V для четвертого слоя изоляции

$t^{V} = t^{I V} - \frac{q_{l} R_{4}}{π} = 76 - \frac{52,24 \times 0,148}{3,14} = 73,54 ℃$

Необходимо обратить внимание на возможность определения температур последующих слоев без нахождения температуры предыдущего; например, можно найти t^III, не зная t^II

$q_{l} = \frac{π (t^{I} - t^{I I I})}{R_{1} + R_{2}}$

т. е.

$52,24 = \frac{3,14 \times (218 - t^{I I I})}{0,001 + 5,0073}$

откуда, как и при последовательном расчете, найдем t^III

$t^{I I I} = 218 - 83,32 = 134,68 ℃$

Эту возможность следует использовать для уменьшения вероятности ошибок и снижения погрешности расчетов. Каждую из искомых температур рекомендуется определять не на основании найденной по расчету температуры предыдущей поверхности, а по заданным в условии известным температурам.

Ответ: t^II = 217,98 ℃; t^I^I^I = 134,67 ℃; t^V = 73,54 ℃.

Задача #1131

Условие:

Шаровой реактор, внутренний диаметр которого d₁ = 1 м, имеет общую толщину стенки и слоя изоляции δ = 65 мм с эквивалентным коэффициентом теплопроводности λ_экв = 1,047 Вт/(м × ℃). Определить удельную тепловую нагрузку внутренней и наружной поверхности стенки реактора, если температура внутренней поверхности стенки t_w1 = 160 ℃, а внешней t_w₂ = 60 ℃.

Решение:

Общее количество теплоты, выделяемое реактором:

$Q = \frac{4 π λ_{э к в} (t_{w 1} - t_{w 2})}{\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{1} + δ}} = \frac{4 \times 3,14 \times 1,047 \times (160 - 60)}{\frac{1}{0,5} - \frac{1}{0,5 + 0,065}} = 5715 В т$

Удельная тепловая нагрузка на 1 м² внутренней и наружной поверхностей:

$q_{в н} = \frac{Q}{π d_{1}^{2}} = \frac{5715}{3,14 \times 1^{2}} = 1820 \frac{В т}{м^{2}}$

$q_{н а р} = \frac{Q}{π {(d_{1} + 2 δ)}^{2}} = \frac{5715}{3,14 \times {(1 + 2 \times 0,065)}^{2}} = 1425 \frac{В т}{м^{2}}$

Ответ: q_вн = 1820 Вт/м²; q_нар = 1425 Вт/м².

Задача #1132

Условие:

Шаровой реактор наружным диаметром 960 мм имеет стенку толщиной 50 мм, состоящую из кварцевого стекла и нержавеющей стали, с эквивалентной теплопроводностью λ_экв = 1,49 Вт/(м × К). Вследствие выделения тепла при экзотермической реакции температура внутренней поверхности стенки 210 ℃, наружной поверхности 80 ℃.

Определить плотность теплового потока для наружной и внутренней поверхностей реактора.

Решение:

1) Общее количество выделяемой реактором теплоты

$Q = \frac{4 π λ_{э к в} (t^{I} - t^{I I})}{\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}}} = \frac{4 \times 3,14 \times 1,49 \times (210 - 80)}{\frac{1}{0,43} - \frac{1}{0,48}} = 10042,8 В т$

2) Тепловая нагрузка стенки характеризуется плотностью теплового потока для наружной поверхности

$q_{н а р} = \frac{Q}{F_{н а р}} = \frac{Q}{π d_{2}^{2}} = \frac{10042,8}{3,14 \times {0,96}^{2}} = 3470 \frac{В т}{м^{2}}$

3) Плотность теплового потока для внутренней поверхности. Если отношение поверхностей

$\frac{F_{в н}}{F_{н а р}} = {(\frac{d_{1}}{d_{2}})}^{2} = {(\frac{0,86}{0,96})}^{2} = 0,8025$

то

$q_{в н} = \frac{q_{н а р}}{0,8025} = \frac{3470,4}{0,8025} = 4325 \frac{В т}{м^{2}}$

Ответ: q_нар = 3470 Вт/м²; q_вн = 4325 Вт/м².

Теплопроводность и теплопередача при стационарном режиме

Содержание главы

Примеры решений задач

Задача #1111

Задача #11110

Задача #11111

Задача #11112

Задача #11113

Задача #11114

Задача #11115

Задача #11116

Задача #11117

Задача #1112

Задача #1113

Задача #1114

Задача #1115

Задача #1116

Задача #1117

Задача #1118

Задача #1119

Задача #1121

Задача #11210

Задача #1122

Задача #1123

Задача #1124

Задача #1125

Задача #1126

Задача #1127

Задача #1128

Задача #1129

Задача #1131

Задача #1132

Навигация по странице

Сборник задач

Смежные главы