ЗакладкиКорзинаЗаказы

Оглавление раздела

  1. Плоская стенка
  2. Цилиндрическая стенка
  3. Шаровая стенка

Примеры решений задач

Данные примеры задач, относятся к предмету «Тепломассообмен».

Задача 1-1-1-1

Условие:

Плоская стенка выполнена из материала с коэффициентом теплопроводности λ = 20 Вт/(м × К). Толщина стенки δ = 10 мм. На одной стороне стенки температура tс1 = 100 ℃, на другой 90 ℃. Найти плотность теплового потока через стенку и температуру в середине стенки.

Решение:

Плотность теплового потока:

q=λtст1-tст2δ×10-3=20×100-9010×10-3=20000Втм2

Так как при λ = const температура в стенке изменяется по линейному закону, то в середине стенки:

tср=12tст1+tст2=12×100+90=95 

Ответ: q = 20000 Вт/м2; tср = 95 ℃.

Задача 1-1-1-10

Условие:

Определить, сколько теплоты передается ежечасно через стенки картера авиадвигателя, если толщина стенок δ = 5,5 мм, поверхность F = 0,6 м2, температура на внутренней поверхности картера tw1 = 75 ℃, на наружной tw2 = 68 ℃, а средний коэффициент теплопроводности стенок λ = 175 Вт/(м × К).

Решение:

Количество теплоты, передаваемое через стенки картера двигателя в час:

Q=λδtw1-tw2F=1750,0055×75-68×0,61=133636 Вт

Ответ: Q = 133636 Вт.

Задача 1-1-1-11

Условие:

Определить толщину тепловой изоляции δ, выполненной из: 1) альфоля и 2) шлаковой ваты. Удельные потери теплоты через изоляционный слой q = 523 Вт/м2, температуры его поверхностей tw1 = 700 ℃ и tw2 = 40 ℃. Коэффициент теплопроводности альфоля при толщине воздушных слоев 10 мм λа = 0,0302 + 0,000085t и коэффициент теплопроводности шлаковой ваты λш = 0,058 + 0,000145t

Решение:

Средний коэффициент теплопроводности:

- альфоля

λа=0,0302+0,000085tw1+tw22=

=0,0302+0,000085×700+402=0,0617Втм×

- шлаковой ваты

λш=0,058+0,000145tw1+tw22=

=0,058+0,000145×700+402=0,1117Втм×

Толщина тепловой изоляции:

- альфоля

δа=λаqtw1-tw2=0,0617523×700-40=0,0778 м=77,8 мм

- шлаковой ваты

δш=λшqtw1-tw2=0,1117523×700-40=0,141 м=141 мм

Ответ: δа = 77,8 мм; δш = 141 мм.

Задача 1-1-1-2

Условие:

Чтобы уменьшить до заданного значения тепловые потери с поверхности промышленного теплообменника, решили закупить тепловую изоляцию с λ’из = 0,2 Вт/(м × К). Оказалось, что на складе имеется изоляция, для которой λ’’из = 0,1 Вт/(м × К), но она на 50 % дороже первой. Больше или меньше (и насколько) придется заплатить за вторую изоляцию?

Решение:

Количество закупаемого материала прямо пропорционально толщине изоляционного слоя. Тепловые потери будут равны заданному значению, если

δизλиз=δизλиз

Толщина слоя изоляции во втором случае в два раза меньше, чем в первом. При этом стоимость второй изоляции составляет 75 % стоимости первой. То есть за вторую изоляцию нужно будет заплатить на 25 % меньше.

Ответ: нужно будет заплатить на 25 % меньше.

Задача 1-1-1-3

Условие:

Температура внешней металлической поверхности сушильной камеры tс1 = 150 ℃. Сушильная камера изолирована матами из минеральной стекловаты. Толщина мата δ = 60 мм. Температура воздуха в помещении tж2 = 15 ℃ и коэффициент теплоотдачи α2 = 10 Вт/(м2 × К). Найдите температуру наружной поверхности тепловой изоляции tс2.

Решение:

Для минеральной стекловаты коэффициент теплопроводности:

λ=0,052+0,00064t=0,052+0,00032tс1+tс2

Из равенства теплового потока, следует:

q=λδtс1-tс2=α2tс2-tж2

Методом подбора найдем искомую температуру:

tс1=28 

Ответ: tс1 = 28 ℃.

Задача 1-1-1-4

Условие:

Образец материала для определения λ методом пластины выполнен в форме диска диаметром d = 0,5 м, толщиной δ = 0,03 м и помещен между холодильником и плоским рабочим электронагревателем (РН) мощностью Q = 160 Вт. Имеются охранные нагреватели снизу и по кольцу вокруг РН для предотвращения растекания теплоты в нижнем и боковом направлениях. Определить λ с использованием значений температуры поверхностей образца (℃): t1 = 10, t2 = 45, t*1 = 25, t*2 = 58, характеризующих два возможных одномерных стационарных поля в образце при отключенном нижнем (охранном) нагревателе, но неизменном значении Q. Температура окружающей среды tс = 25 ℃. Термосопротивлением между образцом и РН пренебречь.

Решение:

Здесь справедливы отношения

4Qπd2=λt2-t1δ+t2-tсR=λt2*-t1*δ+t2*-tсR

где R – термосопротивление между РН и средой.

Подставим известный численные значения:

4×1603,14×0,52=45-10λδ+45-25R=58-25λδ+58-25R

или после сокращения

814,8=35λδ+20R=33λδ+1R

Это соотношение представляет собой систему из двух уравнений относительно λ/δ и R. Из него следует

R=0,304м×КК

λ=21,33×0,03=0,64Втм×К (асфальт)

Ответ: λ = 0,64 Вт/(м× К).

Задача 1-1-1-5

Условие:

При работе печи с обмуровкой, выполненной из шамотного [λ1 = 0,84 (1+0,695 t/1000) Вт/(м × К), δ1 = 0,24 м] и красного [λк = 0,70 Вт/(м × К)] кирпича, температуры на внутренних поверхностях слоев составляли t1 и tк = 850 ℃. После замены части слоя красного кирпича (толщиной δэ) промежуточной засыпкой из диатомовой крошки [λ2 = 0,113 (1+0,002 t) Вт/(м × К), δ2 = 0,092 м] – без изменения t1 и плотности теплового потока q – получено, что tк = 430 ℃. Определить t1, q и уменьшение толщины обмуровки Δδ.

Решение:

Из условия задачи видно, что по толщине засыпки температура изменяется от t2 = 850 ℃ до t3 = 430 ℃. Поэтому применение формул типа

q=λ-iti+1-tiδi

λ-i=titi+1λ-it dtti+1-ti

справедливо при любом характере зависимости λi(t); при i = 2, а затем при i = 1 получаем значения:

λ2=0,1131+0,002t3+t22=

=0,113×1+0,002×430+8502=0,258Втм×К

q=λ2t3-t2δ2=0,258×430-8500,092=-1176Втм2

λ1=0,841+0,695×t1+8502×1000

1176=λ1t1-8500,24

t1=1052 

λкδэ=λ2δ2

δэ=0,092×0,700,258=0,25 м

Δδ=δэ-δ2=0,25-0,092=0,158 м

Ответ: t1 = 1052 ℃; q = -1176 Вт/м2; Δδ = 0,158 м.

Задача 1-1-1-6

Условие:

135011459208006703902305002004006008001000120014001600050100150200250t,x,ммv.s.e-z.a.d.a.c.h.i.ru

Плоская стенка выполнена из шамотного кирпича толщиной δ = 250 мм. Температура ее поверхностей: tс1 = 1350 ℃ и tс2 = 50 ℃. Коэффициент теплопроводности шамотного кирпича является функцией от температуры λ = 0,838×(1 + 0,0007 t).

Вычислить и изобразить в масштабе распределение температуры в стенке.

Решение:

В случае линейной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры плотность теплового потока, Вт/м2,

q=λсрδtс1-tс2

где средний коэффициент теплопроводности, Вт/(м × ℃),

λср=λ01+btс1+tс22

В рассматриваемом случае

λср=0,838×1+0,0007×1350+502=1,25Втм×

и

q=1,250,25×1350-50=6500Втм2

Температура на любом расстоянии x от поверхности стенки определяется по формуле:

tx=1b+tс12-2qxλ0b-1b

Подставив известное значение λ0 и найденное значение q, получим:

tx=10,0007+13502-2×6500x0,838×0,0007-10,0007

откуда

tx=7,74-22,3x-1,43×103

Подставим в полученное уравнение значения x, выраженные в метрах, найдем соответствующие значения температуры стенки.

Результаты сведем в таблицу и построим график.

x, ммt, ℃
01350
501145
100920
125800
150670
200390
225230
25050

Ответ: в таблице.

Задача 1-1-1-7

Условие:

770560370200100080060040020002004006008001000120000,050,10,150,2t,x,мtx(л)tx(н)v.s.e-z.a.d.a.c.h.i.ru

Температуры на поверхности шамотной стенки, толщина которой δ = 200 мм, равны: tс1 = 1000 ℃ и tс2 = 200 ℃. Коэффициент теплопроводности шамота изменяется в зависимости от температуры по уравнению

λ = 0,813 + 0,000582 t

Показать, что плотность теплового потока q, Вт/м2, в случае линейной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры может быть вычислена по формуле для постоянного коэффициента теплопроводности, взятого при средней температуре стенки.

Найти ошибку в определении температуры в точках х = 57,5; 110 и 157,5 мм, если вычисления производятся по значению коэффициента теплопроводности, среднему для заданного интервала температур и построить график распределения температуры в стенке.

Решение:

Средняя температура стенки:

tср=tс1+tс22=1000+2002=600 

Среднеарифметический коэффициент теплопроводности:

λср=0,813+0,000582tср=0,813+0,000582×600=1,162Втм×

Перепишем уравнения линейной зависимости теплопроводности от температуры:

λ=λ01+bt0,8131+7,159×10-4t

Плотность теплового потока через стенку:

q=tс1-tс2δλср=1000-200200×10-31,162=4648Втм2

Линейная зависимость температуры от x:

txл=tс1-qxλср

txл=1000-4648x1,162 

txл=1000-4000x (1)

Нелинейная зависимость температуры от x:

txн=1b+tс12-2qxλ0b-1b

txн=17,159×10-4+10002-2×4648x0,813×7,159×10-4-17,159×10-4

txн=5744857-15971776x0,5-1397 2

Погрешность:

=100txл-txнtxл 3

Результаты вычислений по формулам (1), (2) и (3) сведем в таблицу и построим график.

xtx(л)tx(н)Δ, %
0100010000
0,0575770800-3,75
0,11560600-6,67
0,1575370400-7,5
0,22002000

Ответ: в таблице.

Задача 1-1-1-8

Условие:

Красный кирпичШамотный кирпичДиатомитовая засыпка12050250v.s.e-z.a.d.a.c.h.i.ru

Обмуровка печи состоит из слоев шамотного и красного кирпича, между которыми расположена засыпка из диатомита. Толщина шамотного слоя δ1 = 120 мм, диатомитовой засыпки δ2 = 50 мм и красного кирпича δ3 = 250 мм. Коэффициенты теплопроводности материалов соответственно равны: λ1 = 0,93 Вт/(м × ℃); λ2 = 0,13 Вт/(м × ℃) и λ3 = 0,7 Вт/(м × ℃).

Какой толщины следует сделать слой из красного кирпича δ3, если отказаться от применения засыпки из диатомита, чтобы тепловой поток через обмуровку оставался неизменным?

Решение:

Коэффициент теплопередачи в обеих случаях равен:

k=1δ1λ1+δ2λ2+δ3λ3=10,120,93+0,050,13+0,250,7=1,148Втм2×

Тогда найдем толщину красного кирпича в двухслойной стенке:

x=λ31k-δ1λ1=0,7×11,148-0,120,7=0,490 м

Округляем до кратного размера кирпича:

x=500 мм

Ответ: x = 500 мм.

Задача 1-1-1-9

Условие:

Обмуровка печи выполнена из слоя шамотного кирпича с коэффициентом теплопроводности λ = 0,84 × (1 + 0,695 × 10-3 t), Вт/(м × ℃); толщина обмуровки δ = 250 мм.

Определить потери теплоты с одного квадратного метра поверхности q, Вт/м2, и температуры на внешних поверхностях стены, если температура газов в печи tж1 = 1200 ℃ и воздуха в помещении tж2 = 30 ℃, коэффициент теплоотдачи от газов к стенке α1 = 30 Вт/(м2 × ℃) и от обмуровки к окружающему воздуху α2 = 10 Вт/(м2 × ℃).

Решение:

Зададимся средней температурой стенки:

t-с=650 

При этой температуре коэффициент теплопроводности шамотного кирпича равен:

λср=0,84×1+0,695×10-3×650=1,12Втм×

Определяем коэффициент теплопередачи:

k=11α1+δλср+1α2=1130+0,251,12+110=2,81Втм2×

и плотность теплового потока

q=ktж1-tж2=2,81×1200-30=3290Втм2

При полученной плотности теплового потока вычисляем температуры на поверхностях стенки:

tс1=tж1-qα1=1200-329030=1091 

tс2=tж2+qα2=30+329010=359 

Определяем среднюю температуру стенки и уточняем значение коэффициента теплопроводности:

t-с=0,5×1091+359=725 

λср=0,84×1+0,695×10-3×725=1,265Втм×

k=1130+0,251,265+110=3,02Втм2×

При этом плотность теплового потока:

q=3,02×1200-30=3530Втм2

При новом значении плотности теплового потока вычисляем температуры tс1 tс2:

tс1=1200-353030=1082 

tс2=30+353010=383 

Определяем среднее значения температуры стенки и коэффициент теплопроводности:

t-с=0,5×1082+383=732 

λср=0,84×1+0,695×10-3×732=1,267Втм×

Так как полученное среднее значение коэффициента теплопроводности практически совпадает с принятым ранее значением, то дальнейших пересчетов делать не нужно и можно принять:

q=3530Втм2

Ответ: q = 3530 Вт/м2.

Задача 1-1-2-1

Условие:

В трубчатом теплообменнике средняя температура жидкости tж1 = 200 ℃, а tж2 = 100 ℃. Коэффициент теплоотдачи α1 = 2000 Вт/(м2 × К), α2 = 100 Вт/(м2 × К). Наружный диаметр латунных труб равен 20 мм, толщина стенки составляет 1 мм. Найдите коэффициент теплопередачи k, среднюю плотность теплового потока q от горячей жидкости к холодной, а также tс1 и tс2.

Решение:

Коэффициент теплопроводности латуни:

λ=100Втм×К

Термическое сопротивление:

- стенки трубы

Rλ=δλ=0,001100=10-5 м2×КВт

- теплоотдачи

Rα1=1α1=12000=5×10-4 м2×КВт

Rα2=1α2=1100=0,01 м2×КВт

Средний коэффициент теплопередачи:

k=1Rα1+Rλ+Rα2=15×10-4+10-5+0,01=95,1Втм2×К

Средняя плотность теплового потока:

q=ktж1-tж2=95,1×200-100=9510Втм2

Температуры стенок:

tс1=tж1-qα1=200-95102000=195,2 

tс2=tж2+qα2=100+9510100=195,1 

Ответ: k = 95,1 Вт/(м2 × К); q = 9510 Вт/м2; tс1 = 195,2 ℃; tс2 = 195,1 ℃.

Задача 1-1-2-2

Условие:

Змеевики пароперегревателя выполнены из труб диаметром d2/d1 = 40/30 мм; материал труб – сталь 12X18H9T, λ = 22,4 Вт/(м × К). Найти максимальную tм и среднюю t (в радиальном сечении) температуры участка трубы, если известно, что температура на расстоянии 2 мм от наружной поверхности составляет t0 = 530 ℃, а тепловой поток на единицу длины ql = 60100 Вт/м.

Решение:

Линейный тепловой поток для цилиндрической трубки:

ql=2πλtм-t0lnd2d1

Откуда найдем tм:

tм=t0+qllnd2d12πλ=530+60100×ln40362×3,14×22,4=575 

Средняя t (в радиальном сечении) температура участка трубы:

t-=r1r2tr drr1r2r dr-tм+ql2πλr1r2r drlnr-lnr2×2r22-r12=

=tм+ql2πλr22lnr2-0,5-r12lnr1-0,5r22-r12-lnr2=

=575+601002×3,14×22,4×202×ln20-0,5-152×ln15-0,5202-152-ln20=519,4 

Ответ: tм = 575 ℃; t = 519,4 ℃.

Задача 1-1-2-3

Условие:

d 1 /2d 2 /2δ 2δ 3λ 2λ 3v.s.e-z.a.d.a.c.h.i.ruλ 2λ 3λ 2 < λ 3d 1 /2d 2 /2δ 3δ 2

Стальной трубопровод диаметром d1/d2 = 100/110 мм с коэффициентом теплопроводности λ1 = 50 Вт/(м × ℃) покрыт изоляцией в два слоя одинаковой толщины δ2 = δ3 = 50 мм. Температура внутренней поверхности трубы tс1 = 250 ℃ и наружной поверхности изоляции tс4 = 50 ℃.

Определить потери теплоты через изоляцию с 1 м трубопровода и температуру на границе соприкосновения слоев изоляции, если первый слой изоляции, накладываемый на поверхность трубы, выполнен из материала с коэффициентом теплопроводности λ2 = 0,06 Вт/(м × ℃), а второй слой – из материала с коэффициентом теплопроводности λ3 = 0,12 Вт/(м × ℃).

Как изменяться тепловые потери с 1 м трубопровода, рассмотренного в задаче, если слои изоляции поменять местами, т. е. Слой с большим коэффициентом теплопроводности наложить непосредственно на поверхность трубы? Все другие условия оставить без изменений.

Решение:

Диаметры:

- на соприкосновении слоев

d3=d2+2δ2=110+2×50=210 мм

- наружной изоляции

d4=d3+2δ3=210+2×50=310 мм

Линейная плотность теплового потока:

ql1=πtс1-tс412λ1lnd2d1+12λ2lnd3d2+12λ3lnd4d3=

=3,14×250-5012×50×ln110100+12×0,06×ln210110+12×0,12×ln310210=89,6Втм

Температура:

- на границе соприкосновения трубы и изоляции

tс2=tс1-qlπ12λ1lnd2d1=

=250-89,63,14×12×50ln110100250 

- на границе соприкосновения слоев изоляции

tс3=tс2-qlπ12λ2lnd3d2=

=250-89,63,14×12×0,06ln210110=96,2 

- промежуточные температуры в середине слоев изоляции

tδ2/2=tс2-qlπ12λ2lnd2+δ2d2=

=250-89,63,14×12×0,06ln110+50110=160,9 

tδ3/2=tс3-qlπ12λ3lnd3+δ3d3=

=96,2-89,63,14×12×0,12ln210+50210=70,8 

При изменении порядка слоев изоляции:

- линейная плотность теплового потока

ql2=πtс1-tс412λ1lnd2d1+12λ3lnd3d2+12λ2lnd4d3=

=3,14×250-5012×50×ln110100+12×0,12×ln210110+12×0,06×ln310210=105,7Втм

- на границе соприкосновения трубы и изоляции

tс2=tс1-qlπ12λ1lnd2d1=

=250-105,73,14×12×50ln110100250 

- температура на границе соприкосновения слоев изоляции

tс3=tс2-qlπ12λ3lnd3d2=

=250-105,73,14×12×0,12ln210110=159,3 

- промежуточные температуры в середине слоев изоляции

tδ2/2=tс2-qlπ12λ3lnd2+δ2d2=

=250-105,73,14×12×0,12ln110+50110=197,4 

tδ3/2=tс3-qlπ12λ2lnd3+δ3d3=

=159,3-105,73,14×12×0,06ln210+50210=99,4 

Увеличения тепловых потерь:

Δq=100105,7-89,689,6=18 %

В обоих случаях построим температурные графики.

Ответ: ql(1) = 89,6 Вт/м; ql(2) = 105,7 Вт/м; Δq = 18 %.

Задача 1-1-2-4

Условие:

Определить количество теплоты, проходящее через единицу длины стенки камеры сгорания ЖРД диаметром d = 180 мм, если толщиной стенки δw = 2,5 мм, коэффициент теплопроводности материала из хромоникелевой стали марки 1Х18Н9Т λ = 34,9 Вт/(м × ℃). Температуры на поверхностях стенке поддерживаются постоянными и равными tw1 = 1200 ℃ и tw2 = 600 ℃.

Для данных условий задачи определить количество теплоты, прошедшее через единицу длины стенки камеры сгорания ЖРД с защитным покрытием толщиной δп = 0,5 мм и его коэффициентом теплопроводности λп = 2,67 Вт/(м × ℃).

Решение:

Наружный диаметр трубы:

dн=d+2δw=180+2×2,5=185 мм

Внутренний диаметр трубы с учетом защитного покрытия:

dп=d-2δп=180-2×0,5=179 мм

Количество теплоты, проходящее через единицу длины стенки камеры:

- без защитного покрытия

ql=πtw1-tw212λlndнd=3,14×1200-60012×34,9×ln185180=4,80×106Втм

- с защитным покрытием

ql=πtw1-tw212λпlnddп+12λlndнd=3,14×1200-60012×2,67×ln180179+12×34,9×ln185180=1,312×106Втм

Ответ: ql = 4,80 × 106 Вт/м; q’l = 1,312 × 106 Вт/м.

Задача 1-1-2-5

Условие:

Стенка камеры сгорания РД диаметром 200/206 мм покрыта с внутренней стороны слоем тугоплавкого покрытия толщиной δ = 1 мм; коэффициент теплопроводности стенки камеры и покрытия соответственно равны λw = 41,8 Вт/(м × ℃) и λп = 1,395 Вт/(м × ℃); температура на внутренней поверхности покрытия tw1 = 2500 ℃ и на внешней поверхности стенки tw3 = 500 ℃. Определить удельный тепловой поток на единицу длины стенки и температуры поверхностей стенок в зоне контакта, если термическое сопротивление контакта Rк = 0,757 × 10-32 × ℃)/Вт.

Решение:

Внутренний диаметр камеры сгорания РД с учетом внутреннего покрытия:

d1=d2-2δ=200-2×1=198 мм

Удельный тепловой поток на единицу длины стенки:

ql=πtw1-tw312λпlnd2d1+12λwlnd3d2+Rкd2=

=3,14×2500-50012×1,395×ln200198+12×41,8×ln206200+0,757×10-30,2=811281 Вт

Температура в зоне контакта:

tw2=tw1-qlπ12λпlnd2d1=2500-8112813,14×12×1,395×ln200198=1569,3 

tw2=tw2-qlRкπd2=1569,3-811281×0,757×10-33,14×0,2=593,4 

Ответ: ql = 811281 Вт; t’w2 = 1569,3 ℃; t’’w2 = 593,4 ℃.

Задача 1-1-2-6

Условие:

Электропровод диаметром 2 мм необходимо изолировать каучуковой изоляцией, чтобы отдача теплоты от провода была максимальной при условии, если коэффициент теплопроводности каучука λ = 0,163 Вт/(м × ℃), а коэффициент теплоотдачи поверхности изоляции воздуху α = 16,3 Вт/(м2 × ℃).

Решение:

Тепловой поток достигает максимума при

dиз=dкр=2λизα=2×0,16316,3=0,02 м

диаметр электропровода d = 2 мм = 0,002 м, т. е.

dкр>d2

Следовательно, при покрытии электропровода изоляцией из каучука теплоотдача увеличивается и при толщине

δ=0,02-0,0022=0,009 м=9 мм

тепловой поток достигает максимума.

Задача 1-1-3-1

Условие:

Шаровой реактор, внутренний диаметр которого d1 = 1 м, имеет общую толщину стенки и слоя изоляции δ = 65 мм с эквивалентным коэффициентом теплопроводности λэкв = 1,047 Вт/(м × ℃). Определить удельную тепловую нагрузку внутренней и наружной поверхности стенки реактора, если температура внутренней поверхности стенки tw1 = 160 ℃, а внешней tw2 = 60 ℃.

Решение:

Общее количество теплоты, выделяемое реактором:

Q=4πλэквtw1-tw21r1-1r1+δ=4×3,14×1,047×160-6010,5-10,5+0,065=5715 Вт

Удельная тепловая нагрузка на 1 м2 внутренней и наружной поверхностей:

qвн=Qπd12=57153,14×12=1820Втм2

qнар=Qπd1+2δ2=57153,14×1+2×0,0652=1425Втм2

Ответ: qвн = 1820 Вт/м2; qнар = 1425 Вт/м2.