Теплообмен с учетом внутренних источников теплоты

Относительная координата максимальной температуры в пластине при q_v = const, λ = const, несимметричном температурном поле и граничных условиях третьего рода:

$$\frac{x_0}{s}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{\lambda }{q_v{s}^2}\left(t_{ж2}-t_{ж1}\right)+\frac{\lambda }{{\alpha }_{2}s}}{1+\frac{\lambda }{s}\left(\frac{1}{{\alpha }_1}+\frac{1}{{\alpha }_2}\right)}$$

где x₀ отсчитывается от поверхности, обтекаемой жидкостью с температурой t_ж1.

В рассматриваемом случае

$$\frac{x_0}{s}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{25}{\mathrm{2,7}\times {10}^7\times {\left(5\times {10}^{-3}\right)}^2}\times \left(140-130\right)+\frac{25}{\mathrm{1,5}\times {10}^3\times 5\times {10}^{-3}}}{1+\frac{25}{5\times {10}^{-3}}\times \left(\frac{1}{3000}+\frac{1}{1500}\right)}=\mathrm{0,7}$$

$$x_0=\frac{x_0}{s}\times s=\mathrm{0,7}\times 5=\mathrm{3,5} мм$$

Температуры на поверхности пластины:

$$t_{с1}=t_{ж1}+\frac{q_{с1}}{{\alpha }_1}=t_{ж1}+\frac{q_v{x}_0}{{\alpha }_1}=$$

$$=130+\frac{\mathrm{2,7}\times {10}^7\times \mathrm{3,5}\times {10}^{-3}}{3000}=\mathrm{161,5} ℃$$

$$t_{с2}=t_{ж2}+\frac{q_{с2}}{{\alpha }_2}=t_{ж2}+\frac{q_v\left(s-x_0\right)}{{\alpha }_2}=$$

$$=140+\frac{\mathrm{2,7}\times {10}^7\times \left(5-\mathrm{3,5}\right)\times {10}^{-3}}{1500}=167 ℃$$

Максимальная температура:

$$t_0=t_{с1}+\frac{q_{с1}{x}_0}{2\lambda }=t_{с1}+\frac{q_v{x}_0^2}{2\lambda }=$$

$$=\mathrm{161,5}+\frac{\mathrm{2,7}\times {10}^7\times {\left(\mathrm{3,5}\times {10}^{-3}\right)}^2}{2\times 25}=\mathrm{168,1} ℃$$

Ответ: x₀ = 3,5 мм; t₀ = 168,1 ℃; t_с1 = 161,5 ℃; t_с2 = 167 ℃.

Уравнение температурного поля в пластине имеет вид:

$$t-t_{с1}=\frac{q_{v}x}{2\lambda }\left(2x_0-x\right)$$

где

$$\frac{x_0}{s}=\frac{1}{2}+\frac{\lambda }{q_v{s}^2}\left(t_{с2}-t_{с1}\right)$$

а максимальная температура

$$t_0=t_{с1}+\frac{q_v{x}_0^2}{2\lambda }$$

При q_v = 5 × 10⁷ Вт/м³

$$\frac{x_0}{s}=\frac{1}{2}+\frac{20}{5\times {10}^7{\left(6\times {10}^{-3}\right)}^2}\times \left(\mathrm{127,2}-120\right)=\mathrm{0,58}$$

$$x_0=\mathrm{0,58}s=\mathrm{0,58}\times 6=\mathrm{3,48} мм$$

$$t_0=120+\frac{5\times {10}^7\times {\left(\mathrm{3,48}\times {10}^{-3}\right)}^2}{2\times 20}\approx 135 ℃$$

$$q_{с1}=q_v{x}_0=5\times {10}^7\times \mathrm{3,48}\times {10}^{-3}=\mathrm{1,74}\times {10}^5\frac{Вт}{{м}^2}$$

$$q_{с2}=q_v\left(s-x_0\right)=5\times {10}^7\times \left(6-\mathrm{3,48}\right)\times {10}^{-3}=\mathrm{1,26}\times {10}^5\frac{Вт}{{м}^2}$$

Для других значений q_v расчеты проводятся аналогичным образом.

При q_v = 8 × 10⁶ Вт/м³

$$\frac{x_0}{s}=1$$

т. е. Максимум температур располагается на поверхности пластины с температурой

$$t_0=t_{с2}=\mathrm{127,2} ℃$$

$$q_{с2}=0$$

и вся теплота, выделяемая в пластине, отводится через другую поверхность:

$$q_{с1}=q_v{x}_0=q_{v}s$$

При q_v = 4 × 10⁶ Вт/м³ температура имеет фиктивный максимум вне пластины (x₀ > s) и теплота к одной из поверхностей пластины подводится извне, т. е. Происходит передача теплоты через стенку:

$$q_{с2}=q_v\left(s-x_0\right)=-\mathrm{1,2}\times {10}^4\frac{Вт}{{м}^2}$$

Через другую поверхность отводится:

$$q_{с1}=q_v{x}_0=q_{v}s+’|’q_{с2}’|’=\mathrm{2,4}\times {10}^4+\mathrm{1,2}\times {10}^4\frac{Вт}{{м}^2}$$

Ответ: x₀/s = 0,58; t₀ = 135 ℃; q_с2 = 1,26 × 10⁵ и q_с1 = 1,74 × 10⁵ Вт/м².

Площадь поперечного сечения стержня:

$$s=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\mathrm{3,14}\times {10}^2}{4}=\mathrm{78,5} {мм}^2$$

Электрическое сопротивление на единицу длины стержня:

$$R_l=\frac{\rho }{s}=\frac{\mathrm{0,85}}{\mathrm{78,5}}=\mathrm{0,0108}\frac{Ом}{м}$$

Тепловой поток на единицу длины:

$$q_l=I^2{R}_l={200}^2\times \mathrm{0,0108}=432\frac{Вт}{м}$$

Объемная производительность внутренних источников теплоты:

$$q_v=\frac{q_l}{s}=\frac{432}{\mathrm{78,5}\times {10}^{-6}}=\mathrm{5,503}\times {10}^6\frac{Вт}{{м}^3}$$

Максимальная температура на оси стержня:

$$t_{max}=t_w+\frac{q_v{d}^2}{16\lambda }=50+\frac{\mathrm{5,503}\times {10}^6\times {\mathrm{0,01}}^2}{16\times \mathrm{18,6}}=\mathrm{51,85} ℃$$

Ответ: q_v = 5,503 × 10⁶ Вт/м³; t_max = 51,85 ℃.

Электрическое сопротивление нагревателя:

$$R=\frac{\rho l}{\pi r^2}=\frac{\mathrm{1,1}\times 10}{\mathrm{3,14}\times 1}=\mathrm{3,5} Ом$$

Количество теплоты, выделяемой нагревателем:

$$Q=I^{2}R={25}^2\times \mathrm{3,5}=2185 Вт$$

Тепловой поток на 1 м проволоки:

$$q_l=\frac{Q}{l}=\frac{2185}{10}=\mathrm{218,5}\frac{Вт}{м}$$

Температура поверхности проволоки определяется из условий теплоотдачи:

$$t_{с}=t_{ж}+\frac{q_l}{\pi d\alpha }=20+\frac{\mathrm{218,5} }{\mathrm{3,14}\times \mathrm{0,002}\times \mathrm{46,5}}=769 ℃$$

Температура на сои проволоки определяется из условий теплопроводности при наличии внутренних источников теплоты:

$$t_0=t_{с}+\frac{q_l}{4\pi \lambda }=769+\frac{\mathrm{218,5}}{4\times \mathrm{3,14}\times \mathrm{17,5}}=770 ℃$$

Ответ: q_l = 218,5 Вт/м; t_с = 769 ℃;t_с = 770 ℃.

Для расчета распределения температур необходимо найти радиус нейтрального сечения r₀. Так как значение r₀ зависит от интенсивности отвода теплоты с поверхности урана, а известны α₁ и α₂ с поверхностей оболочек, то вначале определяем значения эффективных коэффициентов теплоотдачи α_эф1 и α_эф2, учитывающие термические сопротивления оболочек:

$$\frac{1}{{\alpha }_{эф1}{d}_1}=\frac{1}{{\alpha }_1\left(d_1-2\delta \right)}+\frac{1}{2{\lambda }_{об}}\ln \frac{d_1}{d_1-2\delta }=$$

$$=\frac{1}{520\times \left(16-1\right)\times {10}^{-3}}+\frac{1}{2\times 21}\times \ln \frac{16}{16-1}=\mathrm{0,1298}$$

$${\alpha }_{эф1}=\frac{1}{\mathrm{0,1298}\times 16\times {10}^{-3}}=482\frac{Вт}{{м}^2\times ℃}$$

$$\frac{1}{{\alpha }_{эф2}}=\frac{1}{{\alpha }_2\left(d_2+2\delta \right)}+\frac{1}{2{\lambda }_{об}}\ln \frac{d_2+2\delta }{d_2}=$$

$$=\frac{26\times {10}^{-3}}{560\times \left(26+1\right)\times {10}^{-3}}+\frac{26\times {10}^{-3}}{2\times 21}\times \ln \frac{26+1}{26}=\mathrm{1,747}\times {10}^{-3}$$

$${\alpha }_{эф2}=\frac{1}{\mathrm{1,747}\times {10}^{-3}}=573\frac{Вт}{{м}^2\times ℃}$$

Температурный напор:

$$\mathrm{\Delta }t=t_{ж2}-t_{ж1}=240-220=20 ℃$$

Значение радиуса нейтрального сечения:

$$r_0=\sqrt{\frac{\mathrm{\Delta }t+\frac{q_v}{2}\left[\frac{r_1}{{\alpha }_{эф1}}+\frac{r_2}{{\alpha }_{эф2}}+\frac{1}{2\lambda }\left(r_2^2-r_1^2\right)\right]}{\frac{q_v}{2}\left[\frac{1}{{\alpha }_{эф1}{r}_1}+\frac{1}{{\alpha }_{эф2}{r}_2}+\frac{1}{\lambda }\ln \frac{r_2}{r_1}\right]}}=$$

$$=\sqrt{\frac{20+\mathrm{2,5}\times {10}^7\left[\frac{8\times {10}^{-3}}{482}+\frac{13\times {10}^{-3}}{573}+\frac{1}{2\times 31}\times \left({13}^2-8^2\right)\times {10}^{-6}\right]}{\mathrm{2,5}\times {10}^7\left[\frac{1}{482}+\frac{1}{573\times 13\times {10}^{-3}}+\frac{1}{31}\times \ln \frac{13}{8}\right]}}=\mathrm{10,2}\times {10}^{-3} м$$

Плотность теплового потока на внутренней поверхности урана определяем из соотношения:

$$q_{1}2\pi r_1=q_v\pi \left(r_0^2-r_1^2\right)$$

$$q_1=\frac{q_v{r}_1}{2}\left(\frac{r_0^2}{r_1^2}-1\right)=\frac{5\times {10}^7\times 8\times {10}^{-3}}{2}\times \left(\frac{{\mathrm{10,2}}^2}{8^2}-1\right)=\mathrm{1,25}\times {10}^5\frac{Вт}{{м}^2}$$

Температура на внутренней поверхности урана:

$$t_1=t_{ж1}+\frac{q_1}{{\alpha }_{эф1}}=200+\frac{\mathrm{1,25}\times {10}^5}{482}=459 ℃$$

Плотность теплового потока на внутренней поверхности оболочки:

$$q_{с1}=q_1\frac{d_1}{d_1-2\delta }=\mathrm{1,25}\times {10}^5\times \frac{16}{15}=\mathrm{1,335}\times {10}^5\frac{Вт}{{м}^2}$$

Температура на внутренней поверхности оболочки:

$$t_{с1}=t_{ж1}+\frac{q_{с1}}{{\alpha }_1}=200+\frac{\mathrm{1,335}\times {10}^5}{520}=457 ℃$$

Плотность теплового потока q₂ и q_с2 и температуры t₂ и t_с2 на внешней поверхности твэла определяем аналогичным образом:

$$q_2=\frac{q_v{r}_2}{2}\left(1-\frac{r_0^2}{r_2^2}\right)=\frac{5\times {10}^7\times 13\times {10}^{-3}}{2}\times \left(1-\frac{{\mathrm{10,2}}^2}{{13}^2}\right)=\mathrm{1,25}\times {10}^5\frac{Вт}{{м}^2}$$

$$t_2=t_{ж2}+\frac{q_2}{{\alpha }_{эф2}}=240+\frac{\mathrm{1,25}\times {10}^5}{543}=458 ℃$$

$$q_{с2}=q_2\frac{d_2}{d_2+2\delta }=\mathrm{1,25}\times {10}^5\times \frac{26}{27}=\mathrm{1,205}\times {10}^5\frac{Вт}{{м}^2}$$

$$t_{с2}=t_{ж2}+\frac{q_{с2}}{{\alpha }_2}=240+\frac{\mathrm{1,25}\times {10}^5}{560}=455 ℃$$

Распределение температуры по сечению твэла определяется уравнением:

$$t=t_1+\frac{q_v}{4\lambda }\left[2r_0^2\ln \frac{r}{r_1}-\left(r^2-r_1^2\right)\right]$$

а максимальная температура находится из условия: при r = r₀ t = t₀ и, следовательно,

$$t_0=t_1+\frac{q_v}{4\lambda }\left[2r_0^2\ln \frac{r_0}{r_1}-\left(r_0^2-r_1^2\right)\right]=$$

$$=459+\frac{5\times {10}^7}{4\times 31}\times \left[2\times {\mathrm{10,2}}^2\times \ln \frac{\mathrm{10,2}}{8}-\left({\mathrm{10,2}}^2-8^2\right)\right]\times {10}^{-6}\approx 463 ℃$$

Распределения температуры показано на графику.

Ответ: на графику.

Электрическое сопротивление на единицу длины трубки:

$$R_l=\frac{\rho }{s}=\frac{4\rho }{\pi \left(d_2^2-d_1^2\right)}=\frac{4\times \mathrm{1,17}}{\mathrm{3,14}\times \left({\mathrm{14,6}}^2-{14}^2\right)}=\mathrm{0,0869}\frac{Ом}{м}$$

Тепловой поток на единицу длины:

$$q_l=I^2{R}_l={300}^2\times \mathrm{0,0869}=7821\frac{Вт}{м}$$

Объемная производительность внутренних источников теплоты:

$$q_v=\frac{4q_l}{\pi \left(d_2^2-d_1^2\right)}=\frac{4\times 7821}{\mathrm{3,14}\times \left({\mathrm{14,6}}^2-{14}^2\right)\times {10}^{-6}}=\mathrm{5,806}\times {10}^8\frac{Вт}{{м}^3}$$

Перепад температуры в стенке трубы:

а) при отводе теплоты через внутреннюю поверхность трубки

$$\Delta t_{а}=\frac{q_l}{4\pi \lambda }\left(\frac{2r_2^2}{r_2^2-r_1^2}\ln \frac{r_2}{r_1}-1\right)=\frac{7821}{4\times \mathrm{3,14}\times \mathrm{17,2}}\times \left(\frac{2\times {\mathrm{7,3}}^2}{{\mathrm{7,3}}^2-7^2}\times \ln \frac{\mathrm{7,3}}{7}-1\right)=\mathrm{1,54} ℃$$

б) при отводе теплоты только через наружную поверхность трубки

$$\Delta t_{б}=\frac{q_l}{4\pi \lambda }\left(1-\frac{2r_1^2}{r_2^2-r_1^2}\ln \frac{r_2}{r_1}\right)=\frac{7821}{4\times \mathrm{3,14}\times \mathrm{17,2}}\times \left(1-\frac{2\times 7^2}{{\mathrm{7,3}}^2-7^2}\times \ln \frac{\mathrm{7,3}}{7}\right)=\mathrm{1,5}0 ℃$$

Ответ: qv = 5,806 × 10⁸ Вт/м³; Δt_а = 1,54 ℃; Δt_б = 1,5 ℃.