ЗакладкиКорзинаЗаказы

Оглавление раздела

  1. Однородная пластина
  2. Цилиндрический стержень
  3. Цилиндрическая трубка

Примеры решений задач

Данные примеры задач, относятся к предмету «Тепломассообмен».

Задача 1-3-1-1

Условие:

В пластине толщиной s = 5 мм действует равномерно распределенные внутренние источники теплоты qv = 2,7 × 107 Вт/м2. Коэффициент теплопроводности материала пластины λ = 25 Вт/(м × К). Коэффициенты теплоотдачи от поверхностей пластины к обтекающей их жидкости α1 = 3000 Вт/(м2 × К) и α2 = 1500 Вт/(м2 × К), а температура жидкости соответственно равны tж1 = 130 ℃ и tж1 = 140 ℃.

Определить координату и значение максимальной температуры в платине x0 и t0, а также температуры на поверхности пластины tс1 и tс2.

Решение:

Относительная координата максимальной температуры в пластине при qv = const, λ = const, несимметричном температурном поле и граничных условиях третьего рода:

x0s=12+λqvs2tж2-tж1+λα2s1+λs1α1+1α2

где x0 отсчитывается от поверхности, обтекаемой жидкостью с температурой tж1.

В рассматриваемом случае

x0s=12+252,7×107×5×10-32×140-130+251,5×103×5×10-31+255×10-3×13000+11500=0,7

x0=x0s×s=0,7×5=3,5 мм

Температуры на поверхности пластины:

tс1=tж1+qс1α1=tж1+qvx0α1=

=130+2,7×107×3,5×10-33000=161,5 

tс2=tж2+qс2α2=tж2+qvs-x0α2=

=140+2,7×107×5-3,5×10-31500=167 

Максимальная температура:

t0=tс1+qс1x02λ=tс1+qvx022λ=

=161,5+2,7×107×3,5×10-322×25=168,1 

Ответ: x0 = 3,5 мм; t0 = 168,1 ℃; tс1 = 161,5 ℃; tс2 = 167 ℃.

Задача 1-3-1-2

Условие:

В пластине толщиной s = 6 мм, выполненной из материала с коэффициентом теплопроводности λ = 20 Вт/(м × ℃), действуют равномерно распределенные внутренние источники теплоты qv. Температуры на поверхностях пластины соответственно равны tс1 = 120 ℃ и tс2 = 127,2 ℃.

Определить относительную координату x0/s и значение максимальной температуры в пластине t0, а также плотность теплового потока на поверхностях пластины qс1 и qс2, если

qv = 5 × 107; 2 × 107; 8 × 106 и 4 × 106 Вт/м3.

Решение:

Уравнение температурного поля в пластине имеет вид:

t-tс1=qvx2λ2x0-x

где

x0s=12+λqvs2tс2-tс1

а максимальная температура

t0=tс1+qvx022λ

При qv = 5 × 107 Вт/м3

x0s=12+205×1076×10-32×127,2-120=0,58

x0=0,58s=0,58×6=3,48 мм

t0=120+5×107×3,48×10-322×20135 

qс1=qvx0=5×107×3,48×10-3=1,74×105Втм2

qс2=qvs-x0=5×107×6-3,48×10-3=1,26×105Втм2

Для других значений qv расчеты проводятся аналогичным образом.

При qv = 8 × 106 Вт/м3

x0s=1

т. е. Максимум температур располагается на поверхности пластины с температурой

t0=tс2=127,2 

qс2=0

и вся теплота, выделяемая в пластине, отводится через другую поверхность:

qс1=qvx0=qvs

При qv = 4 × 106 Вт/м3 температура имеет фиктивный максимум вне пластины (x0 > s) и теплота к одной из поверхностей пластины подводится извне, т. е. Происходит передача теплоты через стенку:

qс2=qvs-x0=-1,2×104Втм2

Через другую поверхность отводится:

qс1=qvx0=qvs+qс2=2,4×104+1,2×104Втм2

Ответ: x0/s = 0,58; t0 = 135 ℃; qс2 = 1,26 × 105 и qс1 = 1,74 × 105 Вт/м2.

Задача 1-3-2-1

Условие:

По стержню из нержавеющей стали диаметром d = 10 мм проходит электрический ток силой I = 200 А. Вся теплота, выделяемая в стержне, отводится через его наружную поверхность. Определить объемную производительность источников теплоты и максимальную температуру стержня, если температура на поверхности стержня tw = 50 ℃, удельное электрическое сопротивление ρ = 0,85 Ом × мм2/м и коэффициент теплопроводности стержня λ = 18,6 Вт/(м × ℃).

Решение:

Площадь поперечного сечения стержня:

s=πd24=3,14×1024=78,5 мм2

Электрическое сопротивление на единицу длины стержня:

Rl=ρs=0,8578,5=0,0108Омм

Тепловой поток на единицу длины:

ql=I2Rl=2002×0,0108=432Втм

Объемная производительность внутренних источников теплоты:

qv=qls=43278,5×10-6=5,503×106Втм3

Максимальная температура на оси стержня:

tmax=tw+qvd216λ=50+5,503×106×0,01216×18,6=51,85 

Ответ: qv = 5,503 × 106 Вт/м3; tmax = 51,85 ℃.

Задача 1-3-2-2

Условие:

Электрический нагреватель выполнен из нихромовой проволоки диаметром d = 2 мм и длиной l = 10 м.

Он обдувается холодным воздухом с температурой tж = 20 ℃.

Вычислить тепловой поток с 1 м нагревателя, а также температуры на поверхности tс и на оси проволоки t0, если сила тока, проходящего через нагреватель, составляет 25 А. Удельное электрическое сопротивление нихрома ρ = 1,1 Ом × мм2/м; коэффициент теплопроводности нихрома λ = 17,5 Вт/(м × ℃) и коэффициент теплоотдачи от поверхности нагревателя к воздуху α = 46,5 Вт/(м2 × ℃).

Решение:

Электрическое сопротивление нагревателя:

R=ρlπr2=1,1×103,14×1=3,5 Ом

Количество теплоты, выделяемой нагревателем:

Q=I2R=252×3,5=2185 Вт

Тепловой поток на 1 м проволоки:

ql=Ql=218510=218,5Втм

Температура поверхности проволоки определяется из условий теплоотдачи:

tс=tж+qlπdα=20+218,5 3,14×0,002×46,5=769 

Температура на сои проволоки определяется из условий теплопроводности при наличии внутренних источников теплоты:

t0=tс+ql4πλ=769+218,54×3,14×17,5=770 

Ответ: ql = 218,5 Вт/м; tс = 769 ℃;tс = 770 ℃.

Задача 1-3-2-3

Условие:

δδr 1r 2r 0

Рассчитать распределение температуры в поперечном сечении тепловыделяющего элемента (твэла), имеющего форму длинного полого цилиндра с внутренним диаметром d1 = 16 мм и наружным диаметром d2 = 26 мм, выполненного из урана [λ = 31 Вт/(м × ℃)] толщиной δ = 0,5 мм. Объемную плотность тепловыделения в уране принять равномерной по сечению и равной qv = 5 × 107 Вт/м3.

Твэл охлаждается двуокисью углерода (CO2), движущейся по внутреннему и внешнему каналам. Среднемассовая температура CO2 во внутреннем канале tж1 = 200 ℃ и во внешнем канале tж2 = 240 ℃. Коэффициенты теплоотдачи от поверхностей оболочек к газу соответственно равны α1 = 520 Вт/(м2 × ℃) и α2 = 560 Вт/(м2 × ℃).

В результате расчета определить максимальную температуру твэла t0, температуры на поверхностях оболочек tс1 и tс2 и на поверхностях урана t1 и t2.

Решение:

Для расчета распределения температур необходимо найти радиус нейтрального сечения r0. Так как значение r0 зависит от интенсивности отвода теплоты с поверхности урана, а известны α1 и α2 с поверхностей оболочек, то вначале определяем значения эффективных коэффициентов теплоотдачи αэф1 и αэф2, учитывающие термические сопротивления оболочек:

1αэф1d1=1α1d1-2δ+12λобlnd1d1-2δ=

=1520×16-1×10-3+12×21×ln1616-1=0,1298

αэф1=10,1298×16×10-3=482Втм2×

1αэф2=1α2d2+2δ+12λобlnd2+2δd2=

=26×10-3560×26+1×10-3+26×10-32×21×ln26+126=1,747×10-3

αэф2=11,747×10-3=573Втм2×

Температурный напор:

Δt=tж2-tж1=240-220=20 

Значение радиуса нейтрального сечения:

r0=Δt+qv2r1αэф1+r2αэф2+12λr22-r12qv21αэф1r1+1αэф2r2+1λlnr2r1=

=20+2,5×1078×10-3482+13×10-3573+12×31×132-82×10-62,5×1071482+1573×13×10-3+131×ln138=10,2×10-3 м

Плотность теплового потока на внутренней поверхности урана определяем из соотношения:

q12πr1=qvπr02-r12

q1=qvr12r02r12-1=5×107×8×10-32×10,2282-1=1,25×105Втм2

Температура на внутренней поверхности урана:

t1=tж1+q1αэф1=200+1,25×105482=459 

Плотность теплового потока на внутренней поверхности оболочки:

qс1=q1d1d1-2δ=1,25×105×1615=1,335×105Втм2

Температура на внутренней поверхности оболочки:

tс1=tж1+qс1α1=200+1,335×105520=457 

Плотность теплового потока q2 и qс2 и температуры t2 и tс2 на внешней поверхности твэла определяем аналогичным образом:

q2=qvr221-r02r22=5×107×13×10-32×1-10,22132=1,25×105Втм2

t2=tж2+q2αэф2=240+1,25×105543=458 

qс2=q2d2d2+2δ=1,25×105×2627=1,205×105Втм2

tс2=tж2+qс2α2=240+1,25×105560=455 

Распределение температуры по сечению твэла определяется уравнением:

t=t1+qv4λ2r02lnrr1-r2-r12

а максимальная температура находится из условия: при r = r0 t = t0 и, следовательно,

t0=t1+qv4λ2r02lnr0r1-r02-r12=

=459+5×1074×31×2×10,22×ln10,28-10,22-82×10-6463 

Распределения температуры показано на графику.

Ответ: на графику.

Задача 1-3-3-1

Условие:

Через трубу из нихромовой стали диаметром 14/14,6 мм пропускается ток силой в 300 А. Определить объемную теплопроизводительность источников теплоты и перепад температуры в стенке трубки в предположении, что: а) теплота отводится только через внутреннюю поверхность трубки и б) теплота отводится только через наружную поверхность трубки. Удельное электрическое сопротивление материала трубки ρ = 1,17 Ом × мм2/м и коэффициент теплопроводности λ = 7,2 Вт/(м × ℃).

Решение:

Электрическое сопротивление на единицу длины трубки:

Rl=ρs=4ρπd22-d12=4×1,173,14×14,62-142=0,0869Омм

Тепловой поток на единицу длины:

ql=I2Rl=3002×0,0869=7821Втм

Объемная производительность внутренних источников теплоты:

qv=4qlπd22-d12=4×78213,14×14,62-142×10-6=5,806×108Втм3

Перепад температуры в стенке трубы:

а) при отводе теплоты через внутреннюю поверхность трубки

Δtа=ql4πλ2r22r22-r12lnr2r1-1=78214×3,14×17,2×2×7,327,32-72×ln7,37-1=1,54 

б) при отводе теплоты только через наружную поверхность трубки

Δtб=ql4πλ1-2r12r22-r12lnr2r1=78214×3,14×17,2×1-2×727,32-72×ln7,37=1,50 

Ответ: qv = 5,806 × 108 Вт/м3; Δtа = 1,54 ℃; Δtб = 1,5 ℃.