ЗакладкиКорзинаЗаказы

Оглавление раздела

  1. Плоская стенка с прямыми ребрами постоянного поперечного сечения
  2. Цилиндрическая стенка с круглым ребром постоянной толщины
  3. Цилиндрическая стенка с прямыми ребрами постоянной толщины

Примеры решений задач

Данные примеры задач, относятся к предмету «Тепломассообмен».

Задача 1-2-1-1

Условие:

Плоское алюминиевое ребро постоянного сечения имеет температуру у основания 60 ℃. Ширина ребра b = 30 мм, толщина δ = 3 мм и длина l = 500 мм. Определить наибольшее количество теплоты, которое может быть отведено от ребра в окружающую среду при температуре 20 ℃ и коэффициенте теплоотдачи α = 9,3 Вт/(м2 × ℃); коэффициент теплопроводности ребра λ = 203,5 Вт/(м × ℃). Определить также температуру на конце ребра.

Решение:

Периметр ребра:

Π=2b+δ=2×0,03+0,003=0,066 м

Площадь сечения ребра:

f=bδ=0,03×0,003=9×10-5 м2

Параметр ребра:

m=αΠλf=9,3×0,066203,5×9×10-5=5,79 м-1

Эффективная длинна ребра:

lэф=l+0,5δ=500+0,5×3=501,5 мм

Гиперболический тангенс:

thmlэф=1-exp(-2mlэф)1+exp-2mlэф=1-exp(-2×5,79×0,5015)1+exp-2×5,79×0,5015=0,994

Избыточная температура у основания ребра:

ϑ0=t0-tж=60-20=40 

Количество теплоты, отведенное от ребра:

Qр=ϑ0mλf thmh=40×5,79×203,5×9×10-5×0,994=4,22 Вт

Гиперболический косинус:

chmlэф=expmlэф+exp-mlэф2=

=exp5,79×0,5015+exp-5,79×0,50152=9,15

Избыточная температура в конце ребра:

ϑк=ϑ0chmlэф=409,15=4,4 

Температура в конце ребра:

tк=ϑк+tж=4,4+20=24,4 

Ответ: Qр = 4,22 Вт; tк = 24,4 ℃.

Задача 1-2-1-2

Условие:

Определить, какое из ребер чугунное или стальное, алюминиевое или медное имеет больший коэффициент эффективности, если они имеют одинаковые условия теплообмена со средой и одинаковую формы и размеры. Например, даны ребра прямые, прямоугольного сечения, δ = 3 мм и l = 50 мм. Коэффициент теплопроводности чугуна λч = 62,8, стали λс = 46,5, алюминия λа = 203,5 и меди λм = 384 Вт/(м2 × ℃); коэффициент теплоотдачи поверхности ребра среде α = 69,8 Вт/(м2 × ℃).

Решение:

Параметр ребра:

mс=2αλсδ=2×69,846,5×0,003=31,63 м-1

mч=2αλчδ=2×69,862,8×0,003=27,22 м-1

mа=2αλаδ=2×69,8203,5×0,003=15,12 м-1

mм=2αλмδ=2×69,8384×0,003=11,01 м-1

Гиперболический тангенс:

thmсl=1-exp-2mсl1+exp-2mсl=1-exp-2×31,63×0,051+exp-2×31,63×0,05=0,919

thmчl=1-exp(-2mчl)1+exp-2mчl=1-exp(-2×27,22×0,05)1+exp-2×27,22×0,05=0,877

thmаl=1-exp(-2mаl)1+exp-2mаl=1-exp(-2×15,12×0,05)1+exp-2×15,12×0,05=0,639

thmмl=1-exp(-2mмl)1+exp-2mмl=1-exp(-2×11,01×0,05)1+exp-2×11,01×0,05=0,501

Коэффициент эффективности ребра:

Eс=thmсlmсl=0,91931,63×0,05=0,581

Eч=thmчlmчl=0,87727,22×0,05=0,644

Eа=thmаlmаl=0,63915,12×0,05=0,845

Eм=thmмlmмl=0,50111,01×0,05=0,910

Из данного расчета видно, что медные ребра обладают наибольшей эффективностью.

Ответ: Eс = 0,581; Eч = 0,644; Eа = 0,845; Eм = 0,910.

Задача 1-2-1-3

Условие:

l0,6ϑ 0δϑ 0λ

Определить высоту чугунного ребра l при свободном и вынужденном движении газа, если избыточная температура торца его ϑl должна составлять 0,6ϑ0 избыточной температуры основания ребра ϑ0, толщина ребра δ = 2 мм; коэффициент теплопроводности λ = 58,15 Вт/(м × ℃); коэффициент теплоотдачи газа при свободной конвекции α = 9,3 Вт/(м2 × ℃) и при вынужденной конвекции α = 46,5 Вт/(м2 × ℃).

Решение:

По условию задачи

ϑlϑ0=1ch ml=0,6

Откуда гиперболический косинус:

ch ml=1,667ml=1,1

При свободном движении газа:

m=2αλδ=2×9,358,15×0,002=12,65 м-1

l=mlm=1,112,65=0,087 м=87 мм

При вынужденном движении газа:

m=2αλδ=2×46,558,15×0,002=28,28 м-1

l=mlm=1,128,28=0,039 м=39 мм

Задача 1-2-2-1

Условие:

Температура протекающего по трубе горячего газа измеряется термопреобразователем, который помещен в чехол. Чехол представляет собой медную трубку наружным диаметром d = 3 мм и толщиной стенки δ = 0,5 мм. Длина чехла l = 70 мм. Оцените погрешность измерения температуры газа, возникающую из-за отвода теплоты по стенке чехла к месту его крепления на трубе. Известно, что термопреобразователь дает значение tl = 300 ℃, а температура в месте крепления чехла t0 = 200 ℃. Коэффициент теплоотдачи от потока воздуха к чехлу α = 50 Вт/(м2 × К).

Решение:

Периметр трубки:

П=πd

Площадь поперечного сечения трубки:

f=πdδ

Коэффициент теплопроводности меди:

λ=390Втм×К

Параметр:

m=α2Пλf=α2πdλπdδ=α2λδ=50390×0,5×10-3=16 м-1

Косинус гиперболический:

chmhэ=ch16×0,07=1,7

Зависимость температурного поля трубки:

tl-tж=t0-tжchmhэ

Отсюда получаем

300-tж=200-tж1,7

tж=315 

Искомая погрешность:

Δt=tж-tl=315-300=15 

Ответ: Δt = 15 ℃.

Задача 1-2-2-2

Условие:

Блок аппаратуры кольцевым фланцем в своей центральной части крепится к шпангоуту отсека летательного аппарата. В тепловых расчетах блок можно рассматривать как пустотелый цилиндр [из алюминиевого сплава с λ0 = 84 Вт/(м × К)] длиной 2l = 1,5 м и наружным диаметром d = 0,5 м при толщине корпуса δ0 = 0,025 м. При наземной эксплуатации блока его температура должна быть не ниже 10 ℃, а температурная неравномерность в нем – не более 15 ℃. Поэтому предусмотрен кольцевой нагреватель (по всей длине блока), отделяемый от обшивки слоем изоляции из стекловаты [λст = 0,05 Вт/(м × К)] толщиной 80 мм. Испытания показали, что при температуре обшивки и шпангоута t2 = - 50 ℃ температура нагревателя t1 = - 30 ℃, а по длине блока изменяется от t0 = - 18 ℃ до tl = - 12 ℃. Оценить термосопротивление R между блоком и шпангоутом, а также коэффициент теплоотдачи α1 между блоком и нагревателем, пренебрегая теплообменом на торцах блока.

Решение:

Используя формулы для прямого стержня (ребра) прямоугольного профиля, имеем:

b=t1-t0t1-tl=ch (ml)

m=αλ0δ0

t0-t2R=α1πdm-1t1-t0th (ml)

На основе этих соотношений последовательно получаем:

b=30+1830-12=2,667

α1=λ0δ0l-2ln2b+b2=

=84×0,025×0,75-3×ln22,667+2,6672=10,0Втм2×К

m=10,084×0,025=2,182

R=mt0-t2t1-t0α1πd th ml=

=2,182-18+5030+18×10×3,14×0,5×th 2,182×0,75 =0,10м×КВт

Ответ: R = 0,10 (м × К)/Вт.

Задача 1-2-2-3

Условие:

v.s.e-z.a.d.a.c.h.i.rult fαδt 0d нDλ

Определить количество теплоты, отдаваемое 1 м ребристой алюминиевой трубы диаметром dн = 80 мм горизонтального нагревательного прибора, если температура наружной поверхности трубы t0 = 120 ℃, температура воздуха tf = 20 ℃, коэффициент теплоотдачи нагревательного прибора воздуху α = 9,3 Вт/(м2 × ℃). Ребра круглые постоянной толщины δ = 2 мм, диаметром D = 180 мм; число ребер n = 45 шт. на 1 м длины, коэффициент теплопроводности ребра λ = 203,5 Вт/(м × ℃). Определить также температуру конца ребер и коэффициент эффективности их.

Задачу решить по упрощенному способу расчета круглых ребер с использованием графика.

Решение:

Определяем эффективную высоту прямого ребра:

lэф=D-dн2+δ2=180-802+22=51 мм

Вычисляем значение m по формуле:

m=2αλδ=2×9,3203,5×0,002=6,76

и

mlэф=6,76×0,051=0,345

Определяем отношение избыточных температур на конце и основания ребра:

ϑlϑ0=1chmlэф=1ch0,345=11,061

а также отношение радиусов

Rr=Ddн=18080=2,25

Зная отношения ϑк0 и R/r, по графику находим поправочный коэффициент:

εк=0,98

Количество теплоты, воспринимаемое прямым ребром шириной b = 1 м и сечением f = δb = 0,002 × 1 = 0,002 м2,

Qр=t0-tfλmf th mlэф=120-20×203,5×6,76×0,002×th 0,345=90,9 Вт

Площадь боковой поверхности этого ребра равна

Fр=2lэфb=2×0,051×1=0,102 м2

удельный тепловой поток

q=QрFр=90,90,102=892Втм2

Площадь поверхности круглого ребра постоянной толщины равна:

Fр=πD2-dн22=3,14×0,182-0,0822=0,0408 м2

Тепловой поток, отдаваемый круглым ребром:

Qр=εкFрq=0,98×0,0408×892=35,7 Вт

Количество теплоты, переданное всей поверхностью ребер на 1 м длины нагревателя:

Qр.п=Qрn=35,7×45=1605 Вт

Количество теплоты, отдаваемое гладкой поверхностью между ребер на длине 1 м, рано:

Qгл=απdнt0-tf1-δn=9,3×3,14×0,08×120-20×1-0,002×45=210 Вт

Общее количество передаваемой теплоты с 1 м длины ребристой трубы:

Qр.т=Qр.п+Qгл=1605+210=1815 Вт

Температура на конце ребра:

tl=tf+t0-tfchmlэф=20+120-201,061=114,2 

Коэффициент эффективности ребер:

Eк=εкthmlэфmlэф=0,98×0,3310,345=0,94

Ответ: Qр = 1815 Вт; tl = 114,2 ℃; Eк = 0,94.

Задача 1-2-2-4

Условие:

Водяной экономайзер системы ЦКТИ выполнен из круглых ребристых чугунных труб наружным диаметром d = 76 мм. Диаметр ребер D = 200 мм, их толщина δ = 5 мм.

Определить количество теплоты, которое будет передаваться от горячих газов к внешней поверхности одной трубы, и температуру на конце ребра, если температура газов tж = 400 ℃, температура у основания ребер t0 = 180 ℃, длина обогреваемой части трубы l = 3 м и количество ребер по длине трубы n = 150.

Коэффициент теплоотдачи от газов к ребристой поверхности α = 46,5 Вт/(м2 × ℃); коэффициент теплопроводности чугуна λ = 52,4 Вт/(м × ℃).

Решить также данную задачу по упрощенной методике, воспользовавшись зависимостью для прямых ребер. Для решения задачи воспользоваться графиком.

Решение:

Если пренебречь теплоотдачей с торца ребра, то формулы для избыточной температуры конца ребра и количество теплоты, передаваемой через одно ребро, имеют вид:

ϑ2=ϑ1I0mr2K1mr2+I1mr2K0mr2I0mr1K1mr2+I1mr2K0mr1

Qр1=2πr1λδmϑ1ψ

где

ψ=I1mr2K1mr1-I1mr1K1mr2I0mr1K1mr2+I1mr2K0mr1

В нашем случае

m=2αλδ=2×46,552,4×0,005=18,9 м-1

r1=d2=762=38 мм

r2=100 мм

Теплоотдачи с торца приближенно учтена увеличением r2 на половину толщины ребра:

r2=r2+δ2=0,10+0,0025=0,1025 м

mr1=18,9×0,038=0,719

mr2=18,9×0,1025=1,94

Подставляя полученные значения mr1 и mr’2 в выражение для избыточной температуры конца ребра, получим:

ϑ2=ϑ1I01,94K11,94+I11,94K01,94I00,719K11,94+I11,94K00,719=

=400-180×2,1926×0,153+1,509×0,13051,1336×0,153+1,509×0,643=102,5 

откуда температура конца ребра

tl=tж-ϑ2=400-102,5=297,5 

Для определения количества теплоты, передаваемой одним ребром, подсчитываем функцию

ψ=I11,94K10,719-I10,719K11,94I00,719K11,94+I11,94K00,719=

=1,509×1,014-0,3836×0,1531,1336×0,153+1,569×0,643=1,295

и

Qр1=2×3,14×0,038×52,4×18,9×0,005×220×1,295=337 Вт

для 150 ребер

Qр=nQр1=150×337=50 кВт

Количество теплоты, отдаваемой гладкой поверхностью между ребрами,

Qс=αϑ12πr1l-nδ=46,5×220×2×3,14×0,038×3-150×0,005=5,5 кВт

Общее количество передаваемой теплоты:

Qр.с=Qр+Qс=50+5,5=55,5 кВт

Определим высоту прямого ребра:

h=r2-r1+δ2=100-38+52=64,5 мм

тогда

mh=18,9×0,0645=1,22

Определяем отношение избыточных температур конца и основания ребра, а также отношения радиусов:

ϑ2ϑ1=1chmh=1ch1,22=0,543

r2r1=10038=2,64

Зная отношения ϑ21 и r2/r1, по графику находим поправочный коэффициент круглого ребра:

εк=0,836

Количество теплоты, воспринимаемой прямым ребром длиной l = 1 м и сечением f = δl = 5 × 10-3 × 1 = 0,00 5 м2,

Q=λmfϑ thmh=52,3×18,9×1×0,005×220×th1,22=978 Вт

Площадь поверхности такого ребра

F=2hl=2×0,0645×1=0,129 м2

Плотность теплового потока с прямого ребра:

q=QF=9780,129=7580Втм2

Площадь поверхности круглого ребра:

Fр1=2πr22-r12=2×3,14×0,12-0,0382=0,0537 м2

Искомое количество теплоты, воспринимаемой круглым ребром,

Qр1=εкqFр1=0,836×7580×0,0537=341 Вт

Ответ: Qр.с = 55,5 кВт; tl = 297,5 ℃.