Теплообмен на ребристой поверхности

Периметр ребра:

$$\Pi =2\left(b+\delta \right)=2\times \left(\mathrm{0,03}+\mathrm{0,003}\right)=\mathrm{0,066} м$$

Площадь сечения ребра:

$$f=b\delta =\mathrm{0,03}\times \mathrm{0,003}=9\times {10}^{-5} {м}^2$$

Параметр ребра:

$$m=\sqrt{\frac{\alpha \Pi }{\lambda f}}=\sqrt{\frac{\mathrm{9,3}\times \mathrm{0,066}}{\mathrm{203,5}\times 9\times {10}^{-5}}}=\mathrm{5,79} {м}^{-1}$$

Эффективная длинна ребра:

$$l_{эф}=l+\mathrm{0,5}\delta =500+\mathrm{0,5}\times 3=\mathrm{501,5} мм$$

Гиперболический тангенс:

$$\mathrm{t}\mathrm{h}\left(m{l}_{эф}\right)=\frac{1-\exp (-2m{l}_{эф})}{1+\exp \left(-2m{l}_{эф}\right)}=\frac{1-\exp (-2\times \mathrm{5,79}\times \mathrm{0,5015})}{1+\exp \left(-2\times \mathrm{5,79}\times \mathrm{0,5015}\right)}=\mathrm{0,994}$$

Избыточная температура у основания ребра:

$${\vartheta }_0=t_0-t_{ж}=60-20=40 ℃$$

Количество теплоты, отведенное от ребра:

$$Q_{р}={\vartheta }_{0}m\lambda f \mathrm{t}\mathrm{h}\left(mh\right)=40\times \mathrm{5,79}\times \mathrm{203,5}\times 9\times {10}^{-5}\times \mathrm{0,994}=\mathrm{4,22} Вт$$

Гиперболический косинус:

$$\mathrm{c}\mathrm{h}\left(m{l}_{эф}\right)=\frac{\exp \left(m{l}_{эф}\right)+\exp \left(-m{l}_{эф}\right)}{2}=$$

$$=\frac{\exp \left(\mathrm{5,79}\times \mathrm{0,5015}\right)+\exp \left(-\mathrm{5,79}\times \mathrm{0,5015}\right)}{2}=\mathrm{9,15}$$

Избыточная температура в конце ребра:

$${\vartheta }_{к}=\frac{{\vartheta }_0}{\mathrm{c}\mathrm{h}\left(m{l}_{эф}\right)}=\frac{40}{\mathrm{9,15}}=\mathrm{4,4} ℃$$

Температура в конце ребра:

$$t_{к}={\vartheta }_{к}+t_{ж}=\mathrm{4,4}+20=\mathrm{24,4} ℃$$

Ответ: Q_р = 4,22 Вт; t_к = 24,4 ℃.

Параметр ребра:

$$m_{с}=\sqrt{\frac{2\alpha }{{\lambda }_{с}\delta }}=\sqrt{\frac{2\times \mathrm{69,8}}{\mathrm{46,5}\times \mathrm{0,003}}}=\mathrm{31,63} {м}^{-1}$$

$$m_{ч}=\sqrt{\frac{2\alpha }{{\lambda }_{ч}\delta }}=\sqrt{\frac{2\times \mathrm{69,8}}{\mathrm{62,8}\times \mathrm{0,003}}}=\mathrm{27,22} {м}^{-1}$$

$$m_{а}=\sqrt{\frac{2\alpha }{{\lambda }_{а}\delta }}=\sqrt{\frac{2\times \mathrm{69,8}}{\mathrm{203,5}\times \mathrm{0,003}}}=\mathrm{15,12} {м}^{-1}$$

$$m_{м}=\sqrt{\frac{2\alpha }{{\lambda }_{м}\delta }}=\sqrt{\frac{2\times \mathrm{69,8}}{384\times \mathrm{0,003}}}=\mathrm{11,01} {м}^{-1}$$

Гиперболический тангенс:

$$\mathrm{t}\mathrm{h}\left(m_{с}l\right)=\frac{1-\exp \left(-2m_{с}l\right)}{1+\exp \left(-2m_{с}l\right)}=\frac{1-\exp \left(-2\times \mathrm{31,63}\times \mathrm{0,05}\right)}{1+\exp \left(-2\times \mathrm{31,63}\times \mathrm{0,05}\right)}=\mathrm{0,919}$$

$$\mathrm{t}\mathrm{h}\left(m_{ч}l\right)=\frac{1-\exp (-2m_{ч}l)}{1+\exp \left(-2m_{ч}l\right)}=\frac{1-\exp (-2\times \mathrm{27,22}\times \mathrm{0,05})}{1+\exp \left(-2\times \mathrm{27,22}\times \mathrm{0,05}\right)}=\mathrm{0,877}$$

$$\mathrm{t}\mathrm{h}\left(m_{а}l\right)=\frac{1-\exp (-2m_{а}l)}{1+\exp \left(-2m_{а}l\right)}=\frac{1-\exp (-2\times \mathrm{15,12}\times \mathrm{0,05})}{1+\exp \left(-2\times \mathrm{15,12}\times \mathrm{0,05}\right)}=\mathrm{0,639}$$

$$\mathrm{t}\mathrm{h}\left(m_{м}l\right)=\frac{1-\exp (-2m_{м}l)}{1+\exp \left(-2m_{м}l\right)}=\frac{1-\exp (-2\times \mathrm{11,01}\times \mathrm{0,05})}{1+\exp \left(-2\times \mathrm{11,01}\times \mathrm{0,05}\right)}=\mathrm{0,501}$$

Коэффициент эффективности ребра:

$$E_{с}=\frac{\mathrm{t}\mathrm{h}\left(m_{с}l\right)}{m_{с}l}=\frac{\mathrm{0,919}}{\mathrm{31,63}\times \mathrm{0,05}}=\mathrm{0,581}$$

$$E_{ч}=\frac{\mathrm{t}\mathrm{h}\left(m_{ч}l\right)}{m_{ч}l}=\frac{\mathrm{0,877}}{\mathrm{27,22}\times \mathrm{0,05}}=\mathrm{0,644}$$

$$E_{а}=\frac{\mathrm{t}\mathrm{h}\left(m_{а}l\right)}{m_{а}l}=\frac{\mathrm{0,639}}{\mathrm{15,12}\times \mathrm{0,05}}=\mathrm{0,845}$$

$$E_{м}=\frac{\mathrm{t}\mathrm{h}\left(m_{м}l\right)}{m_{м}l}=\frac{\mathrm{0,501}}{\mathrm{11,01}\times \mathrm{0,05}}=\mathrm{0,910}$$

Из данного расчета видно, что медные ребра обладают наибольшей эффективностью.

Ответ: E_с = 0,581; E_ч = 0,644; E_а = 0,845; E_м = 0,910.

По условию задачи

$$\frac{{\vartheta }_l}{{\vartheta }_0}=\frac{1}{\mathrm{c}\mathrm{h} \left(ml\right)}=\mathrm{0,6}$$

Откуда гиперболический косинус:

$$\mathrm{c}\mathrm{h} \left(ml\right)=\mathrm{1,667}\to ml=\mathrm{1,1}$$

При свободном движении газа:

$$m=\sqrt{\frac{2\alpha }{\lambda \delta }}=\sqrt{\frac{2\times \mathrm{9,3}}{\mathrm{58,15}\times \mathrm{0,002}}}=\mathrm{12,65} {м}^{-1}$$

$$l=\frac{ml}{m}=\frac{\mathrm{1,1}}{\mathrm{12,65}}=\mathrm{0,087} м=87 мм$$

При вынужденном движении газа:

$$m=\sqrt{\frac{2\alpha }{\lambda \delta }}=\sqrt{\frac{2\times \mathrm{46,5}}{\mathrm{58,15}\times \mathrm{0,002}}}=\mathrm{28,28} {м}^{-1}$$

$$l=\frac{ml}{m}=\frac{\mathrm{1,1}}{\mathrm{28,28}}=\mathrm{0,039} м=39 мм$$

Периметр трубки:

$$\mathrm{П}=\mathrm{\pi }\mathrm{d}$$

Площадь поперечного сечения трубки:

$$\mathrm{f}=\mathrm{\pi }\mathrm{d}\mathrm{\delta }$$

Коэффициент теплопроводности меди:

$$\mathrm{\lambda }=390\frac{\mathrm{В}\mathrm{т}}{\mathrm{м}\times \mathrm{К}}$$

Параметр:

$$\mathrm{m}=\sqrt{\frac{{\mathrm{\alpha }}_2\mathrm{П}}{\mathrm{\lambda }\mathrm{f}}}=\sqrt{\frac{{\mathrm{\alpha }}_2\mathrm{\pi }\mathrm{d}}{\mathrm{\lambda }\mathrm{\pi }\mathrm{d}\mathrm{\delta }}}=\sqrt{\frac{{\mathrm{\alpha }}_2}{\mathrm{\lambda }\mathrm{\delta }}}=\sqrt{\frac{50}{390\times \mathrm{0,5}\times {10}^{-3}}}=16\mathrm{ }{\mathrm{м}}^{-1}$$

Косинус гиперболический:

$$\mathrm{c}\mathrm{h}\left(\mathrm{m}{h}_{э}\right)=\mathrm{c}\mathrm{h}\left(16\times \mathrm{0,07}\right)=\mathrm{1,7}$$

Зависимость температурного поля трубки:

$$t_l-t_{ж}=\frac{t_0-t_{ж}}{\mathrm{c}\mathrm{h}\left(\mathrm{m}{h}_{э}\right)}$$

Отсюда получаем

$$300-t_{ж}=\frac{200-t_{ж}}{\mathrm{1,7}}$$

$$t_{ж}=315 ℃$$

Искомая погрешность:

$$\mathrm{\Delta }t=t_{ж}-t_l=315-300=15 ℃$$

Ответ: Δt = 15 ℃.

Используя формулы для прямого стержня (ребра) прямоугольного профиля, имеем:

$$b=\frac{t_1-t_0}{t_1-t_l}=\mathrm{c}\mathrm{h} \left(ml\right)$$

$$m=\sqrt{\frac{\alpha }{{\lambda }_0{\delta }_0}}$$

$$\frac{t_0-t_2}{R}={\alpha }_1\pi d{m}^{-1}\left(t_1-t_0\right)\mathrm{t}\mathrm{h} \left(ml\right)$$

На основе этих соотношений последовательно получаем:

$$b=\frac{30+18}{30-12}=\mathrm{2,667}$$

$${\alpha }_1={\lambda }_0{\delta }_0{l}^{-2}{\ln }^2\left(b+\sqrt{b^2}\right)=$$

$$=84\times \mathrm{0,025}\times {\mathrm{0,75}}^{-3}\times {\ln }^2\left(\mathrm{2,667}+\sqrt{{\mathrm{2,667}}^2}\right)=\mathrm{10,0}\frac{Вт}{{м}^2\times К}$$

$$m=\sqrt{\frac{\mathrm{10,0}}{84\times \mathrm{0,025}}}=\mathrm{2,182}$$

$$R=\frac{m\left(t_0-t_2\right)}{\left(t_1-t_0\right){\alpha }_1\pi d \mathrm{t}\mathrm{h} \left(ml\right)}=$$

$$=\frac{\mathrm{2,182}\left(-18+50\right)}{\left(30+18\right)\times 10\times \mathrm{3,14}\times \mathrm{0,5}\times \mathrm{t}\mathrm{h} \left(\mathrm{2,182}\times \mathrm{0,75}\right) }=\mathrm{0,10}\frac{м\times К}{Вт}$$

Ответ: R = 0,10 (м × К)/Вт.

Определяем эффективную высоту прямого ребра:

$$l_{эф}=\frac{D-d_{н}}{2}+\frac{\delta }{2}=\frac{180-80}{2}+\frac{2}{2}=51 мм$$

Вычисляем значение m по формуле:

$$m=\sqrt{\frac{2\alpha }{\lambda \delta }}=\sqrt{\frac{2\times \mathrm{9,3}}{\mathrm{203,5}\times \mathrm{0,002}}}=\mathrm{6,76}$$

и

$$m{l}_{эф}=\mathrm{6,76}\times \mathrm{0,051}=\mathrm{0,345}$$

Определяем отношение избыточных температур на конце и основания ребра:

$$\frac{{\vartheta }_l}{{\vartheta }_0}=\frac{1}{\mathrm{c}\mathrm{h}\left(m{l}_{эф}\right)}=\frac{1}{\mathrm{c}\mathrm{h}\left(\mathrm{0,345}\right)}=\frac{1}{\mathrm{1,061}}$$

а также отношение радиусов

$$\frac{R}{r}=\frac{D}{d_{н}}=\frac{180}{80}=\mathrm{2,25}$$

Зная отношения ϑ_к/ϑ₀ и R/r, по графику находим поправочный коэффициент:

$${\epsilon }_{к}=\mathrm{0,98}$$

Количество теплоты, воспринимаемое прямым ребром шириной b = 1 м и сечением f = δb = 0,002 × 1 = 0,002 м²,

$$Q_{р}^{’}=\left(t_0-t_f\right)\lambda mf \mathrm{t}\mathrm{h} \left(m{l}_{эф}\right)=\left(120-20\right)\times \mathrm{203,5}\times \mathrm{6,76}\times \mathrm{0,002}\times \mathrm{t}\mathrm{h} \left(\mathrm{0,345}\right)=\mathrm{90,9} Вт$$

Площадь боковой поверхности этого ребра равна

$$F_{р}^{’}=2l_{эф}b=2\times \mathrm{0,051}\times 1=\mathrm{0,102} {м}^2$$

удельный тепловой поток

$$q^{’}=\frac{Q_{р}^{’}}{F_{р}^{’}}=\frac{\mathrm{90,9}}{\mathrm{0,102}}=892\frac{Вт}{{м}^2}$$

Площадь поверхности круглого ребра постоянной толщины равна:

$$F_{р}=\frac{\pi \left(D^2-d_{н}^2\right)}{2}=\frac{\mathrm{3,14}\times \left({\mathrm{0,18}}^2-{\mathrm{0,08}}^2\right)}{2}=\mathrm{0,0408} {м}^2$$

Тепловой поток, отдаваемый круглым ребром:

$$Q_{р}={\epsilon }_{к}{F}_{р}{q}^{’}=\mathrm{0,98}\times \mathrm{0,0408}\times 892=\mathrm{35,7} Вт$$

Количество теплоты, переданное всей поверхностью ребер на 1 м длины нагревателя:

$$Q_{р.п}=Q_{р}n=\mathrm{35,7}\times 45=1605 Вт$$

Количество теплоты, отдаваемое гладкой поверхностью между ребер на длине 1 м, рано:

$$Q_{гл}=\alpha \pi d_{н}\left(t_0-t_f\right)\left(1-\delta n\right)=\mathrm{9,3}\times \mathrm{3,14}\times \mathrm{0,08}\times \left(120-20\right)\times \left(1-\mathrm{0,002}\times 45\right)=210 Вт$$

Общее количество передаваемой теплоты с 1 м длины ребристой трубы:

$$Q_{р.т}=Q_{р.п}+Q_{гл}=1605+210=1815 Вт$$

Температура на конце ребра:

$$t_l=t_f+\frac{t_0-t_f}{\mathrm{c}\mathrm{h}\left(m{l}_{эф}\right)}=20+\frac{120-20}{\mathrm{1,061}}=\mathrm{114,2} ℃$$

Коэффициент эффективности ребер:

$$E_{к}={\epsilon }_{к}\frac{\mathrm{t}\mathrm{h}\left(m{l}_{эф}\right)}{m{l}_{эф}}=\mathrm{0,98}\times \frac{\mathrm{0,331}}{\mathrm{0,345}}=\mathrm{0,94}$$

Ответ: Q_р.т = 1815 Вт; t_l = 114,2 ℃; E_к = 0,94.

Если пренебречь теплоотдачей с торца ребра, то формулы для избыточной температуры конца ребра и количество теплоты, передаваемой через одно ребро, имеют вид:

$${\vartheta }_2={\vartheta }_1\frac{I_0\left(m{r}_2\right)K_1\left(m{r}_2\right)+I_1\left(m{r}_2\right)K_0\left(m{r}_2\right)}{I_0\left(m{r}_1\right)K_1\left(m{r}_2\right)+I_1\left(m{r}_2\right)K_0\left(m{r}_1\right)}$$

$$Q_{р1}=2\pi r_1\lambda \delta m{\vartheta }_1\psi$$

где

$$\psi =\frac{I_1\left(m{r}_2\right)K_1\left(m{r}_1\right)-I_1\left(m{r}_1\right)K_1\left(m{r}_2\right)}{I_0\left(m{r}_1\right)K_1\left(m{r}_2\right)+I_1\left(m{r}_2\right)K_0\left(m{r}_1\right)}$$

В нашем случае

$$m=\sqrt{\frac{2\alpha }{\lambda \delta }}=\sqrt{\frac{2\times \mathrm{46,5}}{\mathrm{52,4}\times \mathrm{0,005}}}=\mathrm{18,9} {м}^{-1}$$

$$r_1=\frac{d}{2}=\frac{76}{2}=38 мм$$

$$r_2=100 мм$$

Теплоотдачи с торца приближенно учтена увеличением r₂ на половину толщины ребра:

$$r_2^{’}=r_2+\frac{\delta }{2}=\mathrm{0,10}+\mathrm{0,0025}=\mathrm{0,1025} м$$

$$m{r}_1=\mathrm{18,9}\times \mathrm{0,038}=\mathrm{0,719}$$

$$m{r}_2=\mathrm{18,9}\times \mathrm{0,1025}=\mathrm{1,94}$$

Подставляя полученные значения mr₁ и mr’₂ в выражение для избыточной температуры конца ребра, получим:

$${\vartheta }_2={\vartheta }_1\frac{I_0\left(\mathrm{1,94}\right)K_1\left(\mathrm{1,94}\right)+I_1\left(\mathrm{1,94}\right)K_0\left(\mathrm{1,94}\right)}{I_0\left(\mathrm{0,719}\right)K_1\left(\mathrm{1,94}\right)+I_1\left(\mathrm{1,94}\right)K_0\left(\mathrm{0,719}\right)}=$$

$$=\left(400-180\right)\times \frac{\mathrm{2,1926}\times \mathrm{0,153}+\mathrm{1,509}\times \mathrm{0,1305}}{\mathrm{1,1336}\times \mathrm{0,153}+\mathrm{1,509}\times \mathrm{0,643}}=\mathrm{102,5} ℃$$

откуда температура конца ребра

$$t_l=t_{ж}-{\vartheta }_2=400-\mathrm{102,5}=\mathrm{297,5} ℃$$

Для определения количества теплоты, передаваемой одним ребром, подсчитываем функцию

$$\psi =\frac{I_1\left(\mathrm{1,94}\right)K_1\left(\mathrm{0,719}\right)-I_1\left(\mathrm{0,719}\right)K_1\left(\mathrm{1,94}\right)}{I_0\left(\mathrm{0,719}\right)K_1\left(\mathrm{1,94}\right)+I_1\left(\mathrm{1,94}\right)K_0\left(\mathrm{0,719}\right)}=$$

$$=\frac{\mathrm{1,509}\times \mathrm{1,014}-\mathrm{0,3836}\times \mathrm{0,153}}{\mathrm{1,1336}\times \mathrm{0,153}+\mathrm{1,569}\times \mathrm{0,643}}=\mathrm{1,295}$$

и

$$Q_{р1}=2\times \mathrm{3,14}\times \mathrm{0,038}\times \mathrm{52,4}\times \mathrm{18,9}\times \mathrm{0,005}\times 220\times \mathrm{1,295}=337 Вт$$

для 150 ребер

$$Q_{р}=n{Q}_{р1}=150\times 337=50 кВт$$

Количество теплоты, отдаваемой гладкой поверхностью между ребрами,

$$Q_{с}=\alpha {\vartheta }_{1}2\pi r_1\left(l-n\delta \right)=\mathrm{46,5}\times 220\times 2\times \mathrm{3,14}\times \mathrm{0,038}\times \left(3-150\times \mathrm{0,005}\right)=\mathrm{5,5} кВт$$

Общее количество передаваемой теплоты:

$$Q_{р.с}=Q_{р}+Q_{с}=50+\mathrm{5,5}=\mathrm{55,5} кВт$$

Определим высоту прямого ребра:

$$h=r_2-r_1+\frac{\delta }{2}=100-38+\frac{5}{2}=\mathrm{64,5} мм$$

тогда

$$mh=\mathrm{18,9}\times \mathrm{0,0645}=\mathrm{1,22}$$

Определяем отношение избыточных температур конца и основания ребра, а также отношения радиусов:

$$\frac{{\vartheta }_2}{{\vartheta }_1}=\frac{1}{\mathrm{c}\mathrm{h}\left(mh\right)}=\frac{1}{\mathrm{c}\mathrm{h}\left(\mathrm{1,22}\right)}=\mathrm{0,543}$$

$$\frac{r_2}{r_1}=\frac{100}{38}=\mathrm{2,64}$$

Зная отношения ϑ₂/ϑ₁ и r₂/r₁, по графику находим поправочный коэффициент круглого ребра:

$${\epsilon }_{к}=\mathrm{0,836}$$

Количество теплоты, воспринимаемой прямым ребром длиной l = 1 м и сечением f = δl = 5 × 10^-3 × 1 = 0,00 5 м²,

$$Q=\lambda mf\vartheta \mathrm{t}\mathrm{h}\left(mh\right)=\mathrm{52,3}\times \mathrm{18,9}\times 1\times \mathrm{0,005}\times 220\times \mathrm{t}\mathrm{h}\left(\mathrm{1,22}\right)=978 Вт$$

Площадь поверхности такого ребра

$$F=2hl=2\times \mathrm{0,0645}\times 1=\mathrm{0,129} {м}^2$$

Плотность теплового потока с прямого ребра:

$$q=\frac{Q}{F}=\frac{978}{\mathrm{0,129}}=7580\frac{Вт}{{м}^2}$$

Площадь поверхности круглого ребра:

$$F_{р1}=2\pi \left(r_2^2-r_1^2\right)=2\times \mathrm{3,14}\times \left({\mathrm{0,1}}^2-{\mathrm{0,038}}^2\right)=\mathrm{0,0537} {м}^2$$

Искомое количество теплоты, воспринимаемой круглым ребром,

$$Q_{р1}^{’}={\epsilon }_{к}q{F}_{р1}=\mathrm{0,836}\times 7580\times \mathrm{0,0537}=341 Вт$$

Ответ: Q_р.с = 55,5 кВт; t_l = 297,5 ℃.