Теплоотдача при вынужденном движении жидкости

Cтатистика главы
Количество разделов	5
Количество задач	265

Примеры решений задач

Данные примеры задач, относятся к предмету «Тепломассообмен».

Задача #1511

Условие:

Найдите толщины динамического и теплового пограничных слоев в точке x = 1 м при обтекании пластины воздухом (t_∞ = 30 ℃, w_∞ = 5 м/с). Температура пластины t_с = 10 ℃. Определить коэффициент теплоотдачи α в данной точке, а также средний коэффициент теплоотдачи α_ср для участка пластины 0 ≤ x ≤ 1 м.

Решить задачу, предполагая, что пластина омывается водой со скоростью w_∞ = 0,1 м/с. Остальные условия оставьте без изменений.

Решение:

Средняя температура пограничного слоя:

$\bar{t} = 0,5 (t_{\infty} + t_{с}) = 0,5 \times (30 + 10) = 20 ℃$

Физические свойства воздуха при температуре 20 ℃ (таблица):

- кинематическая вязкость

$ν = 15,06 \times 10^{- 6} \frac{м^{2}}{с}$

- теплопроводность

$λ = 0,0259 \frac{В т}{м \times К}$

- число Прандтля

$P r = 0,7$

Число Рейнольдса:

$R e = \frac{w_{\infty} x}{ν} = \frac{5 \times 1}{15,06 \times 10^{- 6}} = 3,32 \times 10^{5}$

Толщины динамического пограничного слоя (Re < 5 × 10⁵ – ламинарный режим):

$δ = \frac{5 x}{\sqrt{R e}} = \frac{5 \times 1}{\sqrt{3,32 \times 10^{5}}} = 0,0087 м = 8,7 м м$

Толщина теплового пограничного слоя:

$δ_{т} = \frac{8,7}{\sqrt[3]{P r}} = \frac{8,7}{\sqrt[3]{0,7}} = 9,8 м м$

В данной точке число Нуссельта (ламинарный режим и t_с = const):

$N u_{x} = 0,332 \sqrt{R e} \sqrt[3]{P r} = 0,332 \times \sqrt{3,32 \times 10^{5}} \times \sqrt[3]{0,7} = 170$

Местный и средний коэффициенты теплоотдачи:

$α_{x} = \frac{N u_{x} λ}{x} = \frac{170 \times 0,0259}{1} = 4,4 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

$\bar{α} = 2 α_{x} = 2 \times 4,4 = 8,8 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Физические свойства воды при температуре t_∞ = 20 ℃ (таблица):

- кинематическая вязкость

$ν = 1,006 \times 10^{- 6} \frac{м^{2}}{с}$

- теплопроводность

$λ = 0,599 \frac{В т}{м \times К}$

- число Прандтля

$P r = 7,02$

Число Рейнольдса:

$R e = \frac{w_{\infty} x}{ν} = \frac{0,1 \times 1}{1,006 \times 10^{- 6}} = 10^{5}$

Толщины динамического пограничного слоя (Re < 5 × 10⁵ – ламинарный режим):

$δ = \frac{5 x}{\sqrt{R e}} = \frac{5 \times 1}{\sqrt{10^{5}}} = 0,0158 м = 15,8 м м$

Толщина теплового пограничного слоя:

$δ_{т} = \frac{8,7}{\sqrt[3]{P r}} = \frac{8,7}{\sqrt[3]{7,02}} = 8,25 м м$

В данной точке число Нуссельта (ламинарный режим и t_с = const):

$N u_{x} = 0,332 \sqrt{R e} \sqrt[3]{P r} = 0,332 \times \sqrt{10^{5}} \times \sqrt[3]{7,02} = 200$

Местный и средний коэффициенты теплоотдачи:

$α_{x} = \frac{N u_{x} λ}{x} = \frac{200 \times 0,599}{1} = 120 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

$\bar{α} = 2 α_{x} = 2 \times 120 = 240 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Ответ: δ = 8,7 мм; δ_т = 8,25 мм; δ = 15,8 мм; δ_т = 15,8 мм; α_x = 120 Вт/(м² × К); α = 20 Вт/(м² × К).

Задача #1512

Условие:

Тонкая пластина из нержавеющей стали обогревается электрическим током так, что q_с = 386 Вт/м². Пластина продольно обдувается воздухом (w_∞ = 10 м/с; t_∞ = 10 ℃). Найдите температуру пластины на расстоянии x = 0,2 м от передней кромки.

Решение:

Принимаем среднюю температуру пограничного слоя:

$\bar{t} = 20 ℃$

Физические свойства воздуха при температуре 20 ℃ (таблица):

- кинематическая вязкость

$ν = 15,06 \times 10^{- 6} \frac{м^{2}}{с}$

- теплопроводность

$λ = 0,0261 \frac{В т}{м \times К}$

- число Прандтля

$P r = 0,7$

Числа Рейнольдса:

$R e_{x} = \frac{w_{\infty} x}{ν} = \frac{10 \times 0,2}{15,06 \times 10^{- 6}} = 1,32 \times 10^{5}$

В заданной точке число Нуссельта (Re < 5 × 10⁵ – ламинарный режим и q_с = const):

$N u_{x} = 0,46 \sqrt{R e_{x}} \sqrt[3]{P r} = 0,46 \times \sqrt{1,32 \times 10^{5}} \times \sqrt[3]{0,7} = 149$

Местный коэффициент теплоотдачи:

$α = \frac{N u_{x} λ}{x} = \frac{149 \times 0,0259}{0,2} = 19,3 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Температура стенки:

$\bar{t_{с}} = t_{\infty} + \frac{q_{с}}{α} = 10 + \frac{386}{19,3} = 30 ℃$

Проверяем температуру среднего пограничного слоя заданной в начале:

$\bar{t} = 0,5 (\bar{t_{с}} + t_{\infty}) = 0,5 \times (30 + 10) = 20 ℃$

Ответ: t_с = 30 ℃.

Задача #1513

Условие:

Для набегающего на пластину потока воздуха скорость w_∞ = 200 м/с и температура t_∞ = 10 ℃. Рассчитайте плотность теплового потока q_с в точке x = 35 мм при температуре пластины: а) t_с = 36,8 ℃; б) t_с = 25 ℃; в) t_с = 40 ℃.

Решение:

Скорость звука в воздухе:

$a_{\infty} = \sqrt{k R T_{\infty}} = 20,1 \sqrt{T_{\infty}} = 20,1 \sqrt{273 + t_{с}} = 344 \frac{м}{с}$

Число Маха:

$M_{\infty} = \frac{w_{\infty}}{a_{\infty}} = \frac{200}{344} = 0,58$

Коэффициент восстановления температуры:

$r = \sqrt{P r} = \sqrt{0,7}$

Адиабатная температура стенки:

$t_{а . с} = 20 + 0,84 \times \frac{200^{2}}{2 \times 10^{3}} = 36,8 ℃$

В первом случае (t_с = 36,8 ℃):

$q_{с} = 0$

Для расчета q_с во втором случае принимаем:

- кинематическая вязкость

$ν = 15,06 \times 10^{- 6} \frac{м^{2}}{с}$

- теплопроводность

$λ = 0,0261 \frac{В т}{м \times К}$

- число Прандтля

$P r = 0,7$

Число Рейнольдса:

$R e_{x} = \frac{w_{\infty} x}{ν} = \frac{200 \times 0,035}{15,06 \times 10^{- 6}} = 4,64 \times 10^{5}$

Найдем число Нуссельта Re < 5 × 10⁵ – ламинарный режим и t_с = const):

$N u_{x} = 0,332 \sqrt{R e_{x}} \sqrt[3]{P r} = 0,332 \times \sqrt{4,64 \times 10^{5}} \times \sqrt[3]{0,7} = 190$

Местный коэффициент теплоотдачи:

$α = \frac{N u_{x} λ}{x} = \frac{190 \times 0,0259}{0,035} = 141 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

При этом плотность теплового потока:

$q_{с} = α (t_{с} - t_{а . с}) = 141 \times (25 - 36,8) = - 1664 \frac{В т}{м^{2}}$

Знак “минус” говорит о том, что тепловой поток направлен от воздуха к стенке, хотя t_с > t_∞.

Средняя температура пограничного слоя в третьем случае:

$\bar{t} = 0,5 (t_{\infty} + t_{с}) = 0,5 \times (20 + 40) = 30 ℃$

Физические свойства воздуха при 30 ℃:

- кинематическая вязкость

$ν = 16,0 \times 10^{- 6} \frac{м^{2}}{с}$

- теплопроводность

$λ = 0,0267 \frac{В т}{м \times К}$

- число Прандтля

$P r = 0,7$

Аналогично:

$R e_{x} = \frac{w_{\infty} x}{ν} = \frac{200 \times 0,035}{16 \times 10^{- 6}} = 4,37 \times 10^{5}$

$α = \frac{N u_{x} λ}{x} = \frac{184 \times 0,0267}{0,035} = 140 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

$q_{с} = α (t_{с} - t_{а . с}) = 140 \times (40 - 36,8) = 448 \frac{В т}{м^{2}}$

Так как q_с > 0, то тепловой поток направлен от стенки к воздуху.

Ответ: q_с = 0; q_с = 1664 Вт/м²; q_с = 448 Вт/м².

Задача #1514

Условие:

Пластина длиной l = 1,2 м продольно обтекается потоком воздуха (w_∞ = 50 м/с, t_∞ = 20 ℃, p_∞ = 0,202 МПа). Из-за наличия перед ней турбулизирующей решетки течение в пограничном слое турбулентное. Температура пластины t_с = 12 ℃. Найдите средний коэффициент теплоотдачи, а также толщины пограничного слоя и вязкого подслоя на задней кромке пластины.

Решение:

Средняя температура пограничного слоя:

$\bar{t} = 0,5 (t_{\infty} + t_{с}) = 0,5 \times (8 + 12) = 10 ℃$

Физические свойства воздуха при 10 ℃ и 0,101 МПа:

- кинематическая вязкость

$ν = 14,16 \times 10^{- 6} \frac{м^{2}}{с}$

- теплопроводность

$λ = 0,0251 \frac{В т}{м \times К}$

- число Прандтля

$P r = 0,705$

Кинематическая вязкость воздуха при 10 ℃ и 0,202 МПа:

$ν = 0,5 \times 14,16 \times 10^{- 6} = 7,08 \times 10^{- 6} \frac{м^{2}}{с}$

Число Рейнольдса:

$R e = \frac{w_{\infty} l}{ν} = \frac{50 \times 1,2}{7,08 \times 10^{- 6}} = 8,47 \times 10^{6}$

Местное число Нуссельта:

$N u_{x} = 0,0296 R e_{x}^{0,8} P r^{0,4}$

Обозначим

$C = 0,0296 λ {(\frac{w_{\infty}}{ν})}^{0,8} P r^{0,4}$

Тогда

$α = C x^{- 0,2}$

Средний коэффициент теплоотдачи:

$\bar{α} = \frac{1}{l} \int_{0}^{l} α d x = \frac{1}{l} \int_{0}^{l} C x^{- 0,2} d x = \frac{C}{0,8} l^{- 0,2}$

Среднее число Нуссельта:

$\bar{N u} = 0,037 R e^{0,8} P r^{0,4} = 0,037 \times {(8,47 \times 10^{6})}^{0,8} \times {0,705}^{0,4} = 11215$

Среднее значение коэффициента теплоотдачи:

$\bar{α} = \frac{\bar{N u} λ}{l} = \frac{11215 \times 0,0251}{1,2} = 234,7 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Определим местный коэффициент трения при x = l:

$C_{f} = \frac{0,0596}{R e^{0,2}} = \frac{0,0596}{{(8,47 \times 10^{6})}^{0,2}} = 2,45 \times 10^{- 3}$

Динамическая скорость:

$v_{*} = 50 \sqrt{\frac{C_{f}}{2}} = 50 \times \sqrt{\frac{2,45 \times 10^{- 3}}{2}} = 1,75 \frac{м}{с}$

Толщина вязкого подслоя:

$δ_{в} = 5 \frac{ν}{v_{*}} = 20,2 \times 10^{- 6} м = 20,2 м к м$

Толщина пограничного слоя:

$δ = \frac{0,37 x}{R e_{x}^{0,2}} = \frac{0,37 \times 1,2}{{(8,47 \times 10^{6})}^{0,2}} = 1,83 \times 10^{- 2} м = 18,3 м$

Ответ: α = 234,7 Вт/(м² × К); δ_в = 20,2 мкм; δ = 18,3 м

Задача #1515

Условие:

Нагретая пластина длиной l = 2 м продольно омывается потоком воды. Скорость воды w_∞ = 0,5 м/с, и ее температура t_∞ = 180 ℃. Постройте графики распределения теплоотдачи от поверхности пластины к воде для двух случаев: а) малая степень турбулентности потока воды (ε ≈ 0,08 %); б) большая степень турбулентности (ε ≈ 0,3 %). Найдите также α_ср – средний коэффициент теплоотдачи. Считайте, что разность температур пластины и воды мала, в расчете теплоотдачи изменением физических свойств воды с изменением температуры можно пренебречь.

Решение:

Физические свойства воды при 180 ℃:

- кинематическая вязкость

$ν = 0,158 \times 10^{- 6} \frac{м^{2}}{с}$

- теплопроводность

$λ = 0,663 \frac{В т}{м \times К}$

- число Прандтля

$P r = 1,0$

На основании опытных данных:

- при (ε ≈ 0,08 %):

$R e_{x к р 1} = 2,8 \times 10^{6}$

$R e_{x к р 2} = 4,0 \times 10^{6}$

- при (ε ≈ 0,3 %):

$R e_{x к р 1} = 0,3 \times 10^{6}$

$R e_{x к р 2} = 1,3 \times 10^{6}$

Рассчитаем критические точки:

- первый случай

$x_{к р 1} = \frac{R e_{x к р 1} ν}{w_{\infty}} = \frac{2,8 \times 10^{6} \times 0,158 \times 10^{- 6}}{0,5} = 0,885 м$

$x_{к р 2} = \frac{R e_{x к р 2} ν}{w_{\infty}} = \frac{4,0 \times 10^{6} \times 0,158 \times 10^{- 6}}{0,5} = 1,264 м$

- второй случай

$x_{к р 1} = \frac{R e_{x к р 1} ν}{w_{\infty}} = \frac{0,3 \times 10^{6} \times 0,158 \times 10^{- 6}}{0,5} = 0,0948 м$

$x_{к р 2} = \frac{R e_{x к р 2} ν}{w_{\infty}} = \frac{1,3 \times 10^{6} \times 0,158 \times 10^{- 6}}{0,5} = 0,411 м$

В области:

- ламинарного пограничного слоя (0 ≤ x ≤ x_кр1):

$N u_{x} = 0,332 \sqrt{R e_{x}} \sqrt[3]{P r}$

- турбулентного пограничного слоя (x_кр1 ≤ x ≤ l):

$N u_{x} = 0,0296 R e_{x}^{0,8} P r^{0,4}$

тут

$N u_{x} = \frac{α x}{λ}$

$R e_{x} = \frac{w_{\infty} x}{ν}$

Подставив в указанные формулы известные значения w_∞, λ, ν и Pr, получим:

- для ламинарного пограничного слоя

$α_{л} = 391,5 x^{- 0,5}$

- для турбулентного пограничного слоя

$α_{т} = 3110 x^{- 0,2}$

- для переходного пограничного слоя

$α_{л} (1 - γ) + α_{т} γ$

Коэффициент перемножаемости (γ = 0 в точке x = x_кр1 и в точке, x = x_кр2) при x_кр1 ≤ x ≤ x_кр2:

$γ = \frac{x - x_{к р 1}}{x_{к р 2} - x_{к р 1}}$

Коэффициент теплоотдачи переходного пограничного слоя:

$α = α_{л} (1 - γ) + α_{т} γ$

Построим графики α = α(x).

Средний коэффициент теплоотдачи:

$\bar{α} = \frac{1}{l} (\int_{0}^{x к р 1} α d x + \int_{x к р 1}^{x к р 2} α d x + \int_{x к р 2}^{l} α d x)$

Вычисляя интегралы, получаем:

- в первом случае

$\bar{α} = 1728 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

- во втором случае

$\bar{α} = 2944 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Ответ: на рисунке.

Задача #1516

Условие:

Тонкая пластина длиной l₀ = 2 м и шириной a = 1,5 м обтекается продольным потоком воздуха. Скорость и температура набегающего потока соответственно w₀ = 3 м/с; t₀ = 20 ℃. Температура поверхности пластины t_с = 90 ℃.

Определить средний по длине пластины коэффициент теплоотдачи и количество теплоты, отдаваемой пластиной воздуху:

Вычислить для данных условий толщину гидродинамического пограничного слоя и значения местных коэффициентов теплоотдачи на различных расстояниях от передней кромки пластины x = 0,1 l₀; 0,2 l₀; 0,5 l₀; 1,0 l₀. Построить график зависимости толщины гидродинамического пограничного слоя δ_л и коэффициента теплоотдачи от относительного расстояния x/l₀.

Решение:

Физические свойства воздуха при t₀ = 20 ℃:

- кинематическая вязкость

$ν = 15,15 \times 10^{- 6} \frac{м^{2}}{с}$

- коэффициент теплопроводности

$λ = 0,0259 \frac{В т}{м \times К}$

- число Прандтля

$P r = 0,703$

Число Рейнольдса:

$R e = \frac{w_{0} l_{0}}{ν} = \frac{3 \times 2}{15,15 \times 10^{- 6}} = 3,98 \times 10^{5} < 5 \times 10^{5}$

следовательно, режим течения в погранично слое ламинарный. В этих условиях число Нуссельта:

$N u = 0,67 R e^{0,5} P r^{\frac{1}{3}} = 0,67 \times {(3,98 \times 10^{5})}^{0,5} \times {0,703}^{\frac{1}{3}} = 375$

Средний коэффициент теплоотдачи:

$α = N u \frac{λ}{l_{0}} = 375 \times \frac{0,0259}{2} = 4,87 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Количество передаваемой теплоты с обеих сторон пластины:

$Q = α (t_{с} - t_{0}) F = 4,87 \times (90 - 20) \times 2 \times 2 \times 1,5 = 2050 В т$

Толщина ламинарного пограничного слоя и местный коэффициент теплоотдачи на расстоянии x от передней кромки пластины определяются по формулам:

$δ_{x} = \frac{4,64 x}{\sqrt{R e_{x}}}$

$N u_{x} = 0,335 R e^{0,5} P r^{0,333}$

На расстоянии x = 0,1 l₀

$R e_{x} = \frac{w_{0} (0,1 l_{0})}{ν} = \frac{3 \times 0,2}{15,06 \times 10^{- 6}} = 3,98 \times 10^{4}$

$δ_{л} = \frac{4,64 \times 0,2}{\sqrt{3,98 \times 10^{4}}} = 4,66 \times 10^{- 3} м$

$N u_{x} = 0,335 \times {(3,98 \times 10^{4})}^{0,5} \times {0,703}^{0,333} = 59,5$

$α_{x} = N u_{x} \frac{λ}{x} = 59,5 \times \frac{0,0259}{0,2} = 7,73 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Аналогичным образом рассчитываются искомые значения величин при других отношениях x/l₀. Результата расчетов сведем в таблицу и построим график.

x/l₀	0,1	0,2	0,5	1,0
δ₀, мм	4,66	6,58	10,4	14,7
α_x, Вт/(м² × К)	7,73	5,65	3,45	2,44

Ответ: в таблице.

Задача #1517

Условие:

Тонкая пластина длиной l = 0,2 м обтекается продольным потоком воздуха. Скорость и температура набегающего потока равны соответственно w₀ = 150 м/с и t₀ = 20 ℃.

Определить среднее значение коэффициента теплоотдачи и плотность теплового потока на поверхности пластины при условии, что температура поверхности пластины t_с = 50 ℃. Расчет произвести в предложении, что по всей длине пластины режим течения в пограничном слое турбулентный.

Решение:

При температуре набегающего потока t₀ = 20 ℃ физические свойства воздуха следующие:

- кинематическая вязкость

$ν = 15,06 \times 10^{- 6} \frac{м^{2}}{c}$

- коэффициент теплопроводности

$λ = 2,59 \times 10^{- 2} \frac{В т}{м \times К}$

- удельная теплоемкость

$c_{p} = 1,0 \frac{к Д ж}{к г \times К}$

- число Прандтля

$P r = 0,703$

Число Рейнольдса:

$R e = \frac{w_{0} l}{ν} = \frac{150 \times 0,2}{15,06 \times 10^{- 6}} = 1,99 \times 10^{6}$

Скорость звука в воздухе:

$a = 20,1 \sqrt{(273 + t_{0})} = 20,1 \times \sqrt{(273 + 20)} = 344 \frac{м}{с}$

Число Маха:

$M = \frac{w_{0}}{a} = \frac{150}{344} = 0,436$

Число Нуссельта в воздушном потоке высокой дозвуковой скорости при 10⁵ < Re < 2 × 10⁶ и 0,25 < M < 0,8:

$N u = 0,032 R e^{0,8} = 0,032 \times {(1,99 \times 10^{6})}^{0,8} = 3500$

Средний коэффициент теплоотдачи:

$α = N u \frac{λ}{l} = 3500 \times \frac{0,0259}{0,2} = 454 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Адиабатическая температура стенка:

$t_{а . с} = t_{0} + \sqrt[3]{P r} \frac{w_{0}^{2}}{2 c_{p}} = 20 + \sqrt[3]{0,703} \times \frac{150^{2}}{2 \times 1 \times 10^{3}} = 30 ℃$

Плотность теплового потока:

$q = α (t_{с} - t_{а . с}) = 454 \times (50 - 30) = 9080 \frac{В т}{м^{2}}$

Ответ: α = 454 Вт/(м² × К); q = 9080 Вт/м².

Задача #1521

Условие:

Рассчитайте средний коэффициент теплоотдачи при течении трансформаторного масла по трубке диаметром d = 8 мм и длиной l = 1,2 м. Температура стенки t_с = 60 ℃, а t_ж = 40 ℃. Скорость течения масла w = 0,6 м/с.

Решение:

Средняя температура:

$\bar{t} = 0,5 (t_{с} + t_{ж}) = 0,5 \times (60 + 40) = 50 ℃$

Теплофизические свойства трансформаторного масла:

а) при 50 ℃

- кинематическая вязкость

$ν = 7,58 \times 10^{- 6} \frac{м^{2}}{с}$

- теплопроводность

$λ = 0,108 \frac{В т}{м \times К}$

- число Прандтля

$P r = 111$

- температуропроводность

$a = 6,80 \times 10^{- 8} \frac{м^{2}}{с}$

- коэффициент температурного расширения

$β = 7,05 \times 10^{- 4} К^{- 1}$

б) при t_с = 60 ℃ динамическая вязкость

$μ_{с} = 49,5 \times 10^{- 4} П а \times с$

в) при t_ж = 40 ℃ динамическая вязкость

$μ_{ж} = 89,4 \times 10^{- 4} П а \times с$

Для определения режима течения масла находим число Рейнольдса:

$R e = \frac{w d}{ν} = \frac{0,6 \times 0,008}{7,58 \times 10^{- 6}} = 633$

Режим течения масла в трубке ламинарный. Для того чтобы установить, оказывает ли влияние на теплоотдачу свободная конвекция, вычисляем число Рэлея:

$R a = \frac{g β ∆ t d^{3}}{ν^{2}} P r = \frac{9,81 \times 7,05 \times 10^{- 4} \times 20 \times {0,008}^{3}}{{(7,58 \times 10^{- 6})}^{2}} \times 111 = 1,2 \times 10^{5}$

Так как Ra < 3 × 10⁵, то влияние свободной конвекции мало и режим течения масла вязкостный. Вычисляем комплекс:

$p = \frac{1}{R e \times P r} \frac{l}{d} = \frac{1}{633 \times 111} \times \frac{1,2}{0,008} = 2,13 \times 10^{- 3}$

Находим среднее число Нуссельта:

$\bar{N u} = 1,55 p^{- \frac{1}{3}} {(\frac{μ_{с}}{μ_{ж}})}^{- 0,14} = 1,55 \times {(2,13 \times 10^{- 3})}^{- \frac{1}{3}} \times {(\frac{49,5}{89,4})}^{- 0,14} = 13,08$

Средний коэффициент теплоотдачи:

$\bar{α} = \frac{\bar{N u} λ}{d} = \frac{13,08 \times 0,108}{0,008} = 176 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Ответ: α = 176 Вт/(м² × К).

Задача #15210

Условие:

В вертикальном водоподогревателе вода, имеющая температуру на входе t_ж1 = 10 ℃, течет снизу вверх по трубам диаметром d = 24 мм. Температура стенок труб поддерживается равной t_с = 140 ℃. Какой длины должны быть трубы подогревателя, чтобы при расходе воды через одну трубу G = 90 кг/ч температура воды на выходе была t_ж₂ = 70 ℃.

Решение:

Определяющие температуры:

$t_{ж} = \frac{t_{ж 1} + t_{ж 2}}{2} = \frac{10 + 70}{2} = 40 ℃$

$t_{г} = \frac{t_{ж} + t_{с}}{2} = \frac{40 + 140}{2} = 90 ℃$

Физические свойства воды при t_ж = 40 ℃; t_с = 140 ℃ и t_г = 90 ℃:

- динамическая вязкость

$μ_{ж} = 6,533 \times 10^{- 4} П а \times с$

- плотность

$ρ_{ж} = 992,2 \frac{к г}{м^{3}}$

- кинематическая вязкость

$ν_{г} = 3,26 \times 10^{- 7} \frac{м^{2}}{с}$

- число Прандтля

$P r_{г} = 1,95$

- коэффициент температурного расширения

$β_{г} = 6,95 \times 10^{- 4} К^{- 1}$

- температуропроводность

$a_{г} = 1,68 \times 10^{- 7} \frac{м^{2}}{с}$

- теплопроводность

$λ_{с} = 0,685 \frac{В т}{м \times К}$

- теплоемкость

$c_{p ж} = 4174 \frac{Д ж}{к г}$

Число Рейнольдса:

$R e_{ж} = \frac{4 G}{3600 π d μ_{ж}} = \frac{4 \times 90}{3600 \times 3,14 \times 0,024 \times 6,533 \times 10^{- 4}} = 2031$

И так Re_ж < 2300 – режим течения ламинарный.

Число Рэлея:

$R a_{г} = g β_{г} \frac{(t_{с} - t_{ж}) d^{3}}{ν_{г}^{2}} P r_{г} =$

$= 9,81 \times 6,95 \times 10^{- 4} \times \frac{(140 - 40) \times {0,024}^{3}}{{(3,26 \times 10^{- 7})}^{2}} \times 1,95 = 1,729 \times 10^{8}$

И так Re_г > 8 × 10⁵ режим течения вязкостно-гравитационный.

Число Пекле:

$P e_{г} = \frac{4 G}{3600 π d ρ_{ж} a_{г}} = \frac{4 \times 90}{3600 \times 3,14 \times 0,024 \times 992,2 \times 1,68 \times 10^{- 7}} = 7961$

Число Нуссельта для вязкостно-гравитационного режима течения, при условии совпадения вынужденной и естественной конвекции:

$N u_{с} = 0,35 {(P e_{г} \frac{d}{l})}^{0,3} {(R a_{г} \frac{d}{l})}^{0,18} =$

$= 0,35 \times {(7961 \times \frac{0,024}{l})}^{0,3} \times {(1,729 \times 10^{8} \times \frac{0,024}{l})}^{0,18} =$

$= 26,28 l^{- 0,48}$

Коэффициент теплоотдачи:

$α = N u_{с} \frac{λ_{с}}{d} = 26,28 l^{- 0,48} \times \frac{0,685}{0,024} = 750 l^{- 0,48}$

С другой стороны коэффициент теплоотдачи найдем из теплового баланса:

$Q = \frac{G}{3600} c_{p ж} (t_{ж 2} - t_{ж 1}) = α (t_{с} - t_{ж 1}) π d l$

$α = \frac{\frac{G}{3600} c_{p ж} (t_{ж 2} - t_{ж 1})}{(t_{с} - t_{ж 1}) π d l} = \frac{\frac{90}{3600} \times 4174 \times (70 - 10)}{(140 - 10) \times 3,14 \times 0,024 \times l} = \frac{639}{l}$

Тогда получим уравнение

$750 l^{- 0,48} = \frac{639}{l}$

откуда

$l = {(\frac{639}{750})}^{1,92} = 0,735 м$

Ответ: l = 0,735 м.

Задача #15211

Условие:

Определить коэффициент теплоотдачи от стенки трубки конденсатора паротурбинной установки к охлаждающей воде, если средняя по длине температура стенки t_с = 28 ℃, внутренний диаметр трубки d = 16 мм, температуры воды на входе и выходе из трубки равны соответственно t_ж1 = 10 ℃ и t_ж2 = 18 ℃ и средняя скорость воды w = 2 м/с.

Определить также количество передаваемой теплоты и длину трубки.

Решение:

Средняя температура жидкости:

$t_{ж} = \frac{t_{ж 1} + t_{ж 2}}{2} = \frac{10 + 18}{2} = 14 ℃$

Физические свойства воды при температуре t_ж = 14 ℃ и t_с = 28 ℃:

- кинематическая вязкость

$ν_{ж} = 1,186 \times 10^{- 6} \frac{м^{2}}{с}$

- теплопроводность

$λ_{ж} = 0,584 \frac{В т}{м \times с}$

- число Прандтля

$P r_{ж} = 8,52$

$P r_{с} = 5,74$

- плотность

$ρ_{ж} = 999,1 \frac{к г}{м^{3}}$

- теплоемкость

$c_{p ж} = 4188 \frac{Д ж}{к г \times К}$

Число Рейнольдса:

$R e_{ж} = \frac{w d}{ν_{ж}} = \frac{2 \times 0,016}{1,186 \times 10^{- 6}} = 2,698 \times 10^{4}$

И так Re_ж > 10⁴ – режим движения турбулентный.

Число Нуссельта по формуле Михеева:

$N u_{ж} = 0,021 R e_{ж}^{0,8} P r_{ж}^{0,43} {(\frac{P r_{ж}}{P r_{с}})}^{0,25} ε_{l} =$

$= 0,021 \times {(2,698 \times 10^{4})}^{0,8} \times {8,52}^{0,43} \times {(\frac{8,52}{5,74})}^{0,25} \times 1 = 204$

Коэффициент теплоотдачи:

$α = N u_{ж} \frac{λ_{ж}}{d} = 204 \times \frac{0,584}{0,016} = 7446 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Массовый расход воды через трубку:

$G = w ρ_{ж} \frac{π d^{2}}{4} = 2 \times 999,1 \times \frac{3,14 \times {0,016}^{2}}{4} = 0,402 \frac{к г}{м^{3}}$

Количество передаваемой теплоты:

$Q = G c_{p ж} (t_{ж 2} - t_{ж 1}) = 0,402 \times 4188 \times (18 - 10) = 13469 В т = 13,47 к В т$

Среднелогарифмический температурный напор:

$Δ t_{л} = \frac{t_{ж 2} - t_{ж 1}}{\ln \frac{t_{с} - t_{ж 1}}{t_{с} - t_{ж 2}}} = \frac{18 - 10}{\ln \frac{28 - 10}{28 - 18}} = 13,6 ℃$

Длина трубы:

$l = \frac{Q}{α Δ t_{л} π d} = \frac{13469}{7446 \times 13,6 \times 3,14 \times 0,016} = 2,65 м$

При расчете было принято ε_l = 1. В результате расчета получено l ≈ 2,7 м, следовательно:

$\frac{l}{d} = \frac{2,7}{0,016} = 167 > 50 \to ε_{l} = 1$

Так как ε_l = 1 то уточнять расчет не нужно.

Задача #15212

Условие:

По трубе диаметром d = 38 мм протекает вода со скоростью w = 9 м/с. Температура внутренней поверхности трубы поддерживается t_с = 50 ℃, и движущаяся по трубе вода нагревается от температуры на входе t_ж1 = 16 ℃ до t_ж2 = 24 ℃.

Определить коэффициент теплоотдачи от стенки к воде и длину трубы.

Решение:

Средняя температура воды:

$t_{ж} = \frac{t_{ж 1} + t_{ж 2}}{2} = \frac{16 + 24}{2} = 20 ℃$

Физические свойства воды при температуре t_ж = 20 ℃ и t_с = 50 ℃:

- кинематическая вязкость

$ν_{ж} = 1 \times 10^{- 6} \frac{м^{2}}{с}$

- динамическая вязкость

$μ_{ж} = 1004 \times 10^{- 6} П а \times с$

$μ_{с} = 549 \times 10^{- 6} П а \times с$

- число Прандтля

$P r_{ж} = 7,02$

- плотность

$ρ_{ж} = 998 \frac{к г}{м^{3}}$

- теплоемкость

$c_{p ж} = 4187 \frac{Д ж}{к г \times К}$

- теплопроводность

$λ_{ж} = 0,599 \frac{В т}{м \times К}$

Число Рейнольдса:

$R e_{ж} = \frac{w d}{ν_{ж}} = \frac{9 \times 0,038}{1 \times 10^{- 6}} = 3,42 \times 10^{5}$

И так Re_ж > 10⁴ – режим движения жидкости турбулентный.

Коэффициент сопротивления при изотермическом течении:

$ξ_{ж} = {(0,79 \ln \frac{R e_{ж}}{8})}^{- 2} = {(0,79 \times \ln \frac{3,42 \times 10^{5}}{8})}^{- 2} = 0,0141$

Число Нуссельта при Re_ж > 10⁵ и Pr_ж > 5 найдем по формулой Петухова:

$N u_{ж} = \frac{\frac{ξ}{8} R e_{ж} P r_{ж}}{12,7 \sqrt{\frac{ξ}{8}} (P r_{ж}^{\frac{2}{3}} - 1) + 1,07} {(\frac{μ_{ж}}{μ_{с}})}^{n} =$

$= \frac{\frac{0,0141}{8} \times 3,42 \times 10^{5} \times 7,02}{12,7 \times \sqrt{\frac{0,0141}{8}} \times ({7,02}^{2 / 3} - 1) + 1,07} \times {(\frac{1004}{549})}^{0,11} = 1815$

Коэффициент теплоотдачи:

$α = N u_{ж} \frac{λ_{ж}}{d} = 1815 \times \frac{0,599}{0,038} = 28610 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Массовый расход воды:

$G = ρ_{ж} w \frac{π d^{2}}{4} = 998 \times 9 \times \frac{3,14 \times {0,038}^{2}}{4} = 10,15 \frac{к г}{с}$

Количество теплоты:

$Q = G c_{p ж} (t_{ж 2} - t_{ж 2}) = 10,15 \times 4187 \times (24 - 16) = 339984 В т$

Длина трубы:

$l = \frac{Q}{α (t_{с} - t_{ж}) π d} = \frac{339984}{28610 \times (50 - 20) \times 3,14 \times 0,038} = 3,32 м$

Ответ: α = 28610 Вт/(м² × К); l = 3,32 м.

Задача #15213

Условие:

С какой скоростью следует прокачивать воду, имеющую среднюю арифметическую температуру t_ж = 150 ℃, по трубе диаметром d = 20 мм и длиной l = 2,3 м, чтобы при турбулентном режиме течения и температуре внутренней поверхности трубы t_с = 170 ℃ количество отводимой теплоты равнялось 9 кВт.

Определить также температуры воды на входе и выходе из трубы.

Примечание. При расчете учесть, что коэффициент теплоотдачи нужно отнести к среднелогарифмической разности температур между стенкой и жидкостью.

Решение:

Найдем необходимое значение коэффициента теплоотдачи, приняв в первом приближении, что Δt_л = (t_с – t_ж):

$α = \frac{Q}{π d l (t_{с} - t_{ж})} = \frac{9000}{3,14 \times 0,02 \times 2,3 \times (170 - 150)} = 3100 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Физические свойства воды при температуре t_ж = 150 ℃ и t_с = 170 ℃:

- кинематическая вязкость

$ν_{ж} = 0,202 \times 10^{- 6} \frac{м^{2}}{с}$

- число Прандтля

$P r_{ж} = 1,17$

$P r_{с} = 1,05$

- плотность

$ρ_{ж} = 917 \frac{к г}{м^{3}}$

- теплоемкость

$c_{p ж} = 4313 \frac{Д ж}{к г \times К}$

- теплопроводность

$λ_{ж} = 0,685 \frac{В т}{м \times К}$

Число Нуссельта:

$N u_{ж} = \frac{α d}{λ_{ж}} = \frac{3100 \times 0,02}{0,685} = 90,5$

Тогда число Рейнольдса для турбулентного режима:

$R e_{ж} = {[\frac{N u_{ж}}{0,021 P r_{ж}^{0,43} {(\frac{{P r}_{ж}}{{P r}_{с}})}^{0,25}}]}^{1,25} =$

$= {[\frac{90,5}{0,021 \times {1,17}^{0,43} \times {(\frac{1,17}{1,05})}^{0,25}}]}^{1,25} = 3,11 \times 10^{4}$

Определим в первом приближении требуемую скорость воды:

$w = R e_{ж} \frac{ν_{ж}}{d} = 3,12 \times 10^{4} \times \frac{0,202 \times 10^{- 6}}{0,02} = 0,314 \frac{м}{с}$

Расход воды

$G = ρ_{ж} w \frac{π d^{2}}{4} = 917 \times 0,314 \times \frac{3,14 \times {0,02}^{2}}{4} = 0,0903 \frac{к г}{с}$

и перепад температур по длине трубы

$δ t = \frac{Q}{G c_{p ж}} = \frac{9000}{0,0903 \times 4313} = 23 ℃$

Следовательно, начальная и конечная температуры воды равны:

$t_{ж 1} = t_{ж} - 0,5 δ t = 150 - 11,5 = 138,5 ℃$

$t_{ж 2} = t_{ж} + 0,5 δ t = 150 + 11,5 = 161,5 ℃$

Среднелогарифмическая разность температур:

$Δ t_{л} = \frac{t_{ж 2} - t_{ж 1}}{\ln \frac{t_{с} - t_{ж 1}}{t_{с} - t_{ж 2}}} = \frac{23}{\ln \frac{31,5}{8,5}} = 17,6 ℃$

Производим второе приближение:

$α = \frac{9000}{3,14 \times 0,02 \times 2,3 \times 17,6} = 3530 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

$R e_{ж} = {(3930 \times \frac{3530}{3100})}^{1,25} = 3,66 \times 10^{4}$

$w = 0,37 \frac{м}{с}$

$G = 0,106 \frac{к г}{с}$

$δ t = 19,7 ℃$

$Δ t_{л} = 18,2 ℃$

В третьем приближении:

$α = 3420 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

$R e_{ж} = 3,55 \times 10^{4}$

$w = 0,36 \frac{м}{с}$

при этом

$δ t = 20 ℃$

$t_{ж 1} = 140 ℃$

$t_{ж 2} = 160 ℃$

$Δ t_{л} = 18,2 ℃$

Ответ: w = 0,36 м/с; t_ж1 = 140 ℃; t_ж₂ = 160 ℃.

Задача #15214

Условие:

Вода с температурой t_ж1 = 30 ℃ поступает в трубу диаметром d = 12 мм и длиной l = 2,2 м.

Определить температуру воды на выходе из трубы, если известно, что расход воды G = 0,083 кг/с и температура внутренней поверхности трубы t_с = 60 ℃.

Решение:

Для расчета теплоотдачи необходимо знать среднюю по длине трубы температуру жидкости. Так как температура воды на выходе из трубы неизвестна, то задачу решаем методом последовательных приближений.

Зададимся температурой воды на выходе из трубы

$t_{ж 2} = 40 ℃$

тогда

$t_{ж} = \frac{t_{ж 1} + t_{ж 2}}{2} = \frac{30 + 40}{2} = 35 ℃$

Физические свойства воды при температуре t_ж = 35 ℃ и t_с = 60 ℃:

- динамическая вязкость

$μ_{ж} = 7,28 \times 10^{- 4} П а \times с$

- теплопроводность

$λ_{ж} = 0,626 \frac{В т}{м \times К}$

- число Прандтля

$P r_{ж} = 4,85$

$P r_{с} = 3,00$

- теплоемкость

$c_{p ж} = 4187 \frac{Д ж}{к г \times К}$

Число Рейнольдса:

$R e_{ж} = \frac{4 G}{π d μ_{ж}} = \frac{4 \times 0,083}{3,14 \times 0,012 \times 7,28 \times 10^{- 4}} = 12100 > 10^{4}$

Режим движения воды турбулентный.

Число Нуссельта и коэффициент теплоотдачи:

$N u_{ж} = 0,021 R e_{ж}^{0,8} P r_{ж}^{0,43} {(\frac{P r_{ж}}{P r_{с}})}^{0,25} =$

$= 0,021 \times {(1,21 \times 10^{4})}^{0,8} \times {4,85}^{0,43} \times {(\frac{4,85}{3,00})}^{0,25} = 86$

$α = N u_{ж} \frac{λ_{ж}}{d} = 86 \times \frac{0,626}{1,2 \times 10^{- 2}} = 4490 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Температуру воды на выходе находим из уравнения теплового баланса:

$α Δ t_{л} π d l = G c_{p ж} (t_{ж 2} - t_{ж 1})$

Среднелогарифмическая разность температур:

$Δ t_{л} = \frac{t_{ж 2} - t_{ж 1}}{\ln \frac{t_{с} - t_{ж 1}}{t_{с} - t_{ж 2}}}$

получаем:

$\ln (t_{с} - t_{ж 2}) = \ln (t_{с} - t_{ж 1}) - \frac{α π d l}{G c_{p ж}}$

$\ln (60 - t_{ж 2}) = \ln (60 - 30) - \frac{4490 \times 3,14 \times 0,012 \times 2,2}{0,083 \times 4187}$

откуда

$t_{ж 2} = 49,7 ℃$

В качестве второго приближения задаемся:

$t_{ж 2} = 50 ℃$

тогда

$t_{ж} = 40 ℃$

$μ_{ж} = 6,54 \times 10^{- 4} П а \times с$

$λ_{ж} = 0,634 \frac{В т}{м \times К}$

$P r_{ж} = 4,30$

$R e_{ж} = 13500$

$N u_{ж} = 87$

$α = 4600 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Температура воды на выходе (второе приближение)

$\ln (60 - t_{ж 2}) = \ln (60 - 30) - \frac{4600 \times 3,14 \times 0,012 \times 2,2}{0,083 \times 4187}$

$t_{ж 2} = 50 ℃$

Ответ: tж2 = 50 ℃.

Задача #15215

Условие:

По трубе внутренним диаметром d = 46 мм движется воздух с высокой скоростью. Расход воздуха G = 0,2 кг/с.

Термодинамическая температура воздуха на входе в трубу t₁ = 1200 ℃. Температура стенки трубы t_с = 350 ℃. Давление воздуха на входе p₁ = 750 мм рт. ст. и на выходе p₂ = 510 мм рт. ст.

Какой длины должна быть труба, для того чтобы термодинамическая температура на выходе t₂ равнялась 750 ℃? Определить также значение числа Маха на входе в трубу и на выходе из нее.

Решение:

Давление воздуха на входе и на выходе из трубы:

$p_{1} = 750 \times 13,6 \times 9,81 = 1 \times 10^{5} П а$

$p_{2} = 510 \times 13,6 \times 9,81 = 6,8 \times 10^{4} П а$

Плотность воздуха на входе в трубу

$ρ_{1} = \frac{p_{1}}{R T_{1}} = \frac{1 \times 10^{5}}{287,4 \times (1200 + 273)} = 0,236 \frac{к г}{м^{3}}$

на выходе

$ρ_{2} = \frac{p_{2}}{R T_{2}} = \frac{6,8 \times 10^{4}}{287,4 \times (750 + 273)} = 0,231 \frac{к г}{м^{3}}$

где для воздуха R = 287,4 Дж/(кг × К).

Скорость воздуха на входе

$w_{1} = \frac{4 G}{ρ_{1} π d^{2}} = \frac{4 \times 0,2}{0,236 \times 3,14 \times {0,046}^{2}} = 520 \frac{м}{с}$

на выходе

$w_{2} = w_{1} \frac{ρ_{1}}{ρ_{2}} = 510 \times \frac{0,236}{0,231} = 510 \frac{м}{с}$

Скорость звука и значения числа Маха на входе

$a_{1} = \sqrt{k R T_{1}} \approx 20,1 \sqrt{T_{1}} = 20,1 \times \sqrt{1473} = 770 \frac{м}{с}$

$M_{1} = \frac{w_{1}}{a_{1}} = \frac{510}{770} \approx 0,66$

на выходе

$a_{2} = 20,1 \sqrt{T_{2}} = 20,1 \times \sqrt{1023} = 642 \frac{м}{с}$

$M_{2} = \frac{w_{2}}{a_{2}} = \frac{520}{642} \approx 0,81$

Температура торможения:

- на входе

$ϑ_{1} = T_{1} + \frac{w_{1}^{2}}{2 c_{p 1}} = 1473 + \frac{510^{2}}{2 \times 1210} = 1580 К$

- на выходе

$ϑ_{2} = T_{2} + \frac{w_{1}^{2}}{2 c_{p 2}} = 1023 + \frac{510^{2}}{2 \times 1145} = 1141 К$

где c_p1 = 1210 Дж/(кг × К) и c_p₂ = 1145 Дж/(кг × К) – удельные теплоемкости соответственно, при температурах t₁ = 1200 ℃ и t₂ = 750 ℃.

Среднелогарифмическая разность температур торможения:

${Δ ϑ}_{л} = \frac{ϑ_{1} - ϑ_{2}}{\ln \frac{ϑ_{1} - T_{с}}{ϑ_{2} - T_{с}}} = \frac{1580 - 1141}{\ln \frac{1580 - 623}{1141 - 623}} = 717 ℃$

Среднеарифметическая температура воздуха

$\bar{T} = \frac{T_{1} + T_{2}}{2} = \frac{1473 + 1023}{2} = 1250 К$

или

$\bar{t} = T_{1} - 273 = 1250 - 273 = 977 ℃$

Физические свойства воздуха при 977 ℃:

- теплоемкость

$c_{p ж} = 1182 \frac{Д ж}{к г \times ℃}$

- теплопроводность

$λ_{ж} = 7,97 \times 10^{- 2} \frac{В т}{м \times К}$

- динамическая вязкость

$μ_{ж} = 48,1 \times 10^{- 6} П а \times с$

- число Прандтля

$P r_{ж} = 0,719$

Число Рейнольдса:

$R e_{ж} = \frac{4 G}{π d μ_{ж}} = \frac{4 \times 0,2}{3,14 \times 0,046 \times 48,5 \times 10^{- 6}} = 1,14 \times 10^{5}$

Температурный фактор:

$Θ = \frac{T_{с}}{\bar{T}} = \frac{623}{1250} \approx 0,5$

Предполагая, что отношение l/d > 50, найдем число Нуссельта при охлаждении газа:

$N u_{ж} = 0,021 R e_{ж}^{0,8} P r_{ж}^{0,43} (1,27 - 0,27 Θ) =$

$= 0,021 \times {(1,14 \times 10^{5})}^{0,8} \times {0,719}^{0,43} \times (1,27 - 0,27 \times 0,5) = 231$

Коэффициент теплоотдачи:

$α = N u_{ж} \frac{λ_{ж}}{d} = 231 \times \frac{7,97 \times 10^{- 2}}{0,046} = 400 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Плотность теплового потока:

$q = α {Δ ϑ}_{л} = 400 \times 717 = 2,87 \times 10^{5} \frac{В т}{м^{2}}$

Количество передаваемой теплоты:

$Q = G c_{p ж} (ϑ_{1} - ϑ_{2}) = 0,2 \times 1185 \times (1580 - 1141) = 1,04 \times 10^{5} В т$

Площадь поверхности теплообмена:

$F = \frac{Q}{q} = \frac{1,04 \times 10^{5}}{2,87 \times 10^{5}} = 0,362 м^{2}$

Искомая длина трубы:

$l = \frac{F}{π d} = \frac{0,362}{3,14 \times 0,046} = 2,5 м$

Ответ: M₁ = 0,66; M₂ = 0,81; l = 2,5 м.

Задача #15216

Условие:

По трубе диаметром d = 14 мм и длиной l = 900 мм течет ртуть со скоростью w = 2,5 м/с. Средняя температура ртути t_ж = 250 ℃.

Определить коэффициент теплоотдачи от ртути к стенке трубы, плотность теплового потока и количество теплоты, передаваемой в единицу времени, при условии, что средняя температура стенки t_с = 220 ℃.

Решение:

Физические свойства ртути при t_ж = 250 ℃:

- кинематическая вязкость

$ν_{ж} = 7,55 \times 10^{- 8} \frac{м^{2}}{с}$

- теплопроводность

$λ_{ж} = 11 \frac{В т}{м \times К}$

- число Прандтля

$P r_{ж} = 1,24 \times 10^{- 2}$

Число Рейнольдса:

$R e_{ж} = \frac{w d}{ν_{ж}} = \frac{2,5 \times 0,014}{7,55 \times 10^{- 8}} = 4,63 \times 10^{5} > 10^{4}$

Режим течения турбулентный.

При турбулентном течении чистых жидких металлов в трубах число Нуссельта вычислим по следующей формуле:

$N u_{ж} = 5 + 0,025 {P e}_{ж}^{0,8} = 5 + 0,025 {(R e_{ж} P r_{ж})}^{0,8} =$

$= 5 + 0,025 \times {(4,63 \times 10^{5} \times 1,24 \times 10^{- 2})}^{0,8} = 30,5$

Коэффициент теплоотдачи:

$α = N u_{ж} \frac{λ_{ж}}{d} = 30,5 \times \frac{11}{14 \times 10^{- 3}} = 24000 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Плотность теплового потока:

$q = α (t_{ж} - t_{с}) = 2,4 \times (250 - 220) = 7,2 \times 10^{5} \frac{В т}{м^{2}}$

Тепловой поток:

$Q = q π d l = 7,2 \times 10^{5} \times 3,14 \times 0,014 \times 0,9 = 28,4 к В т$

Ответ: α = 24000 Вт/(м² × К); q = 7,2 × 10⁵ Вт/м²; Q = 28,4 кВт.

Задача #15217

Условие:

В экспериментальной установке для определения теплоотдачи жидких металлов по трубке диаметром d = 12 мм и длиной l = 1 м течет висмут. Трубка обогревается электрическим нагревателем; плотность теплового потока на стенке постоянная по длине трубки и равна q_с = 6 × 10⁵ Вт/м².

Определить температуру стенки на выходе из трубки, если температура висмута на входе t_ж1 = 300 ℃ и его расход G = 2,2 кг/с.

Решение:

Теплоемкость жидкого висмута в пределах температур 280…700 ℃ постоянная и равна:

$c_{p ж} = 151 \frac{Д ж}{к г \times К}$

Температура висмута на выходе из установки:

$t_{ж 2} = t_{ж 1} + \frac{q_{с} π d l}{G c_{p ж}} = 300 + \frac{6 \times 10^{5} \times 3,14 \times 0,012 \times 1}{2,2 \times 151} = 368 ℃$

Физические свойства висмута при t_ж₂ = 368 ℃:

- кинематическая вязкость

$ν_{ж 2} = 1,51 \times 10^{- 7} \frac{м^{2}}{с}$

- теплопроводность

$λ_{ж 2} = 14,0 \frac{В т}{м \times К}$

- число Прандтля

$P r_{ж 2} = 1,63 \times 10^{- 2}$

- плотность

$ρ_{ж 2} = 9948 \frac{к г}{м^{3}}$

Скорость течения висмута на выходе:

$w = \frac{4 G}{π d^{2} ρ_{ж 2}} = \frac{4 \times 2,2}{3,14 \times {0,012}^{2} \times 9948} = 1,96 \frac{м}{с}$

Число Рейнольдса:

$R e_{ж 2} = \frac{w d}{ν_{ж 2}} = \frac{1,96 \times 0,012}{1,51 \times 10^{- 7}} = 1,56 \times 10^{5} > 10^{4}$

Режим течения турбулентный.

Число Пекле:

$P e_{ж 2} = R e_{ж 2} P r_{ж 2} = 1,56 \times 10^{5} \times 1,63 \times 10^{- 2} = 2543$

При турбулентном течении чистых жидких металлов в трубах число Нуссельта вычислим по следующей формуле:

$N u_{ж 2} = 5 + 0,025 {P e}_{ж 2}^{0,8} = 5 + 0,025 \times 2543^{0,8} = 18,3$

Коэффициент теплоотдачи:

$α_{2} = N u_{ж 2} \frac{λ_{ж 2}}{d} = 18,3 \times \frac{14,0}{0,012} = 21350 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Температура стенки на выходе:

$t_{с 2} = t_{ж 2} + \frac{q_{с}}{α_{2}} = 362 + \frac{6 \times 10^{5}}{21350} = 390,1 ℃$

Ответ: t_с2 = 390,1 ℃.

Задача #15218

Условие:

По трубке диаметром d = 4 мм движется двуокись углерода при давлении p = 10 МПа и нагревается при примерно постоянной плотности теплового потока на стенке. В сечениях x на расстоянии x > 20d от входа в обогреваемый участок трубы местные число Рейнольдса, среднемассовая температура жидкости и температура стенки равны соответственно: Re_ж = 2 × 10⁵, t_ж_x = 22 ℃, t_с_x = 227 ℃.

Определить отношение местного числа Нуссельта к числу Нуссельта для случая постоянных физических свойств жидкости Nu_ж/Nu₀ и значение местного коэффициента теплоотдачи в рассматриваемом сечении α_x, Вт/(м² × К). При расчете считать, что естественная конвекция не оказывает существенного влияния на теплообмен.

Решение:

Критическое давление двуокиси углерода p_к = 7,39 МПа, следовательно, процесс теплообмена осуществляется при p > p_кр.

При p = 10 МПа псевдокритическая температура:

$t_{m} = 45 ℃$

Физические свойства углерода при t_ж_x = 22 ℃ (T_ж_x = 295 К) и t_c_x = 227 ℃ (T_c_x = 500 К):

- плотность

$ρ_{ж} = 842,9 \frac{к г}{м^{3}}$

$ρ_{с} = 113,1 \frac{к г}{м^{3}}$

- теплоемкость

$c_{p ж} = 2,7 \frac{к Д ж}{к г \times К}$

- энтальпия

$i_{ж} = 550 \frac{к Д ж}{к г}$

$i_{с} = 965,8 \frac{к Д ж}{к г}$

- теплопроводность

$λ_{ж} = 0,0977 \frac{В т}{м \times К}$

- число Прандтля

$P r_{ж} = 2,21$

Коэффициент сопротивления трения:

$ξ = {(0,79 \ln \frac{R e_{ж}}{8})}^{- 2} = {(0,79 \times \ln \frac{2 \times 10^{5}}{8})}^{- 2} = 0,0156$

Число Нуссельта при постоянных свойствах жидкости:

$N u_{ж} = \frac{\frac{ξ}{8} R e_{ж} P r_{ж}}{12,7 \sqrt{\frac{ξ}{8}} (P r_{ж}^{2 / 3} - 1) + 1,07} = \frac{\frac{0,0156}{8} \times 2 \times 10^{4} \times 2,21}{12,7 \times \sqrt{\frac{0,0156}{8}} \times ({2,21}^{2 / 3} - 1) + 1,07} = 590$

Среднее интегральное значение теплоемкости:

${\bar{c}}_{p} = \frac{i_{с} - i_{ж}}{t_{с} - t_{ж}} = \frac{965,8 - 550}{227 - 22} = 2,03 \frac{к Д ж}{к г \times К}$

Отношение температур:

$\frac{T_{ж}}{T_{m}} = \frac{22 + 273}{45 + 273} = 0,928$

$\frac{T_{с}}{T_{m}} = \frac{500}{318} = 1,57$

Показатель степени при T_ж/T_m < 1 и 1 < T_с/T_m

$n = 0,22 + 0,18 \frac{T_{с}}{T_{m}} = 0,22 + 0,18 \times 1,57 \approx 0,5$

$m = 0,35 - 0,05 \frac{p}{p_{к}} = 0,35 - 0,05 \times \frac{10}{7,39} = 0,282$

Поправка на физические свойства двуокиси углерода:

$φ = {(\frac{{\bar{c}}_{p}}{c_{p ж}})}^{n} {(\frac{ρ_{с}}{ρ_{ж}})}^{m} = {(\frac{2,03}{2,7})}^{0,5} \times {(\frac{113,1}{842,9})}^{0,282} = 0,494$

Поправка на начальный участок:

$x > 20 d \to ε_{x} = 1$

Местные число Нуссельта и коэффициент теплоотдачи:

$N u_{ж x} = N u_{0} φ = 590 \times 0,494 = 291$

$α_{x} = N u_{ж x} \frac{λ_{ж}}{d} = 291 \times \frac{9,77 \times 10^{- 2}}{4 \times 10^{- 3}} = 7100 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Отношение:

$\frac{N u_{ж x}}{N u_{ж}} = φ = 0,494$

Ответ: Nu_жx/Nu_ж = 0,494; α_x = 7100 Вт/(м² × К).

Задача #1522

Условие:

В трубе диаметром d = 14 мм движется вода. Ее средняя температура t_ж = 50 ℃, а число Re = 1500. Вычислить отношение l_н.т/d и значение α за пределами l_н.т. Физические свойства воды считайте постоянными, t_с = const.

Решение:

Физические свойства воды при 50 ℃

- теплопроводность

$λ = 0,648 \frac{В т}{м \times К}$

- число Прандтля

$P r = 3,55$

При t_с = const:

$\frac{l_{н . т}}{d} = 0,05 R e P r = 0,05 \times 1500 \times 3,55 = 266$

В областях x > l_н.т число Нуссельта:

$N u = 3,66$

Тогда коэффициент теплоотдачи:

$α = \frac{N u λ}{d} = \frac{3,66 \times 0,648}{0,014} = 170 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Ответ: l_н.т/d = 266; α = 170 Вт/(м² × К).

Задача #1523

Условие:

Найдите коэффициент теплоотдачи от стенки трубы диаметром 32 × 6 мм к воде в экономайзере парового котла. Давление воды равно 30 МПа, а ее температура и скорость на входе в экономайзер составляют соответственно 270 ℃ и 1,5 м/с. Температура на выходе из экономайзера равна 320 ℃.

Решение:

Физические свойства воды:

1) при 270 ℃:

- плотность

$ρ = 767 \frac{к г}{м^{3}}$

- кинематическая вязкость

$ν = 0,127 \times 10^{- 6} \frac{м^{2}}{с}$

- теплопроводность

$λ = 0,594 \frac{В т}{м \times К}$

- число Прандтля

$P r = 0,84$

2) при 320 ℃:

- плотность

$ρ = 667 \frac{к г}{м^{3}}$

- кинематическая вязкость

$ν = 0,117 \times 10^{- 6} \frac{м^{2}}{с}$

- теплопроводность

$λ = 0,511 \frac{В т}{м \times К}$

- число Прандтля

$P r = 1,01$

Число Рейнольдса:

$R e = \frac{w d_{1}}{ν} = \frac{1,5 \times (0,032 - 2 \times 0,006)}{0,117 \times 10^{- 6}} = 2,36 \times 10^{5}$

Коэффициент трения:

$ξ = {(0,79 \ln \frac{R e}{8})}^{- 2} = {(0,79 \times \ln \frac{2,36 \times 10^{5}}{8})}^{- 2} = 0,0151$

Число Нуссельта находим по формуле Петухова:

$N u = \frac{\frac{ξ}{8} R e P r}{1 + \frac{900}{R e} + 12,7 \sqrt{\frac{ξ}{8}} ({P r}^{\frac{2}{3}} - 1)} ε_{t} =$

$= \frac{\frac{0,0151}{8} \times 2,36 \times 10^{5} \times 0,89}{1 + \frac{900}{2,36 \times 10^{5}} + 12,7 \times \sqrt{\frac{0,0151}{8}} \times ({0,84}^{\frac{2}{3}} - 1)} = 397$

Коэффициент теплоотдачи:

$α_{в х} = N u \frac{λ}{d_{1}} = 397 \times \frac{0,594}{0,032 - 2 \times 0,006} = 11790 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Аналогично для 320 ℃:

$N u = 472$

$α_{в ы х} = 14031 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Средний коэффициент теплоотдачи:

$α_{с р} = \frac{α_{в х} + α_{в ы х}}{2} = \frac{11790 + 14031}{2} = 12910 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Средняя температура потока воды:

$t_{ж 2} = \frac{270 + 320}{2} = 295 ℃$

Оценим температуру стенки трубы, приняв, что средняя температура продуктов сгорания равна 450 ℃ и α = 114 Вт/(м² × К). Тогда

$q = \frac{t_{ж 1} - t_{ж 2}}{\frac{1}{α} + \frac{δ}{λ} + \frac{1}{α_{с р}}} = \frac{450 - 295}{\frac{1}{114} + \frac{0,006}{50} + \frac{1}{12910}} = 17260 \frac{В т}{м^{2}}$

Температура внутренней поверхности трубы:

$t_{с} = t_{ж 2} + \frac{q}{α_{с р}} = 295 + \frac{17260}{12910} \approx 296 ℃$

Следовательно, поправка ε_т = 1.

Ответ: α = 12910 Вт/(м² × К).

Задача #1524

Условие:

Найдите средний коэффициент теплоотдачи при движении дымовых газов по трубам воздухоподогревателя парового котла. Средняя температура дымовых газов t_ж1 = 256 ℃, а средняя температура воздуха t_ж2 = 145 ℃. Трубы стальные, их внутренний диаметр d = 50 мм, толщина стенки δ = 1,5 мм. Коэффициент теплоотдачи от стенок труб к воздуху α₂ = 76 Вт/(м² × К). Скорость дымовых газов составляет 14 м/с.

Решение:

Физические свойства дымовых газов при 256 ℃:

- кинематическая вязкость

$ν = 41,2 \times 10^{- 6} \frac{м^{2}}{с}$

- теплопроводность

$λ = 0,0454 \frac{В т}{м \times К}$

- число Прандтля

$P r = 0,66$

Число Рейнольдса:

$R e = \frac{w d}{ν} = \frac{14 \times 0,05}{41,2 \times 10^{- 6}} = 17000$

Число Нуссельта по формуле Михеева:

$N u_{\infty} = 0,021 {R e}^{0,8} P r^{0,43} = 0,021 \times 17000^{0,8} \times {0,66}^{0,43} = 43,5$

Коэффициент теплоотдачи:

$α_{1} = {N u}_{\infty} \frac{λ}{d} = 43,5 \times \frac{0,0454}{0,05} = 39,5 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Коэффициент теплопередачи:

$k = \frac{1}{\frac{1}{α_{1}} + \frac{δ}{λ} + \frac{1}{α_{2}}} = \frac{1}{\frac{1}{39,5} + \frac{0,0015}{40} + \frac{1}{76}} = 26 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Плотность теплового потока от газов к воздуху:

$q = k (t_{ж 2} - t_{ж 1}) = 26 \times (265 - 245) = 3120 \frac{В т}{м^{2}}$

Температура стенки:

$t_{с} = t_{ж 2} - \frac{q}{α_{1}} = 265 - \frac{3120}{39,5} = 186 ℃$

Значение поправки:

$ε_{т} = {(\frac{t_{с} + 273}{t_{ж 2} + 273})}^{- 0,36} = {(\frac{186 + 273}{265 + 273})}^{- 0,36} = 1,06$

С учетом ε_т искомый коэффициент теплоотдачи:

$α_{1} = 39,5 \times 1,06 = 41,2 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Ответ: α₁ = 41,2 Вт/(м² × К).

Задача #1525

Условие:

По трубке диаметром d = 10 мм и длиной l = 2 м предполагается пропускать воду с такой скоростью, что ее массовый расход G = 0,273 кг/с. Температура воды на входе в трубку t_ж.вх = 200 ℃, а давление p = 8 МПа. Выяснить, закипит ли вода в трубке, если распределение тепловой нагрузки по ее длине будет задано в виде

q_l(x) = A cos[π(x/l – ½)],

где A = 4 × 10⁴ Вт/м;

x – координата, отсчитываемая от входного сечения трубы.

Решение:

При p = 8 МПа и t_s = 295 ℃. Вода не закипит, если t_с < t_s.

Найдем максимальную температуру стенки трубы.

Запишем среднемассовую температуру воды как функцию x:

$t_{ж} (x) = t_{ж . в х} + \frac{A}{G c_{p}} \int_{0}^{x} \cos [π (\frac{x}{l} - \frac{1}{2})] d x =$

$= t_{ж . в х} + B \sin [π (\frac{x}{l} - \frac{1}{2})] + B$

где

$B = \frac{A l}{π G c_{p}}$

Соотношение для температуры стенки как функции x будет иметь вид

$t_{с} (x) = t_{ж . в х} + B \sin [π (\frac{x}{l} - \frac{1}{2})] + \frac{A l}{π d α (x)} \cos [π (\frac{x}{l} - \frac{1}{2})] + B$

Для упрощения дальнейшего решение задачи примем коэффициент теплоотдачи постоянным и равным:

$\bar{α} = 0,5 (α_{в х} + α_{в ы х})$

где α_вх и α_вых – соответственно, коэффициент теплоотдачи, рассчитанные по параметрам воды во входном и выходном сечениях трубки.

Возьмем производную функцию t_с(x):

$t_{с}^{’} (x) = \frac{π}{l} B \cos [π (\frac{x}{l} - \frac{1}{2})] - \frac{A l}{l d \bar{α}} \sin [π (\frac{x}{l} - \frac{1}{2})]$

Полагая t’_с(x) = 0, с учетом выражений для A и B получаем

$t g [π (\frac{x}{l} - \frac{1}{2})] = \frac{\bar{α} l d}{G c_{p}} (1)$

Чтобы найти точку максимума t_с(x), вычислим α.

Физические свойства воды при температуре 200 ℃:

- динамическая вязкость

$μ = 1,334 \times 10^{- 4} П а \times с$

- теплопроводность

$λ = 0,668 \frac{В т}{м \times R}$

- число Прандтля

$P r = 0,9$

Число Рейнольдса на входе в трубку:

$R e_{в х} = \frac{4 G}{π d μ} = \frac{4 \times 0,237}{3,14 \times 0,01 \times 1,334 \times 10^{- 4}} = 2,26 \times 10^{5}$

По формуле Петухова Найдем:

$N u_{в х} = 402$

$α_{в х} = 26700 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Принимаем, что поправка ε_т = 1. Примем среднюю температуру воды равной 220 ℃. Тогда

$c_{p} = 4610 \frac{Д ж}{к г \times К}$

Температура воды на выходе из трубки

$t_{ж . в ы х} = t_{ж . в х} + \frac{A l}{G c_{p}} l = 200 + \frac{40000 \times 2}{0,237 \times 4610} \times 2 = 237 ℃$

Физические свойства воды при температуре 237 ℃:

- динамическая вязкость

$μ = 1,07 \times 10^{- 4} П а \times с$

- теплопроводность

$λ = 0,620 \frac{В т}{м \times R}$

- число Прандтля

$P r = 0,83$

Аналогично тому, как это было сделано при вычислении α_вх, найдем

$α_{в ы х} = 29800 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Тогда средний коэффициент теплоотдачи:

$\bar{α} = 0,5 \times (26700 + 29800) = 28250 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Теперь можно найти значение комплекса величин в правой части (1):

$\frac{\bar{α} l d}{G c_{p}} = \frac{28250 \times 2 \times 0,01}{0,237 \times 4610} = 0,517$

Значение tg β = 0,517 при β = 0,477. Учитывая выражение для аргумента тангенса, получаем относительную координату точки максимума t_с(x):

$\frac{x}{l} = 0,652$

В этой точке:

$t_{с} = 274 ℃$

$t_{ж} = 234,8 ℃$

Так как t_с < t_s, то закипание воды в трубке исключено.

Замети, что учет поправки ε_т практически не скажется на полученных результатах, так как

$ε_{т} = {(\frac{1,17 \times 10^{- 4}}{0,96 \times 10^{- 4}})}^{0,11} = 1,02$

Ответ: Вода в трубке не закипит.

Задача #1526

Условие:

Вычислить средний коэффициент теплоотдачи при течении трансформаторного масла в трубе диаметром d = 8 мм и длиной l = 1 м, если средняя по длине трубы температура масла t_ж = 80 ℃, средняя температура стенки трубки t_с = 20 ℃ и скорость масла w = 0,6 м/с.

Решение:

При t_ж = 80 ℃ кинематическая вязкость масла:

$ν_{ж} = 3,66 \times 10^{- 6} \frac{м^{2}}{с}$

Для определения режима движения масла вычисляем число Рейнольдса:

$R e_{ж} = \frac{w d}{ν_{ж}} = \frac{0,6 \times 0,008}{3,66 \times 10^{- 6}} = 1310$

Так Re_ж < 2300, то режим течения ламинарный.

Для того чтобы установит, оказывает ли влияние на теплоотдачу естественная конвекция, нужно вычислить значения числа Рэлея Ra_г, где в качестве определяющей температуры принимается

$t_{г} = \frac{t_{ж} + t_{с}}{2} = \frac{80 + 20}{2} = 50 ℃$

Физические свойства трансформаторного масла при t_г = 50 ℃:

- кинематическая вязкость

$ν_{г} = 7,58 \times 10^{- 6} \frac{м^{2}}{с}$

- коэффициент температурного расширения

$β_{г} = 7,05 \times 10^{- 4} К^{- 1}$

- число Прандтля

$P r_{г} = 111$

- температуропроводность

$a_{г} = 6,806 \times 10^{- 8} \frac{м^{2}}{с}$

- коэффициент теплопроводности

$λ_{г} = 0,108 \frac{В т}{м \times К}$

Число Рэлея:

$R a_{г} = g β_{г} \frac{(t_{ж} - t_{с}) d^{3}}{ν_{г}^{2}} P r_{г} =$

$= 9,81 \times 7,05 \times 10^{- 4} \times \frac{(80 - 20) \times {0,008}^{3}}{{(7,58 \times 10^{- 6})}^{2}} \times 111 = 3,6 \times 10^{5}$

Так как Ra_г < 8 × 10⁵, то естественная конвекция не оказывает существенного влияния на теплоотдачу и режим течения масля – вязкостный.

Поправка на гидродинамический начальный участок:

$ε = 0,6 {(\frac{1}{R e_{ж}} \frac{l}{d})}^{- \frac{1}{7}} (1 + 2,5 \frac{1}{R e_{ж}} \frac{l}{d}) =$

$= 0,6 \times {(\frac{1}{1310} \times \frac{1}{0,008})}^{- \frac{1}{7}} \times (1 + 2,5 \times \frac{1}{1310} \times \frac{1}{0,008}) = 1,05$

Число Пекле:

$P e_{г} = \frac{w d}{a_{г}} = \frac{0,6 \times 0,008}{6,806 \times 10^{- 8}} = 70526$

Динамическая вязкость трансформаторного масла при температуре t_ж = 80 ℃ и t_с = 20 ℃:

$μ_{ж} = 30,8 \times 10^{- 4} П а \times с$

$μ_{с} = 198,2 \times 10^{- 4} П а \times с$

Параметр:

$\frac{1}{P e_{г}} \frac{l}{d} = \frac{1}{70526} \times \frac{1}{0,008} = 0,00177 < 0,05$

тогда расчет средней теплоотдачи при вязкостном режиме течения жидкости в трубах при постоянной температуре стенки (t_с = const) можно производить по следующей формуле:

$N u_{г} = 1,55 {(P e_{г} \frac{d}{l})}^{\frac{1}{3}} {(\frac{μ_{ж}}{μ})}^{0,14} ε =$

$= 1,55 \times {(70526 \times \frac{0,008}{1})}^{\frac{1}{3}} \times {(\frac{30,8}{198,2})}^{0,14} \times 1,05 = 10,4$

Коэффициент теплоотдачи:

$α = N u_{г} \frac{λ_{г}}{d} = 10,4 \times \frac{0,108}{0,008} = 140 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Ответ: α = 140 Вт/(м² × К).

Задача #1527

Условие:

По трубе диаметром d = 6 мм движется вода со скоростью w = 0,4 м/с. Температура стенки трубы t_с = 50 ℃. Какую длину должна иметь трубка, чтобы при температуре воды на входе t_ж1 = 10 ℃ ее температура на выходе из трубки была t_ж2 = 20 ℃?

Решение:

При средней по длине температуре

$t_{ж} = \frac{t_{ж 1} + t_{ж 2}}{2} = \frac{10 + 20}{2} = 15 ℃$

физические свойства воды:

- кинематическая вязкость

$ν_{ж} = 1,16 \times 10^{- 6} \frac{м^{2}}{с}$

- динамическая вязкость

$μ_{ж} = 1,155 \times 10^{- 3} П а \times с$

- удельная теплоемкость

$c_{p ж} = 4187 \frac{Д ж}{к г \times К}$

- плотность

$ρ_{ж} = 999 \frac{к г}{м^{3}}$

Число Рейнольдса:

$R e_{ж} = \frac{w d}{ν_{ж}} = \frac{0,4 \times 0,006}{1,16 \times 10^{- 6}} = 2069$

И так режим движения ламинарный.

Температура граничной области:

$t_{г} = \frac{t_{ж} + t_{с}}{2} = \frac{15 + 50}{2} = 32,5 ℃$

Физические свойства воды при t_г = 32,5 ℃ и t_с = 50 ℃:

- кинематическая вязкость

$ν_{г} = 7,685 \times 10^{- 7} \frac{м^{2}}{с}$

- коэффициент температурного расширения

$β_{г} = 3,375 \times 10^{- 4} К^{- 1}$

- число Прандтля

$P r_{г} = 5,14$

- теплопроводность

$λ_{г} = 0,622 \frac{В т}{м \times К}$

- температуропроводность

$a_{г} = 1,50 \times 10^{- 7} \frac{м^{2}}{с}$

- динамическая вязкость

$μ_{с} = 5,494 \times 10^{- 4} П а \times с$

Число Рэлея:

$R a_{г} = g β_{г} \frac{(t_{с} - t_{ж}) d^{3}}{ν_{г}^{2}} P r_{г} =$

$= 9,81 \times 3,37 \times 10^{- 4} \times \frac{(50 - 15) \times {0,006}^{3}}{{(7,685 \times 10^{- 7})}^{2}} \times 5,14 = 2,18 \times 10^{5} < 8 \times 10^{5}$

следовательно, режим вязкостный.

Число Пекле:

$P e_{г} = \frac{w d}{a_{г}} = \frac{0,4 \times 0,006}{1,50 \times 10^{- 7}} = 16000$

Зададимся длиной трубы:

$l = 0,76 м$

Поправка на участок гидродинамической стабилизации:

$ε = 0,6 {(\frac{1}{R e_{ж}} \frac{l}{d})}^{- \frac{1}{7}} (1 + 2,5 \frac{1}{R e_{ж}} \frac{l}{d}) =$

$= 0,6 \times {(\frac{1}{2069} \times \frac{0,76}{0,006})}^{- \frac{1}{7}} \times (1 + 2,5 \times \frac{1}{2069} \times \frac{0,76}{0,006}) = 1,031$

Число Нуссельта:

$N u_{г} = 1,55 {(P e_{г} \frac{d}{l})}^{1 / 3} {(\frac{μ_{ж}}{μ_{с}})}^{0,14} ε =$

$= 1,55 \times {(16000 \times \frac{0,006}{0,76})}^{1 / 3} \times {(\frac{1,155 \times 10^{- 3}}{5,494 \times 10^{- 4}})}^{0,14} \times 1,031 = 8,90$

Коэффициент теплоотдачи:

$α = N u_{г} \frac{λ_{г}}{d} = 8,90 \times \frac{0,622}{0,006} = 923 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Массовый расход воды:

$G = w \frac{π d^{2}}{4} ρ_{ж} = 0,4 \times \frac{3,14 \times {0,006}^{2}}{4} \times 999 = 0,0113 \frac{к г}{с}$

Количество передаваемой теплоты:

$Q = G c_{p ж} (t_{ж 2} - t_{ж 1}) = 0,0113 \times 4187 \times (20 - 10) = 473 В т$

Искомая длина трубы:

$l = \frac{Q}{α (t_{с} - t_{ж}) π d} = \frac{473}{923 \times (50 - 15) \times 3,14 \times 0,006} = 0,78 м$

что практически совпадает с ранее заданным значением.

Ответ: l = 0,78 м.

Задача #1528

Условие:

Сравнить значения местных чисел Нуссельта при ламинарном течении жидкости в круглой трубе в условиях постоянной плотности теплового потока на стенке, без предвключенного участка гидродинамической стабилизации (Nu_г) и при наличии такого участка (Nu_г_.ст). Сравнение провести для относительных расстояний от входа в обогреваемый участок x/d = 1, 2, 5, 10, 15 и 20. Число Рейнольдса принять Re_ж = 1800.

Решение:

Поправку на участок гидродинамической стабилизации ε = Nu_г/Nu_г_.ст можно вычислить по формуле:

$ε = 0,35 {(\frac{1}{R e_{ж}} \frac{x}{d})}^{- 1 / 6} [1 + 2,85 {(\frac{1}{R e_{ж}} \frac{x}{d})}^{0,42}] (1)$

Результаты расчетов по формуле (1) сведем в таблицу и построим график Nu_г/Nu_г_.ст = f(x/d).

x/d	1	2	5	10	15	20
Nu_г/Nu_г_.ст	1,37	1,26	1,16	1,10	1,07	1,06

Ответ: в таблице.

Задача #1529

Условие:

Определить относительную длину участка тепловой стабилизации l_н.т/d при ламинарном режиме течения воды в трубе диаметром d = 14 мм в условиях постоянной по длине трубы температуры стенки (t_с = const), если средняя температура воды t_ж = 50 ℃ и Re_ж = 1500. Вычислить также значение местного коэффициента теплоотдачи на участке трубы, где l > l_н.т.

Решить задачу, если теплообмен осуществляется при условии постоянства по длине плотности теплового потока на стенке (q_с = const).

Решение:

Физические свойства воды при t_ж = 50 ℃:

- число Прандтля

${P r}_{ж} = 3,55$

- теплопроводность

$λ_{ж} = 0,648 \frac{Д ж}{к г \times К}$

Число Пекле:

$P e_{ж} = R e_{ж} {P r}_{ж} = 1500 \times 3,55 = 5320$

При ламинарном режиме течения относительную длину участка тепловой стабилизации можно принять:

- при t_с = const

${(\frac{l_{н . т}}{d})}_{t_{с}} = 0,05 P e_{ж} = 0,05 \times 5320 = 266$

- при q_с = const

${(\frac{l_{н . т}}{d})}_{q_{с}} = 0,07 P e_{ж} = 0,07 \times 5320 = 372$

При l > l_н.т предельное значения числа Нуссельта:

- при t_с = const

$N u_{\infty (t_{с})} = 3,66$

- при q_с = const

$N u_{\infty (q_{с})} = 4,36$

Местный коэффициент теплоотдачи на участке l > l_н.т:

- при t_с = const

$α_{t_{с}} = N u_{\infty (t_{с})} \frac{λ_{ж}}{d} = 3,66 \times \frac{0,648}{14 \times 10^{- 3}} = 170 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

- при q_с = const

$α_{q_{с}} = N u_{\infty (q_{с})} \frac{λ_{ж}}{d} = 4,36 \times \frac{0,648}{14 \times 10^{- 3}} = 203 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Ответ: (l_н.т/d)_tс = 266; (l_н.т/d)_q_с = 372; α_tс =170 Вт/(м² × К); α_q_с =203 Вт/(м² × К).

Задача #1531

Условие:

В теплообменнике “газ – газ” разреженный пучок труб омывается дымовыми газами. Температура набегающего потока t_ж1 = 800 ℃, а скорость w_∞ = 15 м/с. Для газов, протекающих внутри труб, t_ж2 = 300 ℃ и α₂ = 90 Вт/(м² × К). Трубы диаметром и толщиной стенки d₂ × δ = 32 × 5 мм изготовлены из стали 12Х1МФ, допустимая рабочая температура которой 550 ℃. Найдите среднюю температуру наружной поверхности трубы и температуру в первой критической (лобовой) точке и составьте найденные значения с допустимой рабочей температурой стали.

Решение:

Физические свойства дымовых газов при температуре 800 ℃ (таблица):

- кинематическая вязкость

$ν = 131,8 \times 10^{- 6} \frac{м^{2}}{с}$

- теплопроводность

$λ = 0,0915 \frac{В т}{м \times К}$

- число Прандтля

$P r = 0,60$

Число Рейнольдса:

$R e = \frac{w_{\infty} d}{ν} = \frac{15 \times 0,032}{131,8 \times 10^{- 6}} = 3641$

Среднее число Нуссельта при обтекании одиночной трубы (Re = 10³…2 × 10⁵):

$\bar{N u} = 0,26 R e^{0,6} {P r}^{0,37} = 0,26 \times 3641^{0,6} \times {0,60}^{0,37} = 29,4$

Средний коэффициент теплоотдачи:

${\bar{α}}_{1} = \frac{\bar{N u} λ}{d} = \frac{29,4 \times 0,0915}{0,032} = 84,2 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Вычисляем число Нуссельта и коэффициент теплоотдачи в первой критической точке трубы (φ = 0):

$N u = 1,14 R e^{0,5} {P r}^{0,37} = 1,14 \times 3641^{0,5} \times {0,60}^{0,37} = 56,9$

$α = \frac{N u λ}{d} = \frac{56,9 \times 0,0915}{0,032} = 162,7 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Средняя плотность теплового потока:

$\bar{q} = \frac{t_{ж 1} - t_{ж 2}}{\frac{1}{{\bar{α}}_{1}} + \frac{δ}{λ_{с т}} + \frac{1}{α_{2}}} = \frac{800 - 300}{\frac{1}{84,2} + \frac{0,005}{40} + \frac{1}{90}} = 21645 \frac{В т}{м^{2}}$

где λ_ст = 40 Вт/(м × К) – теплопроводность стали.

Местная плотность теплового потока при φ = 0:

$q = \frac{t_{ж 1} - t_{ж 2}}{\frac{1}{α} + \frac{δ}{λ_{с т}} + \frac{1}{α_{2}}} = \frac{800 - 300}{\frac{1}{162,7} + \frac{0,005}{40} + \frac{1}{90}} = 28825 \frac{В т}{м^{2}}$

Средняя температура стенки:

${\bar{t}}_{с} = t_{ж 1} - \frac{\bar{q}}{{\bar{α}}_{1}} = 800 - \frac{21645}{84,2} = 543 ℃$

Температура стенки в критической точке:

$t_{с} = t_{ж 1} - \frac{q}{α} = 800 - \frac{28825}{162,7} = 623 ℃$

Ответ: t_с = 543 ℃; t_с = 623 ℃.

Задача #1532

Условие:

Найдите средний коэффициент теплоотдачи при поперечном обтекании дымовыми газами пакета труб экономайзера парового котла. Экономайзер собран из плоских змеевиков с шахматным расположением труб диаметром и толщиной стенки 32 × 6 мм, причем s₁/d = 2,4, а s₂/d = 1,8, а число рядов равно 40. Скорость газов в узком сечении w_уз = 14 м/с. Их температура на входе в пакет труб 520 ℃, а на выходе из него 380 ℃.

Как изменится α в задаче, если шахматный порядок расположения труб заменить коридорным?

Решение:

Средняя температура газов равна:

$\bar{t} = \frac{t_{ж 1} + t_{ж 2}}{2} = \frac{520 + 380}{2} = 450 ℃$

Физические свойства воздуха при температуре 450 ℃:

- кинематическая вязкость

$ν = 68,3 \times 10^{- 6} \frac{м^{2}}{с}$

- теплопроводность

$λ = 0,0613 \frac{В т}{м \times К}$

- число Прандтля

$\Pr = 0,63$

Число Рейнольдса:

$R e_{d} = \frac{w_{у з} d}{ν} = \frac{14 \times 0,032}{68,3 \times 10^{- 6}} = 6,56 \times 10^{3}$

Число Нуссельта для шахматных глубинных рядов пучка труб:

$N u = 0,35 {(\frac{\frac{s_{1}}{d}}{\frac{s_{2}}{d}})}^{0,8} R e_{d}^{0,6} \times {P r}^{0,36} =$

$= 0,35 \times {(\frac{2,4}{1,8})}^{0,8} \times 656000^{0,6} \times {0,63}^{0,36} = 61,2$

Для многорядного пучка труб влияние первых двух рядов незначительно. Поэтому коэффициент теплоотдачи

$α = \frac{N u λ}{d} = \frac{61,2 \times 0,0613}{0,032} = 117 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Число Нуссельта для коридорных рядов пучка труб:

$N u = 0,27 R e_{d}^{0,63} \times {P r}^{0,36} = 0,27 \times 656000^{0,63} \times {0,63}^{0,36} = 58$

Коэффициент теплоотдачи:

$α = \frac{N u λ}{d} = \frac{58 \times 0,0613}{0,032} = 111 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Ответ: α = 111 Вт/(м² × К).

Задача #1533

Условие:

Цилиндрическая трубка диаметром d = 20 мм охлаждается поперечным потоком воды. Скорость потока w = 1 м/с.

Средняя температура воды t_ж = 10 ℃ и температура поверхности трубки t_с = 50 ℃.

Определить коэффициент теплоотдачи от поверхности трубки к охлаждающей воде.

Решение:

Физические свойства воды при t_ж = 10 ℃ и t_с = 50 ℃:

- кинематическая вязкость

$ν_{ж} = 1,306 \times 10^{- 6} \frac{м^{2}}{с}$

- теплопроводность

$λ_{ж} = 0,574 \frac{В т}{м \times К}$

- число Прандтля

$P r_{ж} = 9,52$

$P r_{с} = 3,54$

Число Рейнольдса:

$R e_{ж} = \frac{w d}{ν_{ж}} = \frac{1 \times 0,02}{1,306 \times 10^{- 6}} = 1,53 \times 10^{4}$

Число Нуссельта при поперечном обтекании одиночного цилиндра капельными жидкостями (Re_ж = 10³…2 × 10⁵):

$N u_{ж} = 0,25 R e_{ж}^{0,6} P r_{ж}^{0,38} {(\frac{P r_{ж}}{P r_{с}})}^{0,25} = 0,25 \times {(1,53 \times 10^{4})}^{0,6} \times {9,52}^{0,38} \times {(\frac{9,52}{3,54})}^{0,25} = 244$

Коэффициент теплоотдачи:

$α = N u_{ж} \frac{λ_{ж}}{d} = 244 \times \frac{0,574}{0,02} = 7003 \frac{В т}{м^{2} \times К}$

Ответ: α = 7003 Вт/(м² × К).

Теплоотдача при вынужденном движении жидкости

Содержание главы

Примеры решений задач

Задача #1511

Задача #1512

Задача #1513

Задача #1514

Задача #1515

Задача #1516

Задача #1517

Задача #1521

Задача #15210

Задача #15211

Задача #15212

Задача #15213

Задача #15214

Задача #15215

Задача #15216

Задача #15217

Задача #15218

Задача #1522

Задача #1523

Задача #1524

Задача #1525

Задача #1526

Задача #1527

Задача #1528

Задача #1529

Задача #1531

Задача #1532

Задача #1533

Навигация по странице

Сборник задач

Смежные главы