Теплоотдача при свободной конвекции

Средняя температуры пограничного слоя воздуха:

$$t=\mathrm{0,5}\left(t_{с}+t_{\infty }\right)=\mathrm{0,5}\times \left(55+25\right)=40 ℃$$

Физические свойства воздуха при t = 40 ℃:

- кинематическая вязкость (таблица)

$$\nu =\mathrm{16,9}\times {10}^{-6}\frac{{м}^2}{с}$$

- теплопроводность (таблица)

$$\lambda =\mathrm{0,0275}\frac{Вт}{м\times К}$$

- число Прандтля (таблица)

$$Pr= \mathrm{0,7}$$

- коэффициент температурного расширения воздуха

$$\beta =\frac{1}{273+\stackrel{-}{t}}=\frac{1}{273+40}=\mathrm{3,19}\times {10}^{-3} {К}^{-1}$$

Среднее число Релея:

$${Ra}_h=\frac{g\beta \left(t_{с}-t_{\infty }\right)h^3}{{\nu }^2}Pr=\frac{\mathrm{9,81}\times \mathrm{3,19}\times {10}^{-3}\times \left(55-25\right)\times {10}^3}{{\left(\mathrm{16,9}\times {10}^{-6}\right)}^2}\times \mathrm{0,7}=\mathrm{2,3}\times {10}^{12}$$

Среднее число Нуссельта:

$${\stackrel{-}{Nu}}^{\frac{1}{2}}=\mathrm{0,825}+\frac{\mathrm{0,387}{Ra}_h^{\frac{1}{6}}}{{\left[1+{\left(\frac{\mathrm{0,492}}{Pr}\right)}^{\frac{9}{16}}\right]}^{\frac{8}{27}}}=\mathrm{0,825}+\frac{\mathrm{0,387}\times {\left(\mathrm{2,3}\times {10}^{12}\right)}^{\frac{1}{6}}}{{\left[1+{\left(\frac{\mathrm{0,492}}{\mathrm{0,7}}\right)}^{\frac{9}{16}}\right]}^{\frac{8}{27}}}=\mathrm{36,4}$$

откуда

$$\stackrel{-}{Nu}={\mathrm{36,4}}^2=1325$$

Средний коэффициент теплоотдачи:

$$\stackrel{-}{\alpha }=\frac{\stackrel{-}{Nu}\lambda }{h}=\frac{1325\times \mathrm{0,0275}}{10}=\mathrm{3,6}\frac{Вт}{{м}^2\times К}$$

Тепловой поток, отводимый воздухом от боковой поверхности подогревателя:

$$Q=\stackrel{-}{\alpha }\pi dh\left(t_{с}-t_{\infty }\right)=\mathrm{3,6}\times \mathrm{3,14}\times \mathrm{3,5}\times 10\times \left(55-25\right)=11870 Вт$$

Ответ: Q = 11870 Вт.

Плотность теплового потока на поверхности шины:

$$q=\frac{I^2{\rho }_{эл}}{PF}=\frac{I^2{\rho }_{эл}}{2\left(a+b\right)ab}=\frac{{955}^2\times \mathrm{2,3}\times {10}^{-8}}{2\times \left(\mathrm{0,1}+\mathrm{0,003}\right)\times \mathrm{0,1}\times \mathrm{0,003}}=348\frac{Вт}{{м}^2}$$

Примем в первом приближении температуру поверхности шины:

$$t_{с}=60 ℃$$

Средняя температуры пограничного слоя воздуха:

$$t=\mathrm{0,5}\left(t_{с}+t_{ж}\right)=\mathrm{0,5}\times \left(60+20\right)=40 ℃$$

Физические свойства воздуха при t = 40 ℃:

- кинематическая вязкость (таблица)

$$\nu =\mathrm{16,9}\times {10}^{-6}\frac{{м}^2}{с}$$

- теплопроводность (таблица)

$$\lambda =\mathrm{0,0275}\frac{Вт}{м\times К}$$

- число Прандтля (таблица)

$$Pr= \mathrm{0,7}$$

- коэффициент температурного расширения воздуха

$$\beta =\frac{1}{273+t}=\frac{1}{273+40}=\mathrm{3,19}\times {10}^{-3} {К}^{-1}$$

Среднее число Релея:

$${Ra}_a=\frac{g\beta q{a}^4}{\lambda {\nu }^2}Pr=\frac{\mathrm{9,81}\times \mathrm{3,19}\times {10}^{-3}\times 348\times {\mathrm{0,1}}^4}{\mathrm{0,0275}\times {\left(\mathrm{16,9}\times {10}^{-6}\right)}^2}\times \mathrm{0,7}=\mathrm{1,0}\times {10}^8$$

Среднее число Нуссельта:

$$\stackrel{-}{Nu}=\mathrm{1,22}\times \mathrm{0,615}\times \mathrm{0,464}{Ra}_a^{\mathrm{0,2}}=\mathrm{1,22}\times \mathrm{0,615}\times \mathrm{0,464}{\left(\mathrm{1,0}\times {10}^8\right)}^{\mathrm{0,2}}=\mathrm{17,5}$$

Средний коэффициент теплоотдачи:

$$\stackrel{-}{\alpha }=\frac{\stackrel{-}{Nu}\lambda }{d}=\frac{\mathrm{17,5}\times \mathrm{0,0275}}{\mathrm{0,1}}=\mathrm{4,81}\frac{Вт}{{м}^2\times К}$$

Выделяющаяся в шине теплота отводится путем свободной конвекции воздуха и излучением:

$$q=\stackrel{-}{\alpha }\left(\stackrel{-}{T_{с}}-T_{ж}\right)+\epsilon {\sigma }_0\left({\stackrel{-}{T_{с}}}^4-T_{ж}^4\right)$$

где ε = 0,56 – степень черноты для окисленной поверхности меди.

Подставляя в последнее уравнение известные величины решая полученное при этом уравнение с неизвестной величиной t_с, находим:

$$\stackrel{-}{t_{с}}=60 ℃$$

Ответ: t_с = 60 ℃.

Средняя температуры пограничного слоя воздуха:

$$t=\mathrm{0,5}\left(t_{с}+t_{ж}\right)=\mathrm{0,5}\times \left(50+30\right)=40 ℃$$

Физические свойства воздуха при t = 40 ℃:

- кинематическая вязкость (таблица)

$$\nu =\mathrm{1,696}\times {10}^{-5}\frac{{м}^2}{с}$$

- теплопроводность (таблица)

$$\lambda =\mathrm{0,0276}\frac{Вт}{м\times К}$$

- число Прандтля (таблица)

$$Pr= \mathrm{0,699}$$

- коэффициент температурного расширения

$$\beta =\frac{1}{273+t}=\frac{1}{273+40}=\mathrm{3,19}\times {10}^{-3} {К}^{-1}$$

Среднее число Релея:

$${Ra}_d=\frac{g\beta \left(t_{с}-t_{ж}\right)d_{из}^3}{{\nu }^2}Pr=\frac{\mathrm{9,81}\times \mathrm{3,19}\times {10}^{-3}\left(50-30\right)\times {\mathrm{0,3}}^3}{{\left(\mathrm{1,696}\times {10}^{-5}\right)}^2}\times \mathrm{0,699}=\mathrm{4,107}\times {10}^7$$

Среднее число Нуссельта для горизонтальной трубы и воздуха:

$$\stackrel{-}{Nu}=\frac{2}{\ln \left(1+\frac{2}{\mathrm{0,399}R{a}_d^{\mathrm{0,25}}}\right)}=\frac{2}{\ln \left(1+\frac{2}{\mathrm{0,399}\times {\left(\mathrm{4,107}\times {10}^7\right)}^{\mathrm{0,25}}}\right)}=\mathrm{32,9}$$

Средний коэффициент теплоотдачи:

$$\stackrel{-}{\alpha }=\frac{\stackrel{-}{Nu}\lambda }{d_{из}}=\frac{\mathrm{32,9}\times \mathrm{0,0276}}{\mathrm{0,3}}=\mathrm{3,03}\frac{Вт}{{м}^2\times К}$$

Тепловые потери за счет свободный конвекции воздуха:

$$q_{l конв}=\stackrel{-}{\alpha }\left(t_{с}-t_{ж}\right)\pi d_{из}=\mathrm{3,03}\times \left(50-30\right)\times \mathrm{3,14}\times \mathrm{0,3}=\mathrm{54,1}\frac{Вт}{м}$$

Найдем тепловые потери за счет теплообмена излучением между паропроводом и ограждающей поверхностью, принимая степень черноты паропровода ε = 0,8, а температура ограждающей поверхности T_огр = 273 + t = 303 К:

$$q_{l изл}=\mathrm{\epsilon }{\mathrm{\sigma }}_0\left(T_{с}^4-T_{огр}^4\right)\pi d_{из}=\mathrm{0,8}\times \mathrm{5,67}\times {10}^{-8}\times \left({323}^4-{303}^4\right)\times \mathrm{3,14}\times \mathrm{0,3}=\mathrm{104,7}\frac{Вт}{м}$$

Суммарные потери теплоты:

$$q_l=q_{l конв}+q_{l изл}=\mathrm{54,1}+\mathrm{104,7}=\mathrm{158,8}\frac{Вт}{м}$$

Зададимся средней температурой изоляции 200 ℃ и для шлаковой ваты находим:

$${\lambda }_{из}=\mathrm{0,06}+\mathrm{0,000145}\times 200=\mathrm{0,089}\frac{Вт}{м\times К}$$

Для стали λ = 40 Вт/(м × К), тогда температура пара:

$$t_{п}=t_{с}+\frac{q_l}{\pi }\left(\frac{1}{2{\lambda }_{из}}\ln \frac{d_{из}}{d}+\frac{1}{2\lambda }\ln \frac{d_2}{d_1}+\frac{1}{{\alpha }_1{d}_1}\right)=$$

$$=50+\frac{\mathrm{158,8}}{\mathrm{3,14}}\times \left(\frac{1}{2\times \mathrm{0,089}}\times \ln \frac{d_{из}}{d}+\frac{1}{2\times 40}\times \ln \frac{70}{58}+\frac{1}{3000\times \mathrm{0,058}}\right)=326 ℃$$

При этом температура внешней поверхности стенки трубы равна 324 ℃, средняя температура изоляции составляет 187 ℃, а λ_из = 0,087 Вт/(м × К). Повторный расчет дает t_п = 331 ℃.

Ответ: q_l = 158,8 Вт/(м² × К); t_п = 326 ℃.

Средняя температура пограничного слоя:

$$t=\mathrm{0,5}\left(t_{ж}+t_{с}\right)=\mathrm{0,5}\times \left(25+35\right)=30 ℃$$

Физические свойства воды при t = 30 ℃ (таблица):

- кинематическая вязкость

$$\nu =\mathrm{0,805}\times {10}^{-6}\frac{{м}^2}{с}$$

- теплопроводность

$$\lambda =\mathrm{0,618}\frac{Вт}{м\times К}$$

- число Прандтля

$$Pr= \mathrm{5,42}$$

- коэффициент температурного расширения

$$\beta =\mathrm{3,2}\times {10}^{-4} {К}^{-1}$$

Среднее число Релея:

$${Ra}_d=\frac{g\beta \left(t_{с}-t_{ж}\right)d^3}{{\nu }^2}Pr=\frac{\mathrm{9,81}\times \mathrm{3,21}\times {10}^{-4}\left(35-25\right)\times {\mathrm{0,02}}^3}{{\left(\mathrm{0,805}\times {10}^{-6}\right)}^2}\times \mathrm{5,42}=\mathrm{2,10}\times {10}^6$$

Находим:

$$N{u}^{’}=\mathrm{0,518}{Ra}_d^{\frac{1}{4}}{\left[1+{\left(\frac{\mathrm{0,559}}{Pr}\right)}^{\frac{3}{5}}\right]}^{-\frac{5}{12}}=\mathrm{17,9}$$

Определим число Нуссельта:

$$Nu=\frac{2}{\ln \left(1+\frac{2}{N{u}^{’}}\right)}=\frac{2}{\ln \left(1+\frac{2}{\mathrm{17,9}}\right)}=\mathrm{18,9}$$

Средний коэффициент теплоотдачи:

$$\stackrel{-}{\alpha }=\frac{Nu\lambda }{d}=\frac{\mathrm{18,9}\times \mathrm{0,618}}{\mathrm{0,02}}=584\frac{Вт}{{м}^2\times К}$$

Мощность электронагревателя:

$$Q=\stackrel{-}{\alpha }\pi dl\left(t_{с}-t_{ж}\right)=584\times \mathrm{3,14}\times \mathrm{0,02}\times \mathrm{0,3}\times \left(35-25\right)=110 Вт$$

Ответ: Q = 110 Вт.