Расчеты трубопроводов и водопроводных сетей

По заданным диаметрам d₁ и d₂ (мм) определим площадь сечения ω (м²) в каждом сечении трубопровода:

$${\omega }_1=\frac{\pi d_1^2}{4}=\frac{\mathrm{3,14}\times {\mathrm{0,16}}^2}{4}=\mathrm{0,020096} {м}^2$$

$${\omega }_2=\frac{\pi d_2^2}{4}=\frac{\mathrm{3,14}\times {\mathrm{0,13}}^2}{4}=\mathrm{0,0132665} {м}^2$$

Вычислим в каждом сечении скорость течения жидкости:

$$v_1=\frac{Q}{{\omega }_1}=\frac{\mathrm{0,03}}{\mathrm{0,020096}}=\mathrm{1,493}\frac{м}{с}$$

$$v_2=\frac{Q}{{\omega }_2}=\frac{\mathrm{0,03}}{\mathrm{0,0132665}}=\mathrm{2,261}\frac{м}{с}$$

Вычислим величину скоростного напора в каждом сечении:

$$\frac{v_1^2}{2g}=\frac{{\mathrm{1,493}}^2}{2\times \mathrm{9,81}}=\mathrm{0,11} м$$

$$\frac{v_2^2}{2g}=\frac{{\mathrm{2,261}}^2}{2\times \mathrm{9,81}}=\mathrm{0,26} м$$

Составим уравнение Бернулли для каждого сечения:

- в сечении 1-1 уравнение Бернулли выражается в виде

$$z_1+\frac{p_1}{\rho g}+\frac{\alpha v_1^2}{2g}+h_{0-1}=H$$

- в сечении 2-2 уравнение Бернулли выражается в виде:

$$z_2+\frac{p_2}{\rho g}+\frac{\alpha v_2^2}{2g}+h_{1-2}=H$$

Определим величину пьезометрического напора в каждом сечении:

- в сечении 1-1:

$$\frac{p_1}{\rho g}=H-\frac{\alpha v_1^2}{2g}-z_1-h_{0-1}=30-\frac{{1\times \mathrm{1,493}}^2}{2\times \mathrm{9,81}}-3-2=\mathrm{24,89} м$$

- в сечении 2-2:

$$\frac{p_2}{\rho g}=H-\frac{\alpha v_1^2}{2g}-z_2-h_{1-2}=30-\frac{{1\times \mathrm{2,261}}^2}{2\times \mathrm{9,81}}-5-10=\mathrm{14,74} м$$

Баланс напоров для двух сечений трубопровода выражается выражением:

$$z_1+\frac{p_1}{\rho g}+\frac{\alpha v_1^2}{2g}+h_{0-1}=z_2+\frac{p_2}{\rho g}+\frac{\alpha v_2^2}{2g}+h_{1-2}$$

Построим в выбранном масштабе сечение трубопровода, пьезометрическую, напорную линии и линию полного гидродинамического напора.

Ответ: нет.

Напор тратится на преодоления сопротивлений по длине:

$$H=\frac{\lambda l}{d}\frac{v^2}{2g} \left(1\right)$$

Напор:

$$H=\frac{\Delta p}{\rho g}=\frac{12000}{800\times \mathrm{9,81}}=\mathrm{1,53} м$$

Критический напор:

$$H_{кр}=\frac{32{\nu }^{2}l}{g{d}^3}R{e}_{кр}=\frac{32\times {\left(\mathrm{0,15}\times {10}^{-4}\right)}^2\times 50}{\mathrm{9,81}\times {\mathrm{0,15}}^3}\times 2320=\mathrm{0,025} м$$

И так, H > H_кр режим движения нефти турбулентный.

Коэффициент гидравлического трения в первом приближении (квадратичная область):

$${\lambda }_I=\mathrm{0,11}{\left(\frac{\Delta }{d}\right)}^{\mathrm{0,25}}=\mathrm{0,11}\times {\left(\frac{\mathrm{0,15}}{150}\right)}^{\mathrm{0,25}}=\mathrm{0,0196}$$

Из уравнения (1) найдем скорость движения жидкости в первом приближении:

$$v_I=\sqrt{\frac{2gHd}{{\lambda }_{I}l}}=\sqrt{\frac{2\times \mathrm{9,81}\times \mathrm{1,53}}{\mathrm{0,0196}\times 50}}=\mathrm{5,53}\frac{м}{с}$$

Режим движения жидкости в первом приближении:

$$R{e}_I=\frac{v_{I}d}{\nu }=\frac{\mathrm{5,53}\times \mathrm{0,15}}{\mathrm{0,15}\times {10}^{-4}}=55300$$

Определим область сопротивления для турбулентного режима:

$$10\frac{d}{\Delta }=10\times \frac{150}{\mathrm{0,15}}=10000<R{e}_I<500\frac{d}{\Delta }=500\times \frac{150}{\mathrm{0,15}}=500000-шероховатые трубы$$

Коэффициент гидравлического трения во втором приближении (шероховатые трубы):

$${\lambda }_{II}=\mathrm{0,11}{\left(\frac{\Delta }{d}+\frac{68}{R{e}_I}\right)}^{\mathrm{0,25}}=\mathrm{0,11}\times {\left(\frac{\mathrm{0,15}}{150}+\frac{68}{55300}\right)}^{\mathrm{0,25}}=\mathrm{0,0239}$$

Скорость движения жидкости во втором приближении:

$$v_{II}=\sqrt{\frac{2gHd}{{\lambda }_{II}l}}=\sqrt{\frac{2\times \mathrm{9,81}\times \mathrm{1,53}}{\mathrm{0,0239}\times 50}}=\mathrm{5,01}\frac{м}{с}$$

Искомый расход нефти:

$$Q=v_{II}\frac{\pi d^2}{4}=\mathrm{5,01}\times \frac{\mathrm{3,14}\times {\mathrm{0,15}}^2}{4}=\mathrm{0,0885}\frac{{м}^3}{с}=\mathrm{88,5}\frac{л}{с}$$

Ответ: Q = 88,5 л/с.

Избыточное давление газа в баке:

$$p_0={\rho }_{рт}g{h}_{рт}-\rho gH=13600\times \mathrm{9,81}\times \mathrm{1,47}-1000\times \mathrm{9,81}\times 1=186312 Па$$

Составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2:

$$\frac{p_0}{\rho g}+H_0+l=\frac{v^2}{2g}+\xi \frac{v^2}{2g}$$

Отсюда найдем скорость истечения из бака:

$$v=\sqrt{\frac{2g\left(\frac{p_0}{\rho g}+H_0+l\right)}{1+\xi }}=\sqrt{\frac{2\times \mathrm{9,81}\times \left(\frac{186312}{1000\times \mathrm{9,81}}+\mathrm{1,9}+\mathrm{0,1}\right)}{1+\mathrm{0,5}}}=\mathrm{16,57}\frac{м}{с}$$

Расход воды:

$$Q=v\frac{\pi d^2}{4}=\mathrm{16,57}\times \frac{\mathrm{3,14}\times {\mathrm{0,03}}^2}{4}=\mathrm{0,0117}\frac{{м}^3}{с}=\mathrm{11,7}\frac{л}{с}$$

Ответ: Q = 11,7 л/с.

Выразим скорость жидкости через известный расход:

$$v=\frac{4Q}{\pi d^2}=\frac{4\times \mathrm{0,006}}{\mathrm{3,14}\times {\mathrm{0,025}}^2}=\mathrm{12,23}\frac{м}{с}$$

Определяем число Рейнольдса (режим движения жидкости):

$$Re=\frac{vd}{\nu }=\frac{\mathrm{12,23}\times \mathrm{0,025}}{\mathrm{0,000001}}=305732>2320\dots 4000-турбулентный$$

Уточним область турбулентного режима:

$$500\frac{d}{\Delta }=500\times \frac{25}{\mathrm{0,06}}=208333<Re=305732-квадратичная$$

Коэффициент гидравлического трения, для квадратичной области, найдем за формулой Альтшулля:

$$\lambda =\mathrm{0,11}{\left(\frac{\Delta }{d}\right)}^{\mathrm{0,25}}=\mathrm{0,11}\times {\left(\frac{\mathrm{0,06}}{25}\right)}^{\mathrm{0,25}}=\mathrm{0,0243}$$

Уравнение Бернулли примет вид:

$$\frac{p_1}{\rho g}=\frac{p_{атм}}{\rho g}+\lambda \frac{l}{d}\frac{v^2}{2g}$$

где p_атм = 98100 Па – давление в конце трубопровода (техническая атмосфера).

Откуда найдем абсолютное давление в начале трубопровода:

$$p_1=p_{атм}+\lambda \frac{l}{d}\frac{{\rho v}^2}{2}=$$

$$=98100+\mathrm{0,0243}\times \frac{4}{\mathrm{0,025}}\times \frac{900\times {\mathrm{12,23}}^2}{2}=359793 Па=360 кПа$$

Ответ: p₁ = 360 кПа.

Из уравнения Бернулли, для сечения 1–1 и 2–2, следует:

$$h={\xi }_{в}\frac{v_2^2}{2g}$$

Откуда, найдем скорость v₂:

$$v_2=\sqrt{\frac{2gh}{{\xi }_{в}}}=\sqrt{\frac{2\times \mathrm{9,81}\times \mathrm{0,3}}{6}}=\mathrm{0,99}\frac{м}{с}$$

Искомый расход:

$$Q=v_2\frac{\pi D^2}{4}=\mathrm{0,99}\times \frac{\mathrm{3,14}\times {\mathrm{0,06}}^2}{4}=\mathrm{0,0028}\frac{{м}^3}{с}$$

Из уравнения Бернулли, для сечения С–С и 1–1, следует:

$$\frac{p_C}{\rho g}+\frac{v_C^2}{2g}=h+\frac{v_2^2}{2g} \left(1\right)$$

Из уравнения неразрывности потока, найдем скорость v_С:

$$v_c=v_2{\left(\frac{D}{d_C}\right)}^2=\mathrm{0,99}\times {\left(\frac{\mathrm{0,06}}{\mathrm{0,03}}\right)}^2=\mathrm{3,96}\frac{м}{с}$$

Тогда из уравнения (1) найдем искомое избыточное давления р_С:

$$p_C=\left(h+\frac{v_2^2}{2g}-\frac{v_C^2}{2g}\right)\rho g=\left(\mathrm{0,3}+\frac{{\mathrm{0,99}}^2}{2\times \mathrm{9,81}}-\frac{{\mathrm{3,96}}^2}{2\times \mathrm{9,81}}\right)\times 1000\times \mathrm{9,81}=-4408 Па \left(вакуум\right)$$

Коэффициент сопротивления внезапного расширения:

$${\xi }_{в.р.}={\left[{\left(\frac{D}{d_B}\right)}^2-1\right]}^2={\left[{\left(\frac{\mathrm{0,06}}{\mathrm{0,02}}\right)}^2-1\right]}^2=64$$

Из уравнения Бернулли, для сечения В–В и С–С, следует:

$$\frac{p_B}{\rho g}+\frac{v_B^2}{2g}=\left(1+{\xi }_{с}\right)\frac{v_C^2}{2g}+\left(\lambda \frac{l}{D}+{\xi }_{в.р.}\right)\frac{v_2^2}{2g} \left(2\right)$$

Из уравнения неразрывности потока, найдем скорость v_В:

$$v_B=v_2{\left(\frac{D}{d_B}\right)}^2=\mathrm{0,99}\times {\left(\frac{\mathrm{0,06}}{\mathrm{0,02}}\right)}^2=\mathrm{8,91}\frac{м}{с}$$

Тогда из уравнения (2) найдем искомое избыточное давления р_В:

$$p_B=\left[\left(1+{\xi }_{с}\right)\frac{v_C^2}{2g}+\left(\lambda \frac{l}{D}+{\xi }_{в.р.}\right)\frac{v_2^2}{2g}-\frac{v_B^2}{2g}\right]\rho g=$$

$$=\left[\left(1+\mathrm{0,09}\right)\times \frac{{\mathrm{3,96}}^2}{2\times \mathrm{9,81}}+\left(\mathrm{0,024}\times \frac{\mathrm{5,5}}{\mathrm{0,06}}+64\right)\times \frac{{\mathrm{0,99}}^2}{2\times \mathrm{9,81}}-\frac{{\mathrm{8,91}}^2}{2\times \mathrm{9,81}}\right]\times$$

$$\times 1000\times \mathrm{9,81}=1297 Па$$

Ответ: Q = 0,0028 м³/с; p_B = 1297 Па; p_C = -4408 Па.

Построим напорную и пьезометрическую линию (см. рисунки).

Потери напора (рис. 1):

$$h_x={\lambda }_1\frac{L_x}{D_1}\frac{v_1^2}{2g}$$

$$h_1={\lambda }_1\frac{L_1}{D_1}\frac{v_1^2}{2g}$$

$$h_2={\xi }_{р}\frac{v_2^2}{2g}$$

$$h_3={\lambda }_2\frac{L_2}{2D_1}\frac{v_2^2}{2g}$$

Для сечения х – х покажем слагаемые уравнения Бернулли (полный напор) (рис. 10):

$$H=z_x+\frac{p_x}{\rho g}+\frac{v_1^2}{2g}$$

Потери напора (рис. 2):

$$h_1={\lambda }_1\frac{L_1}{D_1}\frac{v_1^2}{2g}$$

$$h_x={\xi }_x\frac{v_x^2}{2g}$$

$$h_2={\xi }_{диф}\frac{v_1^2}{2g}$$

$$h_3={\lambda }_2\frac{L_2}{D_1}\frac{v_2^2}{2g}$$

Для сечения х – х покажем слагаемые уравнения Бернулли (полный напор) (рис. 10):

$$H=z_x+\frac{p_x}{\rho g}+\frac{v_x^2}{2g}$$

Ответ: нет.

Скорость в трубопроводе:

$$v_1=\frac{4Q}{\pi D_1^2}=\frac{4\times \mathrm{0,0009}}{\mathrm{3,14}\times {\mathrm{0,032}}^2}=\mathrm{1,12}\frac{м}{с}$$

$$v_2=\frac{4Q}{\pi D_2^2}=\frac{4\times \mathrm{0,0009}}{\mathrm{3,14}\times {\mathrm{0,025}}^2}=\mathrm{1,83}\frac{м}{с}$$

Коэффициенты местных сопротивлений:

– вход в трубу

$${\xi }_{вх}=\mathrm{0,5}$$

– внезапное сужения потока

$${\xi }_{в.с.}=\mathrm{0,5}\left(1-\frac{D_2^1}{D_2^2}\right)=\mathrm{0,5}\times \left(1-\frac{{\mathrm{0,025}}^2}{{\mathrm{0,032}}^2}\right)=\mathrm{0,19}$$

Потери напора на участках:

$$h_1={\xi }_{вх}\frac{v_1^2}{2g}=\mathrm{0,5}\times \frac{{\mathrm{1,12}}^2}{2\times \mathrm{9,81}}=\mathrm{0,032} м$$

$$h_2=\lambda \frac{L_1}{D_1}\frac{v_1^2}{2g}=\mathrm{0,025}\times \frac{2}{\mathrm{0,035}}\times \frac{{\mathrm{1,12}}^2}{2\times \mathrm{9,81}}=\mathrm{0,091} м$$

$$h_3={\xi }_{в.с.}\frac{v_2^2}{2g}=\mathrm{0,19}\times \frac{{\mathrm{1,83}}^2}{2\times \mathrm{9,81}}=\mathrm{0,032} м$$

$$h_4=\lambda \frac{L_2}{D_2}\frac{v_2^2}{2g}=\mathrm{0,025}\times \frac{1}{\mathrm{0,025}}\times \frac{{\mathrm{1,83}}^2}{2\times \mathrm{9,81}}=\mathrm{0,171} м$$

Скоростной напор:

$$\frac{v_1^2}{2g}=\frac{{\mathrm{1,12}}^2}{2\times \mathrm{9,81}}=\mathrm{0,064} м$$

$$\frac{v_2^2}{2g}=\frac{{\mathrm{1,83}}^2}{2\times \mathrm{9,81}}=\mathrm{0,171} м$$

Напор в резервуаре:

$$H=h_1+h_2+h_3+h_4+\frac{v_2^2}{2g}=\mathrm{0,032}+\mathrm{0,032}+\mathrm{0,091}+\mathrm{0,171}+\mathrm{0,171}\approx \mathrm{0,5} м$$

По заданным выше данным строим пьезометрическую и напорную линию.

Ответ: нет.

Кинематическая вязкость воды при t = 20 ℃:

$$\nu =101\times {10}^{-8}\frac{{м}^2}{с}$$

Плотность воды при t = 20 ℃:

$$\rho =998\frac{кг}{{м}^3}$$

Принимаем эквивалентную шероховатость нового стального трубопровода (сварной):

$$\Delta =\mathrm{0,15} мм$$

Потери давления в трубопроводе:

$$\Delta p=\lambda \frac{l}{d}\frac{\rho v^2}{2} \left(1\right)$$

Скорость движения воды в трубопроводе:

$$v=\frac{4Q}{\pi d^2} \left(2\right)$$

Тогда:

$$\Delta p=\frac{8Q^2\lambda l\rho }{{\pi }^2{d}^5} \left(3\right)$$

Примем в первом приближении коэффициент гидравлического трения:

$${\lambda }_I=\mathrm{0,025}$$

Из уравнения (3) найдем диаметр трубопровода в первом приближении:

$$d_I=\sqrt[5]{\frac{8Q^2{\lambda }_{I}l\rho }{\Delta p{\pi }^2}}=\sqrt[5]{\frac{8\times {\mathrm{0,036}}^2\times \mathrm{0,025}\times 1000\times 998}{\mathrm{0,28}\times {10}^6\times {\mathrm{3,14}}^2}}=\mathrm{0,156} м$$

Коэффициент гидравлического трения во втором приближении:

$${\lambda }_{II}=\mathrm{0,11}{\left(\frac{\Delta }{d_I}\right)}^{\mathrm{0,25}}=\mathrm{0,11}\times {\left(\frac{\mathrm{0,15}}{156}\right)}^{\mathrm{0,25}}=\mathrm{0,0194}$$

Диаметр трубопровода во втором приближении:

$$d_{II}=\sqrt[5]{\frac{8Q^2{\lambda }_{II}l\rho }{\Delta p{\pi }^2}}=\sqrt[5]{\frac{8\times {\mathrm{0,036}}^2\times \mathrm{0,0194}\times 1000\times 998}{\mathrm{0,28}\times {10}^6\times {\mathrm{3,14}}^2}}=\mathrm{0,149} м$$

Число Рейнольдса в первом приближении:

$${Re}_I=\frac{4Q}{\pi d_{II}\nu }=\frac{4\times \mathrm{0,036}}{\mathrm{3,14}\times \mathrm{0,149}\times 101\times {10}^{-8}}=304737>2320\dots 4000-турбулентный режим$$

Область сопротивления при турбулентном режиме:

$$10\frac{d_{II}}{\Delta }=10\times \frac{149}{\mathrm{0,15}}=9933<{Re}_I<500\frac{d_{II}}{\Delta }=500\times \frac{149}{\mathrm{0,15}}=496667-шероховатые трубы$$

Коэффициент гидравлического трения в третьем приближении для области сопротивления – шероховатые трубы:

$${\lambda }_{III}=\mathrm{0,11}{\left(\frac{\Delta }{d_{III}}\right)}^{\mathrm{0,25}}=\mathrm{0,11}\times {\left(\frac{\mathrm{0,15}}{149}+\frac{68}{304737}\right)}^{\mathrm{0,25}}=\mathrm{0,0206}$$

Диаметр трубопровода в третьем приближении:

$$d_{III}=\sqrt[5]{\frac{8Q^2{\lambda }_{III}l\rho }{\Delta p{\pi }^2}}=\sqrt[5]{\frac{8\times {\mathrm{0,036}}^2\times \mathrm{0,0206}\times 1000\times 998}{\mathrm{0,28}\times {10}^6\times {\mathrm{3,14}}^2}}=\mathrm{0,150} м$$

Ответ: d = 0,150 м.

Зададим ряд значений расхода и определим числа Рейнольдса:

$$Re=\frac{4Q}{\pi D\nu } \left(1\right)$$

Коэффициент гидравлического трения:

– при Re < 2320 – ламинарный режим

$$\lambda =\frac{64}{Re} \left(2\right)$$

– при Re > 2320 и 20d/Δ < Re – турбулентный режим (гладкие трубы)

$$\lambda =\frac{\mathrm{0,3164}}{R{e}^{\mathrm{0,25}}} \left(3\right)$$

– при Re > 2320 и 20d/Δ > Re – турбулентный режим (шероховатые трубы)

$$\lambda =\mathrm{0,11}{\left(\frac{\Delta }{D}+\frac{64}{Re}\right)}^{\mathrm{0,25}} \left(4\right)$$

– при Re > 2320 и 20d/Δ < Re < 500d/Δ – турбулентный режим (квадратичная область)

$$\lambda =\mathrm{0,11}{\left(\frac{\Delta }{D}\right)}^{\mathrm{0,25}} \left(5\right)$$

Потребный напор:

$$H_{п}=\mathrm{0,0827}\frac{\lambda L}{D^5}{Q}^2 \left(6\right)$$

Результаты расчетов по формулам (1–6) сведем в таблицу:

Построим графики H_п = f(Q)

На пересечении линий H = 20 м и H_п = f(Q), соответственно найдем:

$$Q_{в}=\mathrm{0,0182}\frac{{м}^3}{с}$$

$$Q_{т}=\mathrm{0,012}\frac{{м}^3}{с}$$

$$Q_{ц}=\mathrm{0,0012}\frac{{м}^3}{с}$$

Ответ: Q_в = 0,0182 м³/с; Q_т = 0,012 м³/с; Q_ц = 0,0012 м³/с.

Полезная мощность трубопровода:

$$N=Q\rho g\left(H-h_{п}\right){\eta }_{т} \left(1\right)$$

Потеря напора в трубопроводе:

$$h_{п}=\mathrm{0,0827}\frac{\lambda L}{D^5}{Q}^2$$

Исследуем на максимум выражения (1) в зависимости от расхода:

$$\frac{dN}{dQ}={\left(Q\rho gH{\eta }_{т}\right)}^{’}-\left(Q\rho g{\eta }_{т}\times \mathrm{0,0827}\frac{\lambda L}{D^5}{Q}^2\right)=\rho gH{\eta }_{т}-3\times \mathrm{0,0827}\rho g{\eta }_{т}\frac{\lambda L}{D^5}{Q}^2=0$$

Отсюда:

$$Q=\sqrt{\frac{H}{3\times \mathrm{0,0827}\lambda \frac{L}{D^5}}}=\sqrt{\frac{180}{3\times \mathrm{0,0827}\times \mathrm{0,02}\times \frac{2200}{{\mathrm{1,2}}^5}}}=\mathrm{6,4}\frac{{м}^3}{с}$$

К. п. д. трубопровода:

$${\eta }_{тр}=\frac{H-h_{п}}{H}$$

Отсюда:

$$H-h_{п}=H-\mathrm{0,0827}\frac{\lambda L}{D^5}{Q}^2=H-\mathrm{0,0827}\frac{\lambda L}{D^5}\times \frac{H}{3\times \mathrm{0,0827}\lambda \frac{L}{D^5}}=H-\frac{H}{3}=\frac{2}{3}H$$

Тогда:

$${\eta }_{тр}=\frac{2H}{3H}=\frac{2}{3}$$

Максимальная мощность:

$$N_{max}=\mathrm{6,4}\times 1\times \mathrm{9,81}\times \frac{2}{3}\times 180\times \mathrm{0,88}=6636 кВт$$

Ответ: N_max = 6636 кВт.

Удельные сопротивления участков:

$$A_1=\frac{8{\lambda }_1}{{\pi }^2{D}_1^{5}g}=A_2=\frac{8{\lambda }_2}{{\pi }^2{D}_2^{5}g}=A_3=\frac{8{\lambda }_3}{{\pi }^2{D}_3^{5}g}$$

$$A_4=\frac{8{\lambda }_4}{{\pi }^2{D}_4^{5}g}$$

Потери напора на участках:

$$h_1=A_1{l}_1{Q}^2$$

$$h_2=A_2{l}_2{\left(\frac{Q}{2}\right)}^2=A_3{l}_3{\left(\frac{Q}{2}\right)}^2$$

$$h_3=A_4{l}_4{Q}^2$$

Общие потери напора:

$$H=h_1+h_2+h_3=\left(A_1{l}_1+\frac{A_2{l}_2}{4}+A_4{l}_4\right)Q^2$$

Ответ: нет.

Составим систему уравнений для данного случая:

$$’{’\begin{array}{c}H=\mathrm{0,0827}{Q}_1^2\left(\frac{\xi }{d^4}+\frac{{\lambda }_{т}l}{d^5}\right)\\ H=\mathrm{0,0827}{Q}_2^2\frac{{\lambda }_{т}l}{d^5}\\ Q=Q_1+Q_2\end{array}’’$$

Отсюда:

$$\mathrm{0,0827}{Q}_1^2\left(\frac{\xi }{d^4}+\frac{{\lambda }_{т}l}{d^5}\right)=\mathrm{0,0827}{\left(Q-Q_1\right)}^2\frac{{\lambda }_{т}l}{d^5}$$

Отсюда найдем расход Q₁ (методом подстановки):

$$\mathrm{0,0827}\times Q_1^2\times \left(\frac{9}{{\mathrm{0,01}}^4}+\frac{\mathrm{0,03}\times 1}{{\mathrm{0,01}}^5}\right)=\mathrm{0,0827}\times {\left(Q-Q_1\right)}^2\times \frac{\mathrm{0,03}\times 1}{{\mathrm{0,01}}^5}$$

$$99240000Q_1^2=24810000{\left(\mathrm{0,003}-Q_1\right)}^2$$

$$Q_1=\mathrm{0,001}\frac{{м}^3}{с}=1\frac{л}{с}$$

Расход Q₂:

$$Q_2=Q-Q_1=3-1=2\frac{л}{с}$$

Ответ: Q₁ = 1 л/с; Q₂ = 2 л/с.

Составим систему уравнений:

$$’{’\begin{array}{c}h=\mathrm{0,0827}{Q}_1^2\frac{\xi }{d^4}\\ h=\mathrm{0,0827}{Q}_2^2\frac{\xi }{d^4}+\mathrm{0,0827}{\left(Q_2+Q_3+Q_4\right)}^2\frac{\lambda l_1}{d^5}\\ h=\mathrm{0,0827}{Q}_3^2\frac{\xi }{d^4}+\mathrm{0,0827}{\left(Q_2+Q_3+Q_4\right)}^2\frac{\lambda l_1}{d^5}+\mathrm{0,0827}{\left(Q_3+Q_4\right)}^2\frac{\lambda l_2}{d^5}\\ h=\mathrm{0,0827}{Q}_4^2\frac{\xi }{d^4}+\mathrm{0,0827}{\left(Q_2+Q_3+Q_4\right)}^2\frac{\lambda l_1}{d^5}+\mathrm{0,0827}{\left(Q_3+Q_4\right)}^2\frac{\lambda l_2}{d^5}+\mathrm{0,0827}{Q}_4^2\frac{\lambda l_3}{d^5}\end{array}’’$$

или

$$Q_1^2\xi =Q_2^2\xi +\frac{{\left(Q_2+Q_3+Q_4\right)}^2\lambda l_1}{d}=Q_3^2\xi +\frac{{\left(Q_2+Q_3+Q_4\right)}^2\lambda l_1}{d}+\frac{{\left(Q_3+Q_4\right)}^2\lambda l_2}{d}=Q_4^2\xi +\frac{{\left(Q_2+Q_3+Q_4\right)}^2\lambda l_1}{d}+\frac{{\left(Q_3+Q_4\right)}^2\lambda l_2}{d}+\frac{Q_4^2\lambda l_3}{d}$$

Учитывая отношения расходов (по условию задачи), получим:

$$4\xi =\xi +\frac{\mathrm{0,5625}\lambda l_1}{d}=\mathrm{0,25}\xi +\frac{\mathrm{0,5625}\lambda l_1}{d}+\frac{\mathrm{0,5625}\lambda l_2}{d}=\mathrm{0,0625}\xi +\frac{\mathrm{0,5625}\lambda l_1}{d}+\frac{\mathrm{0,5625}\lambda l_2}{d}+\frac{\mathrm{0,0625}\lambda l_3}{d} \left(1\right)$$

Отсюда:

$$\xi =\frac{\mathrm{0,1875}\lambda l_1}{d}$$

Тогда уравнение (1) можно записать:

$$\frac{\mathrm{0,75}\lambda l_1}{d}=\frac{\mathrm{0,1875}\lambda l_1}{d}+\frac{\mathrm{0,5625}\lambda l_1}{d}=\frac{\mathrm{0,046875}\lambda l_1}{d}+\frac{\mathrm{0,5625}\lambda l_1}{d}+\frac{\mathrm{0,5625}\lambda l_2}{d}=\frac{\mathrm{0,011719}\lambda l_1}{d}+\frac{\mathrm{0,5625}\lambda l_1}{d}+\frac{\mathrm{0,5625}\lambda l_2}{d}+\frac{\mathrm{0,0625}\lambda l_3}{d}$$

После сокращения:

$$\mathrm{0,75}{l}_1=\mathrm{0,6094}{l}_1+\mathrm{0,5625}{l}_2=\mathrm{0,5742}{l}_1+\mathrm{0,5625}{l}_2+\mathrm{0,0625}{l}_3$$

Отсюда:

$$l_1:l_2:l_3=\left(\frac{48}{49}\right):\frac{12}{9}:3$$

Ответ: нет.

Прямой AB «рассечем» систему на две семеричные и не зависимые систем (по 10 дросселей), а расход разделится пополам:

$$Q_1=\frac{Q}{2}$$

Прямыми CD и EK, аналогично, «рассечем» систему на 5 и 4 дросселя.

Тогда расход через 16 дросселей (4 ветки по 4 дросселя) будет:

$$Q_2=\frac{Q_1}{2}=\frac{Q}{4}$$

Расход через дросселя 1 и 2, 3 и 4 будет:

$$Q_1=\frac{Q}{2}$$

Потери напора на одном дросселе:

$$h_{др}=S_{др}{Q}^2=10 м \left(1\right)$$

Потеря напора в системе:

$$h_{AB}=2S_{др}{Q}_1^2+4S_{др}{Q}_2^2=2S_{др}{\left(\frac{Q}{2}\right)}^2+4S_{др}{\left(\frac{Q}{4}\right)}^2=\mathrm{0,75}{S}_{др}{Q}^2 \left(2\right)$$

Из уравнений (1) и (2), следует:

$$h=10\times \mathrm{0,75}=\mathrm{7,5} м$$

Ответ: h = 7,5 м.

Потеря напора:

$$\frac{p_{н}}{\rho g}-H_C=\mathrm{0,0827}\frac{{\lambda }_1{l}_1}{d_1^5}{\left(Q_A+Q_B+Q_C\right)}^2+\mathrm{0,0827}\frac{{\lambda }_2{l}_2}{d_2^5}{\left(Q_B+Q_C\right)}^2+\mathrm{0,0827}\frac{{\lambda }_3{l}_3}{d_3^5}{Q}_C^2 \left(1\right)$$

Коэффициенты гидравлического трения (квадратичная область, так как трубопроводы имеют большой диаметр):

$${\lambda }_1=\mathrm{0,11}{\left(\frac{\Delta }{d_1}\right)}^{\mathrm{0,25}}=\mathrm{0,11}\times {\left(\frac{\mathrm{0,5}}{200}\right)}^{\mathrm{0,25}}=\mathrm{0,0246}$$

$${\lambda }_2=\mathrm{0,11}{\left(\frac{\Delta }{d_2}\right)}^{\mathrm{0,25}}=\mathrm{0,11}\times {\left(\frac{\mathrm{0,5}}{150}\right)}^{\mathrm{0,25}}=\mathrm{0,0264}$$

$${\lambda }_3=\mathrm{0,11}{\left(\frac{\Delta }{d_3}\right)}^{\mathrm{0,25}}=\mathrm{0,11}\times {\left(\frac{\mathrm{0,5}}{100}\right)}^{\mathrm{0,25}}=\mathrm{0,0293}$$

Из уравнения (1) найдем искомое давление:

$$p_{н}=\mathrm{9,81}\left[\mathrm{0,0827}\frac{\mathrm{0,0246}\times 400}{{\mathrm{0,2}}^5}{\mathrm{0,03}}^2+\mathrm{0,0827}\frac{\mathrm{0,0264}\times 200}{{\mathrm{0,15}}^5}{\mathrm{0,02}}^2+\mathrm{0,0827}\frac{\mathrm{0,0293}\times 200}{{\mathrm{0,1}}^5}\times {\mathrm{0,01}}^2-5\right]=142 кПа$$

Ответ: p_н = 142 кПа.