Гидромашины и гидроавтоматика

Вакуум, создаваемый насосом, затрачивается на поднятия воды на высоту h и преодоления всех сопротивлений трубопровода, то есть можно записать:

$$\frac{P_{вак}}{\rho g}=h+\left(\alpha +\lambda \frac{L}{d}+{\zeta }_{к}+{\zeta }_{\mathrm{к}\mathrm{о}\mathrm{л}}\right)\frac{V^2}{2g} \left(1\right)$$

где ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды;

Учитывая, что:

$$V=\frac{4Q}{\pi d^2}$$

тогда, уравнения (1) можно записать:

$$\frac{P_{вак}}{\rho g}=h+\left(\alpha +\lambda \frac{L}{d}+{\zeta }_{к}+{\zeta }_{\mathrm{к}\mathrm{о}\mathrm{л}}\right)\frac{8Q^2}{{\pi }^{2}g{d}^4} \left(2\right)$$

Определим коэффициент гидравлического трения для квадратичной области турбулентного режима (условия задачи):

$$\lambda =\mathrm{0,11}{\left(\frac{\Delta }{d}\right)}^{\mathrm{0,25}}=\mathrm{0,11}{\left(\frac{\mathrm{0,2}}{250}\right)}^{\mathrm{0,25}}=\mathrm{0,0185}$$

Коэффициент кинетической энергии для турбулентного режима:

$$\alpha =1+\mathrm{2,65} \lambda =1+\mathrm{2,65}\times \mathrm{0,0185}=\mathrm{1,05}$$

Тогда из уравнения (1) найдем искомую минимальную высоту всасывания:

$$h=\frac{P_{вак}}{\rho g}-\left(\alpha +\lambda \frac{L}{d}+{\zeta }_{к}+{\zeta }_{\mathrm{к}\mathrm{о}\mathrm{л}}\right)\frac{8Q^2}{{\pi }^2{gd}^4}=$$

$$=\frac{60000}{1000\times \mathrm{9,81}}-\left(\mathrm{1,05}+\mathrm{0,0185}\frac{10}{\mathrm{0,25}}+6+\mathrm{1,2}\right)\frac{8\times {\mathrm{0,045}}^2}{{\mathrm{3,14}}^2\times \mathrm{9,81}\times {\mathrm{0,25}}^4}=\mathrm{5,73} м$$

Ответ: h = 5,73 м.

Определим расчетный диаметр трубопровода из условия, что расчетная скорость движения воды в трубопроводе равна v_вс(р) = 1 м/с (при условии недопущения срыва вакуума):

$$d_{вс\left(р\right)}=\sqrt{\frac{4Q_{вс}}{v_{вс\left(р\right)}\pi }}=\sqrt{\frac{4\times \mathrm{0,216}}{1\times \mathrm{3,14}}}=\mathrm{0,525} м=525 мм$$

По сортименту стальных водопроводных труб, принимаем ближайший больший диаметр:

$$d_{вс\left(р\right)}=525 мм⟹d_{вс}=530 мм$$

Найдем фактическую скорость движения воды в трубопроводе:

$$v_{вс}=\frac{4Q_{вс}}{\pi d_{вс}^2}=\frac{4\times \mathrm{0,216}}{\mathrm{3,14}\times {\mathrm{0,530}}^2}=\mathrm{0,98}\frac{м}{с}$$

Коэффициент гидравлического трения для неновых стальных трубопроводов, по данным Шевелева при v_вс < 1 м/с:

$$\lambda =\frac{\mathrm{0,0179}}{d_{вс}^{\mathrm{0,3}}}{\left(1+\frac{\mathrm{0,867}}{v_{вс}}\right)}^{\mathrm{0,3}}=\frac{\mathrm{0,0179}}{{\mathrm{0,530}}^{\mathrm{0,3}}}{\left(1+\frac{\mathrm{0,867}}{\mathrm{0,98}}\right)}^{\mathrm{0,3}}=\mathrm{0,0262}$$

Коэффициенты местных сопротивлений:

- всасывающий клапан d = 530 мм из сеткой

$${\zeta }_{кл}=\mathrm{2,6}$$

- колено на 90°

$${\zeta }_{к}=\mathrm{1,2}$$

Коэффициент сопротивления системы:

$${\zeta }_{с}=\lambda \frac{l_{вс}}{d_{вс}}+{\zeta }_{кл}+{\zeta }_{к}=\mathrm{0,0262}\times \frac{10}{\mathrm{0,530}}+\mathrm{2,6}+\mathrm{1,2}=\mathrm{4,3}$$

Потери напора:

$$h_{w\left(вс\right)}=\left(1+{\zeta }_{с}\right)\frac{v_{вс}^2}{2g}=7-\left(1+\mathrm{4,3}\right)\frac{{\mathrm{0,98}}^2}{2\times \mathrm{9,81}}=\mathrm{0,05} м$$

Отметка оси насоса или наибольшая высота насоса h_нас над уровнем воды в колодце при заданном значении h_вак определяется по формуле:

$$h_{нас}=z_{н}=h_{вак}-h_{w\left(вс\right)}=7-\mathrm{0,05}=\mathrm{6,95} м$$

Построим напорную (е – е) и пьезометрическую (р – р) линии всасывающего трубопровода:

Потери напора на всасывающем клапане (на входе):

$$h_{вх}={\zeta }_{кл}\frac{v_{вс}^2}{2g}=\mathrm{2,6}\times \frac{{\mathrm{0,98}}^2}{2\times \mathrm{9,81}}=\mathrm{0,13} м$$

Потери напора вертикальном участке трубопровода:

$$h_{вер}=\lambda \frac{l_{вер}}{d_{вс}}\frac{v_{вс}^2}{2g}=\mathrm{0,0262}\times \frac{8}{\mathrm{0,530}}\times \frac{{\mathrm{0,98}}^2}{2\times \mathrm{9,81}}=\mathrm{0,02} м$$

где l_вер – длинна вертикального участок трубопровода принимаем 8 м.

Потери напора на колене:

$$h_{к}={\zeta }_{к}\frac{v_{вс}^2}{2g}=\mathrm{1,2}\times \frac{{\mathrm{0,98}}^2}{2\times \mathrm{9,81}}=\mathrm{0,06} м$$

Потери напора на горизонтальном участке трубопровода:

$$h_{вер}=\lambda \frac{l_{вер}}{d_{вс}}\frac{v_{вс}^2}{2g}=\mathrm{0,0262}\times \frac{2}{\mathrm{0,530}}\times \frac{{\mathrm{0,98}}^2}{2\times \mathrm{9,81}}=\mathrm{0,01} м$$

где l_гор – длинна вертикального участок трубопровода принимаем 2 м.

Определим мощность двигателя насоса:

а) геометрическая высота подъема жидкости:

$$H_{г}=H_{б}+h_{б}+\left(z_{б}-z_{к}\right)=\mathrm{30,9}+5+\left(2-0\right)=\mathrm{37,9} м$$

где h_б – уровень воды в башне, принимаем 5 м.

б) необходимый напор насоса:

$$H=H_{г}+h_{w\left(вс\right)}+h_{w\left(н\right)}=\mathrm{37,9}+\mathrm{0,05}+\mathrm{3,15}=\mathrm{41,1} м$$

в) мощность двигателя:

$$N=\frac{\rho gHQ}{1000\eta }=\frac{1000\times \mathrm{9,81}\times \mathrm{41,1}\times \mathrm{0,216}}{1000\times \mathrm{0,65}}=134 кВт$$

где ρ – плотность воды, кг/м³.

Ответ: нет.

Физические свойства воды при t = 35 ℃:

- плотность воды

ρ = 994 кг/м3

- кинематическая вязкость

ν = 73 × 10-8 м2/с

Абсолютное давление в сечении 1–1 и 2 – 2:

$$P_1=P_{\mathrm{а}\mathrm{т}}+P_{\mathrm{и}}=98100+20000=118100\mathrm{ }\mathrm{П}\mathrm{а}$$

$$P_2=P_{\mathrm{а}\mathrm{т}}-P_v=98100-40000=58100\mathrm{ }\mathrm{П}\mathrm{а}$$

где P_ат – атмосферное давления, Па.

Определим коэффициенты местных сопротивлений:

- приёмная коробка с клапаном и сеткой на диаметр d = 0,06 м

$${{\xi }}_{{к}{л}}=\mathrm{1,9}$$

- колено (резкий поворот на 90 ⁰)

$${{\xi }}_{{к}}=\mathrm{1,19}$$

- сумма коэффициентов местных сопротивлений

$$\sum {\xi }={{\xi }}_{{к}{л}}+{{\xi }}_{{к}}+{{\xi }}_{{к}{р}}=\mathrm{1,9}+\mathrm{1,19}+5=\mathrm{8,09}$$

Составим уравнения Бернулли для сечений 1 – 1 и 2 – 2:

$$\frac{P_1}{\rho g}=h_{вс}+\frac{P_2}{\rho g}+\frac{{\alpha v}_2^2}{2g}+\left(\lambda \frac{l}{d}+\sum {\xi }\right)\frac{v_2^2}{2g} \left(1\right)$$

Определим коэффициент гидравлического трения в первом приближении (считая область турбулентного режима квадратичной):

$${\lambda }_I=\mathrm{0,11}{\left(\frac{\Delta }{d}\right)}^{\mathrm{0,25}}=\mathrm{0,11}{\left(\frac{\mathrm{0,15}}{60}\right)}^{\mathrm{0,25}}=\mathrm{0,0246}$$

где Δ = 0,15 мм – эквивалентная шероховатость сварных стальных труб, бывших в эксплуатации.

Из уравнения (1) найдем скорость движения жидкости в первом приближении (α = 1 – для турбулентного режима):

$$v_{2\left(I\right)}=\sqrt{\frac{2g\left(\frac{P_1-P_2}{\rho g}-h_{вс}\right)}{\alpha +{\lambda }_I\frac{l}{d}+\sum {\xi }}}=\sqrt{\frac{2\times \mathrm{9,81}\times \left(\frac{118100-58100}{994\times \mathrm{9,81}}-\mathrm{3,5}\right)}{1+\mathrm{0,0246}\times \frac{12}{\mathrm{0,06}}+\mathrm{8,09}}}=\mathrm{1,93}\frac{м}{с}$$

Определим число Рейнольдса в первом приближении:

$${Re}_I=\frac{v_{2\left(I\right)}d}{\nu }=\frac{\mathrm{1,93}\times \mathrm{0,06}}{73\times {10}^{-8}}=158630$$

И так, Re_(I) > 2320 – режим движения жидкости турбулентный.

Определим область турбулентного режима:

$$10\frac{d}{\Delta }=10\frac{60}{\mathrm{0,15}}=4000< {Re}_I<500\frac{d}{\Delta }=500\frac{60}{\mathrm{0,15}}=200000$$

И так, имеет место область шероховатых труб, тогда коэффициент гидравлического трения во втором приближении определим за формулой:

$${\lambda }_{II}=\mathrm{0,11}{\left(\frac{\Delta }{d}+\frac{68}{{Re}_I}\right)}^{\mathrm{0,25}}=\mathrm{0,11}{\left(\frac{\mathrm{0,15}}{60}+\frac{68}{158630}\right)}^{\mathrm{0,25}}=\mathrm{0,0256}$$

Тогда, скорость движения жидкости во втором приближении будет иметь достаточную точность:

$$v_{2\left(II\right)}=\sqrt{\frac{2g\left(\frac{P_1-P_2}{\rho g}-h_{вс}\right)}{\alpha +{\lambda }_{II}\frac{l}{d}+\sum {\xi }}}=\sqrt{\frac{2\times \mathrm{9,81}\times \left(\frac{118100-58100}{994\times \mathrm{9,81}}-\mathrm{3,5}\right)}{1+\mathrm{0,0256}\times \frac{12}{\mathrm{0,06}}+\mathrm{8,09}}}=\mathrm{1,91}\frac{м}{с}$$

Искомый расход:

$$Q=v_{2\left(II\right)}\frac{\pi d^2}{4}=\mathrm{1,91}\times \frac{\mathrm{3,14}\times {\mathrm{0,06}}^2}{4}=\mathrm{0,00540}\frac{{м}^3}{с}$$

Ответ: Q = 0,00540 м³/с.

Разность высот:

$$h_1=10 м$$

$$h_2=20 м$$

Число Рейнольдса:

$$Re=\frac{4Q_{н}}{\pi d\nu }=\frac{4\times \mathrm{0,2}}{\mathrm{3,14}\times \mathrm{0,4}\times \mathrm{0,8}\times {10}^{-4}}=7961>2320\dots 4000-турбулентный режим$$

Область сопротивления турбулентного режима:

$$20\frac{d}{\Delta }=20\times \frac{400}{\mathrm{0,2}}=40000>Re-гладкие трубы$$

Коэффициент гидравлического трения (гидравлически гладкие трубы):

$$\lambda =\frac{\mathrm{0,3164}}{R{e}^{\mathrm{0,25}}}=\frac{\mathrm{0,3164}}{{7961}^{\mathrm{0,25}}}=\mathrm{0,0335}$$

Напор насоса:

$$H_{н}=\mathrm{0,0827}\lambda \frac{l}{d^5}{Q}_{н}^2-h_1=\mathrm{0,0827}\times \mathrm{0,0335}\times \frac{8000}{{\mathrm{0,4}}^5}\times {\mathrm{0,2}}^2-10=\mathrm{76,6} м$$

Полезная мощность насоса:

$$N_{н}=\rho g{H}_{н}{Q}_{н}=\mathrm{0,840}\times \mathrm{9,81}\times \mathrm{76,6}\times \mathrm{0,2}=126 кВт$$

Избыточное давление в сечении K:

$$p_K=\rho g\left(\mathrm{0,0827}\lambda \frac{l-l_1}{d^5}{Q}_{н}^2-h_1-h_2\right)=$$

$$=\mathrm{0,840}\times \mathrm{9,81}\times \left(\mathrm{0,0827}\times \mathrm{0,0335}\times \frac{4000}{{\mathrm{0,4}}^5}\times {\mathrm{0,2}}^2-20-10\right)=110 кПа$$

Вакуум в точке K 40 кПа:

$$p_K=\rho g\left(h_1+h_2-\mathrm{0,0827}\lambda \frac{l-l_1}{d^5}{Q}_{н}^2\right)$$

тут

$$\lambda =\frac{\mathrm{0,3164}}{R{e}^{\mathrm{0,25}}}=\frac{\mathrm{0,3164}{\pi }^{\mathrm{0,25}}{d}^{\mathrm{0,25}}{\nu }^{\mathrm{0,25}}}{4^{\mathrm{0,25}}{Q}^{\mathrm{0,25}}}=\frac{\mathrm{0,3164}\times {\mathrm{3,14}}^{\mathrm{0,25}}\times {\mathrm{0,4}}^{\mathrm{0,25}}\times {\left(\mathrm{0,8}\times {10}^{-4}\right)}^{\mathrm{0,25}}}{4^{\mathrm{0,25}}\times Q^{\mathrm{0,25}}}=\frac{\mathrm{0,0224}}{Q^{\mathrm{0,25}}}$$

тогда

$$p_K=\rho g\left(h_1+h_2-\mathrm{0,0827}\frac{\mathrm{0,0224}}{Q^{\mathrm{0,25}}}\frac{l-l_1}{d^5}{Q}_{н}^2\right)=\rho g\left(h_1+h_2-\mathrm{0,00185}\frac{l-l_1}{d^5}{Q}_{н}^{\mathrm{1,75}}\right)$$

Отсюда найдем подачу насоса:

$${Q_{н}=\left(\frac{h_1+h_2-\frac{p_K}{\rho g}}{\mathrm{0,00185}\frac{l-l_1}{d^5}}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{1,75}}}={\left(\frac{10+20-\frac{40000}{840\times \mathrm{9,81}}}{\mathrm{0,00185}\times \frac{4000}{{\mathrm{0,4}}^5}}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{1,75}}}=\mathrm{0,147}\frac{{м}^3}{с}$$

И соответственно подача насоса:

$$H_{н}=\mathrm{0,00185}\frac{l}{d^5}{Q}_{н}^{\mathrm{1,75}}-h_1=\mathrm{0,00185}\times \frac{8000}{{\mathrm{0,4}}^5}\times {\mathrm{0,147}}^{\mathrm{1,75}}-10=\mathrm{40,4} м$$

Ответ: нет.

Сила действия пружины:

$$F_{пр}=F_{пр.0}+cy$$

Давление p₁:

$$p_1=\frac{4F_{пр}}{\pi d^2}=\frac{4\left(F_{пр.0}+cy\right)}{\pi d^2}$$

Расход жидкости через клапан:

$$Q=\mu \pi dy\sqrt{2\frac{p_1-p_2}{\rho }}=\mu \pi dy\sqrt{2\frac{\frac{4\left(F_{пр.0}+cy\right)}{\pi d^2}-p_2}{\rho }}$$

Ответ: нет.

Сила действия пружины:

$$F_0=\Delta p\frac{\pi D^2}{4}$$

Отсюда:

$$\Delta p=\frac{4F_0}{\pi D^2}$$

Расход через отверстия, при котором клапан начнет перемещаться влево:

$$Q=\mu S_0\sqrt{2\frac{\Delta p}{\rho }}=\mu S_0\sqrt{\frac{8F_0}{\pi D^2\rho }}=$$

$$=\mathrm{0,62}\times \mathrm{0,5}\times {10}^{-4}\times \sqrt{\frac{8\times 200}{\mathrm{3,14}\times {\mathrm{0,02}}^2\times 900}}=\mathrm{0,001166}\frac{{м}^3}{с}=70\frac{л}{мин}$$

Сила, с которой клапан будет прижат к седлу в случаи разрушения трубопровода 1:

$$F=p_{н}\frac{D^2}{d^2}-cx-F_0$$

Ответ: нет.