ЗакладкиКорзинаЗаказы

Оглавление раздела

  1. Кинематика потока жидкости
  2. Уравнение Д. Бернулли без учета потерь энергии
  3. Режимы движения жидкости
  4. Гидравлические сопротивления и измерительные приборы
  5. Истечение жидкости под переменным напором
  6. Гидродинамическое подобие
  7. Неустановившееся напорное движения жидкости
  8. Подземная фильтрация
  9. Ламинарное движения жидкости
  10. Взаимодействия потока с ограничивающими его стенками

Примеры решений задач

Данные примеры задач, относятся к предмету «Гидравлика».

Задача 3-3-2-1

Условие:

1122

Определить давление p1 в сечении 1-1 горизонтального расположенного сопла гидромотора, необходимое для придания скорости воде в выходном сечении 2-2 – V2 = 40 м/c, если скорость движения воды в сечении 1-1 – V1 = 3 м/c.

Решение:

За расчетные сечения выбираем сечения 1-1 и 2-2, в которых скорости заданы, давление p1 подлежит определению, а давление p2 в сечении на выходе из гидромотора равно атмосферному. Плоскость сравнения следует провести через ось сопла, тогда удельные энергии положения z1 = z2 = 0 и уравнение Д. Бернулли будет иметь следующий вид:

p1ρg+V122g=p2ρg+V222g

откуда

p1=p2+ρ2V22-V12=100000+10002×402-32=

=895500 Па=0,896 МПа

Ответ: p1 = 0,896 МПа.

Задача 3-3-2-2

Условие:

hDdpа

Определить диаметр d суженной части горизонтального трубопровода, при котором вода поднимается на высоту h = 3,5 м (расход Q = 6 л/с, диаметр D = 10 см).

Решение:

Сечение 1-1 принимаем в суженной части трубы, где нужно определить диаметр d, сечение 2-2 – на выходе из расширительной части трубы, где давление равно атмосферному (p2 = pа). Плоскость сравнения совместим с осью трубы, тогда z1 = z2 = 0. С учетом этого уравнения Д. Бернулли получим в виде

p1ρg+V122g=pаρg+V222g

Для того чтобы вода поднялась из резервуара на высоту h, удельная энергия давления на поверхности воды в резервуаре pа/(ρg) должна быть на величину h выше, чем удельная энергия давления в сечении 1-1, т. е.

pаρg=p1ρg+h

Решая совместно эти уравнения, получим

V122g=h+V222g 1

Выразим скорости через расход

V1=4Qπd2

V2=4QπD2

Подставим данные уравнения в 1 и решим его относительно диаметра суженной части, получим

d=2Q2gπ2h+16Q2D44=2×0,0062×9,81×3,142×3,5+16×0,00620,144=0,03 м

Ответ: d = 0,03 м.

Задача 3-3-2-3

Условие:

Hd1d2d1d3

Определить расход воды в горизонтальном трубопроводе переменного сечения, скорость на каждом из его участков и построить пьезометрическую линию, если H = 5 м, d1 = 15 мм, d2 = 20 мм и d3 = 10 мм.

Решение:

Уравнение Д. Бернулли для сечений 0-0 и 3-3 при совмещении плоскости сравнения с осью трубы будет иметь вид

z0+p0ρg+V022g=z3+p3ρg+V322g

В данном случае z0 = H, z3 = 0. В связи с тем что в сечениях 0-0 и 3-3 давление равно атмосферному, то

p0ρg=p2ρg=pаρg

Учитывая, что H = const, а скорость в сечении 0-0 V0 = 0, скорость в выходном сечении 3-3 определяется из зависимости

V322g=H

откуда

V3=2gH=2×9,81×5=9,9мс

Расход воды в трубопроводе

Q=V3ω3=V3πd324=9,9×3,14×0,0124=0,00078м3с=0,78лс

Скорость в сечении 1-1

V1=4Qπd12=4×0,000783,14×0,0152=4,4мс

Скорость в сечении 2-2

V2=4Qπd12=4×0,000783,14×0,022=2,48мс

Пьезометрическую линию строят, исходя из следующих положений. Поскольку задача решается без учета потерь энергии, то напорная линия (линия полной энергии) будет представлять собой горизонтальную прямую, являющуюся продолжением свободной поверхности воды в сечении 0-0. Пьезометрическая линия расположится ниже напорной линии на величину V2/(2g) в каждом сечении. Таким образом, отложив вниз от напорной лини величины V2/(2g) в сечениях, соответствующих изменению диаметра трубопровода, получим ряд точек, соединив которые построим пьезометрическую линию. При этом

V122g=4,422×9,81=0,987 м

V222g=2,4822×9,81=0,312 м

V322g=9,922×9,81=5 м

Ответ: Q = 0,78 л/с.

Задача 3-3-2-4

Условие:

d1d2h1h2

На водопроводной трубе диаметром d1, установлен водомер диаметром d2. На какую высоту h2 поднимается вода в пьезометрической трубке, установленной на узком сечении, при расходе воды Q, если уровень воды в пьезометре, присоединенном к основной трубе, h1? Потери напора не учитывать.

Решение:

Определим скорости движения жидкости в трубе и в узком сечении:

v1=4Qπd12

v2=4Qπd22

Составим уравнения Бернулли для сечений 1-1 и 2-2, где установлены пьезометры:

h1+v122g=h2+v222g

Откуда найдем показания пьезометра в узкой части трубы:

h2=h1-v222g+v122g

Ответ: нет.

Задача 3-3-3-1

Условие:

По трубе диаметром d = 50 мм движется вода. Определить расход, при котором турбулентный режим движения сменится ламинарным, если температура воды t = 15 ℃.

Решение:

Кинематическая вязкость воды при температуре t = 15 ℃:

ν=177,5×10-81+0,0337t+0,000221t2=

=177,5×10-81+0,0337×15+0,000221×152=0,000001141м2с

Критическое число Рейнольдса, при котором происходит смена режима с ламинарного на турбулентный (для круглых труб):

Reкр=4Qπdν=2320

Откуда найдем искомый расход:

Q=Reкрπdν4=2320×3,14×0,05×0,0000011414=0,000104м3с=0,104лс 

Ответ: Q = 0,104 л/с.

Задача 3-3-4-1

Условие:

dlh

При ламинарном движении определить местную скорость на расстоянии r1 = 0,20 (d = 0,004 м) и r2 = 0,35 (d = 0,007) м от оси трубы, среднюю скорость, максимальную скорость и расход воды в трубе диаметром d = 0,020 м, если пьезометры, установленные на расстоянии l = 8,2 м друг от друга, показывают разность в отсчетах h = 0,01 м. Температура воды t = 10 ℃.

По результатам расчетов построить эпюру распределения скоростей по сечению трубы, задавшись масштабом скорости.

Решение:

Радиус трубопровода:

r=d2=0,022=0,01 м

Кинематическая вязкость воды при t = 10 ℃

ν=131×10-8м2с

Средняя скорость движения воды (ламинарный режим):

v=hgd232νl=0,01×9,81×0,02232×131×10-8×8,2=0,114мс

Расход воды:

Q=vπd24=0,114×3,14×0,0224=0,0000358м3с

Максимальная скорость движения воды (ось трубопровода):

umax=2v=2×0,114=0,228мс

Скорость движение воды возле стенки трубопровода:

u=0

Скорость движения жидкости на расстоянии r1 и r2 от оси трубопровода:

u1=umax1-r12r2=0,228×1-0,00420,012=0,192мс

u2=umax1-r22r2=0,228×1-0,00720,012=0,116мс

Построим эпюру скоростей.

Ответ: нет.

Задача 3-3-4-2

Условие:

hdDQ

Определить расход Q керосина (ρ = 800 кг/м3) в трубе диаметром D = 50 мм, если показание ртутного дифференциального манометра у сопла h = 175 мм, выходной диаметр сопла d = 30 мм, а его коэффициент сопротивления ζ = 0,08.

Какова потеря напора в расходомере?

При каком давлении перед соплом в расходомере начнется кавитация, если упругость паров керосина hн.п = 150 мм рт. ст.?

Решение:

Плотность ртути:

ρрт=13600кгм3

Давления насыщенных паров керосина в паскалях:

pн.п=ρртghн.п=13600×9,81×0,15=20012 Па

Составим уравнения Бернулли для сечений 1-1 и 2-2:

p1ρg+v122g=p2ρg+v222g+ζv222g 1

Перепад давления:

Δp=p1-p2=ρрт-ρgh=13600-800×9,81×0,175=21974 Па 2

Условия неразрывности потока:

v1πD24=v2πd24 3

Учитывая уравнения (2) и (3), тогда уравнения (1) можно переписать:

p1-p2ρg+v122g=v122gDd4+ζv122gDd4

или

Δpρg=Dd4+ζDd4-1v122g 4

Отсюда найдем скорость движения жидкости в трубопроводе:

v1=2ΔpρDd4+ζDd4-1=2×2197480050304+0,08×50304-1=2,74мс

Искомый расход керосина:

Q=v1πD24=2,74×3,14×0,0524=0,00538м3с=5,38лс

Потеря напора в расходометре:

hп=ζv122gDd4=0,08×2,7422×9,81×50304=0,24 м

Условия кавитации:

p2pн.п

Тогда уравнения (3) примет вид:

p1-pн.пρg=Dd4+ζDd4-1v122g

Отсюда найдем искомое давления перед соплом:

p1=pн.п+ρgDd4+ζDd4-1v122g=

=20012+800×9,81×50304+0,08×50304-1×2,7422×9,81=42034 Па=42 кПа

Ответ: Q = 5,38 л/с; hп = 5,38 л/с; p1 = 42 кПа.

Задача 3-3-4-3

Условие:

DdΔHΔhВодаРтуть

К расходомеру Вентури присоединены два пьезометра и дифференциальный ртутный манометр. Выразить расход воды Q через размеры расходомера D и d, разность показаний пьезометров ΔH, а также через показание дифференциального манометра Δh. Дан коэффициент сопротивления ξ участка между сечениями 1-1 и 2-2.

Решение:

Составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 относительно оси расходометра:

z1+p1ρводg+α1v122g=z2+p2ρводg+α2v222g+ξv222g 1

Учитывая, следующее:

z1=z2=0

α1=α2=α1

p1-p2ρводg=ΔH

v1=4QπD2

v2=4Qπd2

Тогда уравнение (1) можно переписать:

ΔH=8Q2π2gd2-8Q2π2gD2+8ξQ2π2gd2

или

ΔH=0,0827Q21+ξd2-1D2

Отсюда расход:

Q=ΔH0,08271+ξd2-1D2

Аналогично, через показание дифференциального манометра:

z1+p1ρводg+α1v122g=z2+p2ρводg+α2v222g+ξv222g

z1=z2=0

α1=α2=α1

p1-p2ρводg=ρртΔhρвод

v1=4QπD2

v2=4Qπd2

Q=p1-p2ρрт-ρводg0,08271+ξd2-1D2=Δhρртρвод0,08271+ξd2-1D2

Ответ: нет.

Задача 3-3-4-4

Условие:

Hl,d

В трубопроводе диаметром d и длиной l под статическим напором H движется жидкость, кинематическая вязкость которой равна ν. Получить выражение для критического напора, при котором происходит смена ламинарного режима турбулентным, учитывая в трубопроводе только потери на трение.

Указание. Воспользоваться формулой для потерь на трение при ламинарном режиме:

H = (32νlv)/gd2,

имея в виде, что критический напор Hкр соответствует критической скорости vкр.

Решение:

Критическое число Рейнольдса:

Reкр=vкрdν

Отсюда критическая скорость:

vкр=νReкрd

Подставим данное значение в выражение, которое дано в условии задачи, получим:

Hкр=32νlνReкрdgd2=32ν2lReкрgd3

Ответ: формула в буквенном виде.

Задача 3-3-8-1

Условие:

Сравнить распределение в пласте в случаях установившейся плоскорадиальной фильтрации газа и несжимаемой жидкости по закону Дарси при одинаковых граничных условиях: rс = 0,1 м, pс = 50 кгс/см2, Rк = 750 м, pк = 100 кгс/см2.

Решение:

Определим, какая часть (в процентах) депрессии pк – pс теряется при движении несжимаемой жидкости и газа в пласте на расстоянии r – rс

δ=p-pсpк-pс×100 %

Из закона распределения давления в несжимаемой жидкости

p=pс+pк-pсlnRкrсlnrrс

получим

δж=lnrrсlnRкrс100

Из закона распределения давления газа

p=pс2+pк2-pс2lnRкrсlnrrс

найдем

δг=1pк-pсpс2+pк2-pс2lnRкrсlnrrс-pс100

Задаваясь различными значениями r/rс, подсчитаем δж и δг и результаты представим ниже.

r/rсδж, %δг, %
100
27,7711,0
518,524,2
1025,833,2
10051,659,6
50069,775,8
100077,682,4
500095,596,7
7500100100

Ответ: нет.

Задача 3-3-8-1

Условие:

Сравнить распределение в пласте в случаях установившейся плоскорадиальной фильтрации газа и несжимаемой жидкости по закону Дарси при одинаковых граничных условиях: rс = 0,1 м, pс = 50 кгс/см2, Rк = 750 м, pк = 100 кгс/см2.

Решение:

Определим, какая часть (в процентах) депрессии pк – pс теряется при движении несжимаемой жидкости и газа в пласте на расстоянии r – rс

δ=p-pсpк-pс×100 %

Из закона распределения давления в несжимаемой жидкости

p=pс+pк-pсlnRкrсlnrrс

получим

δж=lnrrсlnRкrс100

Из закона распределения давления газа

p=pс2+pк2-pс2lnRкrсlnrrс

найдем

δг=1pк-pсpс2+pк2-pс2lnRкrсlnrrс-pс100

Задаваясь различными значениями r/rс, подсчитаем δж и δг и результаты представим ниже.

r/rсδж, %δг, %
100
27,7711,0
518,524,2
1025,833,2
10051,659,6
50069,775,8
100077,682,4
500095,596,7
7500100100

Ответ: нет.

Задача 3-3-9-1

Условие:

PDyu0

Круговая пластинка диаметром D, находясь под действием силы P, медленно опускается и выдавливает слой жидкости, динамическая вязкость которой равна μ.

Приняв течение жидкости ламинарным, определить закон нарастания усилия на пластине при движении ее с постоянной скоростью u0 по направлению к неподвижной плоскости.

Определить закон движения (путь - время), если сила P постоянна.

В течение каждого бесконечно малого промежутка времени рассматривать движение жидкости как установившееся.

Решение:

Пусть в некоторой момент времени t зазор равен y. Выделим для этого момента времени в зазоре элементарную кольцевую щель радиальной длиной dr.

Полагая приближенно течение в зазоре только радиальным, воспользуемся для решения задачи уравнением для плоской щели. Будем иметь

dpdr=-12μQ2πry3

где Q - расход, выдавливаемый пластинкой, движущейся согласно условию с постоянной скоростью u0:

Q=πr2u0

Разделяя переменные, интегрируя при постоянном значении y и используя условие, что p = 0 при r = R, получим следующий закон распределения давления по радиусу пластинки:

p=3μu0y3R2-r2

Интегрируя вторично, находим силу давления

P=0Rp2πrdr=32πμu0R4y3

Полагая в полученном выражении силу P постоянной, выражая скорость в виде u0 = dy/dt и учитывая, что y = y0 при t = 0, получим после несложных преобразований закон движения пластинки y = f(t):

y=143PtπμR4+1y02

Ответ: нет.

Задача 3-3-9-2

Условие:

Ddhn

Кольцевая щель между двумя цилиндрами (D = 210 мм, d = 202 мм) залита трансформаторным маслом (ρ = 910 кг/м3) при температуре 20 ℃. Внутренний цилиндр равномерно вращается с частотой n = 120 мин –1. Определить динамическую и кинематическую вязкость масла, если момент, приложенный к внутреннему цилиндру, M = 0,065 Н × м, а высота столба жидкости в щели между цилиндрами h = 120 мм. Трением основания цилиндра о жидкость пренебречь.

Решение:

Поскольку величина щели

δ=D-d2d

Тогда щель между цилиндрами можно считать плоской. Допускаем, что скорость в зазоре увеличивается от (у стенки наружного цилиндра) до u = πDn/60 (у стенки внутреннего цилиндра) по линейному закону. Поэтом градиент скорости

dudy=uy=πdn30D-d

Сила трения, приложенная к внутреннему цилиндру:

F=μdudyS=μπdn30D-dπdh=μπ2d2n30D-d

где S = πdh – площадь боковой поверхности внутреннего цилиндра.

С другой стороны, сила трения равна крутящему моменту M, деленному на плечо (d/2):

F=2Md

Приравнивая правые части выражений для силы F, находим динамическую вязкость:

μ=60MD-dπ2d3nh=60×0,065×0,210-0,2023,142×0,2023×120×0,12=0,0266 Па×с

Кинематическая вязкость масла:

ν=μρ=0,0266910=0,29×10-4м2с

Ответ: μ = 0,0266 Па × с; ν = 0,29 × 10-4 м2/с.

Задача 3-3-9-3

Условие:

lδr

Определить силу, затрачиваемую на преодоление трения в подшипнике при вращении вала. Частота вращения вала n = 10 с–1. Диаметр шейки (цапфы) вала d = 40 мм, длина l = 100 мм, толщина слоя смазки между цапфой и подшипником δ = 0,2 мм. Кинематический коэффициент вязкости масла ν = 0,8 × 10–4 м2/с, плотность ρ = 980 кг/м3. Считать, что вал вращается в подшипнике соосно, а скорость движения жидкости в слое масла изменяется по линейному закону.

Решение:

Скорость жидкости у поверхности цапфы:

u=πdn60

Градиент скорости в зазоре при линейном ее убывании

dudy=uy=πdn60δ

Площадь поверхности цапфы:

S=πdl

Динамическая вязкость смазки:

μ=ρν=980×0,8×10-4=0,0784 Па×с

Сила трения в подшипнике:

Fтр=μdudyS=μπdn60δπdl=μπ2d2ln60δ=0,0784×3,142×0,042×0,1×1060×0,0002=0,103 Н

Очевидно, сила, затрачиваемая на преодоление трения в подшипнике:

FFтр=0,103 Н

Ответ: F = 0,103 Н.

Задача 3-3-9-4

Условие:

DбdlцDцG

Определить вес груза G ротационного вискозиметра, изображенного на рисунке. Диаметры: цилиндра Dц = 230 мм, барабана Dб = 228 мм, шкива d = 180 мм. Глубина погружения барабана в жидкость lб = 280 мм. Время опускания груза 8 с, путь lгр = 350 мм. В цилиндр залита жидкость плотностью ρ = 900 кг/м3, динамический коэффициент вязкости которой μ = 5,9 Па × с.

Решение:

Момент силы тяжести опускающегося груза, прикладываемый к барабану:

Mгр=Gd2

Момент силы трения вращающегося барабана в масле:

Mтр=FтрDб2

Приравняв моменты Mгр и Mтр, определим силу трения:

Fтр=GdDб

В свою очередь, сила трения вращающегося барабана:

Fтр=μdudyS=μuδS

или

GdDб=μuδS 1

Тогда:

– площадь поверхности трения барабана (без учета трения торца)

S=πDбlб=3,14×0,228×0,280=0,200 м2

– толщина слоя жидкости

δ=Dц-Dб2=0,23-0,2282=0,001 м

– скорость опускания груза (равномерное)

v=lгрt=0,358=0,044мс

– угловая скорость вращения

ωу=2vd=2×0,0440,18=0,49 с-1

– линейная скорость движения образующей барабан

u=uб=ωуDб2=0,49×0,2282=0,056мс

Из уравнения (1) найдем искомый вес груза:

G=μuDбSδd=5,9×0,056×0,2280,001×0,18=419 Н

или масса

M=Gg=4199,81=42,7 кг

Ответ: M = 42,7 кг